Cd3 2 the tich khoi lang tru deu md3

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 3.2 Thể tích khối lăng trụ đều.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2H1-3.2-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có
cạnh đáy bằng a và AB  BC  . Tính thể tích của khối lăng trụ.
A. V 

6a 3
.
8

B. V 

6a 3
.
4

C. V  6a 3 .

D. V 

7a3
.
8

Hướng dẫn giải
Chọn A.

C'

A'
B'

H
A

C

I
B

.
Gọi I là trung điểm AB . Vì ABCA ' B ' C ' là lăng trụ tam giác đều nên.
AI   BB ' C ' C   AI  BC ' .
Lại có: AC '  BC ' nên suy ra BC '   AIB '   BC '  B ' I .
Gọi H B ' I  BC ' .
HI
BI
1

  B ' H 2 HI  B ' I 3HI .
Ta có  BHI đồng dạng C ' HB ' =>
B ' H B 'C ' 2
Xét tam giác vng B ' BI có BI 2 HI .B ' I 3HI 2  HI 

BI 2
a2 a 3
.


3
12
2

2

 a 3   a 2 a 2
Suy ra BB '  B ' I  BI  
.
 2    2   2


2

Vậy V S ABC .BB' a 2
Câu 2.

2

3 a 2 a3 6
.
.

4
2

8

[2H1-3.2-3] [BTN 163] Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh
bên tạo với mặt phẳng bằng 450 . Hình chiếu của a trên mặt phẳng  ABC  trùng với trung
điểm của AB . Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a .
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. V 
.
B. V 
.
C. V 
.
D. V 
.
2
24
8
16
Hướng dẫn giải
Chọn C.
TRANG 1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

A

C

B

A'

C'
H

.

B'

Gọi H là trung điểm của A ' B , theo đề ta suy ra :
AH   A ' B ' C ' .
a
0
 AA ' H 450 khi đó AH  A ' H .tan 45  .
2
3
a 3
Vậy V 
.
8
Câu 3.

[2H1-3.2-3] [BTN 169] Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,
cạnh bên AB tạo với đáy một góc 45 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là:

A. VABC . A ' B 'C ' 

a3
.
6

B. VABC . A ' B 'C ' 

2a 3
.
3

C. VABC . A ' B ' C ' 

a3 3
.
4

D. VABC . A ' B 'C ' a 3 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
A'

C'
B'

C

A

B

Tam giác ABC đều  S ABC 



.

a2 3
.
4



0

Góc giữa AB,  ABC   ABA 45  AAB vuông cân tại A .

 AA  AB a .

VABC . A ' B 'C ' S ABC . AA ' 
Câu 4.

a2 3
a3 3
(đvtt).
.a 
4
4

[2H1-3.2-3] [THPT CHUYÊN VINH] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCABC  có AB a ,
đường thẳng AB tạo với mặt phẳng  BCC B một góc 30 . Tính thể tích V của khối lăng
trụ đã cho.

A. V 

a3
..
4

B. V 

a3 6
.
12

C. V 

3a 3
..
4

D. V 

a3 6
.
4

Hướng dẫn giải
TRANG 2

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn D.
Gọi M là trung điểm, do tam giác ABC đều nên AM  BC , mà AM  BB nên
AM   BCC B . Suy ra hình chiếu vng góc của AB trên  BCC B là BM .
Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  BCC B là góc ABM và ABM 300 .
AM 
V
Câu 5.

a 3
 AB a 3  AA  AB2  AB2 a 2. .
2

a3 6
.
4

[2H1-3.2-3] [BTN 163] Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh
bên tạo với mặt phẳng bằng 450 . Hình chiếu của a trên mặt phẳng  ABC  trùng với trung
điểm của AB . Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a .
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. V 

.
B. V 
.
C. V 
.
D. V 
.
2
24
8
16
Hướng dẫn giải
Chọn C.
A

C

B

A'

C'
H

.

B'

Gọi H là trung điểm của A ' B , theo đề ta suy ra :
AH   A ' B ' C ' .

a
0
 AA ' H 450 khi đó AH  A ' H .tan 45  .
2
3
a 3
Vậy V 
.
8
Câu 6.

[2H1-3.2-3] [Sở Bình Phước] Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng
2 , diện tích tam giác ABC bằng 3 . Tính thể tích của khối lăng trụ.
A. 2 5 .

B.

2 5
.
3
Hướng dẫn giải

2.

C.

D. 3 2 .

Chọn D.
A

B

C

A

C

M
B

.
TRANG 3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

 BC  AM
 BC  AM .
Gọi M là trung điểm của BC .Vì 
 BC  AA
S ABC 3 

1
1
AM .BC 3  AM .2 3  AM 3 .
2

2

2
AA  AM 2  AM 2  3 

VABC . ABC  S ABC . AA 

Câu 7.

 3

2

 6.

22 3
. 6 3 2 .
4

[2H1-3.2-3] [BTN 169] Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,
cạnh bên AB tạo với đáy một góc 45 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là:
A. VABC . A ' B 'C ' 

a3
.
6

B. VABC . A ' B 'C ' 

2a 3

.
3

C. VABC . A ' B ' C ' 

a3 3
.
4

D. VABC . A ' B 'C ' a 3 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
A'

C'
B'

C

A
B

Tam giác ABC đều  S ABC 



a

2

4

3

.

.



0

Góc giữa AB,  ABC   ABA 45  AAB vuông cân tại A .

 AA  AB a .

VABC . A ' B 'C ' S ABC . AA ' 
Câu 8.

a2 3
a3 3
(đvtt).
.a 
4
4

[2H1-3.2-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢ đáy
hình có cạnh bằng a, đường chéo AC ¢ tạo với mặt bên ( BCC ¢B ¢) một góc a

( 0 < a < 450 ) .

Tính thể tích của lăng trụ tứ giác đều ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢.
A. a 3 cot 2 a +1 .

B. a 3 tan 2 a - 1 .
C. a 3 cos 2a .
Hướng dẫn giải

D. a 3 cot 2 a - 1 .

Chọn D.

TRANG 4


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

.
Ta có ngay AC ' B  .
a
a cot . .
Tam giác ABC ' vuông tại B và AC ' B   BC ' 
tan 
Áp dụng định lý Pytago thì CC '  BC '2  BC 2 a cot 2   1. .
Thể tích khối lăng trụ V BC.CD.CC ' a 3 cot 2   1. .
Câu 9.

[2H1-3.2-3] [THPT Chuyên SPHN] Cho lăng trụ đứng ABC . ABC  có đáy là tam giác đều
cạnh a và AB vng góc với BC  . Thể tích của lăng trụ đã cho là.

A.

a3 6
.
8

B.

a3 6
.
24

a3 6
.
12
Hướng dẫn giải

C.

D.

a3 6
.
4

Chọn A.

.
Gọi I là trung điểm BC . Vì ABCA ' B ' C ' là lăng trụ tam giác đều nên.
AI   BB ' C ' C   AI  BC ' .
Lại có giả thiết AC '  BC ' nên suy ra BC '   AIB '  BC '  B ' I .
Gọi H B ' I  BC ' .
HI
BI
1

  B ' H 2 HI  B ' I 3HI .
Ta có  BHI đồng dạng C ' HB ' =>
B ' H B 'C ' 2
Xét tam giác vng B ' BI có BI 2 HI .B ' I 3HI 2  HI 

BI 2
a2 a 3
.


3
12
2

2

 a 3   a 2 a 2
Suy ra BB '  B ' I  BI  
.
 2    2   2



2

Vậy V S ABC .BB' a 2

2

3 a 2 a3 6
.
.

4
2
8
TRANG 5


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 10. [2H1-3.2-3] [THPT Chuyên KHTN] Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABC D có cạnh
đáy 4 3  m  . Biết mặt phẳng  DBC  hợp với đáy một góc 60 . Thể tích khối lăng trụ là.
A. 325 m3 .

B. 648 m3 .

C. 478 m3 .
Hướng dẫn giải

D. 576 m3 .

Chọn D.
A'

D'
C'

B'

A
D
B

C

.
Phân tích: ABCD. ABC D là một hình lăng trụ tứ giác đều, cũng có nghĩa rằng nó là một
hình hộp đứng có đáy là hình vng cạnh 4 3  m  .
Ta có BC  CD, BC  DD  BC   CDDC   BC  CD .
Suy ra

 , CD D
  CD 60 .
 DBC  ,  ABCD    CD


Lời giải:
 CD 
DCD vuông tại D nên: tan D



DD
 DD 4 3.tan 600 12  m  .
CD

Vậy VABCD. ABC D DD.S ABCD 12. 4 3



2

576  m2  .

TRANG 6