Dạng toán 26 thể tích khối lăng trụ đứng

DẠNG TỐN 26: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 Thể tích khối lăng trụ: V B.h với B : diện tích đáy, h : chiều cao.
 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :
2
2
2
▪ BC  AB  AC

1
AM  BC
2
▪ AB. AC  AH .BC ,
. Tìm tỷ số lượng giác của các góc nhọn :

sin ABC 

AC
AB
AC
AB


; cos ABC 
; tan ABC

; cot ABC

BC
BC

AB
AC …..

▪ BH.BC = AB2, CH.CB=CA2

1
1
1
=
+
2
2
AB
AC 2
▪ AH
 Đường chéo của hình vng cạnh a bằng a 2

a 3
 Đường cao của tam giác đều cạnh a bằng 2
 Diện tích tam giác thường:

1
1
1
S ABC  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
▪
.( ha, hb, hc lần lượt là các đường cao hạ từ đỉnh A,B,C)

1
1
1
S ABC  bc sin A  ac sin B  ab sin C
2
2
2
▪
▪ S ABC  p ( p  a )( p  b)( p  c )
▪

S ABC 

a b c 

p

2

,

abc
4 R (R: bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC )

C

▪ S ABC  p.r (r: bán kính đường trịn nội tiếp ABC )
 Trường hợp đặc biệt :

A

1
S  AB. AC
2
▪ Diện tích tam giác vng :

A

1
1a 3
a2 3
S  AH .BC 
a
2
2 2
4
▪ Diện tích của tam giác đều cạnh a :
2

1
1
3 a 3

S  AB. AC.sin BAC
 a.a.

2
2
2
4

hoặc

B

B

C
H

B

b

C

a
B

C

A

 Diện tích hình chữ nhật : S a.b

D

a

A

D

Trang 1


2
 Diện tích của hình vng : S a

1
S  AC.BD
2
 Diện tích hình thoi :
( AC và BD là hai đường chéo)
 Diện tích hình thang:

S

(đáy lớn  đáy bé).cao
2

A

B

 Diện tích hình bình hành: S  AH .CD ( AH
D

a
b
c



2 R
sin
A
sin
B
sin
C
 Định lí sin:

H

C

a 2 b 2  c 2  2bc.cos A
b 2 a 2  c 2  2ac.cos B
 Định lí cơsin:

c 2 a 2  b 2  2ab.cos C

b2  c 2 a 2

2
4
2
2
a  c b2
mb 2 


2
4
2
2
a  b c2
2
mc 

2
4
 Công thức trung tuyến:
ma 2 

A
b
c

ma
C

B
a

BÀI TẬP MẪU
Cho khối lăng trụ đứng ABCD. AB C D có đáy là hình thoi cạnh a , BD a 3 và AA 4a (minh họa
như hình bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

3
A. 2 3a .

3
B. 4 3a .

2 3a 3
3 .
C.

4 3a 3
3 .
D.

Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tính thể tích khối lăng trụ đứng.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Nhắc lại cơng thức tính thể tích khối lăng trụ: V B.h với B : diện tích đáy, h : chiều cao.
B2: Gọi I  AC  BD . Từ đó: Tính BI và AC .
Trang 2


1
S ABCD 2SABC 2. BI . AC
2
B3: Tính diện tích hình bình hành ABCD :
.


B4: Tính thể tích khối lăng trụ: VABCD. ABC D S ABCD . AA .
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A

Gọi I  AC  BD . Ta có:

AC  BD, BI 

BD a 3

2
2 . Xét tam giác vuông BAI vuông tại I :

2

a 3
3a 2 a 2
a
2
AI BA  BI a  

a

  AI   AC a.

4
4
2
 2 
2

2

2

2

1
1a 3
a2 3
S ABCD 2SABC 2. BI . AC 2.
.a 
2
2 2
2 .
Diện tích hình bình hành ABCD :
Thể tích khối lăng trụ cần tìm là:
VABCD. ABC D S ABCD . AA 

a2 3
.4a 2 3a 3 .
2
Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 26.1:Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình thoi cạnh a , tam giác ABD là tam giác
đều và AE 2a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A.

V

a3 3
2 .

B.

V

a3 3
6 .

C.

V

a3 3
3 .

3
D. V a 3 .

Lời giải
Chọn D

Trang 3


Ta có

a2 3 a2 3

4
2 .

S ABCD 2 S ABD 2

Khi đó:

V  AE.S ABCD 2a.

a2 3
a 3 3
2
.

Câu 26.2: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' , biết A ' C a 6 .
3
A. V 2a 2 .

B.

V

a3 3
3 .

3
D. V 2a 6 .

3
C. V 3a 2 .

Lời giải
Chọn A

A'

B'
C'

D'

B

A
D

C

A ' C  AB 3  AB 
Đường chéo hình lập phương:
Cạnh hình lập phương là:



AB a 2  V  a 2



3

A 'C a 6

a 2
3

3

2a 3 2

Câu 26.3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành biết AB a, AD 4a , góc

BAD
600 , cạnh AE a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
3
A. V 2a 3 .

3
B. V a 3 .

3
C. V a .

3
D. V 2a .

Lời giải
Chọn A

1
1

S ABD  AB. AD.sin BAD
 a.4a.sin 60 a 2 3
2
2

Ta có:
.
2
Suy ra: S ABCD 2S ABD 2a 3 .
2
3
Khi đó: V  AE.S ABCD a.2a 3 2a 3 .

Trang 4



Câu 26.4: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABC D biết mặt đáy là hình thoi cạnh 2a và ABC 60 .
Cạnh bên của hình lăng trụ là 3a (minh hoạ như hình bên). Thể tích V của khối lăng trụ là:
A'

D'

C'

B'

D

A

B
3
A. V 12a 3 .

C

3
B. V 6a .

3
D. V 4a 3 .

3
C. V 12a .

Lời giải
Chọn A


Ta có: ABCD là hình thoi và ABC 60  ABC là tam giác đều.

S ABCD 2 SABC 4a 2 3 .
VABC . ABC   AA.S ABCD 3a.4a 2 3 12a 3 3 .
Câu 26.5:Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có AB a 10 , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A
và BC a 2 (minh hoạ như hình bên). Thể tích V của khối lăng trụ đã cho bằng

C'

A'
B'

A

C

B

A.

V

3a 3
2 .

B.

V

a3
2 .

3
C. V 3a .

3
D. V a .

Lời giải
Chọn A
Ta có: ABC vng cân tại A

 AB  AC 

BC
a

2
.
Trang 5


2
2
Xét ABB vng tại B , có: BB  AB  AB 3a .

1
3a 3
V BB.S ABC 3a. a 2 
2
2 .
Câu 26.6:Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ; 30cm và biết tổng diện
2
tích các mặt bên là 480cm . Tính thể tích V của lăng trụ đó.

3
B. V 360cm .

3
A. V 2160cm .

3
C. 720cm .

3
D. V 1080cm .

Lời giải
Chọn D

C'

A'
B'

30

A

C
37

13

B
Nửa chu vi đáy:

p

37  13  30
40
2
.

2
Diện tích đáy là: S  40.(40  37).(40  13).(40  30) 180cm

Gọi x là độ dài chiều cao của lăng trụ.
Vì các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật nên ta có:
S xq 13.x  37.x  30.x 480  x 6
3
Vậy thể tích của lăng trụ là: V 6.180 1080cm

Câu 26.7:Cho hình hộp đứng ABCD. ABC D có đáy là hình vng, cạnh bên bằng AA 3a và đường
chéo AC  5a (minh hoạ như hình bên). Tính thể tích V của khối hộp này.
A'

D'

C'

B'

D

A

B
3
A. V 4a .

3
B. V 24a .

C
3
C. V 12a .

3
D. V 8a .

Lời giải
Trang 6


Chọn B
2
2
Xét ACC  vng tại C, có: AC  AC   CC  4a .

Hình vng ABCD có

AC 4a  S ABCD 

AC 2
8a 2
2
.

V  AA.S ABCD 24a 3 .
Câu 26.8:Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, BC 2a, AB 3a.
Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  là
3
A. 2a .

a3 2
.

C. 3

3
B. a 7.

3
D. 6a .

Lời giải
Chọn B

Tam giác ABC vuông cân tại

A  AB  AC 

BC
a 2.
2

2
2
2
2
Tam giác AAB vuông tại A  AA  AB  AB  9a  2a a 7

1
a 7
 VABC . AB C   AA.S ABC a 7. AB. AC 
.a 2.a 2 a 3 7.
2

2
Câu 26.9:Các đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D bằng
Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đó.
A'

26,

34.

D'

C'

B'

D

A

B

A. V 5 .

10,

B. V 225 .

C

C. V 15 .

D. V 75 .

Lời giải
Trang 7


Chọn C
Gọi x, y , z với x, y, z  0 lần lượt là độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật.
 x2  y 2
10
 2
 z 2 26 
x

y 2  z 2 34

Theo đề, ta có hệ phương trình:

 x 2 1
 2
 y 9 
 z 2 25


 x 1

 y 3
 z 5


.

V  x. y.z 15
Câu 26.10:

Cho khối lăng trụ đứng ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢ có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 . Biết góc

 ABCD  bằng 30 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
giữa AB với mặt phẳng
a3 6
A. 3 .

2a 3 6
3 .
B.

2a 3 3
3 .
C.

3
D. 2a 6 .

Lời giải
Chọn B
D'

A'
B'

C'

A
D

60°

B

(

S ABCD = a 2

)

2

= 2a 2

AÂA ^ ( ABCD ) ị

C

.

ABCD  là ABA 30 .
góc giữa AB với mặt phẳng

a 6

 AA  AB.tan ABA a 2.tan 30 
3 .
Tam giác A¢AB vng tại A
Thể tích khối lăng trụ là
Câu 26.11:

V = AA¢.S ABCD =

a 6
2a 3 6
2
.2a =
3
3 .

Cho khối lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thang vng tại A và D , biết

AD 2a, AB BC a và góc giữa mặt phẳng  A ' CD  với mặt đáy bằng 600 (minh họa như
hình bên). Thể tích khối lăng trụ bằng.
D'

A'
C'

B'
A

B

3a 3

A. 2 .

B.

D
C

6a 3
2 .

3 6a 3
2 .
C.

3a 3
D. 2 6 .
Trang 8


Lời giải
Chọn C
D'

A'
C'

B'
A

D

B

Diện tích đáy là:

S S ABCD

C

AD  BC  . AB  2a  a  .a 3a 2




2

2

2 ,

AC  CD, A ' C  CD   ( A ' CD ), ( ABCD )  ( A ' C , AC )

AA '  AC.tan 60 0 a 2. 3 a 6
Thể tích khối lăng trụ:

V S .h 

3a 2
3 6a 3
.a 6 

2
2

Cho khối lăng trụ đứng ABCD. ABC D  có đáy là hình bình hành với AB a, BC a 7

và góc BAC 60 , AA 2a (minh họa như hình bên). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

Câu 26.12:

A'

D'

C'

B'

D

A

B

3 3
a
A. 2 .

3
B. 3 3a .

C

2 3 3
a
C. 3
.
Lời giải

3 3
a
D. 3 .

Chọn B
AC x  x  0 
Gọi
Xét tam giác ABC có:

BC 2  AB 2  AC 2  2. AB. AC.cos BAC
 7a 2 a 2  x 2  ax
 x 3a
 x 2  ax  6a 2 0  
 x  2a  l 

Suy ra

S ABCD 2.S ABC

1
3 3a 2
2. AB. AC.sin A a.3a.sin 60 

2
2

Trang 9


Do đó
Câu 26.13:

VABCD. ABCD  AA.S ABCD 2a.

3 3a 2
3 3a 3
2

Cho khối lăng trụ đứng ABCD. ABC D có đáy là hình chữ nhật với AB a , AA  3a .

 ABD  3 1313a

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A'

D'

C'

B'

D

A

B

C

3 3
a
C. 3 .
Lời giải

a3
B. 3 .

A. 3 3a .
3

3
D. 2 3a

Chọn A
A'

D'

C'

B'
H
A

D
I

B

Kẻ

C

AI  BD  BD   AAI 

Trong

 AAI 

 AH   ABD 
kẻ AH  AI

 d A,  ABD   AH 





a 13
13 .

1
1
1
 2
2
AB
AD 2
Xét ABD có: AI
1
1
1

 2
2
2
AA AI
Xét AAI có: AH
1
1
1
1
1
1
1
1








2
2
2
2
2
2
2
AA AB
AD
AD
AH
AA AB 2
Suy ra: AH

Trang 10




1
1
1


2
2
AD

 3 13 
a 3
a

 13 



 

Suy ra

2



1
1
 2  AD 3a
2
a
9a

S ABCD  AB.AD a.3a 3a2

2
3

Do đó: V  AA .SABCD a 3.3a 3 3a .

o
·
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại A, AC a, ACB 60 .

Câu 26.14:

( BCC ' B ') tạo với mặt phẳng ( ACC ' A ') một góc bằng 30o
Đường chéo BC ' của mặt bên
Tính thể tích của khối lăng trụ theo a.
3
A. a 3 .

3
B. a 6 .

a3 3
C. 3 .

a3 6
D. 3 .

Lờigiải
Chọn B

( BCC ' B ') tạo với mặt phẳng ( ACC ' A ') một góc bằng 30o
Đường chéo BC ' của mặt bên
Nên

· ' A = 300.
BC ', ( ACC ' A ') ) = (·BC ', AC ') = BC

(·

AC
= 2a; AB = BC 2 - AC 2 = a 3
0
cos 60
C ' B = AB : sin 300 = 2a 3 Þ BB ' = 2a 2
B 'C ' =

1
V = BB '.S ABC = 2a 2. a 3.a = a 3 6
2
.
Câu 26.15:
và

 ABC '
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB a , góc giữa hai mặt phẳng
 ABC 

0
bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

3 3 3
a
A. 4
.

3 3
a

B. 4
.

3 3 3
a
C. 8
.
Lời giải

3 3
a
D. 8
.

Chọn C
Trang 11


H

Gọi H là trung điểm của AB . Ta có:

CH 

a 3
2

·
' = 600.
( ABC ') , ( ABC ) ) = (·HC ', HC ) = CHC

(·
tan 600 

Xét tam giác CHC ' vng tại C ta có:

Vậy
Câu 26.16:

V CC '.S ABC 

3a a 2 3 3a 3 3
.

2
4
8

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB a , đường thẳng AB tạo với mặt

phẳng
A.

CC '
a 3
3a
 CC ' CH .tan 600 
. 3
CH
2
2

 BCC B

V

a3 6
4 .

một góc 30 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
B.

V

a3 6
12 .

C.

V

3a3
.
4

D.

V

a3
.

4

Lời giải
Chọn A

C'

A'
B'

A

C
M
B
Trang 12


Gọi M là trung điểm BC , do tam giác ABC đều nên AM  BC , mà AM  BB nên

AM   BCC B

 BCC B là BM .
. Suy ra hình chiếu vng góc của AB trên

 BCC B là góc ABM và ABM 30 .
Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
AM 

a 3

 AB a 3
2

 AA  AB2  AB2 a 2
V

a3 6
4 .

Câu 26.17: Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a , góc nhọn 60 và đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Thể tích của khối hộp đó là
3
A. a .

B.

3a 3 .

C.
Lời giải

3a3
.
2

D.

6a 3
.
2

Chọn D
a
A

B

C

a

60

D
B

C

A

D

2
2
Ta có AC BD a 3 ; BB  BD  BD a 2
Vậy thể tích khối hộp đứng bằng
1
a3 6
V B.h  a.a 3.a 2 
2

2 .

Cho một tấm nhơm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm , AB 40cm . Ta gập tấm nhôm
theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên

Câu 26.18:

để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn
nhất bằng
B

M

Q

C

Q

M
B, C

A

 cm3 
A. 4000 3

x N

60cm

P x

 cm3 
B. 2000 3

D N

P
A, D

 cm3 
C. 400 3

 cm3 
D. 4000 2

Lời giải
Chọn A
Trang 13


Đáy của lăng trụ là tam giác cân có cạnh bên bằng x , cạnh đáy bằng 60  2x
2

 60  2 x 
AH  x 2  
  60 x  900
2



Đường cao tam giác đó là
, với H là trung điểm NP
Diện tích đáy là

1
1
S S ANP  AH .NP  60 x  900.  30  x  
2
30

 60 x  900   900  30 x   900  30 x 

3

1  900 
2
 S

 100 3 cm
30  3 








2

V 40.100 3 4000 3 cm3
100
3cm
Diện tích đáy lớn nhất là
nên thể tích lớn nhất là
.

Câu 26.19: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a và AB vng góc với
BC  . Thể tích của lăng trụ đã cho là.
a3 6
A. 12 .

a3 6
B. 4 .

a3 6
C. 8 .
Lời giải

a3 6
D. 24 .

Chọn C

C'

A'
B'

H

A

C
I
B

Gọi I là trung điểm BC . Vì ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ tam giác đều nên.
AI   BB ' C ' C   AI  BC '

.

BC '   AIB '   BC '  B ' I
Lại có giả thiết AB '  BC ' nên suy ra
.

Gọi H B ' I  BC ' .
Ta có  BHI đồng dạng C ' HB '



HI
BI
1

  B ' H 2 HI  B ' I 3HI
B ' H B 'C ' 2
.

Trang 14

Xét tam giác vng B ' BI có

BI 2
a2 a 3


3
12
2 .

BI 2 HI .B ' I 3HI 2  HI 
2

 a 3   a 2 a 2
BB '  B ' I  BI  
   
2   2 
2

Suy ra
.
2

Vậy
Câu 26.20:

V S  ABC .BB' a 2

2

3 a 2 a3 6
.

4
2
8 .

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

 ABC 

bằng a , góc giữa hai mặt phẳng

 ABC 

 BCC B

và
khảo hình dưới đây). Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng

9a3 15
A. 20 .

3a3 15
B. 20 .

9a3 15
C. 10 .
Lời giải

bằng  với

cos  

1
3 (tham

3a3 15
D. 10 .

Chọn A
C'

A'

H

B'

N
A

C
G

M
B

Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ABC .

Trang 15


CC   AB

 AB   CC M    CC M    ABC 
CC M    ABC  C M
Ta có: CM  AB
. Mà 
nên nếu gọi H là hình chiếu vng góc của C trên C M thì H là hình chiếu của C trên mặt
ABC   d  C ;  ABC   CH a
phẳng 
.
Dựng đường thẳng đi qua G và song song với CH , cắt C M tại điểm K .
GN   ABC 

AG   BCC B

ABC 
BCC B
Ta có 
nên góc giữa hai mặt phẳng 
và 
là góc AGN  .
1
a
GN
1
1

1
5
GN  CH 
AG 


 2
2
2
2
3
3 ;
cos  a  AB  AG 3 a 3 ; CC  CH
CM
9a
 CC  

2
3a 5
3 3a 2 3
S ABC  a 3 .

5 ;
4
4 .






Vậy thể tích khối lăng trụ bằng V CC .S ABC

9a 3 15

20 .

Trang 16