Dạng toán 42 gtln gtnn của hàm trị tuyệt đối chứa tham số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (356.65 KB, 26 trang )
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
DẠNG TOÁN 42: MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAM SỐ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
a; b
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn
x (i 1, 2,...) của y 0 thuộc a; b
- Tìm nghiệm i
f xi ; f a ; f b
- Tính các giá trị
so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
BÀI TẬP MẪU:
f x x 3 3x m
Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
0;3
bằng 16 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 16 .
B. 16 .
C. 12 .
D. 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn max, min của hàm trị tuyệt đối có chứa tham số.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn
a; b
a; b
- Tìm nghiệm xi (i 1, 2,...) của y 0 thuộc
- Tính các giá trị
f xi ; f a ; f b
so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. HƯỚNG GIẢI: Tìm giá trị lớn nhất hàm số
B1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
B2:
Giá trị lớn nhất của hàm số
y f x
tại
y f x
y f x
max f x
, ta xét hàm số
y f x
.
.
hoặc
min f x
.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Đặt
g x x3 3x m
.
x 1 0;3
x 0
g
g x 3 x 2 3
x 1 0;3 .
;
g 0 m; g 1 2 m; g 3 18 m
Suy ra
.
max g x 18 m min g x 2 m
0;3
; 0;3
.
Trang 1
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
18 m 16
2 m 16
2 m 16
y f x 16
18 m 16
Để giá trị lớn nhất hàm số
là
Vậy
S 2; 14
m 2
m 14
m 14
m 2
.
nên tổng là 2 14 16 .
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 42.1: Gọi tập S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y x3 3x m
trên đoạn
A. 1 .
0; 2
B. 2 .
bằng 3. Số phần tử của S là
C. 0 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn B
2
3
u 0 x 1 0; 2
Xét u x 3 x m . Ta có: u ' 3 x 3 ;
. Khi đó:
A max u max u 0 , u 1 , u 2 max m, m 2, m 2 m 2
0;2
a min u min u 0 , u 1 , u 2 min m, m 2, m 2 m 2
0;2
Ta có:
Vậy
.
.
m 2 3
m 1
m 2 m 2
max y max A , a max m 2 , m 2 3
0;2
m 1
m 2 3
m 2 m 2
S 1
.
.
y x2 x m
S
m
Câu 42.2:Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
thỏa mãn
min y 2
2; 2
A.
. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
31
4 .
B. 8 .
C.
23
4 .
9
D. 4 .
Lời giải
Chọn C
2
Xét hàm số u x x m
2; 2 , có: u 0 2 x 1 0
trên đoạn
x
1
2.
1
1
1
max u max u 2 , u , u 2 m 6 min u min u 2 , u , u 2 m
4.
2;2
2
2
; 3;2
1
1
1
9
min y m 2 m
0
m
4
4 thì 2; 2
4
4 (thỏa mãn).
Nếu
hay
min y m 6 2 m 8
Nếu m 6 0 hay m 6 thì 2; 2
(thỏa mãn).
m
Trang 2
GV: LÊ QUANG XE
Nếu
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
6m
1
min y 0
4 thì 2; 2
(khơng thỏa mãn).
9
23
S 8;
8 . Vậy tổng các phần tử của S bằng 4 .
Ta có:
f x 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m
1;3 . Có bao
Câu 42.3: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
nhiêu số thực m để
A. 2 .
M
59
2 ?
B. 6 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số:
Có
u 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m .
x 0
u 0 x 1
x 2
u 12 x 3 12 x 2 24 x
.
min u min u 1 , u 0 , u 2 , u 3 u 2 m 32
1;3
max u max u 1 , u 0 , u 2 , u 3 u 3 m 27
Khi đó: 1;3
.
Do đó:
59
m 32 2
m 32 m 27
5
m
2
m 27 59
2
59
M max m 32 , m 27
m 27 m 32
2
Vậy có 1 số thực
m để
M
59
2
.
Câu 42.4:Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
Tích các phần tử của S bằng
A. 16 .
B. 4 .
.
y
C. 16 .
x m2 m
x2
thỏa
max y 1
1;2
.
D. 4 .
Lời giải
Chọn B
2 m2 m
x m2 m
u
0 , x 1; 2 , m
2
u
x
2
x 2 , ta có:
Xét
.
Trang 3
GV: LÊ QUANG XE
Do đó
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
m2 m 2
m2 m 1
a min u u 1
1;2
4
3
;
.
A max u u 2
1;2
2
2
m m 2 m m 1
max y max
,
1 m 1 17
1;2
4
3
2
.
1 17
S
2
. Vậy tích các phần tử của S bằng 4 .
Ta có:
Câu 42.5: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y
x 2 mx m
x 1
trên
1; 2
A. 1 .
bằng 2 . Số phần tử của S là
B. 2 .
C. 4 .
Lời giải
D. 3 .
Chọn A
u
Xét hàm số:
u
x 2 mx m
x 1
.
x2 2x
x 1
2
; u 0
x2 2x
x 1
2
0
x 0 1; 2
x 2 1; 2 .
x 2 2 x 0
4
1
max y m , m
1;2
u 0 x 1; 2
3
2 .
Ta có:
nên
2
m 3
2 10
m 10
S ;
max y 2
3 .
1;2
3 . Vậy
3
Câu 42.6: Xét hàm số
f x x 2 ax b
, với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính T a 2b .
trên
A. T 3 .
B. T 4 .
C. T 4 .
Lời giải
Chọn C
AB
max A , B
1
2
Ta có:
. Dấu xảy ra khi A B .
Ta có:
max A , B
Xét hàm số
A B
2
g x x 2 ax b
Trường hợp 1:
2
, có
D. T 2 .
. Dấu xảy ra khi A B .
g x 0 x
a
2.
a
1;3 a 6; 2
M max 1 a b , 9 3a b
2
. Khi đó
.
Trang 4
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
Áp dụng bất đẳng thức
1
ta có
M 4 2a 8
.
a 2
a
M
max
1
a
b
,
9
3
a
b
,
b
1;3 a 6; 2
4
2
Trường hợp 2:
. Khi đó
.
a 2
M max 5 a b , b
M 1 20 4a a 2
4
1
2
và ta có
8
Áp dụng bất đẳng thức
1
2
M 16 a 2
8
.
Suy ra M 2 .
a 2
a2
5
a
b
b
2
a 2
1
a
b
9
3
a
b
b 1 .
Ta có: M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M 2 khi
Vậy a 2b 4 .
Câu 42.7: Cho hàm số
y x3 3x 2 m
A. 2 .
(với m là tham số thực). Hỏi
B. 4 .
max y
1;2
có giá trị nhỏ nhất bằng
D. 3 .
C. 1 .
Lời giải
Chọn C
3
2
x 1; 2
Xét hàm số : t x 3x với
.
x 0 1; 2
t 3 x 2 6 x 0
max t 2
min t 4
x 2 1; 2 ; t 1 2 , t 2 4 . Nên 1;2
Ta có
và 1;2
.
Do đó
max y max m t max m 4 ; m 2
1;2
1;2
max m 4 ; 2 m
m 4 2 m
2
m 4 2 m
2
1
.
Dấu bằng đạt tại m 4 2 m m 3 .
Câu 42.8: Cho hàm số
f x 8 x 4 ax 2 b
, trong đó a , b là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa a và
b để giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 1;1 bằng 1 .
A. b 8a 0 .
B. b 4a 0 .
C. b 4a 0 .
D. b 8a 0 .
Lời giải
Chọn D
2
x 1;1
t 0;1
Đặt t x , vì
nên
.
Trang 5
GV: LÊ QUANG XE
Ta có:
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
g t 8t 2 at b
, đây là parabol có bề lõm quay lên và có tọa độ đỉnh là
a a2
I ;
b
6 32
Trường hợp 1:
a
0;1
6
. Theo yêu cầu bài tốn ta có:
1 g 0 1
1 g 1 1
2
1 a b 1
32
Lấy
1 32 3
Lấy
3 32 2
1 b 1
1
1 b 1
1 8 a b 1 2
1 8 a b 1
2
32 32b a 2 32
32 a 32b 32 3
2
ta có : 64 a 64 do đó 8 a 8 .
2
ta có : 64 a 32a 256 64
2
Suy ra : a 32a 192 0 24 a 8 .
Khi đó ta có : a 8 và b 1 .
2
Thử lại:
g t 8t 2 8t 1 2 2t 1 1
2
2
0 2t 1 1 1 g t 2 2t 1 1 1
Vì 0 t 1 nên 1 2t 1 1
.
Ta có:
max g t 1
Trường hợp 2 :
1 g 0 1
1 g 1 1
khi t 1 x 1 . Nên a 8 và b 1 (thỏa mãn).
a
0;1
6
. Theo yêu cầu bài toán ta có:
1 b 1
1 8 a b 1
1 b 1
1 8 a b 1
2 a 8 2 10 a 6 (loại).
Vậy a 8 và b 1 .
Câu 42.9: Cho hàm số
f x x 4 4 x3 4 x 2 a
của hàm số đã cho trên đoạn
M 2m ?
A. 5 .
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
0; 2 . Có bao nhiêu số nguyên
B. 7 .
C. 6 .
a thuộc đoạn 3;3 sao cho
D. 3 .
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số
g x x 4 4 x3 4 x 2 a
.
Trang 6
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
x 0
x 1
x 2
g x 4 x 3 12 x 2 8 x g x 0 4 x 3 12 x 2 8 x 0
;
.
Bảng biến thiên
`
TH1:
a 1 m a 1 ; M a 2 a 1 a a 2 a 3; 2
.
TH2: 1 a 0 m 0; M 0 M 2m (loại ).
2a a 1 a 1 a 1; 2;3
TH3: a 0 m a ; M a 1
.
Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài.
Câu 42.10:
Cho hàm số
hàm số trên đoạn
A. 15.
x 4 ax a
y
x 1
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
1; 2 . Có bao nhiêu số nguyên a
B. 14.
sao cho M 2m ?
C. 16.
D. 13.
Lời giải
Chọn C
3x 4 4 x3
x 4 ax a
u
0
2
u
1;
2
x
1
x 1; 2
x 1
Xét
trên đoạn
, ta có
,
.
Do đó,
max u u 2 a
1;2
16
1
min u u 1 a
3 , 1;2
2.
1
16
a 0
M
a
2
3
1
1
a 16 2 a 1 1 a 13
a 0 m a
3
2
2
2
2
3 .
TH1:
1
16
M a 2
a 3 0
16
m a 16
a 1 2 a 16 61 a 16
a 0
3
2
3
3
6
3 .
TH2:
1
16
1
16
M max a , a
a . a 0
2
3 M 2m ( thỏa mãn).
2
3
m 0 ,
TH3:
Trang 7
GV: LÊ QUANG XE
Ta có:
Câu 42.11:
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
61
13
a a 10;....; 4
6
3
. Vậy có 15 số nguyên thỏa mãn.
Cho hàm số
f x 8cos 4 x a cos 2 x b
, trong đó a , b là tham số thực. Gọi M là giá
trị lớn nhất của hàm số. Tính tổng a b khi M nhận giá trị nhỏ nhất.
A. a b 8 .
B. a b 9 .
C. a b 0 .
D. a b 7 .
Lời giải
Chọn D
M max g t
2
g t 8t 2 at b
t 0;1
0;1
Đặt t cos x ,
, ta có hàm số
. Khi đó
.
Do đó:
M g 0 b
;
M g 1 8 a b
;
1
1
M g 2 a b 2M 4 a 2b
2
2
;
Từ đó ta có
4 M b 8 a b 4 a 2b b 8 a b 4 a 2b 4
Hay M 1 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a 8
4 a 2b cùng dấu b 1 .
b 8 a b
4 a 2b
1
2
và b ,
8 a b ,
Vậy a b 7 .
Câu 42.12:
Cho hàm số
m để max y 3 ?
y 2x x2
A. 1.
x 1 3 x m
B. 2.
. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số
C. 0.
D. 4.
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định khi:
Đặt
t
x 1 3 x 0 1 x 3 .
x 1 3 x
3 2 x x 2 t 0; 2
Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số
2
Với u t t 3 m ta có:
2
2
và 2 x x t 3 .
y t2 t 3 m
max u m 1; min u m
0;2
0;2
trên đoạn
0; 2 .
13
4 .
Trang 8
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
13
1
max y max m 1 ; m
3 m 4; m
4
4.
Do đó
y 2x x2
x 1 3 x m
Câu 42.13: Cho hàm số
. Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị
nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?
17
9
7
15
.
.
.
.
A. 8
B. 8
C. 8
D. 8
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định khi:
Đặt
t
x 1 3 x 0 1 x 3 .
x 1 3 x
3 2 x x 2 t 0; 2
Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số
2
Với u t t 3 m ta có:
Dấu bằng xảy ra
Câu 42.14:
y t2 t 3 m
max u m 1; min u m
0;2
13
max y max m 1 ; m
4
Do đó
m 1
2
2
và 2 x x t 3 .
0;2
trên đoạn
0; 2 .
13
4 .
13
13
m m 1 m
9
4
4
2
2
8.
m 1
13
9
17
m m
4
8
8 .
1
19 2
y x4
x 30 x m
4
2
S
m
Gọi là tập hợp tất cả các số nguyên
để hàm số
có giá trị
lớn nhất trên đoạn
A. 195 .
0; 2
không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng
B. 210 .
C. 195 .
D. 210 .
Lời giải
Chọn A
x 5
u x3 19 x 30; u 0 x 3
1 4 19 2
u x
x 30 x m
x 2
0; 2 có
4
2
Xét
trên đoạn
.
Do đó:
max u max u (0); u (2)} max{m; m 6} m 6; min u m.
0;2
0;2
m m 6 20
max y max{ m ; m 6} 20
0;2
m 6 m 20
Do đó:
.
13 m 6
20 m 13 20 m 6
20
Mà m nên m { 20; 19;..., 6} . Vậy
S k 195
6
.
Trang 9
GV: LÊ QUANG XE
Câu 42.15: Cho hàm số
A. 4.
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
y 2 x3 3x 2 m
B. 8.
. Có bao nhiêu số nguyên m để
C. 31.
min f x 3
1;3
?
D. 39.
Lời giải
Chọn D
x 0
u 0
2
3
2
x 1 .
Xét u 2 x 3 x m , ta có: u ' 6 x 6 x ;
min u min u 1 , u 3 , u 0 , u 1 min m 5, m 27, m, m 1 m 5
1;3
max u max u 1 , u 3 , u 0 , u 1 max m 5, m 27, m, m 1 m 27
Do đó: 1;3
.
TH1:
m 5 0 m 5 min f x m 5 3 m 8 m 5; 6; 7;8
1;3
.
TH2:
m 27 0 m 27 min f x (m 27) 3 m 30 m 30; 29; 28; 27
1;3
TH3:
Vậy
(m 5) m 27 0 27 m 5 min 1;3 f x 0
m 30; 29; 28;...;7;8
.
(thỏa mãn).
.
2
f ( x) 1, x [0;1]
Cho hàm số f ( x ) ax bx c,
. Tìm giá trị lớn nhất của f (0).
A. 8 .
B. 0 .
C. 6 .
D. 4 .
Câu 42.16:
Lời giải.
Chọn A
f ( x) 2ax b f (0) b .
f ( x) 1, x [0;1].
Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất của b với điều kiện
f (0) c
f 1 a b c
f 1 a b c
Ta có. 2 4 2
a b f (1) f (0)
1
a 2b 4 f 4 f (0) b 4 f
2
c f (0)
1 f (0) 1
f ( x) 1, x [0;1] 1 f 1 1 b 4 f
1 f 1 1
2
1
f (1) 3 f (0).
2
1
f (1) 3 f (0) 4 1 3 8.
2
Trang 10
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
1
f 2 1
f (1) 1
f (0) 1
Đẳng thức xảy ra
c 1,
a b c 1,
a b
c 1
4 2
a 8
2
b 8 f ( x ) 8 x 8 x 1.
c 1
Vậy giá trị lớn nhất của f (0) bằng 8.
Câu 42.17:
Cho hàm số
y x 4 2 x3 x 2 a
B. 5 .
A. 2 .
. Có bao nhiêu số thực a để
C. 3 .
min y max y 10
1; 2
1; 2
?
D. 1 .
Lời giải
Chọn A
x 0
u ' 0 x 1
1
x
4
3
2
3
2
1;
2
2.
Xét u x 2 x x a trên đoạn
, ta có : u ' 4 x 6 x 2 x ;
1
u max u 1 , u 0 , u , u 1 u 1 u 2 a 4
M max
1; 2
2
m min u min u 1 , u 0 , u 1 , u 1 u 0 u 1 a
1; 2
2
Suy ra:
.
TH1: m 0 a 0 . Khi đó:
min y m; max y M
1; 2
1; 2
a 0
a 3
Ta có điều kiện : a a 4 10
.
TH2: M 0 a 4 . Khi đó :
min y M ; max y m
1; 2
1; 2
.
a 4
a 7
a 4 a 10
Ta có điều kiện :
.
TH3: m 0 M 4 a 0 .
Khi đó:
Suy ra
Vậy
min y 0; max y max a 4 , a max a 4, a 10
1; 2
1; 2
min y max y 0 10 10
1; 2
a 3; 7
1; 2
.
(loại).
.
Trang 11
GV: LÊ QUANG XE
Câu 42.18:
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
2
2
2
2
Cho hai số thực x ; y thỏa mãn x y 4 x 6 y 4 y 6 y 10 6 4 x x . Gọi
M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
10;10
nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn
A. 17 .
B. 16 .
T x2 y 2 a
. Có bao
của tham số a để M 2m ?
C. 15 .
D. 18 .
Lời giải
Chọn B
2
2
2
2
Biến đổi giả thiết có: x y 4 x 6 y 4 y 6 y 10 6 4 x x
y 2 6 y 10 y 2 6 y 10 6 4 x x 2 6 4 x x 2 (*).
Đặt
f t t t , t 0;
Do đó ta có: (*)
f
. Ta có
f t
y 2 6 y 10 f
6 4 x x 2 y 2 6 y 10 6 4 x x 2
x 2 y 2 4 x 6 y 4 0 x 2 y 2 4 4 x 6 y
13 3 x 2 y 2 3 13
0; .
đồng biến trên
4
2
62 x 2 y 2
x 2 y 2 a 13 3 a;3 13 a
.
TH1: 13 3 a 0
13 3 a 0
3 13 a 2
m 13 3 a
ycbt
M
3
13
a
m 13 3 a
ycbt
M
3
13
a
.
Vậy
Câu 42.19:
13 9 a 9 13
.
13 3 a 0
TH2:
TH3:
13 3 a
3 13 a 0
13 3 a 2
13 3 a
3 13 a 9 13
m 0
13 3 a 3 13 a 0 13 3 a 13 3
M 0 ( M 2m ).
a 13 9;9 13
a 10;10 a 5;...;10
. Đối chiếu với
.
Cho hàm số
mọi bộ ba số thực
A. 10 .
f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x m
. Có bao nhiêu số nguyên m ( 20; 20) để với
a, b, c 1;3
thì f (a ), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh một tam giác?
B. 8 .
C. 25 .
D. 23 .
Lời giải
Chọn D
Trang 12
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
x 0
u 0
3
2
1;3 , ta có: u 6 x2 18 x 12 ;
x 2 .
Xét u 2 x 9 x 12 x m trên
min u min u (0), u (1), u (2), u (3) m 4
[1;3]
.
max u max u (0), u (1), u (2), u (3) m 9
[1;3]
.
Để f (a ), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh một tam giác thì ta phải có f (a) f (b) f (c) .
Chọn
f (a) f (b) min f ( x ), f (c ) max f ( x )
[ 2;1]
Ngược lại: với
[ 2;1]
2 min f ( x) max f ( x)
[ 2;1]
[ 2;1]
Vậy điều kiện cần và đủ để
, ta có :
ta có điều kiện
2 min f ( x) max f ( x)
[ 2;1]
[ 2;1]
.
f (a) f (b) f (c) 2 min f ( x ) max f ( x) 0
[ 2;1]
[ 2;1]
.
f (a ), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh một tam giác là
2 min f ( x) max f ( x)
[ 2;1]
[ 2;1]
m 4 0
m 4 0 min f ( x) m 4; m ax f ( x ) m 9
m 1
[1;3]
[1;3]
2(m 4) m 9
TH1:
m 9 0
m 9 0 min f ( x) m 9; m ax f ( x) m 4
m 14
[1;3]
[1;3]
2( m 9) m 4
TH2:
TH3:
Vậy
Câu 42.20:
(m 4)(m 9) 0 min f ( x) 0 2.0 m ax f ( x) m 9
[1;3]
m 19; 15; 2......;18;19
Cho hàm số
số thực
A. 18 .
[1;3]
. Có 23 số nguyên thỏa mãn.
f x x 3 3x m
a, b, c 2;1
thì
. Có bao nhiêu số ngun
f a , f b , f c
B. 16 .
(loại)
m 20; 20
để với mọi bộ ba
là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn.
C. 14 .
D. 12 .
Lời giải
Chọn B
3
2
Xét u x 3 x m trên đoạn , ta có: u 0 3x 3 0 x 1 .
max u max u 2 , u 1 , u 1 max m 2, m 2, m 2 m 2
2;1
min u min u 2 , u 1 , u 1 min m 2, m 2, m 2 m 2
Khi đó: 2;1
.
Để
f
2
f a , f b , f c
2
là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn ta phải có
2
a f b f c .
Trang 13
GV: LÊ QUANG XE
Chọn
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
f a f b min f x ; f c max f x
2;1
2;1
ta có điều kiện
2
2
2 min f x max f x
2;1
2;1
.
2
2
2 min f x max f x
2;1
2;1
, ta có
Ngược lại với
2
2
f 2 a f 2 b f 2 c 2 min f x max f x 0
2;1
2;1
.
Vậy điều kiện cần và đủ để
f a , f b , f c
là độ dài ba cạnh của một tam giác là
2
2
2 min f x max f x
2;1
2;1
.
2
f x 0 2.0 m ax f x
m 2 m 2 0 2 min
2;1
2;1
(loại).
TH1:
2
TH2: m 2 0 .
m 2 0
min f x m 2; m ax f x m 2
2
2 m 64 2
2;1
2;1
2 m 2 m 2
.
TH3: m 2 0 .
m 2 0
min f x m 2 ; m ax f x m 2
2
2 m 6 4 2
2;1
2;1
2 m 2 m 2
.
Suy ra
m 19, 18,..., 12,12,13,...,19
. Vậy có 16 số nguyên m thỏa mãn.
Câu 42.21: Gọi tập S là tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y x 3 3x m
A. 1 .
trên đoạn
0; 2
B. 2 .
bằng 3. Số phần tử của S là
C. 0 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn B
3
u ' 3 x 2 3 ; u ' 0 x 1 0; 2
Xét u x 3 x m có:
. Khi đó:
A max u max u 0 , u 1 , u 2 max m, m 2, m 2 m 2
0;2
a min u min u 0 , u 1 , u 2 min m, m 2, m 2 m 2
0;2
.
.
Trang 14
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
m 2 3
m 1
m 2 m 2
max y max A , a max m 2 , m 2 3
0;2
m 1
m 2 3
m 2 m 2
Vậy
.
Câu 42.22: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
f x x 4 8x 2 m
trên đoạn
A. 7 .
1;1
B. 7.
bằng 5. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
C. 5 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn B
x 0
g x 4 x 3 16 x; g x 0
g x x 8 x m, x 1;1
x 2 .
Xét hàm số
, ta có
4
2
g 1 g 1 7 m g 0 m
,
.
Do đó:
Vậy
7 m 5
7 m m
m 2
max f x max 7 m , m 5
1;1
m 5
m 5
m 7 m
S 2;5
. Vậy tổng các giá trị của S bằng 7.
Câu 42.23: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
f x
4x m
x 3 trên đoạn 2; 2 bằng 6. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 16 .
B. 16.
C. 2.
D. 14 .
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
g 2
Do đó :
Vậy
g x
12 m
4x m
g x
2
, x 2; 2
x 3 .
x 3
, ta có
8m
, g 2 8 m
5
.
8m
6
5
8m
8 m
m 2
8m
5
max f x max
, 8 m 6
2;2
5
m 14
8 m 6
8m
8 m
5
S 2;14
.
. Vậy tổng các giá trị của S bằng 16.
Trang 15
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
y x2 2 x m 4
Câu 42.24: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
A. 1 .
2;1
bằng 4 ?
C. 3 .
Lời giải
B. 2 .
D. 4 .
Chọn B
f x x 2 2 x m 4
có
f x 2 x 2
,
f x 0 x 1
max x 2 2 x m 4 max m 1 ; m 4 ; m 5
2;1
. Do đó
.
Ta thấy m 5 m 4 m 1 với mọi m , suy ra
max y
2;1
chỉ có thể là
m 5
hoặc
m 1
.
m 5 4
max y m 5
2;1
m 5 m 1 m 1 .
Nếu
thì
m 1 4
max y m 1
2;1
m 1 m 5 m 5 .
Nếu
thì
Vậy
m 1; 5
.
2x m
min f x max f x 8
x 0;2
x 2 với m là tham số, m 4 . Biết x 0;2
Câu 42.25: Cho hàm số
. Giá trị
của tham số m bằng
A. 10 .
B. 8 .
C. 9 .
D. 12 .
Lời giải
y
Chọn D
Xét hàm số xác định trên tập
y
Ta có
D 0; 2
4m
x 2
2
0; 2 nên
. Nhận xét m 4 hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Theo bài ra ta có
Câu 42.26: Cho hàm số
A. 4.
f 0 f 2 8
f ( x) 2 x3 3x 2 m
B. 8.
0; 2
luôn đạt được tại x 0 , x 2 .
m 4 m
8 m 12
2
4
.
. Có bao nhiêu số nguyên m để
C. 31 .
min f x 3
1;3
?
D. 39 .
Lời giải
Chọn D
x 0
u 6 x 2 6 x; u 0
3
2
x 1 .
Xét u 2 x 3 x m có
Trang 16
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
min u min u 1 , u 3 , u 0 , u 1 min m 5, m 27, m, m 1 m 5
1;3
u max u 1 , u 3 , u 0 , u 1 max m 5, m 27, m, m 1 m 27
max
1;3
Do đó
.
min f x m 5 3 m 8 m 5;6;7;8
+ Nếu m 5 0 m 5 thì 1;3
.
min f x ( m 27) 3 m 30
+ Nếu m 27 0 m 27 thì 1;3
.
m 30; 29; 28; 27
.
Nếu
( m 5) m 27 0 27 m 5
Vậy
m 30;...;8
Câu 42.27: Cho hàm số
A. 4.
thì
min f x 0
1;3
(thỏa mãn).
có tất cả 39 số nguyên thỏa mãn.
y x3 3x 2 m
. Có bao nhiêu số nguyên m để
B. 10.
C. 6.
min f x 3
1;3
?
D. 11.
Lời giải
Chọn D
x 0
u 3 x 2 6 x; u 0
3
2
x 2 .
Với u x 3 x m có
min u min u 1 , u 3 , u 0 , u 2 min m 2, m, m 4 m 4
1;3
u max u 1 , u 3 , u 0 , u 2 max m 2, m, m 4 m
max
1;3
Do đó
.
+ Nếu m 4 0 m 4 thì
+ Nếu m 0 thì
1;3
m 3;...;7
Câu 42.28: Cho hàm số
A.
31
4 .
1;3
min f x m 3 m 3 m 3; 2;1;0
+ Nếu 0 m 4 thì
Vậy
min f x m 4 3 m 7 m 4;5;6; 7
min u 0; max u 0 min f x 0
1;3
1;3
1;3
.
.
(thỏa mãn).
có tất cả 11 số nguyên thỏa mãn.
y x2 x m
min y 2
. Tổng tất cả giá trị thực của tham số m để 2; 2
B. 8 .
C.
23
4 .
bằng
9
D. 4 .
Lời giải
Chọn C
1
u 0 2 x 1 0 x
2
2; 2
2.
Xét hàm số u x x m trên đoạn
, có:
Trang 17
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
1
max u max u 2 , u , u 2 m 6
2
2;2
min u min u 2 , u 1 , u 2 m 1
2; 2
2
4
Khi đó:
.
+ Nếu
m
1
1
1
9
0
m
min y m 2 m
2;
2
4
4 thì
4
4 (thỏa mãn).
hay
min y m 6 2 m 8
+ Nếu m 6 0 hay m 6 thì 2; 2
+ Nếu
6m
1
min y 0
4 thì 2; 2
(khơng thỏa mãn).
Vậy có hai số thực
m
9
4 và m 8 thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Tổng các giá trị đó bằng
Câu 42.29: Gọi
,
(thỏa mãn).
23
4 .
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x 3x 4 4 x 3 12 x 2 m
m 2019; 2019
3;2 .
Có bao nhiêu giá trị nguyên
C. 3211 .
D. 3213 .
trên đoạn
để 2 .
A. 3209 .
B. 3215 .
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
y g x 3x 4 4 x 3 12 x 2 m y g x 12 x 3 12 x 2 24 x
.
x 0
g x 0 12 x 12 x 24 x 0 x 1
x 2
.
3
2
g 0 m; g 1 m 5; g 2 m 32; g 3 243 m
.
max g m 243; min g m 32
3;2
3;2
.
+Nếu m 32 0 m 32 thì m 243 , m 32 . Khi đó: 2 m 307 .
m 32 ; m 243
+Nếu m 243 0 m 243 thì
.
Khi đó: 2 m 518 .
+Nếu
243 m 32 m 32 m 243 0
thì
max m 243 , m 32 max m 243,32 m 0; 0
.
Khi đó, khơng thỏa điều kiện 2 .
Do đó: 2019 m 518 hoặc 307 m 2019 .
Vậy 3213 số.
Trang 18
GV: LÊ QUANG XE
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
Câu 42.30: Cho hàm số
f x x 4 4 x3 4 x 2 a
nhất của hàm số đã cho trên đoạn
M 2m ?
A. 3 .
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
0; 2 . Có bao nhiêu số nguyên
B. 7 .
a thuộc đoạn 3;3 sao cho
C. 6 .
Lời giải
D. 5 .
Chọn D
Xét hàm số
g x x 4 4 x3 4 x 2 a
.
x 0
x 1
x 2
g x 4 x3 12 x 2 8 x g x 0 4 x 3 12 x 2 8 x 0
;
.
Bảng biến thiên
g x 0 x 0; 2
Do 2m M 0 nên m 0 suy ra
.
a 1 0
a 1
a 0 a 0
Suy ra
.
2 a 1 a a 2
Nếu a 1 thì M a , m a 1
.
Nếu a 0 thì M a 1 , m a 2a a 1 a 1 .
3;3 nên a 3; 2;1; 2;3 .
Do đó a 2 hoặc a 1 , do a nguyên và thuộc đoạn
Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài.
Câu 42.31: Xét hàm số
f x x 2 ax b
, với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a 2b .
trên
A. 3 .
B. 4 .
C. 4 .
Lời giải
D. 2 .
Chọn C
Ta có
max A , B
A B
2
1
. Dấu xảy ra khi A B .
Trang 19
GV: LÊ QUANG XE
Ta có
50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA
max A , B
Xét hàm số
A B
2
g x x 2 ax b
2
. Dấu xảy ra khi A B .
, có
g x 0 x
a
2 .
a
1;3 a 6; 2
M max 1 a b , 9 3a b
Trường hợp 1: 2
. Khi đó
.
Áp dụng bất đẳng thức
1
ta có
M 4 2a 8
.
a 2
a
M
max
1
a
b
,
9
3
a
b
,
b
1;3 a 6; 2
4
Trường hợp 2: 2
. Khi đó
.
a 2
M max 5 a b , b
M 1 20 4a a 2
4
1
2
8
Áp dụng bất đẳng thức
và
ta có
1
2
M 16 a 2
8
.
Suy ra M 2 .
a 2
a2
5
a
b
b
2
a 2
1 a b 9 3a b
b 1 .
Vậy M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M 2 khi
Do đó a 2b 4 .
Câu 42.32: Có bao nhiêu số thực m để hàm số
275
3; 2 bằng 2 ?
A. 4.
y 3 x 4 4 x3 12 x 2 m
B. 0.
có giá trị lớn nhất trên đoạn
C. 2.
D. 1.
Lời giải
Chọn D
275
4
3x 4 x3 12 x 2 m
; x 3; 2
275
2
4
3
2
y 3 x 4 x 12 x m
; x 3; 2
2
3x 4 4 x3 12 x 2 m 275 ; x 3; 2
2
275
275
4
3
2
m 2 3 x 4 x 12 x ; x 3; 2
m 2 min g x ; x 3; 2
275
4
3
2
m
m 275 max g x ; x 3; 2
3 x 4 x 12 x ; x 3; 2
2
2
Xét
g x 3x 4 4 x 3 12 x 2 ; x 3; 2
Khảo sát hàm số trên đoạn
3; 2
ta được min 243 ; max 32 .
Trang 20
