3 minmax lý thuyết

CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

CHỦ ĐỀ 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
LÍ THUYẾT
 Định nghĩa.
Cho hàm số

y  f  x

xác định trên tập D.



 f ( x) M , x  D

x  D , f ( x0 ) M
y  f  x
D
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
trên
nếu:  0
.



Kí hiệu:



 f ( x) m , x  D


x  D , f ( x0 ) m
y  f  x
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên D nếu:  0
.



Kí hiệu:

M max f ( x)
xD

m min f ( x)
xD

.

.

 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
O Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp


Bước 1: Tính

f  x 

f  x 0
và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn  D mà tại đó  

hoặc hàm số khơng có

đạo hàm.


Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn



Bước 1:
Hàm số đã cho

y  f  x

 a; b  .
xác định và liên tục trên đoạn  

a; b
f  x 0
f x
Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng   , tại đó  
hoặc   khơng xác định.
f  a  , f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , fb



Bước 2: Tính



Bước 3: Khi đó:

.



max f  x  max f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , fb
 a ,b



min f  x  min f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , fb
 a ,b 

 .
 .

o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng



Bước 1: Tính đạo hàm f ( x) .




Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm xi ( a; b) của phương trình f ( x) 0 và tất cả các điểm

 i ( a; b)


làm cho f ( x) không xác định.

A lim f ( x) B lim f ( x) f ( x ) f ( )
i ,
i .
x a
x b
,
,



Bước 3. Tính



M max f ( x) m min f ( x)
( a;b)
( a ;b )
Bước
4. So
sánhsoạn
cácbởi:
giánhóm
trị tính
đượcTƯvàDUY
kết luận
,

.
Sưu tầm
và biên
admin
TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.


CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.



min f  x   f  a 
  a ; b

f  x   fb 
max
y  f  x
 a; b 
 a ; b

Nếu
đờng biến trên
thì
.



min f ( x)  fb 
  a ; b

.

max
f
(
x
)

f
a


  a ; b
y  f  x
 a; b 
Nếu
nghịch biến trên   thì   



Hàm số liên tục trên một khoảng có thể khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng
đó.

 Bất đẳng thức trị tuyệt đối:



a  b ab a  b
Cho hai số thực a , b khi đó ta có:
.

Dấu “ = ” vế trái xảy ra khi a , b cùng dấu. Dấu “ = ” vế phải xảy ra khi a , b trái dấu.





max a , b 

a b  ab

2
 Tính chất của hàm trị tuyệt đối:
.
 Phương pháp chung để giải các bài tốn tìm GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.


Bước 1: Xét hàm số

y  f  x

Tính đạo hàm

 a, b
trên   .

y  f  x  .

Giải phương trình


Bước 2: Giải phương trình



Bước 3: Tính các giá trị

f  x  0

f  x  0

và tìm các nghiệm

và tìm các nghiệm

f  a  ; fb f  a;

bj

ai

 a, b 
thuộc   .

 a, b
thuộc   .

 fb ;  
. So sánh và kết luận.
i

j

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

VÍ DỤ MINH HỌA
VÍ DỤ 1: Cho hàm số f ( x) m x  1 (m là tham số thực khác 0). Gọi m1 , m2 là hai giá trị của m thỏa
mãn

min f ( x)  max f ( x) m 2  10
[2;5]

[2;5]

A. 3.

. Giá trị m1  m2 bằng
B. 5.
C. 10.

D. 2.

Lời giải
Chọn A
x   2; 5 

m

f '( x) 

2 x  1 . Ta thấy dấu của f '( x) phụ thuộc vào dấu của m
min f ( x)  max f ( x)  ff(2)  m(5) m  2
[2;5]
m 0 thì f ( x) đơn điệu trên  2; 5   [2;5]

Với mọi

VÍ DỤ 2: Cho hàm số

có





y  x 3  3x  m  1

2

. Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ

  1;1
nhất của hàm số trên đoạn 
bằng 1 là
A.  2 .

B. 4 .

D. 0 .

C.  4 .

 m 5
m2  10 m  2 m  m 2  3m  10 0  
.
m  2

Từ giả thiết ta được
Vậy m1  m2 3 .
Lời giải
Chọn A



y  f ( x)  x 3  3 x  m  1



2

  1;1
là hàm số xác định và liên tục trên đoạn 
.
 x 1
f ( x) 0  
3

2
3
y  f ( x) 2 x  3 x  m  1 3x  3
 m  x  3x  1 g( x) .
Ta có
;
  1;1
Ta khảo sát hàm số g( x) trên đoạn 
. Bảng biến thiên của g( x)

Đặt







min y 0
m    3;1
x    1;1
Nếu
thì ln tờn tại 0 
sao cho m g( x0 ) hay f ( x0 ) 0 . Suy ra   1;1
,
m
tức là không tồn tại
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
m    3;1
f ( x) 0  x 1    1;1

Nếu
thì
.

Ta có:



min f ( x) min  ff(1); m(  1) m
min (
  1;1

 1) 2 ;(

 3) 2

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.




CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

 m 2 (TM )
 min f ( x) ( m  1) 2 1  
  1;1
 m 0 ( KTM )
Trường hợp 1: m  1 tức là m  3  m  1  0
 m  4 (TM )

 min f ( x) ( m  3) 2 1  
  1;1
 m  2 ( KTM )
Trường hợp 2: m   3 tức là m  1  m  3  0
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: m 2; m  4 , từ đó tổng tất cả các giá trị
của m là  2 .

VÍ DỤ 3: Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số
tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 0  m 2 .
B. 4  m 8 .

y mx 

36
x  1 trên đoạn  0; 3  bằng 20 (với m là

C. 2  m 4 .

D. m  8 .

Lời giải
Chọn C
Cách 1:

Ta có:


36
mx  x  1 20, x   0; 3 

min y 20  

36
 0;3
x0   0; 3  : mx0 
20
x0  1



20 x  16
m  x x  1 , x   0; 3 
 


x   0; 3  : m  20 x0  16

 0
x0  x0  1

(*)

(vì
g  x 

Xét hàm số
g ' x 

Ta

có:

 *

trên

 20 x 2  32 x  16

Ta có:
Bảng biến thiên:

Do đó, từ
Cách 2:

20 x  16
x  x  1

 x  x  1 

2

y  0  36  20

 0; 3 .

 x 2  tm 
g '  x  0   20 x  32 x  16 0  
 x  2 l



5
;
.
2

suy ra m 4 . Vậy 2  m 4 .

y  0  36 y  3  3m  9

,

y ' m 

;

36

 x  1

2

, x   0; 3 

9
y 0  m  36 y '  3  m  4
.
,
.

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”

).


CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
y 

Mà

72

 x  1

3

rường hợp 1:

 0, x   0; 3 

. Bảng biến thiên

m

9
4 . Khi đó y ' 0, x   0; 3  . Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn  0; 3  .

T

đó, ta có

min y 20  y  3  20  3m  9 20  m 
 0;3 

11
3 (không thỏa mãn).

Do
y ' 0, x   0; 3 
 0; 3 
rường hợp 2: m 36 . Khi đó
. Suy ra hàm số đờng biến trên đoạn   .

T
đó, ta có

min y y  0  36
 0;3 

(khơng thỏa mãn).

Do
6
9
y ' 0  x  1 
  0; 3 
 m  36
m
rường hợp 3: 4

. Khi đó
.

T

đó, ta có


6 
min y 20  y   1 
 20   m  12 m 20 
 0;3
m


 m 4  tm 

 m 100  l 
.

Do
Do đó m 4 thỏa mãn u cầu bài tốn. Vậy 2  m 4 .
VÍ DỤ 4: Cho hàm số

y  f  x  x 6  ax 2  bx  2a  b

với a , b là các số thực. Biết hàm số đạt giá trị

f 3
nhỏ nhất tại x0 1 . Giá trị nhỏ nhất có thể của   bằng bao nhiêu?

A. 128 .
B. 243 .
C. 81 .

Lời giải
Chọn D
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

D. 696 .


CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
fb 1 0  a  2  6
. Do hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 1 nên  
f x  f  1 , x  
Do hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 1 nên  
.
6
2
f  x   f  1 , x    x  ax  bx  2a  b 1  3a  2b , x  

Ta có

f '  x  6 x 5  2ax  b

 x6  ax 2    2 a  6  x  2a  2a  6 1  3a  2b , x  



(do b  2a  6 )



 a x 2  2 x  1  x6  6 x  5, x  
2

2





 a  x  1  x  1  x 4  2 x 3  3x 2  4 x  5 , x    * 





max  x 4  2 x 3  3 x 2  4 x  5  3  x  1

Mà

VÍ DỤ 5: Cho

y  f ( x)  x 2  5x  4  mx.

nên (*) xảy ra khi a  3 .

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho

giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) lớn hơn 1 . Tính số phần tử của S.
A. 7.
B. 8.
C. 6.
f  3  3a  705  min f  3  696

D. 5.

.
Lời giải

Chọn A
Vì

min f  x   1


f ( x)  x 2  5x  4  mx  1

nên

với x  

f  x  mx  x 2  5x  4  1  m   x 

3
 5, x 4
x

x   4;  

, ta có

g( x)  x 

3
3
1
 5, x 4.
g( x)  1  2  0, x   4;   , g(4) 
x
4.
x
Ta có

Với

Đặt
Do đó

g  x  g  4  

tự, với

1
1
m  g  x  x   4;    m  g  4   m  .
4 . Vì
4 (1)

x   1; 4 

. Ta có

f  x   x 2  5 x  4  mx  1 x   1; 4   m  1

. (2)

Tương
f  x  x 2  5x  4  mx  1 x   0; 1  m   x 

Với x (0;1) . Ta có
x    ;0 
f x x 2  5x  4  mx  1 x    ; 0 
Với
. Ta có  
3
 m   x   5 x    ;0   m  5  2 3  4 
x
x
0
Với
luôn đúng.

3
 5  m 1
x
(3)

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có 1  m  5  2 3

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

VÍ DỤ 6: Tìm tất cả các giá trị thực của m để giá trị lớn nhất của hàm số

y

4 sin x  m.6 sin x
9sin x  41sin x không nhỏ

1
.
hơn 3

Vậy

S  2; 3; 4; 5;6;7; 8

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Lời giải

Chọn B

y

4 sin x  m.6 sin x
9 sin x  41sin x

Ta có:

 3
1  m.  
 2

 3
 2
 

sin x

2sin x

4

.

sin x

 3
 2 3
mt  1
t  
t ; 

y  f  t  2
 2
 3 2  khi đó
t 4
Đặt
với
u cầu bài tốn tương đương với:
max f  t 

Tồn tại

f  t 

 2 3
 3; 2



( điều này luôn đúng) và
1
1
4
t2  1
f  t    mtt 1  2   3m 
3
3
3
t
Xét
1

t2  1
g '  tt 1  2 0  1
g t 
t ,
t
Đặt
.
biến thiên của hàm

g t

 2 3
1
t ; 
 3 2 .
3 có nghiệm

 1

.

:

Bảng

 2 3
t ; 
1
3m g  t 
 3 2

Yêu cầu bài tốn tương đương   có nghiệm hay
có nghiệm
2
 3m  g  1  3m 2  m  .
3

y  f  x
f  x 
y  f  x 
VÍ DỤ 7: Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
liên tục trên tập số thực và có
bảng biến thiên
như
Sưu tầm
và sau:
biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.


CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

Lời giải
Chọn C
Xét hàm số

g  x  f 3  x  3 f  x

  1; 2

trên đoạn

 f  x  0  1
 2
g  x  3  f  x   1 f  x  g  x  0
 f  x  1  2  .
,
2

 1 
Từ bảng biến thiên, ta có:

 x  1   1; 2

 x 2    1; 2

10
f  x  0 x    1; 2
f  x
 1; 2  f  x   f   1  3

Và
,
nên
đồng biến trên
2
 f  x   1  f  x   1 x    1; 2
 2  vơ nghiệm.
,

nên
g  x  0
Do đó,
chỉ có 2 nghiệm là x  1 và x 2 .
3

 10 
 10  730

 3  
g   1  f 3   1  3 f   1  3 
 3  27 .
Ta có
3

g  2   f 3  2   3 f  2   6   3  6  198

. Vậy

min g  x  g   1 
  1;2

730
27 .

VÍ DỤ 8: Cho hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên  . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên đoạn

 f ( x)  x 

 1; 2 .

Biết rằng hàm số

y  f  x

và thỏa mãn

f ( x)  x 6  3x 4  2 x 2 , x  

A. 4.

. Giá trị của 3M  m bằng
B.  28.
C.  3.

D. 33.

Lời giải
Chọn A

 f ( x)  x  f ( x)  x 6  3x 4  2 x 2  f 2 ( x)  xf ( x) x 6  3x 4  2 x 2
Ta có:
 4 f 2 ( x)  4 xf ( x) 4 x 6  12 x 4  8 x 2  4 f 2 ( x)  4 xf ( x )  x 2 4 x 6  12 x 4  9 x 2
 2 f ( x )  x 2 x 3  3x
 f ( x) x3  2 x


2



3
3
  2 f ( x)  x  (2 x3  3 x) 2
 2 f ( x )  x  2 x  3x
 f ( x )  x  x
3
2
Với f ( x)  x  2 x  f ( x) 3x  2  0, x   nên f ( x ) đồng biến trên  .
3
'
2
Với f ( x )  x  x  f ( x)  3x  1  0, x   nên f ( x) nghịch biến trên  .
3
Suy ra: f ( x )  x  x. Vì f ( x) nghịch biến trên  nên

M max f ( x)  f (1)  2
 1;2

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

VÍ DỤ 9: Cho hàm số
số

f  x

g  x  2 f  x    1  x 

và

. Biết hàm số

f  x 

  4; 3 
có đờ thị như hình dưới đây. Trên đoạn 
, hàm

2

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm?

m min f ( x)  f (2)  10.
 1;2

3M  m 3.   2   10 4
Từ đây, ta suy ra:
.
Lời giải

Chọn D
Ta có

g x  2 f  x   2  1  x 

Giải phương trình:

.

 x 3    4; 3 

g x  0  2 f  x   2  1  x  0  f  x   1  x    x  1    4; 3

 x  4    4; 3 

Bảng biến thiên:

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.


CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

  4; 3 
g x
Vậy trên đoạn 
, hàm số   đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x  1 .

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”