08 1 toàn tập ghép trục (trang 577 594)

Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

TOÀN TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC

577 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 08: Tồn tập về ghép trục.

LÍ THUYẾT
 Cơ sở của phương pháp ghép trục giải quyết bài toán hàm hợp



g  f u x

 . Ta thực hiện theo

các bước sau đây:


Bước 1: Tìm tập xác định của hàm



g  f u x

D  a1 ; a2    a3 ; a4   ....   an 1 ; an 



Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm

 . Giả sử tập xác định tìm được như sau:

, ở đây có thể a1  ; an 

u u  x 

và hàm

y  f  x

 x; u u  x  
 u; g  f  u  
Lập bảng biến thiên kép, xét sự tương quan giữa 
và 
(Bảng biến thiên này thường có 3 dịng)



Dịng 1: Xác định các điểm đặc biệt của hàm

u u  x 

, sắp xếp các điểm này theo thứ tự

tăng dần từ trái qua phải, giải sử như sau: a1  a2  ....  an 1  an (xem chú ý số 1).


Dòng 2: Điền các giá trị
Trên mỗi khoảng
số

y  f  x

 u ;u
i

i 1

 i 1,....., n .
 , với  i 1, n  1 cần bổ sung các điểm kì dị b , b ,....b

ui u  ai 

1

 u ; u  , với
i

i 1

ui  b1  b2  ....  bk  ui1

 i 1, n  1 , sắp xếp các điểm u ; b

k

của hàm

k

theo thứ tự, chẳng

hoặc ui  b1  b2  ....  bk  ui 1 (xem chú ý số 2).



g  f u x



dựa vào bảng biến thiên của hàm

f u
f x
bằng cách hốn đổi u đóng vai trị của x ;   đóng vai trị của   .

Sau khi hồn thiện bảng biến thiên
số này.


i

Dịng 3: Xét chiều biến thiên của hàm
y  f  x

2

.

Trên mỗi khoảng
hạn:



, với



g  f u x

Bước 4: Dùng bẳng biến thiên hàm hợp
toán và đưa ra kết luận.



ta sẽ thấy được hình dạng của đồ thị hàm



g  f u x



để giải quyết các yêu cầu của bài

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 578

Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

 Một số chú ý quan trọng khi sử dụng phương pháp ghép trục để giải quyết các bài toán về hàm hợp.
 CHÚ Ý 1:
u u  x 
 Các điểm đặc biệt của
gồm: các điểm biên của tập xác định D , các điểm cực
trị của hàm số


Nếu xét hàm
u  x  0








u  u x

.
thì ở dịng 1 các điểm đặc biệt cịn có nghiệm của phương trình

( là hoành độ giao điểm của hàm số

Nếu xét hàm

điểm của
CHÚ Ý 2:

u u  x 

 

u u x

u u  x 

và trục Oy ).

u u  x 
Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của
.
y  f  x
f x
f x
Điểm đặc biệt của hàm số
gồm: các điểm tại đó   và   khơng xác

Nếu xét hàm
phương trình



với trục Ox ).

thì ở dịng 1 các điểm đặc biệt cịn có số 0 ( là hoành độ giao

định, các điểm cực trị của hàm số


u u  x 

Nếu xét hàm



g  f u x
f  x  0



y  f  x

.

thì trong dịng 2 các điểm đặc biệt cịn có nghiệm của

.

  

g f u x

thì trong dịng 2 các điểm đặc biệt cịn có số 0 .

579 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 08: Tồn tập về ghép trục.

VÍ DỤ MINH HỌA
VÍ DỤ 1: Cho hàm số

y  f  x

có bảng biến thiên như sau:

  5 
 2 ; 2 
5 f cos 2 x  cosx 1


Số nghiệm thuộc đoạn
của hàm số
là
A. 11 .
B. 10 .
C. 9 .
D. 12 .





Lời giải
Chọn B
2
u  2.cos x.sin x  sin x sin x  1  2cos x 
Tiến hành đặt u cos x  cosx . Đạo hàm
.
 sin x 0  x  k  x 0;  ; 2
u 0  
 cos x  1  x   2 k  x  ; 5 ; 7

2
3
3 3 3
Giải phương trình:

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình

f  u 

1
5 có tất cả 10 nghiệm phân biệt.

Tư duy tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 580


Phan Nhật Linh
VÍ DỤ 2: Cho hàm số

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
y  f  x

có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
nghiệm phân biệt. Số phần tử của tập S là?
A. 10 .
B. 32 .
C. 9 .



ff x 

  2   m2

có 3

D. 34 .

Lời giải
Chọn D
u  f  x  2
Đặt
. Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực trị tại x 2 và x 5 .
Sử dụng phương pháp ghép trục:



m
  11  2   2


 4  m  13

2
Từ bảng biến thiên, phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Vậy có 34 giá trị của m thỏa mãn.

581 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

 8  m  26

  22  m   4


Chủ đề 08: Tồn tập về ghép trục.
VÍ DỤ 3: Cho hàm số

y  f  x

Hỏi phương trình

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.



f x3  3x

A. 10 .

 có bao nhiêu điểm cực trị thuộc đoạn   2; 2 ?

B. 17 .

C. 12 .

D. 15 .

Lời giải
Chọn B
3

u  x  3x 

x

3

 3x



2

x
 u 

3



 3x 3x 2  3

x

Đặt

x
u 
Giải phương trình đạo hàm
Sử dụng phương pháp ghép trục:

3

3

 3x



 3x 3 x 2  3



x 3  3x



2





2

.


0
 0   xx 
1



 x  3 .

  2; 2 
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số 
có 17 điểm cực trị.

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 582


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

VÍ DỤ 4: Cho hàm số

Hỏi



có

y  f  x

bao

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

nhiêu



giá

trị

ngun

của

tham

số

để

  
 2 ; 2

có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc 
B. 1 .
C. 15 .
D. 2 .

7 f 5  2 1  3cos x 3m  10

A. 10 .

m

Lời giải
Phương trình đã cho tướng tương với
u 5  2 1  3cos x  u 

Đặt
u 





f 5  2 1  3cos x 

3m  10

7
.

3sin x
1  3cos x .
3sin x

1  3cos x
Giải phương trình đạo hàm
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán



0  x 0
.

3m  10
4
 2  m 
7
3

583 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

phương

trình

Chủ đề 08: Toàn tập về ghép trục.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1:

Cho hàm số

y  f  x  ax 3  bx 2  cx  d

có đồ thị như hình vẽ

 3

;3 
2

 của phương trình f  sin x   5 f  sin x   6 0 là
Số nghiệm thuộc khoảng  2
A. 13 .
B. 12 .
C. 11 .
D. 10

Câu 2:

Cho hàm số

y  f  x  ax 5  bx 4  cx 3  dx 2  ex  f

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
A. 8 .
B. 4 .
Câu 3:

Cho hàm số

f  x

có đồ thị như hình vẽ

f  4 x  5  2   3 0

C. 10.

là:
D. 6

có bảng biến thiên như sau:

Tư duy tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 584


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

Hỏi phương trình
A. 12 .
Câu 4:



B. 4 .

Cho bảng biến thiên hàm số

Hỏi phương trình
A. 6 .
Câu 5:



f x  1  2 x  1 1

f  5  2x

có bao nhiêu nghiệm thực?
C. 5 .

như hình vẽ dưới.

2 f  x 2  4 x  3  1 3
B. 5 .

Cho bảng biến thiên của hàm số

D. 8

có bao nhiêu nghiệm thực x tương ứng?

C. 7 .
D. 4

f  3  2x

f  4  3; f  0  0

như hình vẽ. Biết

. Hỏi có bao

f  x 3  3x  2   m 2
nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
có nhiều nghiệm
nhất?

A. 7 .
Câu 6:

Cho hàm số

B. 6 .
f  x

C. 5 .

ff  1  2 
liên tục trên  , thỏa mãn  

f



D. 2

 5

và có bảng biến thiên như sau:



2cos 3  x   2cos x  5  2cos x 2

Số nghiệm của phương trình
585 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

 5 
 0;

trên khoảng  2  là?


Chủ đề 08: Toàn tập về ghép trục.
A. 2 .
B. 1 .

Câu 7:

Cho hàm số

f  x

C. 5 .

D. 3

liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên.

f 2  cos x    3  m  f  cos x   2m  10 0
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình

  
  ; 
có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  3  là
A. 5 .
B. 6 .
C. 7 .

Câu 8:

Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 6 và có đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ dưới đây

Hỏi hàm số

y g ( x)  f x 2  4 x  5



B. 5 .

A. 2 .
Câu 9:

D. 4 .

Cho hàm số

y  f  x

vẽ bên dưới. Hàm số



có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 3 .

D. 1 .

f  x 
có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét đấu đạo hàm
như hình



g  x  f 4 

4  x2

 đồng biến trên:

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 586


Phan Nhật Linh

A.

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

 0;1 .

Câu 10: Cho hàm số

B.

y  f  x

vẽ bên dưới. Hàm số

A.

 5;6  .

 1; 2  .

C.

  1;0  .

D.

  3;  1 .

f  x 
có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét đấu đạo hàm
như hình



g  x   f  1  7  6x  x2

B.

  1; 2  .

 nghịch biến trên:

C.

 2; 3  .

D.

 3;5 

.

BẢNG ĐÁP ÁN
1.A

2.D

3.C

4.D

5.D

6.A

7.B

8.C

9.C

10.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Cho hàm số

y  f  x  ax 3  bx 2  cx  d

có đồ thị như hình vẽ

 3

;3 

2

 của phương trình f  sin x   5 f  sin x   6 0 là
Số nghiệm thuộc khoảng  2
A. 13 .
B. 12 .
C. 11 .
D. 10
Bài làm:
Chọn A



 f  sin x  3

2
f  sin x   5 f  sin x   6 0  

 f  sin x  2



Ta giải phương trình:
587 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

f  sin x  3
f  sin x   3
f  sin x   2
f  sin x  2

.


Chủ đề 08: Toàn tập về ghép trục.
Bảng biến thiên:

Kết hợp bảng biến thiên và đồ thị tương giao:

Ta thấy:
Với mọi

x    1;1

thì phương trình ln có 3 nghiệm.

x   0;1

thì phương trình có duy nhất 1 nghiệm.
 3

;3 

 là 3.4  1 13 .
Vậy số nghiệm của phương trình thuộc khoảng  2
Với mọi

Câu 2:

Cho hàm số

y  f  x  ax 5  bx 4  cx 3  dx 2  ex  f

có đồ thị như hình vẽ

f  4 x  5  2   3 0
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
là:
A. 8 .
B. 4 .
C. 10.
Bài làm:
4  4 x  5
2
g  x   4 x  5  2   4 x  5   2  g  x  
2
4 x  5

Đặt
.
4  4 x  5
5
g  x  
0  x 
2
4
 4 x  5
Giải phương trình
.

D. 6

Tư duy tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 588


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

Ta lập bảng biến thiên của hàm số

g  x

như sau:

Yêu cầu bài tốn trở thành: tìm số nghiệm phân biết của phương trình
Kẻ đường thẳng y 3 lên đồ thị như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy, số nghiệm của phương trình thuộc

f  g  x    3 0

  2; 

.

bằng số nghiệm của

  ;  2 . Mà trên   2;  phương trình có 3 nghiệm nên trên   ;  2
phương trình thuộc
cũng có 3 nghiệm. Vậy phương trình có 3  3 6 nghiệm phân biệt.

Câu 3:

Cho hàm số

f  x

Hỏi phương trình
A. 12 .

có bảng biến thiên như sau:





f x  1  2 x  1 1
B. 4 .

có bao nhiêu nghiệm thực?
C. 5 .

D. 8

Lời giải
Chọn C








 f x  1  2 x  1 1
f x  1  2 x  1 1  
 f x  1  2 x  1  1

x

1
Điều kiện xác định:
. Ta có:
.
1
u  x  1  2 x  1  u 1 
0  x 2.
x 1
Đặt



Sử dụng phương pháp ghép trục:
589 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh




Chủ đề 08: Toàn tập về ghép trục.

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 5 nghiệm phân biệt.
Câu 4:

Cho bảng biến thiên hàm số

Hỏi phương trình
A. 6 .

f  5  2x

như hình vẽ dưới.

2 f  x 2  4 x  3  1 3
B. 5 .

có bao nhiêu nghiệm thực x tương ứng?
C. 7 .
D. 4
Lời giải

Chọn D

f  5  2x 
f  x
Đặt x 5  2t , đưa bảng biến thiên hàm số
về bảng biến thiên hàm số
.
f  x
Ta có bảng biến thiên của hàm số
như sau:

 f  u  2

2 f  u   1 3  
2
 f  u   1 .
Đặt u x  4 x  3 , phương trình trở thành
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 590


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình có tất cả 4 nghiệm thực x .

Câu 5:

Cho bảng biến thiên của hàm số

f  3  2x

như hình vẽ. Biết

f  4  3; f  0  0

. Hỏi có bao

f  x 3  3x  2   m 2
nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
có nhiều nghiệm

nhất?

A. 7 .

B. 6 .

C. 5 .
Lời giải

D. 2

Chọn D

f  x
x 3  2t  f  x   f  3  2t 
Đưa về bảng biến thiên của hàm số
bằng cách đặt
.
f  x
Bảng biến thiên của hàm số
như sau:

591 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 08: Toàn tập về ghép trục.
 f  u  m  2
f  u   m 2  
3
 f  u  m  2 .

Đặt u x  3x  2 thì phương trình trở thành
Sử dụng phương pháp ghép trục

3  m 2 8

 2  m  5  m  3; 4
0

m

2

3

Để phương trình có nhiều nghiệm nhất
.
Câu 6:

Cho hàm số

f  x

ff  1  2 
liên tục trên  , thỏa mãn  

f

Số nghiệm của phương trình
A. 2 .
B. 1 .



 5

và có bảng biến thiên như sau:



2cos 3  x   2cos x  5  2cos x 2

C. 5 .
Lời giải

 5 
 0;

trên khoảng  2  là?
D. 3

Chọn A


 3cos 2 x  1

u  2cos  x   2cos x  5  2cos x  u ' sin x
 2  0
 2cos 3  x   2cos x  5




Ta đặt
3

 5 

voi x 0;

 sin x 0    2 
 x  ; 2 .

2

u 0
 3cos x  1

 2 0  vo nghiem 
 2cos 3 x  2cos x  5
 


Giải phương trình
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Tư duy tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 592


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 7:

Cho hàm số

f  x

liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên.

f 2  cos x    3  m  f  cos x   2m  10 0
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình

  
  ; 
có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  3  là
A. 5 .
B. 6 .
C. 7 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn B
 x 0
  
u cos x  u  sin x 0  
x    ; 
 3  ).
 x  ( với

Đặt
 f  u  2
2
f  u    3  m  f  u   2m  10 0  
 f  u  m  5 .
Khi đó phương trình đã cho trở thành
Sử dụng phương pháp ghép trục:

593 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 08: Tồn tập về ghép trục.
Do phương trình

f  u  m  5
Câu 8:

f  u  2

có 3 nghiệm nên u cầu bài tốn tương đương với phương trình

 m
 m   1; 2;3; 4;5;6
có duy nhất một nghiệm  4 m  5  2  1 m  7
.

Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 6 và có đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ dưới đây

Hỏi hàm số

y g ( x)  f x 2  4 x  5



B. 5 .

A. 2 .



có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 3 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
2
Đặt u  x  4 x  5  u 2 x  4 0  x  2.
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 9:

Cho hàm số

y  f  x

vẽ bên dưới. Hàm số

A.

 0;1 .

f  x 
có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét đấu đạo hàm
như hình



g  x  f 4 

B.

 1; 2  .

4  x2

 đồng biến trên:

C. 
Lời giải

 1;0 

.

D.

  3;  1 .

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 594


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022



2



g  x   f 4  4  x  f  u  , u 4 
Đặt
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 10: Cho hàm số

y  f  x

vẽ bên dưới. Hàm số

A.

 5;6  .

, với

x    2; 2

  2;0  .

f  x 
có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét đấu đạo hàm
như hình



g  x   f  1  7  6x  x2

B.



4 x

2

  1; 2  .



g  x   f  1  7  6x  x2  f  u 

Đặt:
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng

595 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

 nghịch biến trên:

C. 
Lời giải

2; 3 

.

D.

 3;5 

2
x    2; 2
với u  1  7  6 x  x và

  1;3  7  và  3;3  7  .

.