Chủ đề 14 độ dài diện tích

CHỦ ĐỀ 14: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN. CUNG TRỊN.
DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN. HÌNH QUẠT TRỊN.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I/ Độ dài đường tròn. Cung tròn
1. Độ dài C (chu vi) của một đường trịn bán kính R là C = 2πRπRR
Nếu gọi d là độ dài đường kính của đường trịn (d = 2πRR) thì C = πR.d d
Trong đó πR ≈ 3,14
2. Trên đường trịn bán kính R, độ dài L của một cung no là: L ≈ πRRn/180 .d
II/ Diện tích hình trịn, quạt trịn.
1. Diện tích S của một hình trịn bán kính R là: S= πRR2πR
2. Hình quạt trịn là một phần hình trịn giới hạn bởi một cung trịn và hai bán kính đi qua hai mút của
cung đó.d Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung no la:
Squạt = πRR2πRn / 360 hay Squạt = L.d R/2πR (L là độ dài cung no của hình quạt trịn)
3. Hình viên phân là phần hình trịn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy.d
Diện tích hình viên phân bằng hiệu (hoặc tổng) diện tích của một hình quạt trịn và diện tích của
một tam giác nếu góc ở tâm hình quạt nhỏ hơn 180o (hoặc lớn hơn 180o) .d
4. Hình vành khăn là phần hình trịn giới hạn bởi đường trịn đồng tâm
Diện tích hình vành khăn tạo bởi hai đường trịn đồng tâm bán kính R1 và R2πR là:
Svành khăn = πR(R12πR - R2πR2πR) .d
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
I/ BÀI TẬP MẪU.
Bài 1: Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh 5cm.d
Hướng dẫn giải
Giả sử ΔABC đều cạnh 5cm nội tiếp (O; R).ABC đều cạnh 5cm nội tiếp (O; R).d
Nối OA cắt BC tại H => AH ⊥ BC và H là trung điểm của BC.d
ΔABC đều cạnh 5cm nội tiếp (O; R).AHB vuông tại H nên: AH2πR = AB2πR - BH2πR = 52πR - (5/2πR)2πR = 75/4
=> AH = 5 3 /2πR (cm)
Vì ΔABC đều cạnh 5cm nội tiếp (O; R).ABC đều có O là tâm đường trịn ngoại tiếp nên O cũng là
trọng tâm của tam giác đó, do đó:

OA = 2πR/3 AH = 2πR/3 .d 5 3 /2πR => R = OA = 5 3 /3
Độ dài đường tròn ngoại tiếp ΔABC đều cạnh 5cm nội tiếp (O; R).ABC là: C = 2πRπRR = 10 5 .d πR/3 ≈ 54,39(cm)
Bài 2: Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là R 1 = 3cm; R2πR = 6cm.d Một dây AB của
đường tròn (O;R1) tiếp xúc với đường tròn (O;R2πR) tại C.d
a) Tính độ dài cung nhỏ AB của đường trịn (O;R2πR) .d
b) Tính độ dài đường trịn đường kính AB.d
Hướng dẫn giải
a) Vì tiếp tuyến tại C với đường trịn (O;R1) nên OC ⊥ AB
Tam giác OAC vng tại C có: cos ∠AOC = OC/OA = 1/2πR
=> ⊥AOC = 60o => ∠AOB = 12πR0o
Vậy độ dài cung AB của đường tròn (O;R2πR) là:
I = πRRn/180 ≈ 12πR,56 (cm)
b) Vì tam giác OAC vng tại C nên: AC 2πR = OA2πR - OC2πR = 36 - 9 =
2πR7
=> AC = 3√3 (cm)
Trong đường trịn (O;R2πR) ta có: OC ⊥ AB
=> C là trung điểm của AB
=> Đường tròn đường kính AB có tâm là C và bán kính R= AC = 3 3 (cm).d
Vậy độ dài của đường trịn đường kính AB là: C = 2πRπRR ≈ 32πR,63(cm2πR
Bài 1: Tính diện tích hình trịn (O) ngoại tiếp tam giác ABC đều cạnh a.d
Hướng dẫn giải
Nối AO cắt BC tại H
Vì O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên O
đồng thời là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC.d Do đó:
AH ⊥ BC và HB = HC = BC/2πR = a/2πR
Xét tam giác vng ABH vng tại H có:
AH2πR = AB2πR - BH2πR = a2πR - (a/2πR)2πR = 3a2πR /4
=> AH = a 3 /2πR
Do O là trọng tâm tam giác ABC nên: AO = 2πR/3 AH = 2πR/3 .d a 3 /2πR = a 3 /3

Vậy diện tích hình trịn (O) là: S = πRR2πR = πR(a 3 /3)2πR = πRa2πR/3 (đvdt)
Bài 2: Một hình vng và một hình trịn có diện tích bằng nhau.d Hỏi hình nào có chu vi lớn hơn?
Hướng dẫn giải
Giả sử hình vng có cạnh a và hình trịn có bán kính R.d
Vì hình vng và hình trịn có diện tích bằng nhau nên ta có: a2πR = πRR2πR ⇔ a = R 
Mặt khác: Chu vi hình vng là C1 = 4a = 4R 
Chu vi hình tròn là C2πR = 2πRπRR
C1
2πR

 => C1 > C2πR
=> C2πR

Vậy hình vng có chu vi lớn hơn.d
Bài 3: Cho tam giác ABC đều có tâm O, cạnh 6cm.d Vẽ đường trịn (O;2πRcm).d Tính diện tích của phần
tam giác nằm ngồi hình trịn (O).d
Hướng dẫn giải
Gọi diện tích phần phải tính (phần gạch sọc trên hình vẽ) là
S thì: S = 3(SAMON - SQuạt trịn OMN)
Giả sử giao điểm của đường tròn (O; 2πRcm) với hai cạnh
AB, AC lần lượt là M và N.d
Nối CO cắt AB tại E => CE là đường cao của tam giác đều
ABC cạnh 6cm nên: CE = 6 3 /2πR = 3 3 (cm)
Xét tam giác OEM vuông tại E nên:
EM2πR = OM2πR - OE2πR = 2πR2πR - ( 3 )2πR = 1 (cm)
=> EM = 1(cm) => AM = 2πREM = 2πRcm = AN
Dễ thấy tứ giác AMON là hình thoi có OA = OC = 2πR 3 (cm) và MN = 2πRcm (do tam giác MON
đều) nên: SAMOC = AO.d MN/2πR = 2πR 3 (cm2πR)
Diện tích hình quạt tròn OMN là: Squạt tròn OMN = πRR2πRn /360 = 2πRπR/3 (cm2πR)

Do diện tích tam giác cong AMN là: SAMN = SAMON - Squạt tròn OMN = 2πR 3 - 2πRπR/3 (cm2πR)
Vậy diện tích phần tam giác nằm ngồi hình tròn là: S = 3(2πR 3 - 2πRπR/3) = 2πR(3 3 - πR) ≈ 4,1 (cm2πR)
II/ LUYỆN TẬP.
Bài 1: Cho đường trịn (O) và haiđiểm M và N bất kì thuộc đường trịn sao cho góc MON =150o .d


a) Tính độ dài cung MN.d
b) Tính diện tích hình quạt trịn tạo bởi góc MON.d
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.d Biết góc A bằng 60°, tính diện tích
hình viên phân tạo bởi cung nhỏ BC và dây BC.d
Bài 3: Từ điểm c ở ngoài (O ; R) sao cho OC = 2πRR, kẻ tiếp tuyến CA, CB của đường tròn (O) (B, A là
tiếp điểm).d Tia oc cắt (O) tại D.d
a) Tính diện tích phần tam giác ABC nằm ngồi hình trịn (O ; R).d
b) Tính diện tích hình trịn nội tiếp tam giác ABC.d
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O).d Tiếp tuyến tại c với đường tròn cắt AB, AD
kéo dài lần lượt tại E và F.d
a) Chứng minh AB.d AE = AD.d AF.d
b) Tính diện tích phần tam giác AEF nằm ngồi đường tròn (O), biết AB = 6 và AD = 6 3
Bài 5. Cho đường trịn tâm O, bán kính R và một điểm A nằm ngồi đường trịn.d Từ một điểm M
chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MP, MP’ với đường tròn.d
Dây PP’ cắt OM tại N và cắt OA tại B.d
a) Chứng minh rằng : OA.d OB = OM.d ON = R2πR
b) Chứng minh tứ giác POMA nội tiếp được trong đường tròn.d Khi điểm M di chuyển trên d thì
tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác POMA chuyển động trên đường cố định nào ?
c) Cho góc PMP’ = 60° và R = 8, tính diện tíeh phần mặt phẳng giới hạn bởi MP, MP’ và cung
lớn PP’.d
Bài 6: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2πRR, là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng
60o, đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC.d Tính diện tích hình giới hạn bới nửa đường trịn đường kính
AB và phân ngồi đường trịn (I).d