Bài 8 đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

CHUYÊN ĐỀ
BÀI 8: ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP, ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nêu được định nghĩa, tính chất của đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp một đa giác.
+ Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp một đa giác khi biết cạnh đa giác
+ Tính cạnh đa giác khi biết bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp đa giác đó.
 Kĩ năng
+ Vẽ được tâm của đa giác đều, từ đó vẽ đường trịn ngoại tiếp và đường trịn nội tiếp của một đa
giác đều cho trước.
+ Tính được cạnh a theo R và ngược lại tính được R theo a.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Đường trịn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi
là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa
giác nội tiếp đường tròn.
Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác
được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi
là đa giác ngoại tiếp đường trịn.
2. Định lí
Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường trịn
ngoại tiếp, có một và chỉ một đường trịn nội tiếp.

Đường trịn tâm I bán kính r là
đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Trong đa giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với

Đường tròn tâm O bán kính R là

tâm của đường trịn ngoại tiếp và được gọi là tâm của một đa

đường tròn ngoại tiếp tam giác

giác đều.

ABC.

Chú ý:
• Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ
tâm đến đỉnh.
• Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ
tâm O đến một cạnh.
• Cho n- giác đều cạnh a.
- Chu vi của đa giác: 2p na (p là nửa chu vi).
- Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng

 n  2  .180o .

- Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng

360o
.
n

- Bán kính đường trịn ngoại tiếp:

Khi đó a 2R.sin

a
.
180o
2sin
n

180o
.
n

- Bán kính đường trịn nội tiếp:

Khi đó a 2r.tan

R

n

r

a
.
180o
2 tan
n

180o
.

n

- Liên hệ giữa bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp:

Trang 2


R 2  r2 

a2
.
4

1
- Diện tích đa giác đều: S  nar.
2
Một số hình ảnh về đường trịn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

Trang 3


SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA
Đường trịn ngoại tiếp đa giác
là đường tròn đi qua tất cả
các đỉnh của đa giác đó
Định nghĩa

ĐƯỜNG
TRỊN NỘI
TIẾP,

NGOẠI TIẾP
ĐA GIÁC

Định lí

Đường trịn nội tiếp đa giác
là đường tròn tiếp xúc với tất
cả các cạnh của đa giác đó.
Đa giác đều nào cũng chỉ có
một và chỉ một đường trịn
ngoại tiếp, có một và chỉ
một đường tròn nội tiếp.

Đường tròn ngoại tiếp
và nội tiếp tứ giác đều
Ví dụ
Đường trịn ngoại tiếp
và nội tiếp lục giác
đều.

Tâm của đa giác đều
vừa là tâm đường
tròn ngoại tiếp, vừa
là tâm đường trịn
nội tiếp.

Bán kính đường
trịn ngoại tiếp
r: Bán kính
đường trịn nội

tiếp

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường trịn, cạnh của đa giác
Phương pháp giải
+ Dựa vào tính chất các đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn.
+ Dựa vào định lý Py-ta go, các hệ thức lượng trong tam giác để tính tốn.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác
ABC.
Hướng dẫn giải

Trang 4


Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC và O là giao điểm của AM, BP, CN.
Vì ABC là tam giác đều nên OA OB OC hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mặt khác ta có OM ON OP hay O cách đều ba cạnh của tam giác.
Vậy O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Xét tam giác vng AMB có
2

3a 2
a 3
a
AB AM  MB  a AM     AM 2 
 AM 
.
4
2

 2
2

2

2

2

2

2
a 3
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: R OA  AM 
.
3
3
1
a 3
Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC là: r OM  AM 
.
3
6
Ví dụ 2. Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (O;R). Tính độ dài các cạnh của hình vng theo R.
Hướng dẫn giải

Vì (O) ngoại tiếp hình vng ABCD nên O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Theo giả thiết ta có OA OB OC OD R.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAB có
OA 2  OB2 AB2  AB2 R 2  R 2 2R 2  AB R 2.

Vậy cạnh của hình vng có độ dài là R 2.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O)
song song với BC bị AB, AC cắt thành đoạn thẳng MN = 2,4 cm. Tính độ dài BC.
Hướng dẫn giải

Trang 5


Gọi D, E, F là tiếp điểm của (O) với AB, AC, BC.
Ta có AD AE, BD BF, CE CF nên
AD  BF  CE 

1
1
 AB  BC  CA   .20 10  cm  .
2
2

Đặt BC x, AD y ta có x  y 10  1 .
Vì MN / /BC nên ta có AMN ABC.
Suy ra

MN chu vi AMN

.
BC chu vi ABC

Mặt khác chu vi tam giác AMN là: AM  AN  MN AD  AE 2AD 2y.
Khi đó

2, 4 2y
  xy 24  2  .
x
20

 x 6
2
.
Từ (1) và (2) suy ra x  10  x  24  x  10x  24 0  
 x 4
Vậy độ dài cạnh BC là: 6 cm hoặc 4 cm.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Xác định bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp lục giác đều cạnh a.
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
Tính tỉ số

AB  AC  BC
.
r

Bài tập nâng cao
Câu 3: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 18cm. Một tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác cắt
các cạnh AB và AC ở M và N. Tính diện tích tam giác AMN biết MN = 8cm .
Câu 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R), biết AB 8cm, AC 18cm, đường cao
AH 6cm (H nằm bên ngồi cạnh BC). Tính bán kính của đường trịn.
Dạng 2: Tính độ dài của dây căng cung
Phương pháp giải
- Nếu cung đã cho căng một dây là cạnh của một

Ví dụ: Trên đường trịn bán kính R lần lượt đặt

đa giác đều n cạnh thì ta tính độ dài của cạnh này

theo cùng một chiều, kể từ A, ba cung AB, BC,

180o
theo công thức: a 2R.sin
n

CB sao cho
 60o ,sđBC
 90 o và sđCD
 120 o.
sđAB

- Áp dụng định lí Py-ta-go hoặc hệ thức giữa cạnh
và góc trong tam giác vng để tính dây căng cung
90°.

Trang 6


Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
Hướng dẫn giải
 60o nên OAB là tam giác đều.
- Vì sđAB
Do đó AB = R.
 sđAD
 90o nên BC và AD là các

- Vì sđBC
cạnh của một hình vng nội tiếp, do đó
BC AD R 2.
 120o nên CD là cạnh của một tam
- Vì sđCD
giác đều nội tiếp, do đó CD R 3.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A trên đường tròn này vẽ các cung AB và AC sao cho
 30o ,sñAC
 90 o (điểm A nằm trên cung nhỏ BC). Tính các cạnh của ABC và diện tích của nó.
sđAB
Hướng dẫn giải

o
  sđAC  90 45o.
Ta có B
2
2

o
  sđAB  30 15o.
C
2
2

Suy ra sñBAC
30  90  120 .
Do đó BC là cạnh của một tam giác đều nội tiếp. Vậy BC R 3.
 90o nên AC là cạnh của một hình vng nội tiếp.
Vì sđAC

Vậy AC R 2.

Vẽ đường cao AH ta được AH AC.sin C R 2 sin15o.
Xét tam giác vng HAB có:
AB 

AH
AH. 2 R 2 sin15o. 2 2R sin15o.
o
sin 45

Trang 7


1
1
6
Diện tích ABC là S  AH.BC  R 2 sin15o.R 3 R 2
sin15o.
2
2
2
Ví dụ 2: Cho đường trịn (O;R). Cho dây BC R 3. Lấy A thuộc cung nhỏ BC sao cho BA R 2. Vẽ
AH  BC. Tính AH; AC.

Hướng dẫn giải
R 3
Vẽ OI  BC, ta có BI CI 
.
2

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: OI 2 OB2  BI 2 R 2 

3R 2 R 2
 .
4
4

R
1

Suy ra OI  . Suy ra OI  BO. Vậy IBO
30o.
2
2


Ta có: BO 2  OA 2 2R 2 AB2 nên OAB vng, do đó BOA
90 .


Mà OA OB nên OAB vng cân, do đó OAB
ABO
45 .



ABC
ABO
 CBO
45  30 15 .


Xét ABH có AH AB.sin ABC
R 2 sin15o.
1

Mà ACB
 AOB
hệ quả góc nội tiếp  45o.

2
Suy ra AHC vng cân, do đó AH = HC.
Áp dụng định lí Py-ta-go trong AHC, ta có:
AC2 AH 2  HC2  AC AH. 2 R 2 sin15o. 2 2R.sin15o.
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1: Một đường trịn có bán kính R
a) Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường trịn đó theo R.
b) Tính diện tích hình vng nội tiếp đường trịn đó theo R.
c) Tính diện tích lục giác đều nội tiếp đường trịn đó theo R.

Trang 8


Câu 2: Trên một đường trịn bán kính R, ta lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ một điểm A, một cung
 60 rồi một cung BC
 90 và một cung CD
 120 . Tứ giác ABCD là hình gì? Chứng minh hai
AB
đường chéo của nó vng góc với nhau. Tính các cạnh và đường chéo của tứ giác ABCD theo R.
Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho đường tròn (O;R), S là điểm sao cho OS 2R. Vẽ cát tuyến SCO đến đường tròn (o). Lấy C,
D thuộc đường trịn (O). Biết CD R 3 . Tính SC và SD theo R.
 120 . Điểm A di động trên cung lớn BC.
Câu 4: Cho đường tròn (O; R), BC là dây cung cố định, sđBC
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.
ĐÁP ÁN
Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường trịn, cạnh của đa giác
Bài tập cơ bản
Câu 1.
Gọi O là tâm của lục giác đều ABCDEF.
Khi đó O vừa là tâm đường trịn nội tiếp, vừa là tâm đường tròn
ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF.
Ta có OA OB OC OD OE OF AB a.
Do đó bán kính đường trịn ngoại tiếp là R a.
Xét tam giác đều OAB cạnh a có đường cao OI 

a 3
.
2

Vậy bán kính đường trịn nội tiếp lục giác đều ABCBEF là r 

a 3
.
2

Câu 2.
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và E, G, H theo thứ tự là điểm tiếp xúc của đường tròn
với các cạnh AB, CA, AB .
Suy ra AH AG, BH BE, CE CG.

 H
 G
 90 và AH AG nên AHOG
Tứ giác AHOG có A
là hình vng.
Suy ra AH AG r.
Ta có

AB  AC  BC AH  BH  AG  CG   BE  CE 

r
r


Vậy

AH  AG 2r
 2.
r
2

AB  AC  BC
2.
r

Trang 9


Bài tập nâng cao
Câu 3

Gọi (O;r) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và E,
F là điểm tiếp xúc của đường trịn với cạnh AC, AB.
Ta có AE AF, NE NI, MF MI.
Vì tam giác ABC đều nên bán kính đường trịn nội tiếp
1
1 AB 3
tam giác là r  .BE  .
3 3  cm  .
3
3
2
Xét OEN và OIN có NE NI r; NE NI (chứng
minh trên); NO là cạnh chung.
Suy ra OEN OIN  c  c  c  .
Chứng minh tương tự ta có OMI OMF.
1
2
Suy ra SOENMF SOENI  SOIMF 2SONI  2SOMI 2SOMN 2. OI.MN 3 3.8 24 3  cm  .
2
1
1
2
Diện tích tứ giác AEOF là SAEOF 2SAEO AE.OE  AC.OE  .18.3 3 27 3  cm  .
2
2
2
Vậy SAMN SAEOF  SOENMF 27 3  24 3 3 3  cm  .

Câu 4.
Kẻ đường kính AD.

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) nên


ADC
 ABC
180 .


Mặt khác ABH
 ABC
180 .


Do đó ABH
ADC.


Xét hai tam giác vng ABH và ADC có ABH
(chứng
ADC.
minh trên).
Suy ra ABH ADC  g  g  .


AH AB
6
8




 R 12  cm 
AC AD
18 2R

Vậy R 12  cm  .
Dạng 2: Tính độ dài của dây căng cung
Bài tập cơ bản
Câu 1.

Trang 10


a)

R

Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều, ta có:

a
 a 2R sin 60o R 3.
180o
sin
3





2
R 3

Khi đó diện tích của tam giác được cho bởi: S  a 3 
4
4

b) Gọi a là độ dài cạnh hình vng, ta có:

R

2

3


3R 2 3
.
4

a
 a 2R.sin 45o R 2.
o
180
2sin
4



Khi đó diện tích hình vng được cho bởi: S a 2  R 2



2

2R 2 .

c) Diện tích S của lục giác đều gồm 6 tam giác đều có cạnh bằng R.
Do đó S 6.

R 2 3 3R 2 3

.
4
2

Câu 2.







o
Ta có sđAD 360  sđAB  sđBC  sđCA



360   60  90  120  90
 AD BC.




 ACD
BAC
 AB / /CD.
Suy ra ABCD là hình thang mà tứ giác ABCD nội tiếp đường
tròn (O;R) nên ABCD là hình thang cân.
Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
  sñCD

sñAB

Suy ra sđAIB

90o. Vậy AC  BD.
2
 60o
Ta có AB là dây cung của (O;R) và sñAB
Suy ra AB là cạnh của lục giác đều nội tiếp (O;R)  AB R.
 90o
Ta có BC là dây cung của (O;R) và sđBC
Suy ra BC là cạnh của hình vng nội tiếp (O;R)  BC R 2. Do đó: AD BC R 2.
 120o
Ta có CD là dây cung của (O;R) và sđCD
Suy ra CD là cạnh của tam giác đều nội tiếp (O;R)  CD R 3.
1 


Ta có sđBAC
 sđBC
45o. Khi đó AIB vng cân tại I (vì I 90o ; BAI

45o ).
2
Suy ra AI IB 

AB 2 R 2

.
2
2

Trang 11


Tương tự DIC vuông cân tại I  IC 
Ta có BD AC AI  IC 

DC 2
2 R 6
R 3

.
2
2
2

R 2 R 6 R 2


1 3 .
2

2
2





Bài tập nâng cao
Câu 3.
Vẽ OH  CD, H  CD.
Ta có: CD R 3  CD là cạnh của tam giác đều nội tiếp

(O; R)  COD
120 .

Do đó: HOC
60 .
Ta có HOC là nửa tam giác đều nên
OH 

OC R
R 3
(vì OH  CD).
 , DH HC 
2
2
2

 90o nên
HOS có H

R 2 15R 2
15R
OS OH  SH  SH OS  OH  SH 4R 

 SH 
.
4
4
2
2

2

2

2

2

2

2

2









3 51
Ta có SC SH  HC  15R  R 3 
R;
2
2
2
SD SH  HD 

3 5 1
15R R 3


R.
2
2
2

Câu 4.
Hạ OM  BC, AH  BC  H, M  BC  .
 120o  BOC


Ta có sđBC
120 o  MOC
60 o
Xét tam giác OMC vng tại M có
R


OM OC.cos MOC
R.cos 60 o  OM  .
2
BC 2MC 2 OC 2  OM 2  BC R 3.
Xét ba điểm A, O, M ta có: AM OA  OM.
Mà AH AM.
Do vậy: AH R 

R 3R

nên
2
2

1
3 3R 2
(không đổi
SABC  AH.BC 
2
4
Dấu " = " xảy ra  H M và O nằm giữa A và M  A là điểm chính giữa cung lớn BC.
Trang 12


Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là

3 3R 2
.
4

Trang 13