Bài 9 độ dài đường tròn

CHUYÊN ĐỀ
BÀI 9: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được cơng thức tính độ dài đường trịn.
+ Trình bày được cách tính độ dài cung trịn.
 Kĩ năng
+ Vận dụng được cơng thức tính độ dài đường trịn, độ dài cung trịn.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường trịn)
Độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) C của một đường trịn bán kính
R được tính theo cơng thức: C 2 R hoặc C  d (với d 2R).

2. Công thức tính độ dài cung trịn
Trên đường trịn bán kính R, độ dài  của một cung no được tính theo

 Rn
.
công thức:  
180

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính độ dài đường trịn, độ dài cung trịn
Phương pháp giải
Ví dụ:
a) Tính độ dài cung 60° của một đường trịn có
bán kính 3dm
b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 600
Vận dụng các cơng thức tính độ dài đường trịn
(chu vi đường trịn) và cơng thức tính độ dài cung
trịn để tính tốn.

mm.
Hướng dẫn giải
a) Ta có n  60 , R 3dm nên độ dài cung
tròn là
l

 Rn  .3.60

  dm  ;
180
180

Trang 1


b) Ta có d 600  mm  nên chu vi vành xe đạp
là C  d 600  mm  6  dm  .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Một dây AB chia đường tròn (O;R) thành hai cung mà cung này gấp ba lần cung kia.
a) Tính số đo và độ dài cung lớn.
b) Tính các góc của tam giác OAB.
c) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
Hướng dẫn giải
a) Gọi số đo cung nhỏ là x
Gọi số đo cung lớn là y
Theo bài ra ta có hệ phương trình
 x 90o
 x  y 360o
 


o
 y 270
 y 3.x
Vậy số đo cung lớn là 270° và độ dài cung lớn là

 .R.270 3 R

.
180
2

 x 90o
b) Ta có AOB
sđAB



Áp dụng định lí tổng ba góc trong AOB ta có: AOB
 OAB
 OBA
180


Mà AOB cân tại O (OA OB R ) nên OAB
OBA.



Từ đó AOB

90o ; OAB
OBA
45o
c) Kẻ OH  AB  H  AB .
1
Mà AOB vuông cân tại O (theo chứng minh trên) nên ta có OH  AB (tính chất) và
2
AB2 OA 2  OB2 2R 2 (định lí Py-ta-go).
Do đó OH 

R 2
.
2

Ví dụ 2. Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD).
Trang 2


Nối AC và BD cắt nhau tại K.
a) Tìm tỉ số đồng dạng của KCD với KBA .

b) Cho ABC
30 , tính độ dài cung nhỏ AC.
Hướng dẫn giải
 chung;
a) Xét KCD và KBA ta có K



(cùng bù ACD

)
KCD
KBA
Suy ra KCD KBA  g.g 


CD R 1


AB 2R 2

Tỷ số đồng dạng là:

CD R 1


AB 2R 2

R


b) ABC
30o  AOC
60o  l AC

.

3
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho đường trịn tâm (O), bán kính R = 3cm. Tính
a) Độ dài đường trịn.
b) Độ dài cung trịn có số đo là 30°, 60°, 120°.
Câu 2: Trong đường trịn (O;R), tính theo R độ dài cung nhỏ và cung lớn tạo bởi dây AB biết:
a) AB R 2.

b) AB R 3.

Bài tập nâng cao
ˆ 60 . Đường trịn tâm I, đường kính AB cắt
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB 5cm, B
BC ở D.
a) Chứng minh rằng AD vng góc với BC.
b) Gọi K là trung điểm của AC. Chứng minh rằng đường trịn tâm K đường kính AC đi qua D.
c) Tính độ dài cung nhỏ BD.
Câu 4: Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC  OA.
Biết độ dài đường tròn (O) là 4π cm. Tính:π cm. Tính:
a) Bán kính đường trịn (O).
b) Độ dài hai cung BC của đường tròn.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Vẽ ra phía ngồi tứ giác này bốn nửa đường trịn có
đường kính lần lượt là bốn cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng tổng độ dài của hai nửa đường tròn có
đường kính là hai cạnh đối diện bằng tổng độ dài hai nửa đường tròn kia.
Câu 6: Cho đường tròn (O;R) với dây cung BC cố định. Điểm A thuộc cung lớn BC. Đường phân giác

của BAC
cắt đường tròn (O) tại D. Các tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại C và D cắt nhau tại E. Tia
CD cắt AB tại K, đường thẳng AD cắt CE tại I.
a) Chứng minh BC // DE.
Trang 3

b) Chứng minh AKIC là tứ giác nội tiếp.
c) Cho BC R 3 . Tính theo R độ dài cung nhỏ BC của đường tròn (O;R).
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì trên BC. Trên AB, AC lần lượt lấy D, E sao cho
BM = BD,CM = CE. Tìm vị trí của điểm M trên BC để độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác MDE nhỏ
nhất. Chứng minh khi đó đường trịn ngoại tiếp tam giác MDE là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 8: Cho K là điểm chuyển động trên đường trịn tâm O đường kính MN. Tìm vị trí điểm K để chu vi
MNK đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 2: So sánh độ dài của hai cung
Phương pháp giải
Tính độ dài của mỗi cung theo bán kính đường

Ví dụ: Cho đường trịn (O) bán kính OM. Vẽ

trịn và theo số đo của cung rồi so sánh các kết

đường trịn tâm O , đường kính OM. Một bán kính

quả.

OA của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') ở B.


Chứng minh MA
có độ dài bằng nhau.
và MB
Hướng dẫn giải
1

 MO

' B (góc nội tiếp bằng nửa góc
Ta có MOB
2
ở tâm cùng chắn một cung).

 B 2n  ,
Giả sử MOB
n  thì MO

 2n o .
suy ra sđMA
n o ; sđMB

 .OM.n

Ta có I MA
 1

180
I MB



 .OM.2n  .OM.n

 2   vì OM 2OM  .
180
180

I MB

Từ (1) và (2) suy ra I MA


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Chứng minh rằng độ dài của nửa
đường trịn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường trịn đường kính AB và BC.
Hướng dẫn giải
Gọi C1 , C2 , C3 lần lượt là độ dài của các nửa đường trịn đường
kính AC, AB và BC.
Ta có C1  .AC; C2  .AB; C3  .BC
 C2  C3   AB  BC   .AC C1.
Vậy C1 C2  C3 .

Trang 4π cm. Tính:


Ví dụ 2. Một tam giác đều và một hình vng có cùng chu vi là 72 cm. Hỏi độ dài đường trịn ngoại tiếp
hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 72 : 3 24π cm. Tính:  cm  .
Độ dài mỗi cạnh của hình vng là 72 : 4π cm. Tính: 18  cm  .
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là
R1 

24π cm. Tính:
8 3  cm  .
2sin 60o

Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng là
R2 

18
9 2  cm  .
2sin 4π cm. Tính:5o

Vì 8 3  9 2 nên R 1  R 2 , do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp
tam giác đều lớn hơn độ dài đường trịn ngoại tiếp hình vng. Hiệu
các độ dài đó là
C1  C 2 2 ( R 1  R 2 ) 2 (8 3  9 2 )  cm  .

Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hình dưới: So sánh độ dài của cung AmB
với độ dài đường gấp khúc AOB.

Câu 2: Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AB R 3; AC R 2 sao cho AO nằm giữa hai tia AB;
AC. So sánh độ dài cung nhỏ AB, AC và BC.
Bài tập nâng cao
Câu 3: Cho đường tròn (O;R).
 là
a) Tính góc AOB biết độ dài cung AB

R
.
4π cm. Tính:

b) Trên cung lớn AB, lấy điểm C sao cho AOC là tam giác đều và AC cắt đoạn OB. Tính độ dài
cung lớn AC và BC.

Trang 5


Câu 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm C và D (C nằm giữa A và D). Vẽ các
nửa đường trịn đường kính AC, CD, DB. Chứng minh tổng độ dài của ba nửa đường tròn này bằng độ
dài của nửa đường tròn đường kính AB.
ĐÁP ÁN
Dạng 1. Tính độ dài đường trịn, độ dài cung tròn
Câu 1.
a) Độ dài đường tròn C 2 R 6  cm  .

 R30o 
b) Độ dài cung trịn có số đo 30° là I 
  cm  .
180o
2
 R60o
Độ dài cung trịn có số đo 60° là I 
  cm  .
180o
 R120o
Độ dài cung trịn có số đo 120° là I 
2  cm  .
180o
Câu 2.
a) Ta có AB là dây cung của đường tròn (O;R) và AB R 2, suy ra AB là cạnh của hình vng nội


tiếp đường trịn (O;R). Gọi cung nhỏ và cung lớn tạo bởi dây AB lần lượt là AmB;
AnB.


 nB 360  90 270
Do đó sđAmB
90o và sđ A

Do đó I AB


 R90  R

(đvđd).
180
2

 R270 3 R
(đvđd).
I ABlớ



n
180
4
b) Ta có AB là dây cung của đường tròn (O;R) và AB R 3 , suy ra AB là cạnh của tam giác đều nội


tiếp đường tròn (O;R). Gọi cung nhỏ và cung lớn tạo bởi dây AB lần lượt là AmB;
AnB.

 nB 360  120 240 .

Khi đó sổ sđAmB
120o và sđ A

Do đó: I AB


 R120 2 R

(đvđd).
180
3

 R240 4 R
(đvđd).
I ABlớ



n
180
3
Câu 3.

a) Ta có: BDA
90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy ra
AD  BC (điều phải chứng minh).

1
b) ADC vuông tại D, suy ra DK  AC (tính chất tam giác vuông).
2

Trang 6


 AC 
Do đó D   K;
 (điều phải chứng minh).
2 

 60o nên IBD đều  BID

c) IBD cân tại I có B
60o
5
 . .60 5
 2
   cm  .
180
6

 I BD

Câu 4.

a) 2 R 4π cm. Tính:  R 2  cm 


b) AOB
60o (vì OAB đều) BOC
120o

 .R.120 4
8
 I BCnhoû

   cm  ; I BClớ
   cm  .


n
180
3
3
Câu 5.
Gọi M; N; P; Q lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB; BC; CD; DA với đường tròn.
Đặt AM QA a; MB NB b; NC PC c; PD QD d.
Gọi

C AB C CD C AD  C BC 
lần lượt là nửa chu vi đường trịn
;
;
;
2
2
2
2

đường kính AB; CD; AD; BC, khi đó ta có:
C AB

2



2 .


C AB
2



a b
cd
2 .
C
2 ;  CD  
2
2
2
2

C CD
2

2 .


a b cd
2

2

Tương tự ta có



C AD 
2



C BC 
2

2 .


a bc d
(điều phải chứng minh).
2
2

Câu 6.


a) AD là phân giác của BAC,
suy ra D là điểm chính giữa BC
 OD  BC.
Mà DE là tiếp tuyến nên DE  OD

 1
 2

Từ (1); (2) ta có BC / /DE (điều phải chứng minh).
1 



b) ECD
suy ra AKIC là tứ giác nội
 sñCD
DAC
BAD,
2
tiếp (điều phải chứng minh).

Trang 7


c) HC 

R 3


 HOC
60o  BOC
120o
2
 I BC




 .R.120 2
  R.
180
3

Câu 7.
+) Xác định vị trí điểm M:
Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp DEM.
Khi đó O là giao điểm 3 đường trung trực của DEM .
Vì hai tam giác BMD và CME là tam giác cân nên ta chứng
minh được O là giao điểm hai đường phân giác của góc B và
góc C của tam giác ABC, suy ra O cố định.
Độ dài đường tròn ngoại tiếp DEM là C 2 OM.
Do đó C nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất hay OM vuông góc với BC, M là trung điểm của BC.
+) Chứng minh khi đó đường trịn ngoại tiếp tam giác là đường trịn nội tiếp tam giác:
Khi đó A, O, M thẳng hàng nên BO là tiếp tuyến của đường tròn (O;OM)
Mà BM = BD; CM = CE nên AB, AC cũng là tiếp tuyến của đường trịn (O;OM) (tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau).
Vậy khi đó đường trịn ngoại tiếp tam giác DME là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 8.
Chu vi KMN là CKMN MN  KM  KN, trong đó MN khơng đổi nên chu vi KMN đạt giá trị lớn
nhất phụ thuộc vào vị trí điểm K để KM + KN đạt giá trị lớn nhất. Có thể tư duy theo hướng: trong tất
cả các tam giác vng có cạnh huyền bằng nhau thì tam giác vng cân có chu vi lớn nhất hoặc mở
rộng hơn trong tất cả các hình chữ nhật có cùng đường chéo thì hình vng có chu vi lớn nhất.
Áp dụng định lý Py-ta-go trong KMN vng tại K ta có:
KM 2  KN 2 MN 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
(1.KM  1.KN) 2  12  12   KM 2  KN 2  2MN 2

 KM  KN  2MN 2 2R 2.
Do đó KM + KN đạt giá trị lớn nhất bằng 2R 2 khi KM KN.

Khi đó K là điểm chính giữa MN
Dạng 2. So sánh độ dài của hai cung
Câu 1.

Ta có I AmB


 .R.120 2 R

 1
180
3

Độ dài đường gấp khúc AOB là: d OA  OB 2R.  2 
Trang 8


Vì   3 


 1 3
3

 d.
Từ (1), (2) và (3) suy ra I AmB

Câu 2.

Ta có AB là dây cung của đường tròn (O;R) và AB R 3, suy ra AB là cạnh của tam giác đều nội
tiếp đường trịn (O;R), suy ra
 AOB

sđAB
120o.  1
Ta có AC là dây cung của đường tròn (O;R) và AC R 2,
suy ra AB là cạnh của hình vng nội tiếp đường trịn (O;R),
 AOC

90o.
suy ra sđAC
 360
 1 ;  2   sđBC

Do đó: I AB

I AC



o

 2





  sñAC


 sñAB
150 o.

 R120 2 R

(đvđd).
180
3

 R90  R

(đvđd).
180
2

 R150 5R
I BC


(đvđd).

180
6
 I BC
 I AB
Vậy I AC


 .

Câu 3.
a) Gọi x là số đo cung nhỏ AB, ta có:

 R  Rx


 x 4π cm. Tính:5  AOB
4π cm. Tính:5o.
4π cm. Tính:
180
 60o nên số đo cung lớn AC là 300°
b) Vì sđAC

Do đó I AC


 R300 5 R

180
3

 60o  45 105 nên số đo cung lớn BC là 255°
Ta có sđBC
 I BC



 R255 17 R

.

180
12

Câu 4.
Gọi C1 , C 2 , C3 , C 4π cm. Tính: lần lượt là độ dài của nửa đường trịn đường kính AC, CD, DB và AB.
Ta có:

Trang 9


C1 

 .AC
 .CD
 .DB
; C2 
; C3 
2
2
2

 C1  C 2  C3 



 AC  CD  DB   .AB C4π cm. Tính: .
2
2

Vậy C1  C2  C3 C4π cm. Tính: .

Trang 10