Chuyên đề hình học oxy ôn thi học sinh giỏi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (985 KB, 63 trang )
CHUN ĐỀ HÌNH HỌC Oxy ƠN THI HỌC SINH GIỎI
I – LÝ THUYẾT BỔ TRỢ
Phương trình đường thẳng
0 được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của véctơ n vng góc
Véctơ n
với .
0 được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của véctơ u song song
Véctơ u
hoặc trùng với .
M x ;y
Đường thẳng đi qua 0 0 nhận véctơ n A; B làm
véctơ pháp tuyến có phương trình : Ax By Ax0 By0 gọi
phương trình tổng quát của đường thẳng .
là
M x0 ; y0
Đường thẳng đi qua
nhận véctơ u a; b làm
x x0 at
t R
véctơ chỉ phương có phương trình y y0 bt
gọi là
phương trình tham số của đường thẳng .
Cho hai đường thẳng 1 : a1 x b1 y c1 0 và 2 : a2 b2 y c2 0 . Tọa độ giao điểm của hai
a1 x b1 y c1 0
1
a2 x b2 y c2 0.
1
2
đường thẳng
và
là nghiệm của hệ phương trình
Nếu hệ (1) có nghiệm duy nhất
x0 ; y0
thì hai đường thẳng cắt nhau tại
Nếu hệ (1) vơ số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau.
Nếu hệ (1) vơ nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau.
Phương trình đường trịn.
Đường trịn
trình
x a
2
C
tâm
C : x a
bán kính R 0 có phương
2
y b R2 .
Cho đường thẳng
2
I a;b
2
y b R2 .
: Ax By C 0
và đường tròn
C
Tọa độ giao điểm của và là
nghiệm của hệ phương trình
2
2
2
x a y b R
Ax By C 0
2
Nếu hệ (2) có hai nghiệm phân biệt thì cắt (C) tại hai điểm khác nhau.
Nếu hệ (2) có nghiệm kép thì tiếp xúc với (C).
C .
Nếu hệ (2) vô nghiệm thì khơng cắt
A x0 ; y0 .
II – CÁC VÍ DỤ
1. Tam giác
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, AB 2 BC . Gọi D là
trung điểm của AB, E nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AC 3EC. Biết phương trình đường
16
E ;1
thẳng chứa CD là x 3 y 1 0 và điểm 3 . Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
Giải:
BA EA
Gọi I BE CD . Ta có BC EC nên E là chân phân giác trong góc B của tam giác ABC. Do
CBE
450 BE CD
đó
.
Phương trình đường thẳng BE là: 3 x y 17 0 .
3 x y 17 0
x 5
I (5;2)
x
3
y
1
0
y
2
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ
BI CI
Ta có
BC
1
BC 5
BC
, CE AC
IE
IB 3IE
3
3
2
3 2
Từ đó, tìm được tọa độ điểm B(4;5)
Gọi C(3a-1; a), ta có:
a 1
BC 2 BI 2 5 (3a 5) 2 (a 5) 2 20 10a 2 40a 30 0
a 3
Với a =1, ta có: C(2;1), A(12;1). Với a = 3, ta có: C(8;3), A (0; -3).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp
đường tròn tâm I. Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
7 5 13 5
M 1; 5 , N ; , P ;
2 2 2 2 (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác
tại các điểm
ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm
có hồnh độ dương.
Giải:
Q 1; 1 và điểm A
A
N
P
I
K
C
B
M
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập được
2
2
phương trình này là: x y 3x 29 0
3
K ; 0
Suy ra tâm K của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ là 2 .
5
nAB KP 2; 1
2
Do AB KP nên AB có vectơ pháp tuyến là: t
.
Suy ra phương trình
AB : 2 x 1 1 y 1 0 2 x y 3 0
.
Do đó, tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trình:
2 x y 3 0
2
2
x y 3 x 29 0
y 2 x 3
2
x 3x 4 0
x 1, y 5
x 4, y 5
5
n
AC KN 2;1
A 1;5 , B 4; 5
2
Suy ra
. Do AC KN nên AC có vectơ pháp tuyến là
Suy ra phương trìn
AC : 2 x 1 y 5 0 2 x y 7 0
.
Khi đó, tọa độ A, C là nghiệm của hệ phương trình:
2 x y 7 0
y 2 x 7
2
2
2
x y 3x 29 0
x 5 x 4 0
Từ đây suy ra
Vậy
C 4; 1
x 1, y 5
x 4, y 1
.
.
A 1;5 , B 4; 5 C 4; 1
,
.
I ( 4;2)
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc A nhọn, điểm
là trung điểm đoạn BC , điểm A nằm trên đường thẳng d : 2x - y - 1 = 0. Dựng bên ngồi
ABD, ACE vng cân tại A. Biết phương trình đường thẳng
DE : x - 3y + 18 = 0 và BD = 2 5 điểm D có tung độ nhỏ hơn 7 . Xác định tọa độ các điểm
A, B,C .
tam giác ABC các tam giác
Giải:
Ta có:
2AI .DE = AB + AC AE - AD
= AB .AE - AC .AD
= AB .AE .cosBAE
- AC .AD.cosCAD
=0
(
)(
E
)
D
A
Þ AI ^ DE
J
Phương trình đường thẳng AI :
3( x - 4) + y - 2 = 0 Û 3x + y - 14 = 0
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ
ïìï 3x + y - 14 = 0 ïìï x = 3
Û í
Þ A ( 3;5) .
í
ïï 2x - y - 1 = 0
ïï y = 5
ỵ
ỵ
BD = 2 5 Þ AD = 10 . Gọi D ( 3a - 18;a) ta có
B
I
C
é
êa = 38 ( loai )
2
AD = 10 Û ( 3a - 21) + ( a - 5) = 10 Û 10a - 136a + 456 = 0 Û ê
5
ê
a
=
6
ê
ë
2
2
a = 6 Þ D ( 0;6)
A ( 3;5)
Đường thẳng AB đi qua
, vectơ pháp tuyến là
- 3( x - 3) + y - 5 = 0 Û 3x - y - 4 = 0
Gọi tọa độ điểm
B ( b;3b- 4)
AD = ( - 3;1)
có phương trình
ta có
é
b= 4
2
2
AB = 10 Þ ( b - 3) + ( 3b - 9) = 10 Û ê
ê
b=2
ê
ë
b = 4 Þ B ( 4;8) Þ C ( 4;- 4)
Với
, loại do góc BAC tù.
b = 2 Þ B ( 2;2) Þ C ( 6;2)
Với
, thỏa mãn.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , phương trình
đường thẳng AB, AC lần lượt là 5x - y - 2 = 0, x - 5y + 14 = 0. Gọi D l trung im ca
ổ
ử
9 8ữ
Mỗ
; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố5 5ữ
ứ l hỡnh chiu vng góc của D trên BE . Tìm tọa độ
BC , E là trung điểm của AD,
các điểm A, B,C .
Giải: Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình:
A
E
M
ïìï 5x - y - 2 = 0
ïì x = 1
Û ïí
Þ A ( 1;3) .
í
B
ïï x - 5y + 14 = 0 ïï y = 3
ỵ
ỵ
Cách 1: Xét hai tam giác AEM và CDM
D
C
·
·
·
AEM
= 900 + EBD
= MDC
ME
ME
MD
MD
=
=
=
D MDE , D DBE
EA
ED
BD
CD ( Vì
là hai tam giác đồng dạng)
·
·
·
·
·
·
Þ AME
= CMD
Þ AME
+ CME
= CMD
+ CME
= 900 Þ CM ^ MA
Cách
2:
Ta
D MDE , D MBD
có
đồng
dạng
nên
ME
DE
·
·
MDE
= MBD
,
=
MD
BD
ME .BD = DE .MD
uuuu
r uuur
uuur uuur uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r uuur uuu
r
AM .CM = AE + EM CD + DM = AE .DM + EM .CD
·
·
= - DE .DM .cosMDE
+ EM .DB .cosMBD
=0
(
)(
hay
)
Do đó, AM ^ CM .
uuuu
r ỉ4 7ử
ổ
ử
9 8ữ
ữ
ữ
Mỗ
;
AM
=ỗ
;- ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
5
5
5
5ữ
ố
ứ
ố
ứ cú phng trỡnh
CM
ng thng
qua
, vect phỏp tuyn
ổ 9ữ
ử ổ 8ữ
ử
ỗ
ữ
ữ
4ỗ
x
7
y
= 0 4x - 7y + 4 = 0
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
5ữ
5ữ
ố
ứ ố
ứ
ỡù 4x - 7y + 4 = 0 ìï x = 6
ï
Û ïí
Þ C ( 6;4) .
í
ïï x - 5y + 14 = 0
ïï y = 4
ỵ
ỵ
Tọa độ điểm C thỏa mãn
B ( b;5b- 2)
Gọi
ta có
éb = 0
2
2
AB = AC Þ ( b - 1) + ( 5b - 5) = 26 Û ê
êb = 2
ê
ë
b = 0 Þ B ( 0;- 2)
thỏa mãn.
b = 2 Þ B ( 2;8)
loại do M nằm ngồi D ABC .
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE, CF cắt
nhau tại H(2;2), biết HE=3.Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC,biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d: x y 12 0 và khoảng cách từ A đến đường thẳng EF nhỏ nhất.
Giải:
Dễ thấy H không thuộc#d.Tọa độ của A(t;-t-12)
Vì tam giác ABC cân tại A nên
t∈R ..
HA=(t−2;−t−14)
AH ⊥ FE .Xét tam giác vng HAE ta có:
AE 2 = AH 2 −HE 2 =(t−2)2 +(t+14 )2−9=2 t 2 +24 t+191
AE 2 2t 2 +24 t+191
9
và d ( A , EF )=
= 2
=√2 t 2 +24 t +200−
AH √2 t +24 t +200
√2 t 2+24 t +200
¿ √ 2(t+6 )2 +128−
9
128−9 119 √2
=
2
16
8
2
√
√ 2(t+6 ) +128
≥
119 √ 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t =-6. K/c từ A đến EF nhỏ nhất bằng 16
khi A(-6;-6)
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vng cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và
D 1; 1
đường thẳng CD. Biết điểm
, đường thẳng IG có phương trình 6 x 3 y 7 0 và
điểm E có hồnh độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Giải:
B
H
E
K
G
A
F
C
I
D
Gọi K là trung điểm của BI, suy ra HK / / CD A là trung điểm của KI,
1
HK DI IC
2 ;
1
AK BK GK / / AC GK AB
GB GI GC hay G là tâm đường tròn đi qua ba
2
1
ID IC DE / / IG
o
CGI 2 IBC
2
90 ,
điểm C, I, B.
.
Phương trình đường thẳng DE là:
2 x y 1 0 E 1;3
CE IG . Suy ra phương trình CE : x 2 y 7 0 . Tọa độ của G là nghiệm của hệ phương
7
x
x 2 y 7 0
7 7
3
G ;
3 3
6 x 3 y 7 0
y 7
C 5;1
3
trình:
5
DG AG A 1;1 B 1;5
2
.
Vậy,
A 1;1 , B 1;5
và
C 5;1
.
Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (1;0) và
trực tâm H . Phương trình đường trịn đi qua ba trung điểm của ba cạnh HA , HB , HC là
2
2
5
1
25
x y
6
6
18 . Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
Giải:
- Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
- Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh HA, HB, HC.
+ CH IE và CH / / ME . Suy ra ME IE (1).
+ Tương tự, chứng minh được MF IF (2).
Từ (1) và (2) suy ra M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF.
- Tương tự, N và P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF.
Suy ra sáu điểm: M, N, P, I, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
Như vậy đường tròn qua I, E, F cũng qua ba trung điểm ba cạnh. Do đó, xét phép vị tự tâm G
tỉ số k 2 biến đường tròn (IEF) thành đường tròn (ABC)
5
5 1
R1
O1 ( ; )
6 6 bán kính
3 2.
Ta có đường trịn (IEF) có tâm
4 1
O2 ;
GO2 2GO1 , ta tìm được: 3 3 ,
Gọi O2 là tâm đường trịn (ABC) ta có:
bán kính
2
R2
5 2
3 . Khi đó phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là:
2
4
1 50
x y
3
3
9 .
Ví dụ 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường cao
AH : 3x y 8 0 và trung tuyến AM : 3x y 2 0 . Biết H , M thuộc đoạn BC , BAH
MAC
và BC 3 10 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC .
Giải:
Gọi N là trung điểm cạnh AB. Ta có: NH NA NAH NHA
Vì MN // AC NMA MAC
Mặt khác theo giả thiết MAC NAH NHA NMA . Suy ra A, M, H, N cùng thuộc một
0
0
đường tròn ANM AHM 90 BAC 90 .
1
3 10
AM BC
2
2
Vậy tam giác ABC vng tại#A.Từ đó ta có
A AM AH A 1;5
Ta có:
Vì
M AM : 3x y 2 0 M m;2 3m
AM
3 10
2
m 1
2
3m 3
2
1
m
3 10
3
2
m 1
2
2
m 5
2
1
1 1
m M ;
2
2 2 . Khi đó, BC qua M và BC AH BC : x 3 y 2 0
+) Với
m
+) Với
5
5 19
M ;
2
2 2 . Khi đó, BC qua M và BC AH BC : x 3 y 26 0 .
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là tam giác vuông, nội
tiếp trong đường trịn (I). Kẻ đường kính AM của đường trịn (I). Đường thẳng đi qua đỉnh
A, vng góc với BC và cắt đường trịn (I) tại điểm N (N khác A). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
biết rằng
M 5;3 , N 4; 4
, đường thẳng BC đi qua điểm
3 5
Q ;
2 2 và hoành độ điểm B lớn hơn 3.
Giải:
P 4; 2
, đường thẳng AC đi qua điểm
A
H
Q
I
B
K
P
E
C
M
N
Do
, kết hợp với AN vng góc BC suy ra BC song song với MN hay
đường thẳng MN có vtcp
x 4 y 2
BC :
x y 6 0
1
1
.
là
.
Vì AH vng góc với MN nên AH có vtpt là
1 x 4 1 y 4 0 x y 0
Do
đó,
phương
trình
đường
thẳng
nên phương trình đường thẳng AH:
.
Gọi K là giao điểm của AH và BC suy ra K là trung điểm HN và tọa độ K là nghiệm của hệ
phương trình:
x y 0
x 3
K 3;3
H 2;2
x y 6 0
y 3
. Kết hợp với K là trung điểm HN suy ra
.
Gọi E là trung điểm BC. Do tứ giác BHCM là hình bình hành nên E là trung điểm HM, suy ra
7 5
E ;
2 2.
Vì B thuộc đường thẳng BC nên
C 7 t ; t 1
B t ;6 t
. Kết hợp với E là trung điểm của BC suy ra
. Ta có
Do H là trực tâm tam giác ABC nên
t 5
2
4t 30t 50 0
t 5
2 , kết hợp với t 3 t 5 . Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là
B 5;1 , C 2; 4 , A 1;1
(A là giao của đường thẳng AH và AC).
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm của cạnh BC là
điểm
M 3; 1
E 1; 3
, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua điểm
thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm
F 1;3
và đường
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết rằng
D 4; 2
điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm
.
Giải:
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , ta chứng minh được BDCH là hình bình hành nên M là
H 2;0
trung điểm của HD suy ra
. Đường thẳng BH có vectơ chỉ phương là
EH 3;3
n BH 1; 1 BH : x y 2 0
vtpt là
.
A
H
F
O
E
B
C
M
D
n AC u BH 1;1 pt AC : x y 4 0
Do AC BH nên vtpt của AC là
Do AC CD nên vtpt của CD là
n DC u AC 1; 1 pt DC : x y 6 0
.
Do C là giao của AC và DC nên tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình
x y 4 0
x y 6 0
x 5
C 5; 1
y 1
B 1; 1
Do M là trung điểm của BC nên
. Vì AH vng góc với BC nên AH có vtpt là
BC 4;0 AH : x 2 0
Do A là giao điểm của AC và AH nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 0
x 2
A 2; 2
x y 4 0
y 2
.
A 2; 2 , B 1; 1 , 5; 1
Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là
.
Ví dụ 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Các
đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A,
E khác B, F khác C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng
6 17
D 2;1 , E 3; 4 , F ;
5 5 .
Giải:
E
A
B'
C'
F
B
H
A'
C
D
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp
nên FDA FCA ABE ADE H nằm trên đường phân giác trong hạ từ D của tam giác DEF,
tương tự ta cũng chỉ ra được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của tam giác DEF.
Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.
Ta lập được phương trình các đường thẳng DE, DF lần lượt là
DE : 3x y 5 0; DF : 3x y 7 0 . Do đó phương trình phân giác trong và ngoài của đỉnh
3x y 5
3x y 7
x 2 0; y 1 0
10
10
D là
. Kiểm tra vị trí tương đối của E, F với hai
đường trên ta được phân giác trong kẻ từ đỉnh D là
d : x 2 0 . Tương tự ta lập được phương trình phân giác trong kẻ từ đỉnh E là
H 2;3
d ' : x y 1 0
. Mặt khác H là giao của d và d’ nên
5 7
B ' ;
2 2 và có vtpt là
Ta có AC là trung trực của HE nên AC đi qua trung điểm
HE 1;1 AC : x y 6 0
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC vng cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và
đường thẳng CD. Biết điểm
D 1; 1
, đường thẳng IG có phương trình 6 x 3 y 7 0 và
điểm E có hồnh độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Giải:
B
H
E
G
K
A
F
C
I
D
Gọi K là trung điểm của BI, suy ra HK / /CD A là trung điểm của KI,
1
1
HK DI IC AK BK GK / / AC GK AB
GB GI GC hay G là tâm
2 ;
2
1
ID
IC DE / / IG
2
đường tròn đi qua ba điểm C, I, B. CGI 2 IBC 90 ,
.
o
Phương trình đường thẳng
DE:
2 x y 1 0 E 1;3
CE IG , suy ra phương trình CE : x 2 y 7 0 . Tọa độ của G là nghiệm của hệ phương trình
7
x
x 2 y 7 0
7 7
3
G ;
3 3
6 x 3 y 7 0
y 7
C 5;1
3
5
DG AG A 1;1 B 1;5
A 1;1 , B 1;5
C 5;1
2
. Vậy,
và
.
Ví dụ 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC khơng là tam giác vng, nội
tiếp trong đường trịn (I). Kẻ đường kính AM của đường trịn (I). Đường thẳng đi qua đỉnh
A, vng góc với BC và cắt đường tròn (I) tại điểm N (N khác A). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
biết rằng
M 5;3 , N 4; 4
, đường thẳng BC đi qua điểm
3 5
Q ;
2 2 và hoành độ điểm B lớn hơn 3.
P 4; 2
, đường thẳng AC đi qua điểm
A
H
I
B
K
P
E
C
M
N
Giải:
Q
0
Do ANM 90 AN MN , kết hợp với AN vng góc BC suy ra BC song song với MN hay
MN 1;1
đường thẳng MN có vectơ chỉ phương là
. Do đó phương trình đường thẳng
x 4 y 2
BC :
x y 6 0
1
1
.
MN 1;1
Vì AH vng góc với MN nên AH có vectơ pháp tuyếnlà
suy ra phương trình
đường thẳng AH:
1 x 4 1 y 4 0 x y 0
.
Gọi K là giao điểm của AH và BC thì K là trung điểm HN và tọa độ K là nghiệm của hệ phương
trình:
x y 0
x y 6 0
x 3
K 3;3
H 2;2
y 3
. Kết hợp với K là trung điểm HN suy ra
.
Gọi E là trung điểm BC, do tứ giác BHCM là hình bình hành suy ra E là trung điểm HM suy ra
7 5
E ;
2 2.
B t;6 t
Vì B thuộc đường thẳng BC nên
. Kết hợp với E là trung điểm của BC suy ra
2t 11 7 2t
CQ
;
, BH 2 t; t 4
C 7 t ; t 1
2
2
. Ta có
CQ. BH 0 2t 11 2 t 7 2t t 4 0
Do H là trực tâm tam giác ABC nên
t 5
4t 30t 50 0
t 5
2 , kết hợp với t 3 t 5 . Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
2
là
B 5;1 , C 2; 4 , A 1;1
(A là giao của đường thẳng AH và AC).
Ví dụ 14: Cho tam giác ABC vng cân tại C, AB = 10. Biết đường thẳng BC có phương trình
d1 : 7x y 31 0 và trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d 2 : x y 2 0 .Tìm tọa độ A,
B, C biết I có tung độ âm.
Giải:
C
d1
E
A
I
d2
5
B
Gọi E là trung điểm của BC ta có tam giác BEI vng cân tại E và có IB = 5 do đó EB = IE = d(I,
7x x 2 31 5 2
5 2
I(x; x 2) d(I,d1 )
2
50
2
BC) =
. Gọi
x 1
9 1
I( 1; 1) E( ; )
28
x
2 2
(loai)
4
B( 4;3)
C( 5; 4)
A(2; 5)
Gọi B(x ;7x+31) từ IB = 5
B( 5; 4)
C( 4;3)
A(3;2)
9 3
I ; ,
Ví dụ 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 2 2 có phương trình đường thẳng
BC là x 3 y 4 0. Gọi E , F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC thỏa
K 6;1
mãn EF 2 2, biết điểm
thuộc đường thẳng AC , diện tích AEIF bằng 5 và tung độ
điểm C âm. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Giải:
Cần chứng minh cho AI EF
Xét tứ giác AEIF có AI EF nên
A
1
5
S AEIF AI .EF IA R
2
2
Tọa độ điểm
C x; y
E
F
là nghiệm của hệ
I
x 3 y 4 0
2
2
9
3
25
x 2 y 2 2
hay
B
C 7; 1 B 1;1
A 4;5
Phương trình đường thẳng AC : 2 x y 13 0 . Suy ra
.
C
Ví dụ 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại#A. Điểm D là chân
đường phân giác trong góc A, các điểm M, N lần lượt là hình chiếu vng góc của D lên AB và
2
2
AC. Đường trịn (C ) có phương trình: x y 4 x 2 y 4 0 ngoại tiếp tam giác DMN. Gọi H
là giao điểm BN và CM, đường thẳng AH có phương trình
điểm A, B và C biết hoành độ của điểm A là số nguyên.
:3 x− y +10=0 . Tìm tọa độ các
Giải:
A
N
K I
M
H
F
E
B
C
D
A ∈(C )
Vì AMDN là hình vng nên
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
2 2
{ x +y +4x−2 y−4=0 ¿ ¿¿¿ ¿
¿
Gọi E,F là giao điểm BN với DM,của CM với DN. Vì AMDN là hình vng nên
MF AN MD ME ME
=
=
=
=
MC AC AC AN MD
NF NF ND AN
=
=
=
AN AM AB AB
⇒ EF // DC ⇒ EF // BC
⇒ Δ ANF và Δ BAN đồng dạng ⇒∠ ABN =∠ NAF ⇒ BN ⊥ AF
Tương tự CN ⊥ AE ⇒ H là trực tâm Δ AEF
⇒ AH ⊥ EF ⇒ AH ⊥ BC
Đưởng trịn (C) có tâm I(−2;1)
AMDN là hình vuông nên I là trung điểm của AD.
Đường thẳng BC ⊥ AH
Phương trình AD là:
nên BC có PT:
A (−2 ;4 ), I (−2;1 )⇒ D(−2 ; −2)
x+ 2+ 3( y +2)=0⇔ x+3 y +8=0
x=−2 ; MN ⊥ AD tại I nên phương trình MN là: y = 1
Tọa độ điểm M và N là nghiệm của hệ:
{ x 2+ y2+4 x−2 y−4=0 ¿ ¿¿¿
⇒ M (1; 1) và N (−5 ; 1) hoặc M (−5; 1) và N (1 ; 1)
Với M (1; 1) và N (−5 ; 1) . AM có PT là:
x+ y−2=0 ; AN có PT là: x− y +6=0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
{ x+3 y+8=0 ¿ ¿¿¿
{ x+3y+8=0¿¿¿¿
Với M (1; 1) và N (−5 ; 1) do vai trò của B và C như nhau nên
(
C−
Vậy B (7;−5) ,
13 1
;−
2 2
)
( 132 ;− 12 )
B−
hoặc
( 132 ;−12 )
B−
;
C ( 7;−5 )
, C(7;−5) .
Ví dụ 17: Cho tam giác ABC, điểm K nằm trên cạnh BC sao cho KB = 2KC và KAB 2 KAC , điểm
3 3
E 3;
2
là trung điểm cạnh BC, điểm M
3 3 3
;
2 2 là hình chiếu của B lên đường thẳng AK.
Biết rằng A nằm trên đường thẳng d : y 5 x và điểm I (0;5) thuộc đường thẳng chứa cạnh AC.
Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
Giải:
A
O
M
B
E
K
N
C
Chứng minh AC vng góc với EM.
Từ đó AC : x = 0 nên A(0, 0). Và C(0; y) nên
B 6;3 3 y
Do BM AM y 3 3 nên B(6;0) và C(0; 3 3 )
Ta được BC: 2 x 3 3 y 18 0 .
Ví dụ 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm của cạnh BC là
điểm
M 3; 1
E 1; 3
, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua điểm
và đường
thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm
F 1;3
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết rằng
D 4; 2
điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm
.
Giải:
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , ta chứng minh được BDCH là hình bình hành nên M
EH 3;3
H
2;0
là trung điểm của HD suy ra
. Đường thẳng BH có vtcp là
vtpt là
n BH 1; 1 BH : x y 2 0
.
A
H
F
O
E
B
C
M
D
Do AC BH nên vectơ pháp tuyến của AC là
n AC u BH 1;1 pt AC : x y 4 0
n DC u AC 1; 1 pt DC : x y 6 0
Do AC CD nên vectơ pháp tuyến của CD là
.
Do C là giao của AC và DC nên tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình
x y 4 0
x y 6 0
x 5
C 5; 1
y 1
Do M là trung điểm của BC nên
BC 4;0 AH : x 2 0
B 1; 1
. Vì AH vng góc với BC nên AH có vtpt là
Do A là giao điểm của AC và AH nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 0
x y 4 0
x 2
A 2; 2
y 2
.
A 2; 2 , B 1; 1 , 5; 1
Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là
.
Ví dụ 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (T) có
2
2
phương trình ( x−1) +( y−2 ) =25 . Các điểm K(-1 ; 1), H(2; 5) lần lượt là chân đường cao hạ
từ A, B của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh C có hồnh độ
dương.
Giải:
A
x
H
I
B
K
C
C
.
1
HCx
ABC
2 Sđ AC (1)
Ta có
0
Do AHB AKB 90 nên AHKB là tứ giác nội tiếp ABC KHC (cùng bù với góc AHK ) (2)
Từ (1) và (2) ta có HCx KHC HK // Cx .
Mà
IC ⊥Cx ⇒ IC ⊥ HK .
Do đó IC có vectơ pháp tuyến là
KH =(3;4)
, IC có phương trình 3 x+4 y−11=0
Do C là giao của IC và (T) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
{3 x+4 y−11=0¿¿¿¿ ⇒¿ { x=5 ¿ ¿¿
. Do
xC 0 nên C(5;−1)
Đường thẳng AC đi qua C và có vectơ chỉ phương là
CH=(−3;6)
nên AC có phương trình
2 x + y −9=0 .
Do A là giao của AC và (T) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
{2x+y−9=0¿¿¿¿ ⇒¿ {x=1¿¿¿
(loại). Do đó A(1;7)
Đường thẳng BC đi qua C và có vectơ chỉ phương là
CK=(−6;2)
nên BC có phương trình
x+3 y −2=0 .
Do B là giao của BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
{ x+3y−2=0¿¿¿¿ ⇒¿ {x=−4¿¿¿
(loại). Do đó B (−4;2)
Vậy A(1;7) ; B (−4;2) ; C(5;−1) .
Ví dụ 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3; –1).
Tọa độ điểm E(–1; –3) thuộc đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh B. Đường thẳng AC qua
F(1; 3). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có
đường kính AD với D(4; –2).
Giải:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC suy ra BDCH là hình bình hành
Suy ra M là trung điểm của DH suy ra H(2; 0).
* Đường thẳng AC đi qua F(1; 3) và nhận
HE ( 3; 3) làm vecto pháp tuyến nên PT:
1( x 1) 1( y 3) 0 AC : x y 4 0
Đường cao BH qua H và E nên phương trình
BH là x – y – 2 = 0.
* Gọi tọa độ B, C là: B(b; b 2), C (c; 4 c) .
Do M là trung điểm BC nên ta có hệ:
b c 6
b c 2 2
b 1
B(1; 1), C(5; 1)
c 5
* Đường cao AH đi qua H và vng góc BC nên
AH có phương trình x = 2.
x 2
x 2
A(2; 2)
x y 4 y 5
Tọa độ A thỏa hệ:
Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là
A(2; 2), B(1; 1), C(5; 1)
.
Ví dụ 21: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp
đường tròn tâm I. Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
7 5 13 5
M 1; 5 , N ; , P ;
2 2 2 2 (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác
tại các điểm
ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm
hoành độ dương.
Giải:
Q 1; 1
và điểm A có
Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập được
2
2
phương trình này là: x y 3x 29 0 suy ra tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
3
K ; 0
có tọa độ là 2 .
5
nAB KP 2; 1
2
Do AB KP nên AB có vectơ pháp tuyến
. Suy ra phương trình
AB : 2 x 1 1 y 1 0 2 x y 3 0
.
Do đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trình:
2 x y 3 0
2
2
x y 3x 29 0
y 2 x 3
2
x 3x 4 0
x 1, y 5
x 4, y 5
5
n
AC KN 2;1
A 1;5 , B 4; 5
2
Suy ra
. Do AC KN nên AC có vtpt là
Suy ra phương trình
AC : 2 x 1 y 5 0 2 x y 7 0
.
Khi đó tọa độ A, C là nghiệm của hệ phương trình:
2 x y 7 0
y 2 x 7
2
2
2
x y 3x 29 0 x 5x 4 0
Từ đây suy ra
C 4; 1
. Vậy
x 1, y 5
x 4, y 1
.
A 1;5 , B 4; 5 C 4; 1
,
.
3
BCA
10 .
Ví dụ 22: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có cos
Đường thẳng AB đi qua điểm M(4; -1); đường thẳng AC đi qua N(-2; -1). Trọng tâm của tam
11 10
;
giác ABC là G 3 3 . Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC
biết điểm A có tọa độ nguyên.
Giải:
C
GH 1
AC 3
GK 1
GK AC K
AB 3
GH GK
GH AC
AC AB
GK AB
GH AB H
cos BCA
J
3
1
tan BCA
3
10
AB 1
AC 3
GH
3 GH 3GK
GK
d (G, AB ) 3d(G, AC)
K
G
A
H I
N(-2;-1)
Gọi vecto pháp tuyến của đường thẳng AB là
n a; b ( a 2 b 2 0)
n b; a
suy ra vecto pháp tuyến của đường thẳng AB là
d (G , AB ) 3d (G , AC )
11a 10b
4a b
3
3
a 2 b2
a b (b 0)
13b a 3 17b 13a
5a 8b (b 0)
3
11b 10a
2b a
3
3
a2 b2
Với a = b, phương trình đường thẳng AB là: x+y-3=0
phương trình đường thẳng AC: x-y+1=0
B
M(4;-1)
