Chuyen de Hình học khong gian cỗ điển On thi tot nghiep THPT nam 2011

§1 . CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH
a) DIỆN TÍCH ĐA GIÁC.
• Hình vuông cạnh a có diện tích
• Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích
• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích .
• Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao
a
a
a
b
a
b
a
hA
b
a
a
hA
• Hình thoi biết hai đường chéo a,b
• Hình bình hành biết cạnh a và đường cao h
A
.
• Một số công thức khác tính diện tích tam giác
Định lý Cosin
.
Định lý sin
Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chuyên đề 6 :
b) THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
c) TỶ SỐ THỂ TÍCH.
ĐỊNH LÝ 1
ĐỊNH LÝ 2
d) THỂTÍCH KHỐI TRÒN XOAY.
§ 2. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao.

Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó.
Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đó
Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đó
Bài 1 Tính thể tích tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a.
Lời giải: (Mục đích: HS nắm vững bài tập cơ bản HHKG)
Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) ⇒AH là đường cao tứ diện, do
tứ diện đều nên AB=AC=AD suy ra HB=HC=HD hay H là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác BCD và H là trọng tâm của tam giác BCD.
Kẻ BH cắt CD tại M ta có .
Tam giác AHB vuông tại H nên ta được:
.
vậy thể tích của tứ diện ABCD là .
Bài 2 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và
cạnh đáy kề nhau bằng 45o.
Lời giải: (Nội dung câu hỏi thay đổi nhưng giả thiết cho khác đi)
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(SBC) ⇒SH là đường cao tứ diện, do
khối chóp đều nên SA=SB=SC suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trọng tâm của tam giác ABC.
Nối AH cắt BC tại M ta có M là trung điểm của BC và .

Tam giác SBC cân có hai góc 45o nên tam giác vuông
Tam giác SHM vuông tại H
.
Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp đều
Cách giải:
Xác định đường cao của khối chóp và tính độ dài đường cao.
Tính diện tích đáy của khối chóp
Chú ý: Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của
đa giác đáy.
B
C
D
A
M
H
A
B
C
S
H
Bài 3 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy đều
bằng a.
Lời giải:(Mục đích cho học sinh nắm vững bài tập cơ bản)
Giả sử có hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi H là hình chiếu của S lên
mặt phẳng ABCD do SA=SB=SC=SD suy ra HA=HB=HC=HD suy ra H
là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD hay H là giao điểm của
hai đường chéo.
;
Tam giác SHA vuông tại H nên
Vậy .

(Mở rộng bài toán ta có thể cho độ dài cạnh đáy và góc hợp bởi hai cạnh bên…)
Để tính thể tích của khối chóp tam giác ta cần chọn đỉnh của khối chóp sao cho tính độ dài
đường cao dể nhất. Dựa vào tính chất của khoảng cách ta có
∗ Hai tam giác có cùng cạnh đáy và chiều cao bằng nhau thì diện tích bằng nhau.
∗ Hai khối chóp có cùng mặt đáy và chiều cao bằng nhau thì thể tích chúng bằng nhau.
∗ Nếu M là trung điểm của AB thì
Bài tập sau đây minh họa điều trên.
Bài 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SA, SB và CD .
a) Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD theo a.
b) Tính thể tích tứ diện AMNP.
Lời giải:
(Mục đích HS phải chọn đỉnh và đáy khối chóp thích hợp)
P
M
N
H
S
D
C
B
A
M
P
A
B
H
A
B

C
D
S
S
ABC
=
S
A'BC
A
B
C
A'
a) Do hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông vậy
SAC là tam giác đều cạnh nên chiều cao của khối chóp có độ dài
.
b) Do CD//(SAB) mặt khác M là trung điểm SA nên
sử dụng tỉ số thể tích cho hai khối chóp SMND và SABD ta được
.
Bài 4 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều biết
a) Cạnh bên bằng a và góc giữa hai cạnh bên kề nhau bằng 2
α
.
b) Cạnh đáy bằng a góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
α
.
Bài 5 Tính thể tích của khối chóp lục giác đều có cạnh đáy a và cạnh bên 2a.
Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC) đáy ABC là tam giác vuông tại B. Gọi H,K là hình chiếu
của A lên SB,SC cho SA=AB=BC=a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Chứng minh rằng SC
⊥
AH.
c) Tính thể tích khối chóp S.AHK
Lời giải (Mục đích học sinh hiểu rõ bài tập cơ bản của HHKG)
a)
b) Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA suy ra BC ⊥ (SAB)⇒ BC⊥ AH
Mặt khác AH ⊥ SB suy ra AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.
c) Ta tính thể tích khối chóp S.AHK theo trên ta có tam giác AHK vuông tại H
Dạng 2 Tính thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Cách giải
Đường cao của khối chóp là cạnh bên vuông với đáy
Tìm cách tính được diện tích đáy và chiều cao.
S
A
C
B
K
H
∗ Tam giác SAB vuông cân có AH là đường cao
∗ Tam giác SAK vuông tại A có AK là đường cao
.
Vậy diện tích đáy của khối chóp S.AHK là
Chiều cao khối chóp
Thể tích khối chóp S.AHK là
(Ta có thể giải bài trên bằng tỉ số thể tích)
Bài 2 Cho tứ diện S.ABC có SA
⊥
(ABC) đáy ABC là tam giác cân tại A cho SA=AB=a góc ABC=

α
.
Gọi H, K là hình chiếu của A lên SB và SC
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và
α
.
b) Tính thể tích khối chóp A.BCKH.
Lời giải: (Mục đích mở rộng bài toán 1)
a)

Vì tam giác ABC cân tại A nên
b) Tam giác SAB và SAC vuông cân tại A nên H,K lần lượt là trung điểm của SB,SC sử dụng
tỉ số thể tích ta được
Vậy .
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC
⊥
(ABCD) cho SC= . Gọi H là hình chiếu của C lên SB, K là trung điểm
của SD.
S
A
C
B
K
H
S
D
A
B
C
K

H
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh rằng tam giác CHK đều.
c) Tính thể tích khối chóp C.BDKH.
Lời giải:
a) Tam giác SAC vuông tại C ⇒
b) Tam giác SCB vuông cân tại C nên CH là đường cao và là đường trung tuyến, mặt khác tam
giác SCB bằng tam giác SCD nên CH=CK=
Vì H,K là trung điểm của SB,SD nên HK là đường trung bình của tam giác SBD ⇒ HK= BD=
vậy tam giác CHK đều.
c) Ta sử dụng tỉ số thể tích của khối chóp S.CBD và khối chóp S.CHK
Vậy .
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
, AB=BC=a,AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA
= 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của
khối chóp S.BCNM theo a.
Lời giải:
a)
b) M,N là trung điểm SA,SD ⇒ MN//AD MN=1/2 ADvậy MN//BC và MN=BC hay BCMN là
hình bình hành
Mặt khác BC⊥AB,BC⊥SA ⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥BM
Vậy BCMN là hình chữ nhật.
với SH là chiều cao của khối chóp
N
M
S
D
C

B
A
Vì M là trung điểm SA nên với AH’ là chiều cao của
tam giác vuông cân ABM
Vậy
Chú ý: có thể giải bài toán trên bằng tỉ số thể tích.
Bài 5 Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC vuông góc nhau từng đôi một và OA=a;OB=b;OC=c.Gọi
H là hình chiếu của O lên mp(ABC).
a) CMR H là trực tâm của tam giác ABC.
b) CMR .
c) CMR .
d) Tính diện tích toàn phần và thể tích tứ diện.
Lời giải (Mục đích học sinh nắm các tính chất của tứ diện có ba cạnh vuông
góc đôi một )
a) Ta chứng minh AH⊥BC thật vậy:
BC⊥OA (do OA⊥(OBC))
BC⊥OH (do H là hình chiếu của O)
⇒BC⊥(AOH) hay BC⊥AH.
Tương tự ta chứng minh được BH⊥AC hay H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Do OA,OB,OC vuông góc nhau từng đôi một nên các tam giác OAB;OBC;OAC là các tam
giác vuông.
Theo trên BC⊥(AOH) nên BC⊥OM
Tam giác OBC vuông tại O có OM là đường cao nên
Tam giác AOM vuông tại O có OH là đường cao nên
Vậy
c)
.
.
. Vậy .
d)

M
A
C
B
O
H
.
.
)
.
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy AD và BC. Mặt phẳng
SAD vuông góc với mặt đáy của hình chóp cho AB=BC=CD=a, SA=SD=AD=2a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải
a) Kẻ SH vuông góc AD do (SAD)⊥(ABCD) nên SH⊥(ABCD) vậy SH
là đường cao của khối chóp.
Mặt khác SA=SD=AD nên H là trung điểm của AD và SH=
.
Nối HB,HC tứ giác ABCH là hình bình hành do AH song song và bằng BC ta lại có
AB=BC nên AHBC là hình thoi vậy AB=HC=a hay tam giác HCD đều
Vậy ABCD là nữa lục giác đều.
.
b) Khối chóp S.ABC có chiều cao SH và diện tích tam giác ABC bằng với diện tích tam giác
ABH và bằng
Vậy .
Dạng 3 Tính thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.
Cách giải
Đường cao của khối chóp nằm trên giao tuyến của mặt bên và mặt đáy nó
vuông góc

Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy
A
B
C
D
H
S
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với
mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o ,SA=SB Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD) do (SAB) ⊥(ABCD) nên H nằm
trên AB mặt khác SA=SB nên H là trung điểm của AB và góc SCH là góc
hợp bởi cạnh bên SC và mp đáy.
Tam giác HBC vuông tại B
Vậy
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a, CD=a; góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt
phẳng (SBI) và (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính diện tích tam giác BIC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Lời giải: (Mục đích học sinh biết quy bài toán HKG về bài toán phẳng)
ABCD là hình thang vuông như hình vẽ
a) Do hai mp(SIB) và (SIC) cùng vuông góc với mp(ABCD) nên SI là đường cao của khối
chóp S.ABCD.
Từ I kẽ IH⊥BC khi đó SH⊥BC vậy góc SHI là góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và
(ABCD) .
Xét tam giác IBC ta có
Tam giác SIH vuông tại H
Vậy

A
B
C
D
S
I
H
2a
H
a
2a
A
B
C
D
I
S
A
D
C
B
H
Bài 1 Cho tứ diện ABCD biết ABC là tam giác vuông tại A có
; cho và tam giác DBC vuông Tính
thể tích tứ diện theo a.
(bài toán yêu cầu học sinh phải có nhận xét tốt về chân đường cao của khối
chóp có ba cạnh bên bằng nhau)
Lời giải: Gọi I là hình chiếu của D lên mp(ABC) do DA=DB=DC nên I trùng với tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác vuông ABC suy ra I chính là trung điểm của BC.
Tam giác DBC vuông cân tại D nên

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A cho AB=3; AC=4 góc hợp bởi
các mặt bên và mặt đáy đều bằng 60o tính thể tích khối chóp.
(bài toán yêu cầu HS có nhận xét tốt về chân đường cao và công thức diện tích tam giác )
Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC). Từ H kẽ HA’,HB’,HC’
lần lượt vuông góc với BC,CA,AB khi đó các góc SA’H, SB’H, SC’H là
các góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy.do các góc này đều bằng 60o nên
HA’=HB’=HC’ hay H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có
Độ dài đường cao của hình chóp
.
Dạng 4: Thể tích khối chóp bất kỳ
Cách giải:
Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác.
Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy.
Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy, nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân
đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
D
C
A
B
I
B'
C'
B
A
C
S
H
A'

Bài 1 Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằnga.
Đáp số
Bài 2 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ biết rằng mp(A’BC) tạo với
đáy một góc 30o và tam giác A’BC có diện tích bằng 8 tính thể tích khối
lăng trụ.
Lời giải: (Mục đích học sinh nhớ lại công thức diện tích đa giác chiếu)
Kẽ AH ⊥ BC do lăng trụ đều nên AA’⊥(ABC) suy ra A’H⊥BC hay

Tam giác ABC đều cạnh a nên
Tam giác AA’H vuông tại A nên
Vậy thể tích lăng trụ .
Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a. hình
chiếu của A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của đoạn BC.
Góc hợp bởi AA’ và mp(A’B’C’) bằng 30o. Tính thể tích lăng trụ theo
a.
Lời giải: (Mục đích HS làm quen với lăng trụ xiên)
với .
Do M là hình chiếu của A lên mp(ABC) nên góc hợp bởi AA’ và mp(A’B’C’) là góc
Vậy .
Dạng 5 Tính thể tích khối lăng trụ
Cách giải
Đường cao của lăng trụ đứng là độ dài cạnh bên, lăng trụ xiên là hình chiếu
của một đỉnh lên mặt đối diện.
Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy.
C'
B'
A'
C
B
A

M
H
C
B
A
C'
B'
A'
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cho A’C=a góc
hợp bởi(A’BC) và mặt phẳng đáy bằng . Tìm để lăng trụ có thể tích lớn nhất.
Lời giải (Mục đích học sinh làm quen với bài toán tìm GTLN-GTNN trong hình học )
Ta có BC⊥AC; BC⊥AA’ ⇒BC⊥(A’AC) vậy BC⊥A’C hay là
góc hợp bởi mp(A’BC) và mp(ABC).
đặt
Xét hàm số trên (0,1)
suy ra
Vậy thì thể tích lăng trụ lớn nhất bằng
Bài tập 5 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a .AC’=2a Tính thể
tích khối lăng trụ.
Bài tập 6 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Gọi O’ là tâm của tam
giác A’B’C’. Biết O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) , cho cạnh bên của lăng trụ bằng . Tính
thể tích khối lăng trụ.
Bài tập 7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60o. biết rằng tam
giác A’B’C’ vuông tại B’, A’B’=3, B’C’=4 . B’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’ và H’ là hình
chiếu của điểm B lên (A’B’C’). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
§3. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Bài 1: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh đáy bằng a cạnh bên 2a. Tính thể tích và
diện tích xung quanh khối nón ngoại tiếp hình chóp.
Lời giải:
Lục giác đều ABCDEF cạnh a nên nó nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=a.

Xét tam giác SAD có SA=SD=2a=AD suy ra tam giác SAD đều vậy đường cao
chính là đường cao của hình chóp.
Dạng toán1: Tính thể tích, diện tích của khối nón
Cách giải:
Xác định đường cao bán kính của khối nón.
Áp dụng công thức phù hợp
a
A'
C'
B'
A
C
B
Bài 2: Một hình nón có đường sinh bằng a góc ở đỉnh bằng 90
o
. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng
(P) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (P) và đáy hình nón bằng 60
o
.
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối nón.
b) Tính diện tích thiết diện.
Lời giải:
a) Giả sử ta có hình nón đỉnh S trục SO mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác
SAB gọi M là trung điểm AB.
Góc ở đỉnh của hình nón bằng 90o nên OSA=45o suy ra OS=OA=
b) Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm AB SM⊥AB
Tam giác OAB cân tại O OM ⊥AB
vậy góc giữa (P) và đáy hình nón là góc SMO
Tam giác SOM vuông
Tam giác OAM vuông tại M:

Bài 3: Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối
cầu có thể tích bằng thể tích khối nón thì khối cầu có bán kính bằng bao nhiêu?
O
S
B
F
C
D
A
E
O
A
S
C
B
M
Lời giải:
Khối nón sinh bởi tam giác đều cạnh a nên có bán kính R=a/2 và chiều cao
Gọi R’ là bán kính khối cầu khi đó
vậy bán kính khối cầu .
Bài 4: Cho hình nón đỉnh S đáy là hình tròn tâm Obán kính R, góc ở đỉnh bằng 120o. trên đường
tròn đáy lấy một điểm A cố định và một điểm M di động. Tìm độ dài AM theo R để diện tích tam
giác SAM đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
Gọi x=AM góc ở đỉnh hình nón là 120o nên

xét hàm số
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta được
dấu bằng xãy ra khi
vậy tam giác SAM có diện tích lớn nhất khi AM=

Bài 5 : Khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp khối nón tính thể tích khối nón
O
S
A
M
I
Bài 1: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông cạnh 2a
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh khối trụ theo a.
b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ
Lời giải:
a) Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên hình trụ có bán kính
R=a và chiều cao h=2a
b) Giả sử có lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp khối trụ do ABCD là hình vuông
có đường chéo 2a
Vậy thể tích lăng trụ là
Bài 2: Một khối trụ có bán kính R và chiều cao
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối trụ theo R.
b) Cho hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục hình
trụ là 30o. Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ.
Lời giải:
a)
b) Từ A kẻ đường sinh AA’//OO’ , gọi M là trung điểm của A’B
OO’//AA’ suy ra góc hợp bởi AB và trục hình trụ là góc A’AB
Mặt khác OO’//(A’AB) nên khoảng cách giữa trục OO’ và AB là khoảng cách từ O đến mp(A’AB)
hay chính là độ dài đoạn OM.
Tam giác AA’B vuông tại A’
Dạng toán2: Tính thể tích, diện tích của khối trụ
Cách giải:
Xác định đường cao bán kính của khối trụ.
Áp dụng công thức phù hợp

A
A'
O'
O
C'
C
B
D
D'
B'
A
A'
O
O'
B
M
Tam giác OA’M vuông tại M
Vậy khoảng cách trục hình trụ và AB là .
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh a chiều cao bằng 2a
a) Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ.
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ
Lời giải :
a) Tam giác ABC đều cạnh a nên có đường cao bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
là
Thể tích khối trụ
b) Gọi I là trung điểm của trục hình trụ OO’ khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là
Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ là
Bài 4: Một khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c nội tiếp trong khối trụ. Tính thể tích khối
trụ.
Lời giải :

Ta có nhận xét có ba khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước
AB=a,AD=b,AA’=c
Ta giả sử rằng khối trụ ngoại tiếp có đáy nằm trên mp(ABCD).
Khi đó bán kính khối trụ
Và chiều cao khối trụ là AA’=c
Thể tích khối trụ
Như vậy thể tích khối trụ là
A
A
O
O'
B'
C'
B
C
A
A'
O'
O
C'
C
B
D
D'
B'
A'
B'
C'
D'
H

A
B
C
D
S
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA
⊥
(ABC) đáy ABC là tam giác vuông cân tại B gọi H,K lần lượt là
hình chiếu của A lên SB,SC. Cho SA=AB=a
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK.
(Mục đích: xác định tâm mặt cầu bằng cách tìm một điểm cách đều các đỉnh của hình chóp,hay tìm
một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông)
Lời giải:
a) Gọi I là trung điểm SC ta có SA⊥(ABC) ⇒ SA⊥AC tam giác SAC
vuông tại A ⇒IS=IA=IC (trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)
CB⊥AB, CB⊥SA ⇒CB⊥(SAB) ⇒CB⊥SB tam giác SBC vuông
tại B ⇒IS=IC=IB.
Vậy I cách đều các đỉnh của tứ diện hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
khối đa diện băn kính .
b) Gọi O là trung điểm của AC
Tam giác ABC vuông tại A ⇒OA=OB=OC .
Tam giác AKC vuông tại K ⇒OA=OC=OK.
Vì AH⊥SB; AH⊥BC ⇒AH⊥(SBC)⇒AH⊥HC
Tam giác AHC vuông tại H ⇒OA=OC=OH.
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên
. Gọi A’B’C’D’ lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD. Chứng
minh rằng các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu , tìm tâm và bán
kính mặt cầu đó.( hãy thay giả thiết cạnh bên bằng bằng giả thiết

cạnh bên có độ dài a).
Lời giải: (Mục đích: Tâm mặt cầu nằm trên trục đường tròn từ đó suy đoán tâm mặt cầu ở vị trí
đặc biệt H)
Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp.
Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông
Tìm giao của trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của
một cạnh bên.
S
A
C
B
K
H
Gọi H là tâm của hình vuông ABBCD do hình chóp đều nên SH ⊥(ABCD) ⇒SH là trục đường tròn
của đa giác đáy, măt khác A’B’C’D’//ABCD và A’B’C’D’ là hình vuông ⇒SH ⊥(A’B’C’D’) và
SH đi qua H’ kà giao điểm của hai đường chéo hình vuông A’B’C’D’ vậy SH là trục của đường
tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy của khối chóp cụt.
Ta chứng minh ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu tâm H
Thật vậy do SA=SC=AC= nên tam giác SAC đều ⇒HA’=
Mặt khác H thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đai đa giác ABCD và A’B’C’D’ nên
HA=HB=HC=HD=HA’=HB’=HC’=HD’ vậy các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu có
tâm H bán kính
( Bài toán sẽ khó đi nếu ta thay giả thiết cạnh bên bằng bằng giả
thiết cạnh bên có độ dài a).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SC
⊥
(ABCD)
cho SA= gọi H là trung điểm của SB K là hình chiếu của Clên SD

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh rằng tam giác CHK đều.
c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD.
d) Chứng minh rằng 6 điểm ABCDHK cùng thuộc mặt cầu.
Lời giải: (Mục đích: Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn dứoi một góc vuông)
Câu a) và b) đã giải ở phần trước
c)
Tam giác SCA vuông tại C nên C nhìn đoạn SA dướii 1 góc vuông.
AB⊥SB, AB⊥SC ⇒AB⊥(SBC)⇒AB⊥SA
Tam giác SBA vuông tại B nên B nhìn đoạn SA dưới một góc vuông.
AD⊥CD, AD⊥SC⇒AD⊥(SCD)⇒AD⊥SD
Tam giác SAD vuông tại D nên D nhìn đoạn SA dưới một góc vuông .
Vậy khối chóp S.ABCD nội tiếp trong mặt cầu đường kính SA bán kinh .
d) Ta có B,D nhìn đoạn AC dưới một góc vuông.
CH⊥(SBA) ⇒CH⊥HA ⇒H nhìn đoạn CA dưới một góc vuông. Tương tự K
nhìn đọan AC dứoi một góc vuông vậy 6 điểm ABCDHK cùng thuộc mặt cầu
tâm O bán kính
Bài 5: Cho tứ diện S.ABC có SA,SB,SC vuông góc nhau từng đôi một SA=a;
SB=b; SC=c. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC).Xác định tâm
và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
S
D
A
B
C
K
H
M
C

S
B
A
I
Lời giải: (Mục đích: Tìm giao của trục đường tròn và mặt phẳng trung trực của một cạnh)
Tam giác SAB vuông tại S nên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là đường thẳng qua trung
điểm M của đoạn AB và vuông góc mp(SAB).
Dựng mặt phẳng trung trực của đoạn SC cắt trục đường tròn tại I ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện.
Vì SC ⊥(ABC) nên mặt phẳng trung trực của SC cắt trục đường tròn tại I khi đó IM=SC/2 bán kính
mặt cầu .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC), AB=AC=SA=a, góc .Gọi H,K là hình chiếu
của A lên SB và SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và .
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
c) Gọi H,K là hình chiếu của A lên SB và SC. CMR ABCHK cùng nằm
trên mặt cầu hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
Lời giải (Mục đích : Quy bài toán lạ về bài toán quen bài tập 1)
a)
.
b) Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC dựng d qua O vuông góc mp(ABC) d là trục
đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp . Dưng mp(P) trung trực của đoạn SA cắt d tại I, ta có I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACB.
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta được
Bán kính .
c) Để chứng minh ABCHK nằm trên mặt cầu ta có thể chứng minh đáy
của hình chóp nội tiếp mặt cầu.
Tam giác SAB vuông có AH là đường cao nên

Tam giác SAC vuông có AK là đường cao nên
Vậy hay tứ giác BCKH nội tiếp được trong đường tròn.
Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
S
A
C
B
K
H
DB⊥AB; DB⊥SA ⇒ DB⊥(SAB)⇒AH⊥DB mặt khác AH ⊥SB ⇒AH⊥(SBD)⇒AH⊥HD
vậy H nhìn đoan AD dứoi một góc vuông. Tương tự K nhìn đoạn AD dưới một góc vuông
hay ABCHD nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính .
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Tính thể tích và diện tích
khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Lời giải.
Giả sử có lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi O và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp hai hai
đáy ABC và A’B’C’. Gọi I là trung điểm của OO’ khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Xét tam giác IOA vuông tại O ta có
vậy
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A. Biết góc hợp bởi B’C và
mặt phẳng đáy bằng 60o và BC=a. Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Dạng 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong đường tròn.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường tròn đáy.
I
A'
B'
C'
A
B

C
O'
O
CÁC BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
CÁC BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Bài 1 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABCcó cạnh đáy bằng a khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh
đáy đối diện bằng m tính thể tích khối chóp theo a và m.
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a. (TN-THPT2010).
Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Biết tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
(TN-THPT2009).
Bài 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung
điểm của cạnh BC.
1) Chứng minh SA vuông góc với BC.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
(TN-THPT 2008)
Bài 5 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
(TN THPT 2007)
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,
cạnh bên SB bằng .
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
(TN-THPT 2006)
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với
mặt phẳng đáy,SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o . Tính theo a thể tích

của khối chóp S.ABCD.
(Khối A-CĐ 2010).
Bài 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có Gọi M,N và P lần lượt là trung
điểm của các cạnh SA,SB và CD Chứng minh rằng đường thẳngMN vuông góc với đường thẳng
SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
(Khối A- CĐ 2009)