Chương v bài 6 hình thoi toán 8 cd

Hình thoi có những
Họa
tính
tiết
chất
cácgì?
emCó
thấy §6.
những
trên hình
dấu 55
hiệu
gợi
nào
lênđể
hình
nhậnảnh
biếtcủa
mộthình
tứ giác
thoi.
là hình thoi.

HÌNH THOI


I I ĐỊNH
ĐỊNHNGHĨA
NGHĨA
sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 56
* Định So

nghĩa
B

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

C

A
D
Hình 56


I I ĐỊNH
ĐỊNHNGHĨA
NGHĨA

Ở Hình 57, tứ giác nào là hình thoi? Vì sao?
M 2,5cm

Ở Hình b), ta có:
GH KG (vì 2,5 cm 2 cm)
nên tứ giác GHIK không phải là hình thoi.

Q

 

cm
2,5

2,5

Ở Hình a), ta có
MN = NP = PQ = QM (= 2,5 cm)
nên tứ giác MNPQ là hình thoi

cm

Giải:

N

2,5cm
a)

P

2c
m

G 2,5cm

K

2cm
b)

2,5
cm

VÍDỤ
DỤ1 1
VÍ

I

H


IIII TÍNH
TÍNHCHẤT
CHẤT
Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD
B
cắt nhau tại O (Hình 58)
a) Hình thoi ABCD có dạng hình bình hành
hay khơng?
b) Hai đường chéo AC và BD có vng
góc với nhau hay khơng?
 

c) Hai tam giác ABC và ADC có bằng
nhau hay khơng? Tia AC có phải là tia
phân giác của hay khơng?

C

A
D

IIII TÍNH
TÍNHCHẤT
CHẤT
Giải:

B

a) Xét hình thoi ABCD có:
A
AB = BC = CD = DA (định nghĩa)
=>ABCD là hình bình hành (tính chất hình bình hành)

C

D


IIII TÍNH
TÍNHCHẤT
CHẤT
Giải:

b) Xét Hình bình hành ABCD
có AC DB = O
A
suy ra DO = OB (tính chất)
Xét ∆ADO và ∆ABO
⇒ ∆ADO = ∆ABO (c.c.c)
⇒ (cặp góc tương ứng)

Mà ( hai góc kề bù)
⇒
⇒ Hai đường chéo AC và BD vng góc với nhau
 

B
C

D


IIII TÍNH
TÍNHCHẤT
CHẤT
B

Giải:
c) Xét ∆ADO và ∆ABO
⇒ ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)
Lại có ∆ADO = ∆ABO (cmt)
⇒ (cặp góc tương ứng)
Hay
Vậy tia AC là tia phân giác của
 

C

A
D

IIII TÍNH
TÍNHCHẤT
CHẤT
Nhận xét:

B

Do hình thoi là hình bình hành nên hình thoi có
A
tất cả các tính chất của hình bình hành.
* Định lí:

C
D

Trong một hình thoi:
a) Hai cạnh đối song song; các cạnh bằng nhau
b) Các góc đối bằng nhau;
c) Hai đường chéo vng góc với nhau và cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường;
d) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.


IIII TÍNH
TÍNHCHẤT
CHẤT
(SGK- tr110) Cho thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD
B
cắt nhau tại O, AC = 3cm, BD = 4cm (Hình 59).

Tính độ dài của OA, OB, AB.
/
\
Giải
C
A /
\
Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm
của hai đường chéo AC, BD
D
 
Suy ra: OA = AC = .3 = 1,5 (cm);
Áp dụng định lí Pythagore, ta có
 
OB = BD = 4 = 2 (cm).
AB2 = OA2 + OB2.

VÍDỤ
DỤ2 2
VÍ

Ta có AC ⊥ BD BD (vì ABCD là hình thoi)
nên tam giác OAB vng tại O.

Do đó AB2 = (1,5)2 + 22 = 6,25
hay AB = 2,5(cm)


IIII TÍNH
TÍNHCHẤT

CHẤT
B

Cho hình thoi ABCD có = 120 .
Chứng minh tam giác ABD là tam giác đều
 

0

Lời giải
Tam giác ABD có AB = AD (vì ABCD là hình thoi).
Lại có AC là tia phân giác của góc A
 
= = 600.
Vậy, tam giác ABD là tam giác đều

/

\
A

/

\
D

C


III

III

DẤU
DẤUHIỆU
HIỆUNHẬN
NHẬNBIẾT
BIẾT
SGK trang 114

a) Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB
và BC bằng nhau, ABCD có phải là hình thoi
hay khơng?
b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường
chéo AC và BD vng góc với nhau (Hình 60).
 Đường thẳng AC có phải là đường trung
trực của đoạn thẳng BD hay khơng?
 ABCD có phải hình thoi hay khơng?

Hoạt
Hoạtđộng
độngnhóm
nhóm
+ Nhóm 1:
Làm phần a) của HĐ3
+ Nhóm 2:
Làm phần b) của HĐ3


III
III

DẤU
DẤUHIỆU
HIỆUNHẬN
NHẬNBIẾT
BIẾT
Lời giải

a)
b) Xét
Xét hình
hình bình
bình hành
hành ABCD
ABCD
Có:
AB == OB
BC (tính
(gt) chất)
Có OD

(1)
(3)
AB
= AD (tính chất) (4)
(2)
AC =⊥ BDDC
DBvà= BC
O (gt)
Từ (1)

= BCthẳng
= DCAC
= AD
(3) và
và(2)
(4)suy
suyraraAB
Đường
là
đường
trung trực
của đoạn
Suy
ra ABCD
là hình
thoi thẳng BD
Lại có OA = OC (tính chất)

(5)

Từ (3), (4), (5) Suy ra ABCD là hình thoi


III
III

DẤU
DẤUHIỆU
HIỆUNHẬN
NHẬNBIẾT

BIẾT

Ghi nhớ:

a) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
b) Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau là hình thoi.


III
III
VÍDỤ
DỤ3 3
VÍ

DẤU
DẤUHIỆU
HIỆUNHẬN
NHẬNBIẾT
BIẾT
(SGK-tr115) Cho tam giác ABC vng tại A. Các điểm M,
N lần lượt thuộc tia đối của tia AB, AC sao cho AM = AB,
C
AN = AC. Chứng minh tứ giác BCMN là hình thoi

Lời giải.
Tứ giác BCMN có A là trung điểm của cả hai đường
chéo BM và CN nên BCMN là hình bình hành.
 

=

B

Do tam giác ABC vuông tại A nên = 90 hay BM ⊥ CN CN.
0

Hình bình hành BCMN có hai đường chéo BM  CN
=> BCMN là hình thoi.

/

=A
N

/

M


III
III

DẤU
DẤUHIỆU
HIỆUNHẬN
NHẬNBIẾT
BIẾT

Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC. Trên tia đối
C
của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.

=
Chứng minh tứ giác ABNC là hình thoi
/
/
Lời giải
A
=M
Tứ giác ABNC có M là trung điểm của cả hai đường chéo
B
BC và AN nên ABNC là hình bình hành.
Do tam giác ABC cân tại A, có AM là trung tuyến nên AM cũng là
đường cao AM ⊥ BC => AN  BC
Hình bình hành ABNC có hai đường chéo AN và BC vng góc với
nhau nên ABNC là hình thoi

Chú ý:

Hình bình hành có một đường chéo là phân giác
của một góc là hình thoi

N


BÀI TẬP


Bài 1
Cho hình bình hành ABCD có tia AC là tia phân giác của .
Chứng minh ABCD là hình thoi.
Lời giải

 

C
O
D

Gọi O là giao điểm của AC và BD

B
Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của BD

A

Xét tam giác ABD có AO vừa là phân giác của góc DAB,
vừa là đường trung tuyến
=> ABD là tam giác cân hay AB = AD.
Hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB = AD nên nó là hình thoi.


Bài 2
Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
C
Chứng minh : AC2 + BD2 = 4(OA2 + OB2 ) = 4AB2
Lời giải
Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vng AOB
ta có OA2 + OB2 = AB2.
Từ đó ta có
AC2 + BD2 = (2OA)2 + (2OB)2 = 4(OA2+OB2) = 4AB2

B

O


A

D


Bài 3
C

Cho hình thoi ABCD có = 400.
Tính số đo mỗi góc của hình thoi ABCD.
 

Lời giải

B

Vì ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc .
 

Do đó

O


A

= 2 . = 2 · 400 = 800.
 

Hình thoi cũng là hình bình hành, do đó hai góc kề có tổng là 1800,
 

hay = 1800 - = 1000
Hình thoi có các cặp góc đối diện bằng nhau, vậy ta có = = 1000; = = 800
 

D


Bài 4
Hình 62 mơ tả một ơ lưới mắt cáo có dạng hình thoi với
độ dài của hai đường chéo là 45mm và 90mm.
Độ dài cạnh của ô lười mắt cáo đó là bao nhiêu milimet
( làm trịn kết quả đến hàng đơn vị )?
Lời giải

C

A
D
90mm

45mm

Đặt tên các đỉnh và các cạnh

như hình vẽ bên, ta có:
4AB2 = AC2 + BD2 = 902 + 452 = 10125
Do đó AB2 = 2531,25 hay AB ≈ 50,3 mm

B