155 đề hsg toán 8 lạng sơn 2011 2012

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012
Mơn thi: TỐN 8

Câu 1. (2,5 điểm)
5
5
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x y  xy chia hết cho 30
2
2
2
b) Giải phương trình : x  y  z  y  x  z 

Câu 2. (2,5 điểm)
a) Cho a  b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) của biểu thức
A a  a 2  2b   b  b 2  a 

p

a b c
2
với a, b, c là độ dài ba cạnh

b) Cho tam giác có nửa chu vi
1
1
1
 1 1 1



2    
a b c
Chứng minh p  a p  b p  c
Câu 3. (1,5 điểm)

Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa
điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km / h,

30km / h,50km / h. Hỏi đến mấy giờ thì ơ tơ ở vị trí cách đều xe máy và xe đạp ?
Câu 4. (2 điểm)
Cho tam giác ABC , I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vng
góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
a) AIM ABI
AM  AI 


BN
 BI 
b)
Câu 5. (1,5 điểm )

2


1
BE  BC , F
3
Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho

là
trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính
2
diện tích AIK , biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm
ĐÁP ÁN
Câu 1.

a)

x5 y  xy 5 xy  x 4  y 4  xy  x 4  1  y 4  1 xy  x 4  1  xy  y 4  1

Ta có:

x  x 4  1 x  x  1  x  1  x 2  1

chia hết cho 2, 3 và 5

xy  y 4  1 30  x5 y  xy 5 30
Cmtt
2
2
2
2
2
2
b) x  y  z xy  yz  2 x  2 y  2 z  2 xy  2 yz 0
2

2

  x  y    y  z   x 2  z 2 0
 x  y  y  z x z 0
 x  y z 0
Câu 2.

1
1
a  b 1  a   x, b   y
2
2
a)
với x  y 0
Ta có:

A a  a 2  2b   b  b 2  a  a 3  b 3  ab a 2  b 2
2

2

1
1
 1
 1
  x     y    x 2  y 2 
2
2
2
 2

1

1
 GTNN  A    x  y 0  a b 
2
2
1
1
4


b) Ta có : p  c p  b a

1
1
4 1
1
4

 ;


Tương tự: p  c p  a b p  b p  c c
Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều:

 xy  x 4  1 30


 1
1
1  4 4 4
2



  
 p c p b p a a b c
1
1
1
 1 1 1



2    
p c p b p a
a b c
Câu 3.
Gọi thời gian ơ tơ đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) ( x  0)
 Thời gian xe đạp đi là x  2(h) ; Thời gian xe máy đi là : x  1(h)
Quãng đường ô tô đi là 50x  km 
Quãng đường xe đạp đi là 10  x  2  ( km)
Quãng đường xe máy đi là 30( x  1)(km)
Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp nên ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe
máy nên ta có phương trình
5
50 x  10  x  2  30  x  1  50 x  x  50'(tm)
6
Vậy đến 10 giờ 50 phút thì ơ tơ ở vị trí cách đều xe dạp và xe máy
Câu 4.

A
M

I

B

N


 (AI là phân giác A)
IAB
a) MAI

C



C
0
AIM  IAM


IMC 90  (
2 tính chất góc ngồi của tam giác)
0


IAB  IBA
 180  C 900  C
2
2 (tính chất góc ngồi tam giác)
  AIM ABI ( gg )

 AIM IAB
b) Chứng minh tương tự có IBN ABI  AIM IBN
AM IM AI



IN
BN BI
AM AM IM  AI 


.


BN
IN
BN
 BI 
IM

IN

MCN
Có
do
cân tại C

2

Câu 5.

B

A

I
E
K

D

F

C

Ta có :
S AEF S ABCD   S ABE  SCEF  S ADF 
1
1
1
 5
S ABCD   S ABCD  S ABCD  S ABCD   S ABCD 20  cm 2 
6
4
6
 12



Nối FI

S AIK S AFI AK AI
AB
AD
.

.

.
S AIF S AFE AF AE AB  DF AD  BE

2 3 1
S
1
1
 .   AIK   S AIK  S AFE 10(cm 2 )
3 4 2
S AFE 2
2