009 đề HSG toán 8 bỉm sơn 2014 2015

PHÒNG GD & ĐT BỈM SƠN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể chép đề)

Bài 1. (3đ) Cho a, b, c là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn a  b  c  0
Chứng minh rằng: M 

1
1 1
 2  2 là bình phương của một số hữu tỷ
2
a b c

Bài 2. (5 điểm)
Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên:
 x2  2 x
 1 2 
2 x2
M  2

1  2 
2
3 
2
x

8
8


4
x

2
x

x
x x 




Bài 3. (3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x  4x  5x
Bài 4. (6 điểm)
a) Cho tam giác ABC có BAC  1200. Các phân giác AD, BE và CF
Chứng minh rằng

1
1
1


AD AB AC

b) Tính FDE
Bài 5. (3 điểm)
Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a  b  c  3
Chứng minh rằng a 2  b2  c 2  5

ĐÁP ÁN
Bài 1.
Ta có:
1 1 1 1 1 1
1
1  1 1 1
abc 1 1 1
 1
 2  2       2           2.
   
2
a b c a b c
abc
 ab bc ac   a b c 
a b c
Vậy M là bình phương của một số hữu tỉ
2

2

Bài 2.
 x2  2x
 x2  x  2
2x2
.
M 

 2  x 2  4  4. 2  x   x 2 . 2  x  
x2



 x2  2x
  x 2  2  . x  1
2x2
M 
 2
.
2
x2
2
x

4
x

4
x

2
 
   
 

2
x  2  x  1 x  x  4 x  4  4 x   x  2  x  1

M
.


.
x2
x2
2  x  2  x2  4
2  x  2  x2  4

x 2 . x  2   4 x 2
2

M

x  x2  4

2  x  2  x2  4

.

 x  2  x  1  x  1
x2

2x

2 x 2  8  0

x  0
Để M xác định thì  x 2  4   x  2   0  
x  2
 2
x


0


Khi đó M nguyên thì 2M nguyên hay

x 1
nguyên . Mà
x

x 1
1
 1    x U (1)  1
x
x

Với x  1 thỏa mãn (*) và M  0 
Với x  1 thỏa mãn * và M  1
Vậy x  1; x  1 thỏa mãn điều kiện bài ra.

2


Bài 3.
x

x

3  4
Phương trình đã cho có thể viết lại là :       1
5  5

Ta thấy x  2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Với x  2 ta xét:
x

x

3  4
Nếu x  2 thì       1
5  5

Với x  2 dễ thấy x  0; x  1 không phải là nghiệm của phương trình
Với x  0 ta đặt x   y thì y  0 nên y  1. Ta có:
x

x

3  4
 3
     1  
5  5
5

y

4
 
5

y

y

y

5  5
1      1
 3  4
y

y

5  5 5 5
Phương trình này vô nghiệm vì         1
3  4 3 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2


Bài 4.

A

E

F
C

I
D

B

K
a) Từ B kẻ BK / / AC cắt AD tại K, ta có tam giác ABK đều
Do đó:
AB DB DK AB  AD
1
1
1



 AC. AB  AD  


AC DC DA
AD
AD AB AC

b) Áp dụng tính chất đườn phân giác tính được BD 
Từ ( a ) suy ra AD 
Suy ra

AB. AC
AB  AC

DA CA EA



nên DE là phân giác của BDA
DB CB EB

Chứng minh tương tự được DF là phân giác ADC
Từ đó suy ra EDF  900

BC. AB
AB  AC


Bài 5.
Từ giả thiết ta có:

 2  a  2  b  2  c   0  8  2  ab  bc  ca   4  a  b  c   abc  0
Cộng hai vế với a 2  b2  c 2 , sau đó thu gọn ta được:

a  b  c

2

 a 2  b2  c 2  abc  4  a 2  b2  c 2  abc  5

Mà abc  0 nên a 2  b2  c2  5
Dấu bằng xảy ra khi trong ba số a, b, c có một số bằng 0, một số bằng 2, một số
bằng 1.