tổng hợp một số bài toán cấp THPT có lời giải

BI KIM TRA IU KIN

MặN: PHN MM TON

TRìNG I HC Sì PHM H NậI
KHOA TON - TIN
-o0o-

BI TP LẻN PHN M—M TON
HÅ V€ T–N: É THÀ KHNH HUY—N

Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

Ng y 21 th¡ng 7 n«m 2022

Trang 1


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

PH†N I:

a. V³ hẳnh phng
Bi 1: Tứ im M nơm ngoi ữớng trỏn (O; R) k´ hai ti¸p tuy¸n M A v  M B vợi ữớng trỏn (A v

l hai tiáp im)
1) Chựng minh tù gi¡c M AOB nëi ti¸p.
2) V³ tia M x n¬m giúa hai tia M A v  M O. Tia M x cưt ữớng trỏn (O; R) tÔi im C v  iºm D
(iºm C n¬m giúahai iºm

M v  D. Chùng minh hai tam gi¡c M AC v  M DA ỗng dÔng rỗi tứ

AC
õ suy ra MM DC = AD
3) Gåi H l  giao iºm cõa OM v  AB. K´ DK vuổng gõc vợi AB tÔi K , OP vuổng gõc vợi CD tÔi
P , OQ vuổng gõc vối HD tÔi Q. Chựng minh tự giĂc HKP Q l hẳnh thang cƠn.
B

2

Lới giÊi
B

M
H
O
C
E

Q
K

P

A

D

1) Chựng minh tự giĂc MAOB nởi tiáp

\ = 90 (Tẵnh chĐt tiáp tuyán cừa ữớng trỏn)
l tiáp tuyán ữớng trỏn (O) OAM
\ = 90 (Tẵnh chĐt tiáp tuyán cừa ữớng trỏn)
l tiáp tuyán ữớng trỏn (O) → OBM
\ + OBM
\ = 90 + 90 = 180 m  hai gâc n y èi nhau.
Tù gi¡c M AOB câ OAM
Suy ra M AOB l  tù gi¡c nëi ti¸p.
◦

MA
MB

◦

◦

◦

◦

2

MC
AC
2) Chùng minh hai tam giĂc MAC v MDA ỗng dÔng rỗi tø â suy ra
=
MD
AD
\

\
(O)
ADC = M AC
AC
\
\
→M
AC = ADM
△M AC
△M DA
)
\
AM D
→ △M AC ∼ △M DA g.g
\
\ (cmt)
M
AC = ADM
MA
MC
→
=
MD
MA

2
MC
M A2
MA
2

→ M C.M D = M A →
=
=
MD
M D2
MD
MA
AC
=
△M AC M DA cmt
MD
AD

Xt
Xt

cõ:

(gõc nởi tiáp; gõc tÔo bi tiáp tuyán v dƠy cung cũng chưn cung )
v
cõ:
chung
( )
(cp cÔnh tữỡng ựng t lằ)

Mt khĂc,
( )
Hồ tản: ộ Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 2

B€I KIšM TRA I—U KI›N
Suy ra

MỈN: PH†N M—M TON

2
AC
AD
3) Chùng minh HKPQ l hẳnh thang cƠn
MC
=
MD



+) Ta cõ:

nản O thuởc trung trỹc AB
(tẵnh chĐt hai tiáp tuyán cưt nhau) nản M thuëc trung trüc AB.
l  trung trüc cõa AB → OM AB tÔi H Xt tam giĂc OAM vuổng tÔi A, ÷íng cao AH câ:
(h» thùc l÷đng trong tam gi¡c vuæng).

OA = OB(= R)
MA = MB
→ OM
OA2 = OH.OM

OD

=
m  OA = OD → OD = OH.OM → OH
OD
OM
X²t △ODH v  △OM D câ:
\ chung
DOM
→ △ODH ∼ △OM D (c.g.c )
2

OD
OH

=
OD
OM
\ = ODM
\
→ OHD
◦
\ = 90◦ − ODM
\ → AHD
\ = DOP
\
→ 90 − OHD
◦
\
\ = 90
ODP Q
OP

D = OQD

(2 gâc t÷ìng ùng)
(1)
X²t tù gi¡c
câ
(gt)
m  hai gâc n y câ ¿nh k· nhau cũng nhẳn cÔnh OD
ODP Q l tự giĂc nởi tiáp (dĐu hiằu nhên biát)
\ = DQP
\ (2 gõc nëi ti¸p cịng ch­n cung)
→ DOP
(2)
\
\
Tø (1) v  (2) → AHD = DQP , m  hai gâc n y ð và trẵ ỗng v.
P Q HK HKP Q l hẳnh thang (dĐu hiằu nhên biát)
+) Ta cõ: M C.M D = M A (cmt ), M H.M O = M A (h» thùc l÷đng trong tam gi¡c vng OAM )
2

→ M C.M D = M H.M O →

2

MO
MC
=
MH
MD

X²t △M CH v  △M OD câ:
\
OM
Dchung 
→ △M CH ∼ △M OD (c.g.c )

MO
MC
=
(cmt)
MH
MD
\
\
→M
HC = ODM
\ = ODM
\ →M
\
\
OHD
HC = OHD
◦
◦
\
\
→ 90 − M HC = 90 − OHD
\ = AHD
\
→ AHC

\
→ HA
CHD
HC
DK
E △HDE
HK
→ △HDE
E
→ HK
→K
P
DC
OP ⊥ CD
△DCE
→ KP ∥CE
KP ∥HC
\
\
→P
KH = AHC
\=P
\
\ =P
\
→ AHD
KH ↔ KHQ
KH
\ =P
\

HKP Q
KHQ
KH
HKP Q

m 

(2 gõc tữỡng ựng)

(3)
l phƠn giĂc cừa
Ko di cưt tÔi
cõ l ữớng cao ỗng thới phƠn giĂc
cƠn tÔi
ỗng thới l ữớng trung tuy¸n l  trung iºm cõa DE .
m  l  trung im (do
- quan hằ vuổng gõc giỳa ữớng kẵnh v dƠy cung) KP l
ữớng trung bẳnh cừa
(nh nghắa)
hay
(4)
Tứ (3) v (4)
.
Xt hẳnh thang
cõ
Vêy
l hẳnh thang cƠn (nh nghắa)

Hồ tản: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 3


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

B i 2: Cho tam giĂc ABC

cõ ba gõc nhồn nởi tiáp ữớng trỏn (O). CĂc ữớng cao AD, BE, CF
cưt nhau tÔi H v cưt ữớng tron (O) lƯn lữủt tÔi M, N, P . Chựng minh rơng:
1. Tự giĂc CEHD nởi tiáp
2. Bốn im B, C, E, F cũng nơm trản mởt ÷íng trán
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4. H v  M èi xùng qua BC
Líi gi£i
A
N

E
P

F

H
O

B

C

D

M

1. Tù gi¡c CEHD nëi tiáp

Xt tự giĂc CEHD cõ:
CEH = 90 (Vẳ BE l ữớng cao)
CDH = 90 (Vẳ AD l ữớng cao)
CEH + ∠CDH = 180 m  hai gâc n y ð và tr½ èi nhau cõa tù gi¡c CEHD
→ CEHD l  tù giĂc nởi tiáp.
2.Bốn im B, C, E, F cũng nơm trản mởt ữớng trỏn
Theo giÊ thiát:
BE l ữớng cao BE ⊥ AC → ∠BEC = 90
→ E thc ÷íng trỏn ữớng kẵnh BC (1)
CF l ữớng cao CF ⊥ AB → ∠BF C = 90
→ F thc ÷íng trỏn ữớng kẵnh BC (2)
Tứ (1) v (2) B, C, E, F cũng nơm trản ữớng trỏn ữớng kẵnh BC
3.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
X²t △AEH v  △ADC ta câ:
∠AEH = ∠ADC = 90
→ △AEH ∼ △ADC (g.g )
∠A l  gâc chung
◦

◦

◦

◦

◦

◦

AH
AE
=
AD
AC
→ AE.AC = AH.AD
△BEC
△ADC
∠BEC = ∠ADC = 90◦
→

(dpcm)
X²t
v 
ta câ:
Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 4


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

- ∠C l  gâc chung

→ △BEC ∼ △ADC
BC
BE
=
→
AD
AC
→ AD.BC = BE.AC

(dpcm)

4. H v  M èi xùng qua BC

Ta câ ∠BAM = ∠BCM (hai gâc nëi ti¸p cịng ch­n cung BC)
X²t △BAD câ ∠ADB = 90
→ ∠BAD + ∠ABD = 90
(3)
X²t △CF B câ ∠CF B = 90
→ ∠F CB + ∠CBF = 90
(4)
Tø (3) v  (4) → ∠F CB = ∠BAD
m  ∠BAD = ∠BCM (cmt )
→ ∠F CB = ∠BCM ↔ ∠HCD = ∠DCM → CD l  ph¥n gi¡c ∠HCM
X²t △CHM câ
- CD l phƠn giĂc
- AD BC tÔi D (GT) CD HM CD l ữớng cao
CHM cƠn tÔi C CD l trung tuyán D l trung iºm cõa HM
→ HD = HM

m  HD ⊥ BC
→ H v  M èi xùng qua BC
B i 3: Cho nûa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB = 2R. Tứ A v B k´ hai ti¸p tuy¸n Ax, By. Qua iºm M
thuëc nỷa ữớng trỏn k tiáp tuyán thự ba cưt Ax, By lƯn lữủt C v D. CĂc ữớng thng AD v BC
cưt nhau tÔi N
1. Chựng minh AC + BD = CD
2. Chùng minh ∠COD = 90
3. Chùng minh AC.BD = AB4
4. Chùng minh OC∥BM
5. Chùng minh AB l  tiáp tuyán cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh CD










2

Lới giÊi
D

M

I

C

N

B

A
O

Hồ tản: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 5


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

1. AC + BD = CD

Ta cõ: - CA = CM (Tẵnh chĐt hai tiáp tuyán cưt nhau)
- DB = DM (Tẵnh chĐt hai ti¸p tuy¸n c­t nhau)
m  DM + CM = CD
→ AC + BD = CD
2. COD = 90

Theo tẵnh chĐt hai tiáp tuyán cưt nhau cõ:
- OC l tia phƠn gi¡c ∠AOM
→ ∠AOC = ∠COM
- OD l  tia ph¥n gi¡c ∠M OB
→ ∠M OD = ∠DOB
m  ∠AOD + ∠COM + ∠M OD + ∠DOB = 180

◦

↔ 2∠COM + 2∠M OD = 180◦
↔ 2∠COD = 180◦
↔ ∠COD = 90◦
AB2
3. AC.BD =
4
△COD
∠COD = 90◦ cmt
OM ⊥ CD
2
→ OM = CM.DM
CN = AC DM = BD cmt
→ AC.BD = OM 2
AB 2
AB
→ AC.BD =
OM = R =
2
4
4. OC∥BM
∠COD = 90◦ → CO ⊥ OD
DM = DB → D
MB
OM = OB = R → O
MB
→ OD ⊥ M B
→ OC∥M B

5.AB l  ti¸p tuy¸n cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh CD
I
CD I
CD
AC
(O)
A AC ⊥ AB
BD
(O)
B → BD ⊥ AB
→ AC∥BD → ABDC
ABDC
O
AB
I
CD
→ OI
ABDC OI∥DB → OI ⊥ AB
∠COD = 90◦ → O
CD
CD
OI ⊥ AB
O AB
CD

Xt

cõ:

m

m
Cõ
Cõ

;

( )
(Tẵnh chĐt tiáp tuyán)
(Hằ thực lữủng trong tam gi¡c vuæng)
( )

(1)
thuëc trung trüc
thuëc trung trüc
(2)
Tø (1) v  (2)
(tẵnh chĐt)
Gồi l trung im
l tƠm ữớng trỏn ữớng kẵnh
Cõ l tiáp tuyán cừa ữớng trỏn tÔi im
l tiáp tuyán cừa ữớng trỏn tÔi im
l hẳnh thang
Xt hẳnh thang
cõ:
- trung im
- trung im
l ữớng trung bẳnh cừa hẳnh thang
m
thuởc ữớng trỏn ữớng kẵnh
Xt ữớng trỏn ữớng kẵnh cõ

tÔi
l tiáp tuyán cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh

Hồ tản: ộ Th KhĂnh HuyÃn

Trang 6


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

B i 4 (3 iºm). Cho tam gi¡c ABC

nhån nëi ti¸p (O). Gåi I l tƠm nởi tiáp tam giĂc ABC . Tia
AI cưt BC tÔi J v cưt (O) tÔi M khĂc A.
1. Chùng minh r¬ng: M I = M J.M A.
[ v  ACB
[ tÔi P
2. K ữớng kẵnh M N cừa (O). ữớng thng AN cưt tia phƠn giĂc trong gõc ABC
v Q t÷ìng ùng. Chùng minh iºm N l  trung iºm oÔn P Q.
3. LĐy im E thuởc cung nhọ M C cõa (O)(E kh¡c M )). Gåi F l  iºm èi xùng vỵi iºm I qua
iºm E. Gåi R l  giao iºm cõa hai ÷íng th¯ng P C v  QB. Chùng minh 4 iºm P, Q, R, F còng
thuëc mët ÷íng trán.
2

Líi gi£i:

P
N

A
Q

K

I

J
B

E

C

M

F

R

1. MI2 = MJ.MA

[ + IBA
[
Trong tam gi¡c IAB câ gâc ngo i M\
IB = IAB
[ = IAC
[ = CBM
\ ; IBA

[ = IBC
[ n¶n M
\
\ + IBC
[ =M
\
Tø gi£ thi¸t ta câ: IAB
IB = CBM
BI
→ MB = MI
[ = CM
\
Theo chùng minh IAB
B n¶n △BM J ∼ △AM B (g.g),
Suy ra: M B = M J.M A = M I (d.p.c.m)
2. N l trung im oÔn PQ
Vẳ M N l ữớng kẵnh cừa (O) nản AM AN .
Hồ t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n
Trang 7
2

2


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

[ suy ra AN l phƠn giĂc ngoi cừa BAC
[.

LÔi cõ: AM l ph¥n gi¡c trong cõa BAC
[ v  ACB
[.
Ta câ: I l  giao hai ph¥n gi¡c trong gâc ABC
Do â P, Q l tƠm ữớng trỏn bng tiáp tam giĂc ABC .
Vêy P\
BQ = P[
CQ = 90 n¶n tù gi¡c P QBC nởi tiáp ữớng trỏn ữớng kẵnh P Q, cõ tƠm thuëc
P Q v  c¡ch ·u B v  C . V¼ iºm N thc ÷íng th¯ng P Q v  N B = N C nản N l tƠm ữớng
trỏn i qua 4 iºm P, Q, R, F , tùc l  N l  trung iºm P Q (.p.c.m)
3.Bèn iºm P, Q, R, F cũng thuởc mởt ữớng trỏn.
Theo chựng minh trản suy ra I l trỹc tƠm tam giĂc P QR vợi ba ÷íng cao RA, P B, QC .
Tam gi¡c IBR vuổng tÔi B cõ M B = M I nản M l  trung iºm IR, suy ra M E∥RF .
Chùng minh t÷ìng tü K l  trung iºm IP v  KE∥F P .
[
\
Vªy RF
P =M
EK .
[ = 1/2(AB + KM )
Trong (O)ta câ: M\
EK = 1/2(M B + AB + AK); AIB
[.
V¼ M B + AK=M C + KC=KM ; suy ra M\
EK = AIB
[ = 180 → RF
[
[ = 180 .
Vªy M\
EK = AQB

P + AQB
Do â tù gi¡c P QRF nởi tiáp (.p.c.m)


























Bi 5: Cho ữớng trỏn tƠm (O), tứ im M bản ngoi ữớng trỏn (O) k c¡c ti¸p tuy¸n M A, M B(A, B

l  c¡c ti¸p im), k cĂt tuyán M CD khổng i qua tƠm O(C n¬m giúa M v  D; O v  B n¬m và hai
phẵa so vợi cĂt tuyán M CD).
1. Chựng minh tù gi¡c M AOB nëi ti¸p.
2. Chùng minh M B = M C.M D
\.
3. Gåi H l  giao iºm cõa AB v  OM . Chùng minh AB l  ph¥n gi¡c cõa CHD
2

A

M
H

O

C
D

B

Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 8


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

Líi gi£i:

1.Tù gi¡c MAOB nëi ti¸p.

\ = OBM
\ = 90 (Do M A, M B l tiáp tuyán cừa ữớng trỏn (O))
Ta cõ OAM
X²t tù gi¡c OAM B câ:
\ + OBM
\ = 90 + 90 = 180
OAM
→ Tù gi¡c OAM B l  tù gi¡c nëi ti¸p (Tù gi¡c câ têng hai gâc èi b¬ng 180 ).
2. MB = MC.MD
X²t tam gi¡c M BC v  tam gi¡c M DB câ:
\
BM
D chung;
\
\
M
BC = M
DB )(Gâc tÔo bi tiáp tuyán v dƠy cung v gõc nởi ti¸p cịng ch­n BC )
◦

◦

◦

◦

◦

2

⌢

→ △M BC ∼ △M DB(g.g)
MC
MB
=
→
MD
MB
→ M B 2 = M C.M D
\
3.AB l  ph¥n gi¡c cõa CHD
H
AB
OM
AB
MA = MB
→M
OA = OB = R → O
AB;
→ OM
AB → OM ⊥AB
OM B
M B 2 = M H.M O
2
M B = M C.M D(cmt) → M H.M O = M C.M D
MH
MC

=
→
MO
MD
M CH
M OD
\
OM
D
MH
MC
=
(cmt);
MO
MD
→ △M CH ∼ △M OD(c.g.c)
\
\
→M
HC = M
DO
\
\ = 180◦ → M
\
\ = 180◦
M
HC + OHC
DO + OHC
→
OHCD

⌢
\ = OCD
\
→ OHD
OD
\ = ODC
\=M
\
OCD
DO
OCD
O
\
\
→ M HC = OHD
◦
\
\ → CHB
\ = BHD
\
→ 90 − M HC = 90◦ − OHD
HB
CHD
AB

Gåi l  giao iºm cõa v  .Chùng minh l phƠn giĂc cừa CHD.
Ta cõ
(tẵnh chĐt hai tiáp tuy¸n c­t nhau) thuëc trung trüc AB;
thuëc trung trüc cõa
l  trung trüc cõa

X²t tam gi¡c vng
câ
(h» thùc l÷đng trong tam gi¡c vng).
M 
X²t tam gi¡c
chung;

v 

câ:

(hai gâc t÷ìng ùng)(1).
M 
Tù gi¡c
l  tù gi¡c nởi tiáp (Tự giĂc cõ tờng hai gõc ối bơng 180 ).
(hai gõc nởi tiáp cũng chưn cung )
(2).
M
(tam giĂc
cƠn tÔi )
(3);
Tứ (1),(2) v (3)
.
.
Vêy l tia phƠn giĂc cừa gõc
hay l tia phƠn giĂc cừa gõc CHD


b. V hẳnh tåa ë

Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 9


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

B i 1 Cho h m sè y = −x2 − 2x + 3

1. Lªp bÊng bián thiản v v ỗ th cĂc hm số trản
2. Tẳm m  ỗ th hm số trản cưt ữớng thng y = m tÔi hai im phƠn biằt

Lới giÊi
1. Lêp bÊng bián thiản v v ỗ th cĂc hm số trản

* BÊng bián thiản: Xt hm hm số y = −x
a = −1 < 0
Tåa ë ¿nh I(−1; 4)
Tứ dõ ta cõ bÊng bián thiản
x

2

2x + 3



cõ:

1

+

4

y
-

-

* V ỗ th Xt hm hm số y = x 2x + 3 cõ:
Tồa ở nh I(1; 4)
ỗ th hm số giao trửc Oy tÔi im A(0; 3)
ỗ th h m sè giao tröc Ox
2

↔ −x2 − 2x + 3 = 0 ↔

x=1
x = −3
Ox
B(1; 0), C(−3; 0)
x = −1
A
x = 1 D(2; 3)

Vêy ỗ th hm số giao trửc tÔi hai im
ỗ th hm số nhên ữớng thng

lm trửc ối xựng v hữợng bà lóm xuống dữợi.
D l im ối xựng vợi qua trửc


5

y

I 4
D

3 A
2
1

4

C
3

2

1 O
1

B
1

2

3

x

2

2. Tẳm m  ỗ th hm số trản cưt ữớng thng y = m tÔi hai im phƠn biằt

ữớng thng y = m song song ho°c trịng vỵi trưc ho nh do õ dỹa vo ỗ th ta cõ.
Vợi m < 4 ÷íng th¯ng y = m v  paraboly = −x − 2x + 3 cưt nhau tÔi hai im phƠn biằt.
Hồ t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n
Trang 10
2


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

B i 2 Kh£o sĂt sỹ bián thiản v v ỗ th (C) cừa h m sè: y = −x3 + 3x2 − 4
Líi gi£i

Tªp xĂc nh D = R
ChiÃu bián thiản: Ta cõ y = 3x


y = 0

2

+ 6x

x=0
x=2

Hm số nghch bián trản cĂc khoÊng (; 0) v (2; +) , ỗng bián trản khoÊng (0; 2).
Hm số Ôt cỹc Ôi tÔi im x = 2, giĂ tr cỹc Ôi cừa hm số l y(2) = 0
Hm số Ôt cỹc tiu tÔi im x = 0, gi¡ trà cüc tiºu cõa h m sè l y(0) = 4
Giợi hÔn cừa hm số tÔi vổ cỹc: lim = , lim = +
BÊng bián thiản
x
+
0
2
y'

+

0
0
x+

x

+

0

y
ỗ th

4



y
2.
1.

3.

2.

1.

0

1.

2.

x

1.
2.
3.
4.

Hồ tản: ộ Th KhĂnh HuyÃn

Trang 11


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

B i 3: Kh£o s¡t h m sè y = x4 − 2x2 − 3
Líi giÊi

Têp xĂc nh D = R
Sỹ bián thiản



y = 4x3 −4x = 4x(x2 − 1)
x=0
y ′ = 0 ↔ x = −1
x=1
′
y > 0 ↔ x ∈ (−1; 0) ∪ (1; +∞)
y ′ < 0 ↔ x ∈ (; 1) (1; 0)

.
.
Hm số ỗng bián trản khoÊng (1; 0) v (1; +)
Hm số nghch bián trản khoÊng (; 1) v (1; 0)
+ Cỹc tr
Hm số Ôt cỹc Ôi tÔi x = 0, y = y(0) = 3
Hm số Ôt cỹc tiu tÔi x = 1 v x = 1, y = y(1) = 4

+ Giợi hÔn tÔi vổ cỹc lim = +
+ BÊng bián thiản
x
-1
0
1
y'

+

0
0
0
CD

CT

x

+

+
+
+

3

y
4

4

ỗ th
y
2.
1.

3.

2.

1.

0

1.

2.

x

1.
2.
3.
4.

Hồ t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 12

B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

B i 4: Kh£o sĂt sỹ bián thiản v v ỗ th (C) cừa h m sè: y =
x+1
Líi gi£i

2x + 1

TX: D=R / {−1}

2(x + 1) − (2x + 1)
1
=
2
(x + 1)
(x + 1)2
′
y > 0 ∀x ∈ (−∞; −1); (−1; +∞)
(−∞; −1); (−1; +)
y =

KhoÊng ỗng bián
Hm số khổng cõ cỹc tr.
Giợi hÔn v  ti»m cªn

1

2x + 1
x =2
= lim
lim y = lim
1
x→+∞
x→+∞
x→+∞ x + 1
1+
x
y = 2 lim − y = +∞, lim + y =
2+

Vêy ữớng tiằm cên ngang .
Vêy ữớng tiằm cên ựng x + 1 = 0
BÊng bián thiản
x
1
y'
+

x1

+
+

+

y

x1

2


2

Giao vợi Ox tÔi A( 12 ; 0) ; Giao vợi Oy tÔi B(0; 1)
ỗ th nhên I(1; 2) lm tƠm ối xựng
7
6
5
4
3
2
1
8

7

6

5

4

3

2

1
1

1

2

3

4

5

6

7

8

2
3

Hồ tản: ộ Th KhĂnh HuyÃn

Trang 13


BI KIM TRA IU KIN

MặN: PHN MM TON

Bi 5 Hẳnh bản l ỗ th cừa ba hm số y = ax , y = bx , y = cx

ë. Kh¯ng ành n o sau ¥y l  kh¯ng ành óng?
A. c > b > a
B. a > b > c
C. a > c > b
D. b > a > c

ữủc v trản cịng mët h» trưc tåa

y

y = bx
y = ax

y = cx
1

x

O
−1

Líi gi£i

Tø h¼nh v³ ta câ:
y = a v  y = b l hai hm ỗng bián a, b > 1
y = c l  h m nghàch bi¸n → 0 < c < 1 → c b²nh§t.
L§y y = m vỵi (m > 0) ta câ y v  y sao cho ab == yy ta câ h¼nh v³:

x

x

x

m

1

2

m

y

y = cx

1

2

y = bx

y2

y = ax

y1
1

O

y=m

x

−1

Tø h¼nh v³ ta câ

y2 > y1
↔ bm > am
am>0
c < a < b Chồn

Vêy

(do

)

D

Hồ tản: ộ Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 14

BI KIM TRA IU KIN

MặN: PHN MM TON

PHN II:

a. Giợi hÔn dÂy số


(13 + 3)n (13 3)n

CƠu 1: Cho dÂy số un cõ số hÔng tờng quĂt un =

Tẵnh 5 số hÔng Ưu tiản cừa dÂy số v v ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy số õ.
2 3

5

Lới giÊi:

số hÔng Ưu cừa dÂy số
n
un





1
1

2
26

3
510

4
8944

5
147884

V ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy số

Quan sĂt ỗ th thĐy dÂy số phƠn ký

Hồ tản: ộ Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 15


BI KIM TRA IU KIN

MặN: PHN MM TON

CƠu 2: Cho d¢y sè thüc (xn ) thäa m¢n: x1 = , xn+1 =

vợi mồi n nguyản dữỡng.
Tẵnh 10 số hÔng Ưu cừa dÂy số. V ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy số õ.

1
6

3xn
2xn + 1

Lới giÊi:
10

số hÔng Ưu cừa dÂy số
x1
0.167



x2
0.375

x3
0.643

x4
0.844

x5
0.942

x6
0.98

x7
0.993

x8
0.998

x9
0.9992

x10
0.9997

V ỗ thà h m sè kh£o s¡t sü hëi tư hay ph¥n ký cừa dÂy số

Quan sĂt dÂy số thĐy dÂy số hëi tư
Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n
→

Trang 16


BI KIM TRA IU KIN
CƠu 3: Cho dÂy số

MặN: PHN M—M TON


u 1 = 1
1
un = un−1 + 2.∀n > 1

2

Tẵnh 10 số hÔng tiáp theo cừa dÂy số. V ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy số õ.
số hÔng tiáp cừa dÂy số

10
n
2
un 2.5


3
3.25

4
3.625

5
3.8125

Lới giÊi:
6
3.90625

7
3.953125

8
3.9765625

9
3.9882812

10
3.9941406

11
3.9970703

V ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy số



Hồ tản: ộ Th KhĂnh HuyÃn

Quan sĂt dÂy số thĐy dÂy số hëi tö
Trang 17


BI KIM TRA IU KIN

MặN: PHN MM TON

CƠu 4: Tẵnh 7 giĂ tr Ưu tiản cừa dÂy số xĂc nh bi

7



Lới giÊi:

giĂ tr Ưu cừa dÂy số
n
un


n
1
un = 1 +
, n = 1, 2...
n

1
2

2
2.25

3
2.37

4
2.44

5
2.52

6
2.55

7
2.57

Quan sĂt ỗ th thĐy dÂy sè hëi tư

Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 18


BI KIM TRA IU KIN

MặN: PHN MM TON

CƠu 5: Tẵnh 7 phƯn tỷ Ưu cừa dÂy số xĂc nh bi: un = 1 +

7



Lới giÊi:

giĂ tr Ưu cừa dÂy sè
n
un

1
1
1
+ + ... + ∀n = 1, 2, 3...

1! 2!
n!

1
2

2
2.5

3
2.667

4
2.708

5
2.717

6
2.718

7
2.7182

Quan sĂt ỗ th thĐy dÂy số hởi tử

Hồ tản: ộ Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 19

BI KIM TRA IU KIN

MặN: PHN MM TON

b. V ỗ thà 5 h m sè

1. y = −x

2

− 2x + 3

2. y = −x

3

+ 3x2 − 4

Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 20


B€I KIšM TRA I—U KI›N
3. y = x

4

MỈN: PH†N M—M TON

− 2x2 − 3

4. y = 2xx ++11

Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 21


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

5. H m mơ

Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 22


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

PH†N III: CC B€I TON V— NGHI›M CÕA A THÙC

B i 1: Cho a thùc P (x) = 1 + x2 + x9 + xn1 + ... + xns + x2022 Vỵi n1 , n2 , ..., ns l cĂc số tỹ nhiản thọa

mÂn 9 < n < n < ... < n < 1992.

√
1− 5
Chùng minh r¬ng nghi»m cõa a thùc P (x) (náu cõ) khổng th lợn hỡn 2 .
1

2

s

Lới giÊi

Vợi x ≥ 0 th¼ P (x) ≥ 1 > 0. Ta s³ chùng minh
ta câ:

√
1− 5
P (x) > 0∀x ∈ (
; 0)
2

. Thêt vêy vợi x < 0, x = 1,

P (x) ≥ 1 + x + x3 + x5 + ... + x2k+1 + ... + x2021
= 1 + x.

(x2020 + x2018 + ... + 1)(1 − x2 )
1 − x2

1 − x2022
1 − x2 + x − x2023

=
1 − x2
1 − x2
√
1− 5
; 0)
1 − x2 > 0; −x2023 > 0; 1 − x2 + x > 0
x∈(
2
√
1− 5
⇛ P (x) > 0x (
; +)
2
= 1 + x.

thẳ

Vợi

nản


1 5
; 0)
P (x) > 0∀x ∈ (
2

.(i·u ph£i chùng minh).
B i 2: Cho a thùc P (x), k = 1, 2, 3, ... x¡c àn bði: P (x) = x − 2, P (x) = P (P (x))∀n = 1, 2, 3, ...

Chựng minh rơng vợi mội số nguyản dữỡng n, P (x) = x câ 2 nghi»m thüc ph¥n bi»t nhau.
k

1

2

n+1

1

n

n

n

Líi gi£i

Vỵi n = 1, P (x) = x − 2. Phữỡng trẳnh x 2 = x cõ hai thüc nghi»m ph¥n bi»t l  2, −1.
a thùc P (x) cõ bêc l 2 . Ta s tẳm cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản trong khoÊng (2; 2) v ch
ra â l  t§t c£ c¡c nghi»m cõa a thùc P (x).
°t x = 2cost. t ∈ (0, π). ⇒ P (2cost) = 2cos(2t) ⇒ P (2cost) = P (P (2cost) = P (2cos2t) = 2cos4t =
2cos(2 t).
Bơng quy nÔp, ta chựng minh ữủc P (2cost) = 2cos2 t. Phữỡng trẳnh P (x) = x trð th nh:
1

2

n

2

n

n

1

2

1

1

1

2

n

n

2n t = t + 2kπ
2cos2n t = 2cost ⇔ cos2n t = cost ⇔ n
(k ∈ Z)
2 t = −t + 2kπ

2kπ
t= n


2 −1
2n

2kπ
t= n
2 + 1
2kπ
n−1
−
t = 2n − 1 (0 ≤ k ≤ 2
0≤t≤π⇒

2kπ
t= n
(0 ≤ k ≤ 2n−1 +
2 +1
2n−1 − 1
2n1

Vêy ta ữủc nghiằm

1
)
2
1
)
2

Kát hủp vợi

ta ữủc:
NgoÔi nghiằm chung t = 0 thẳ mội
trữớng hủp cho ta
v nghiằm cỏn lÔi phƠn biằt. Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ ỷ 2 nghi»m
(i·u ph£i chùng minh).
B i 3: Cho a thùc P (x) = x(x − 1)(x − a) − 1 vỵi a ≥ 5.
2

n

2

a) Chùng minh r¬ng P (x) ln câ 5 nghiằm thỹc phƠn biằt. Kẵ hiằu l x , x , x , x , x .
1

Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n

2

3

4

5

Trang 23


B€I KIšM TRA I—U KI›N
b) T½nh têng sau T = P x

5

i=1

4
i

MỈN: PH†N M—M TON
1
− x2i

.
Líi gi£i

a) Ta câ P (x) l  h m sè li¶n tưc v 

lim = −∞, P (−2) = 6a − 25 > 0, P (−1) = −1 < 0,

x→−∞

. n¶n

s³ câ nghi»m thuëc (−∞; −2), (−2; −1), (−1; 12
v  x −1 x = x2 + x +1 1 − x −1 1

12a − 35
1
P( ) =
> 0, P (1) = −1 < 0, lim = +∞
P (x)

x→+∞
2
32
′
′′
P (x) = 5x4 − 3(a + 1)x2 + a, P (x) = 20x3 − 6(a + 1)x

b)

5
P

5
P

.

5
P

4

2

2

2
1
1
+

−
2
i=1 xi
i=1 xi + 1
i=1 xi − 1
′
5
5
5
P
P
P (x) P 1
1
1
′
′
=
−
= −P (−1) + P (1) = 0
P (x)
i=1 x − xi
i=1 xi + 1
i=1 xi − 1
′′
′
′′
′
5
5 1
P

P
P (x)P (x) − [P (x)]2
1
P (0)P (0) − [P (0)]2
=−
= a2
⇒
=−
2
2
2
2
P (x)
P (0)
i=1 (x xi )
i=1 x
T = 2a2

T =

LÔi cõ

nản

Vêy ta tẵnh ữủc
.
Bi 4: Cho a thực: P (x) = 5x

. Tiáp tửc Ôo hm ta cõ
.

3

40x2 + 100x 79

a) Chùng minh r¬ng a thùc câ ba nghi»m thüc l  ở di ba cÔnh cừa mởt tam giĂc ABC vợi mởt
gõc lợn hỡn 120 .
b) Chựng minh rơng cĂc trung tuyán cừa ABC l ở di ba cÔnh mởt tam gi¡c tị n o â.
o

Líi gi£i

a) P (x) li¶n tóc tr¶n R v  P (1) = −14 < 0, P (2) = 1 > 0, P (3) = −4 < 0, P (4) = 1 > 0 n¶n a
thùc P (x) câ c¡c nghi»m ph¥n bi»t trong (1; 2), (2; 3), (3; 4). Gồi cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho
l a, b, c (a > b > c)
Theo ành l½ Viete th¼ a + b + c = 8. Do a l số lợn nhĐt nản a (3; 4) ⇒ b + c = 8 − a > 4 > a hay
a, b, c l ở di ba cÔnh mët tam gi¡c.
Gâc tị n¸u câ ph£i l  gâc èi diằn vợi cÔnh lợn nhĐt
tực  ch ra79tam giĂc cõ mởt gõc lợn79hỡn 120 ta
79
cƯn chựng minh: b + c + bc < a ⇔ (8 − a) − 5a < a ⇔ 64 − 5a < 16a ⇔ a > 4a 80
Bơng bián ời tữỡng ữỡng, ta ữủc
o

2

2

2

2

2

241
(a 2)2 >
a>2+
80

2

r

241
80

7
15
Do 3 < a < 4, dạ thĐy 241
< ta s chựng minh bĐt ng thực mÔnh hỡn l  a >
80
4
4
10
Ta câ P (x) = 15x − 80x + 100 n¶n P (x) = 0 ⇔ x = 2, x = 3 . Suy ra a thùc P (x) ỗng bián trản
10
15
10
15
181

15
( ; +). Ró rng
> ,P( ) = −
< 0 = P (a) n¶n suy ra a > . Do â a > b + c + bc
4
hay3 tam gi¡c a, b, c câ4 mët 3gâc lỵn4 hìn 12064.
b)Bê ·: Cho tam gi¡c ABC câ BC > CA > AB thẳ ba ữớng trung tuyán tữỡng ựng AD, BE, CF
s lêp thnh ở di ba cÔnh mởt tam giĂc mợi vợi CF > BE > AD.
r



2



2

2

2

o

Hồ tản: é Thà Kh¡nh Huy·n

Trang 24


B€I KIšM TRA I—U KI›N

MỈN: PH†N M—M TON

K

A

F

E

B

D

C

Gåi m , m , m l ở di cĂc ữớng trung tuyán ùng vỵi AD, BE, CF . a, b, c l  ở di ba cÔnh
BC, CA, AB
a > b > c.Theo cổng thực dữớng trung tuyán,
a

b

c

4m2a = 2(b2 + c2 ) − a2 < 2(c2 + a2 ) − b2 = 4m2b < 2(b2 + a2 ) − c2 = 4m2c
⇒ ma < mb < mc
ADBK ⇒ F
KD

BK = AD
−−→ 1 −→ −−→
−−→ −−→ −−→
DF
ABC
DF = CA = CE ⇒ F K = DF = CE
2
⇒ KE = CF
BKE

M°t kh¡c, dỹng hẳnh bẳnh hnh
l trung im v
.
l ữớng trung bẳnh tam giĂc nản
. Tực ECF K cụng
l hẳnh bẳnh hnh
. Vêy tam giĂc
ữủc lêp thnh ba cÔnh cõ ở di m , m , m .
Tr lÔi bi toĂn, a > b > c n¶n m < m < m , ba ữớng trung tuyán cừa ABC cụng lêp thnh mët
tam gi¡c.
º chùng minh tam gi¡c tị, ta c¦n chùng minh m > m + m ⇔ 4m > 4m + 4m .
a

b

c

b

a

c

2
c

2
a

2
b

2
b

2
a

2
c

⇔ 2(b2 + a2 ) − c2 > 2(b2 + c2 ) − a2 + 2(c2 + a2 ) − b2
⇔ a2 + b2 > 5c2 ⇔ a2 + b2 + c2 > 6c2 (1)
a + b + c = 8, ab + bc + ca = 20 ⇒ a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = 24
(1) ⇔ 24 > 6c2 ⇔ 4 > c2
c ∈ (1; 2)

Theo inh lẵ Viete,
Vêy
(úng do

Bi 5: Cho cĂc a thực bªc 3:

).

v  Q(x) = x + 3x + 8x − 4.
a) Chùng minh r¬ng méi a thùc P (x) v  Q(x) Ãu cõ mởt nghiằm dữỡng duy nhĐt.
b) Gồi cĂc nghiằm dữỡng cừa P (x) v Q(x) lƯn lữủt l p v  q. Chùng minh r¬ng √p − √q = 1.
P (x) = x3 + 2x2 − 7x − 16

3

2

Líi gi£i

a) Ta câ P (x) = 3x
′

"

2

x=1
7
x=−
3
7
40
P (− ) = − < 0, P (1) = −20 < 0
3

27
(1; +∞) P (x)

+ 4x 7 = 0

nghch bián trản (− 37 ; 1) v 
n¶n P (x) khỉng câ nghi»m trong
khoÊng (0, 1] mt khĂc P (x) ỗng bián trản
, li¶n tuc v  lim P (x) = +∞ n¶n P (x) cõ
nghiằm dữỡng duy nhĐt.
Q (x) = 3x + 6x + 8 > 0, ∀x ∈ R v  Q(0) = −4, lim Q(x) = +∞. M  Q(x) li¶n tưc tr¶n R nản Q(x)
cõ nghiằm dữỡng duy nhĐt.
b) Do p l nghiằm dữỡng cừa P (x) nản p s l nghiằm cõa a thùc P (x ) = x + 2x − 7x − 16.
Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n
Trang 25

P (x)

′

x→∞

2

x→+∞

2

6

4

2