đại số đa tuyến tính – phùng hồ hải

ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH
PHÙNG HỒ HẢI
Viện Toán học
Bản nháp 0.01
Ngày 30.11.2009
Phùng Hồ Hải Đại số Đa tuyến tính
Mục lục
Chương I. Không gian véc tơ 5
1.1. Trường 5
1.2. Không gian véc tơ 7
1.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính 13
1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 16
1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 20
1.6. Bài toán phổ dụng 24
Chương II. Tích ten xơ 31
2.1. Ánh xạ đa tuyến tính 31
2.2. Tích ten xơ 32
2.3. Tính kết hợp và giao hoán của tích ten xơ 37
2.4. Tích ten xơ của ánh xạ, của tổng trực tiếp, tính khớp 39
2.5. Tích ten xơ của các không gian con và không gian thương 41
2.6. Liên hệ với hàm tử Hom 44
2.7. Lũy thừa ten xơ 47
2.8. Ten xơ hỗn hợp 48
Chương III. Nhóm đối xứng 51
3.1. Nhóm đối xứng 51
3.2. Tác động của S
n
57
3.3. Đại số nhóm [S
n
] 61

Chương IV. Lũy thừa đối xứng và ten xơ đối xứng 65
4.1. Ánh xạ đa tuyến tính đối xứng và lũy thừa đối xứng 65
4.2. Lũy thừa đối xứng của ánh xạ, tổng trực tiếp 69
4.3. Ten xơ đối xứng 71
4.4. Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số 0 72
3
4 Mục lục
4.5. Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số dương 74
4.6. Lũy thừa đối xứng và dãy khớp 75
Chương V. Lũy thừa ngoài và ten xơ phản đối xứng 79
5.1. Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoài 79
5.2. Lũy thừa ngoài của ánh xạ, tổng trực tiếp 84
5.3. Ten xơ thay phiên 86
5.4. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số 0 89
5.5. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số dương 91
5.6. Đối ngẫu 92
5.7. Khai triển Cramer và khai triển Laplace 95
Chương I
Không gian véc tơ
1.1. Trường
ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Một trường là một tập hợp cùng hai phép
toán “cộng”, ký hiệu +, và “nhân”, ký hiệu · thỏa mãn các điều
kiện sau:
(i) ( , +) là một nhóm giao hoán với phần tử đơn vị ký hiệu
là 0, gọi là phần tử không của ,
(ii) (
×
, ·) là một nhóm giao hoán (ở đây
×
:= \ {0}), với

phần tử đơn vị ký hiệu là 1, gọi là phần tử đơn vị của ,
(iii) phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng:
(1.1.1) (a + b) · c = (a · b) + (a · c)
CHÚ Ý 1.1.2. (i) Chúng ta sẽ quy ước như thông lệ là
phép nhân được thực hiện trước phép cộng và thông
thường sẽ bỏ dấu · khi ký hiệu phép nhân.
(ii) Từ định nghĩa, một trường có ít nhất hai phần tử 0 và 1.
VÍ DỤ 1.1.3. (i) Các tập hợp , , với các phép toán
thông thường lập thành trường.
(ii) Trường có đúng hai phần tử 0 và 1 thường được ký hiệu
là
2
. Cấu trúc trường trên
2
có thể được mô tả thông
qua các phép cộng và nhân modulo 2.
(iii) Tương tự, với mỗi số nguyên tố p, tập các lớp đồng dư
theo modulo p với các phép toán cộng và nhân tạo thành
5
6 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
một trường, thường được ký hiệu là
p
. Trường
p
như
vậy có p phần tử.
(iv) Cố định một trường , ta có thể xây dựng một trường
mới chứa như sau. Xét tập hợp các phân thức hữu tỷ
theo một biến t:
(1.1.2) (t) :=


P (t)
Q(t)
|P, Q ∈ [t]

Khi đó (t) với các phép cộng và nhân phân thức hữu tỷ
lại là một trường. Hiển nhiên trường này chứa trường
như một trường con
1
.
(v) Trường (t) thường được gọi là trường hàm trên theo
biến t. Nó còn được gọi là trường các thương của vành đa
thức [t]. Ta cũng có thể xây dựng các trường khác chứa
bằng cách xét các trường thặng dư của [t] modulo một
đa thức bất khả quy nào đó. Trong vành các đa thức, đa
thức bất khả quy đóng vai trò của một số nguyên tố, tập
hợp các lớp đồng dư modulo một đa thức bất khả quy
với phép cộng và nhân thông thường cũng lập thành một
trường.
ĐỊNH NGHĨA 1.1.4. Đặc số của một trường là số nguyên dương
nhỏ nhất p sao cho
p · 1 := 1 + 1 + . . . + 1
  
p
= 0
(ở đây 1 ký hiệu phần tử đơn vị của ). Trong trường hợp không
tồn tại số p như vậy ta nói trường có đặc số 0.
VÍ DỤ 1.1.5. • Rõ ràng các trường , , có đặc số 0.
• Mặt khác trường
p

và
p
(t) có đặc số p.
1
Một trường con của trường là một tập con sao cho ( , +) và
×
, ·) là
các nhóm con tương ứng của ( , +) và (
×
, ·).
1.2. Không gian véc tơ 7
• Dễ dàng kiểm tra rằng nếu p > 0 là đặc số của thì p
phải là số nguyên tố. Thật vậy, nếu p không là nguyên tố,
p = p
1
p
2
, p
i
> 1, thì
(p
1
· 1)(p
2
· 1) = p · 1 = 0
dẫn tới p
1
· 1 hoặc p
2
· 1 phải bằng 0, mâu thuẫn với giả

thiết nhỏ nhất của p.
• Nếu trường có đặc số 0 thì ta có thể coi như là một
trường con của nó. Thật vậy, với mỗi số nguyên b = 0,
phần tử b · 1 là khác 0 trong , do đó khả nghịch. Phần
tử nghịch đảo của nó được ký hiệu là 1/b. Như vậy ta có
thể ứng mỗi phân số a/b với phần tử a · 1/b của .
• Ngược lại, nếu có đặc số p > 0, thì có thể coi
p
như là
một trường con của .
1.2. Không gian véc tơ
ĐỊNH NGHĨA 1.2.1 (Không gian véc tơ). Cố định một trường .
Một không gian véc tơ trên là một tập hợp V cùng với các phép
toán cộng véc tơ, ký hiệu là +, và phép nhân với vô hướng, ký hiệu
là ·:
(1.2.1)
V × V −→ V ; (u, v) −→ u + v
× V −→ V ; (λ, v) −→ λ · v
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) (V, +) là một nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là 0,
(ii) phép nhân với vô hướng có tính đơn vị:
1 · v = v, với mọi v ∈ V
(iii) phép nhân với vô hướng tương thích với phép nhân trong
:
(λµ) · v = λ · (µ · v)
8 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
(iv) phép nhân với vô hướng có tính phân phối đối với phép
cộng véc tơ:
λ · (a + b) = (λ · a) + (λ · b)
NHẬN XÉT 1.2.2. Từ định nghĩa một không gian véc tơ ta suy

ra ngay các tính chất sau:
0 · v = 0,
(−1) · v = −v
Chúng ta cũng sẽ quy ước như mọi khi là phép nhân với vô
hướng sẽ được thực hiện trước phép cộng véc tơ cũng như sẽ bỏ
dấu · khi ký hiệu phép nhân với vô hướng.
VÍ DỤ 1.2.3. (i) Trên mặt phẳng cố định một điểm O. Tập
các véc tơ với gốc là O và ngọn là một điểm bất kỳ trong
mặt phẳng lập thành một không gian véc tơ trên với
phép cộng véc tơ thông thường.
(ii) Ví dụ trên có thể mở rộng ra không gian. Một không gian
véc tơ trên thường được gọi là một không gian véc tơ
thực.
(iii) Tập hợp các đa thức với hệ số trong một trường là một
không gian véc tơ trên , phép cộng véc tơ ở đây là phép
cộng đa thức, phép nhân với vô hướng là phép nhân một
đa thức với một phần tử của . Chú ý trong trường hợp
này ta có thể đồng nhất trường một cách chính tắc với
tập các đa thức bậc 0. Đối với một không gian bất kỳ
không có phép đồng nhất (một cách chính tắc) như vậy.
ĐỊNH NGHĨA 1.2.4 (Không gian con). Tập con U trong không
gian véc tơ V được gọi là không gian con nếu (U, +) là nhóm con
của (V, +) và U đóng với phép nhân với vô hướng.
1.2. Không gian véc tơ 9
ĐỊNH NGHĨA 1.2.5 (Ánh xạ tuyến tính). Cho hai không gian
véc tơ V và W trên trường . Một ánh xạ f : V −→ W được gọi là
ánh xạ tuyến tính nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
i) f(u + v) = f(u) + f(v) với mọi u, v ∈ V ,
ii) f(λu) = λf(u) với mọi λ ∈ , u ∈ V .
Hạch của ánh xạ tuyến tính f được định nghĩa là tập

Ker(f) := {v ∈ V |f(v) = 0}
Đây là một không gian con của V .
Ảnh của ánh xạ tuyến tính f
Im(f) := {f(v)|v ∈ V }
cũng là không gian con của W .
ĐỊNH NGHĨA 1.2.6. Tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong là
một tổng dạng
λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ . . . λ
n
v
n
với λ
i
∈ và v
i
∈ V . Bộ các véc tơ (v
i
) được gọi là phụ thuộc tuyến
tính nếu tồn tại một bộ các phần tử λ
i
∈ không đồng thời bằng
0 sao cho

λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ . . . λ
n
v
n
= 0
Trong trường hợp ngược lại bộ (v
i
) được gọi là độc lập tuyến tính.
Một tập con S trong V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập
con hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính.
Nhận xét rằng một tập độc lập tuyến tính không thể chứa véc
tơ 0. Ngược lại một tập bao gồm chỉ một véc tơ khác 0 luôn là độc
lập tuyến tính.
ĐỊNH NGHĨA 1.2.7. Tập sinh của một không gian véc tơ V là
một tập con S của V sao cho mọi phần tử của V biểu diễn được
10 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S.
Cơ sở của V là một tập con B sao cho mọi phần tử của V biểu
diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các
phần tử trong B.
NHẬN XÉT 1.2.8. i) Một cách tổng quát hơn, với mỗi tập
con S ⊂ V , tập các tổ hợp tuyến tính của các véc tơ từ

S lập thành một không gian con, gọi là không gian con
căng bởi S, ký hiệu S. S là tập sinh của V nếu S = V .
ii) Tập sinh trong một không gian véc tơ luôn tồn tại, chẳng
hạn ta có thể lấy S = V . Tuy nhiên sự tồn tại của một cơ
sở là không hiển nhiên.
ĐỊNH LÝ 1.2.9. Cho V là một không gian véc tơ trên trường .
Các điều kiện sau đây là tương đương đối với một tập con B ⊂ V :
(i) B là một cơ sở của V ;
(ii) B là tập sinh tối thiểu của V (nghĩa là mọi tập con thực
sự của B không là tập sinh của V );
(iii) B là tập sinh của V và B là độc lập tuyến tính.
HỆ QUẢ 1.2.10. Cơ sở B của không gian véc tơ V thỏa mãn
tính chất phổ dụng sau: với mọi không gian véc tơ W , mọi ánh xạ
f : B −→ W có thể mở rộng một cách duy nhất thành ánh xạ tuyến
tính ϕ : V −→ W .
B
nhúng

∀f









V
∃!ϕ










W
ĐỊNH LÝ 1.2.11. Trong một không gian véc tơ bất kỳ luôn tồn tại
ít nhất một cơ sở. Hai cơ sở bất kỳ có cùng lực lượng. Hơn thế nữa,
nếu cho một tập các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian thì
ta luôn có thể bổ sung vào đó các véc tơ để thu được một cơ sở của
không gian.
1.2. Không gian véc tơ 11
ĐỊNH NGHĨA 1.2.12. Lực lượng của cơ sở trong một không gian
véc tơ được gọi là số chiều (hoặc nói một cách rút gọn là chiều)
của không gian véc tơ đó.
CHÚ Ý 1.2.13. Trong giáo trình này, nếu không nói ngược lại,
một không gian véc tơ sẽ luôn được giả thiết là hữu hạn chiều.
Xét một không gian véc tơ V và giả sử (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) là một
cơ sở của V . Để thuận tiện, ta sẽ quy ước ký hiệu một cơ sở như
vậy là (x). Với mỗi v ∈ V ta có khai triển

v =

i
v
i
x
i
Phần tử v
i
của trường được gọi là tọa độ thứ i của v theo cơ sở
(x).Ta ký hiệu véc tơ cột các tọa độ của v bởi [v]. Nếu hiểu (x) như
là một véc tơ hàng thì ta có
v = (x)[v]
ở đây vế phải là phép nhân một ma trận kích thước 1 × n với ma
trận n × 1.
Giả thiết (x

) là một cơ sở khác trong V . Biểu diễn các véc tơ
trong (x

) theo cơ sở (x) ta thu được ma trận P = [p
i
k
] các véc tơ
cột [x

k
] của các tọa độ của x

k

theo cơ sở (x). Nói cách khác ta có
x

k
=

i
p
i
k
x
i
hoặc
(x

) = (x)P
12 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ma trận P được gọi là ma trận chuyển cơ sở (x) sang (x

). Ta có
mô tả cụ thể
P =





p
1
1

p
1
2
. . . p
1
n
p
2
1
p
2
2
. . . p
2
n
. . . . . . .
p
m
1
p
m
2
. . . p
m
n






Vì (x

) cũng là cơ sở nên ma trận này là khả nghịch. Nghịch đảo
của nó chính là ma trận chuyển sơ sở từ (x) sang (x

).
Ta có thể tính được tọa độ của một véc tơ v theo cơ sở (x

)
thông qua tọa độ của nó theo (x) và (x

) bởi công thức
[v

] = P
−1
[v]
Thật vậy đẳng thức trên được suy ra từ đẳng thức
v = (x)[v] = (x

)[v

] = (x)P [v

]
Ta nói P
−1
là ma trận chuyển tọa độ từ cơ sở (x) sang cơ sở
(x


).
CHÚ Ý 1.2.14. Người đọc có thể nhận xét rằng cách ghi chỉ số
ma trận ở đây khác với cách ghi ở một số giáo trình khác. Ở đây
chúng ta sẽ thống nhất một số quy tắc sau:
i) Chỉ số của một véc tơ cơ sở được đánh ở dưới,
ii) Chỉ số của tọa độ được đánh ở trên;
iii) Ngoài ra chúng ta sẽ quy ước mô tả rút gọn một tổng
theo chỉ số như sau
2
: tổng sẽ được lấy theo một chỉ số
nào đó nếu chỉ số đó xuất hiện 2 lần, một lần ở vị trí trên
và một lần ở vị trí dưới, chẳng hạn
a
i
b
i
:=

i
a
i
b
i
2
Cách viết này được sử dụng lần đầu tiên bởi A. Einstein và được sử dụng
rộng rãi trong Vật lý.
1.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính 13
Ví dụ công thức v = (x)[v] có thể viết
v = v
i

x
i
như vậy ở vế phải tổng được lấy theo i.
VÍ DỤ 1.2.15. i) Cho A = [a
j
i
] là ma trận kích thước m ×
n (nghĩa là có m hàng và n cột) và B = [b
l
k
] là ma trận
kích thước n × p. Khi đó ta có tích của chúng là ma trận
C = [c
j
k
] cho bởi
c
j
k
= a
j
i
b
i
k
ở đây vế phải tổng được lấy theo chỉ số i chạy từ 1 tới n
trong khi các chỉ số k, j là cố định.
ii) Vết của ma trận vuông A = [a
j
i

] được định nghĩa là
trace(A) = a
i
i
như vậy tổng được lấy theo i. Giả thiết B và C là các ma
trận kích thước tương ứng m × n và n × m. Khi đó tích
BC và CB tồn tại và là các ma trận vuông cấp tương ứng
là m × m và n × n. Ta có
trace(BC) = b
j
k
c
k
j
= c
k
j
b
j
k
= trace(CB)
iii) Tương tự ta dễ dàng kiểm tra rằng ma trận biểu diễn của
một ánh xạ hợp thành là tích của ma trân biểu diễn của
từng ánh xạ.
1.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính
Trong mục này ta sẽ xét các không gian véc tơ hữu hạn chiều.
Giả sử V và W là hai không gian véc tơ với chiều tương ứng là n
và m. Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là
14 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
L(V, W ). Ta có thể định nghĩa phép cộng các anh xạ tuyến tính

cũng như phép nhân với vô hướng:
(1.3.1)
(f + g)(v) := f (v) + g(v)
(λf)(v) := λ(f(v))
Từ đó L(V, W ) có cấu trúc một không gian véc tơ.
Nếu cố định hai cơ sở (x) = (x
i
) và (y) = (y
j
) tương ứng trong
V và W thì ta có thể mô tả f thông qua một ma trận như sau. Vì
f là một ánh xạ tuyến tính nên nó được xác định một cách duy
nhất bởi ảnh của các véc tơ x
i
. Thật vậy, với mỗi v ∈ V ta viết
v =

v
i
x
i
từ đó
f(v) =

i
v
i
f(x
i
)

Bây giờ khai triển f(x
i
) theo cơ sở y
j
:
f(x
i
) =

j
a
j
i
y
j
Ta thu được ma trận
A =





a
1
1
a
1
2
. . . a
1

n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
. . . . . . .
a
m
1
a
m
2
. . . a
m
n





với cột thứ i là tọa độ của véc tơ f(x
i
) theo cơ sở (y). Dế thấy rằng
nếu [v] ký hiệu véc tơ cột mô tả tọa độ của v theo cơ sở (x) thì
[f(v)] = A · [v]

ĐỊNH NGHĨA 1.3.1. Ma trận A thu được ở trên được gọi là ma
trận biểu diễn của ánh xạ f theo hai cơ sở (x) và (y).
Ta dễ dàng kiểm tra rằng ma trận biểu diễn của một ánh xạ
hợp thành là tích của ma trân biểu diễn của từng ánh xạ.
1.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính 15
MỆNH ĐỀ 1.3.2. Chiều của không gian L(V, W ) là tích các số
chiều của V và W .
CHỨNG MINH. Cố định hai cơ sở (x) = (x
i
) và (y) = (y
j
) tương
ứng trong V và W . Khi đó tồn tại các ánh xạ tuyến tinh e
i
j
: V −→
W xác định bởi tính chất
e
i
j
(x
k
) = δ
i
k
y
j
Nói cách khác, ánh xạ e
i
j

biến x
i
vào y
j
còn các phần tử khác của
cơ sở (x) vào 0. Từ các tính chất trên của một ánh xạ tuyến tính
ta thấy f là tổ hợp tuyến tính của các ánh xạ e
i
j
với hệ số là các
phần tử trong ma trận biểu diễn của f theo các cơ sở (x) và (y):
f = a
j
i
e
i
j
Từ đó suy ra kết luận của mệnh đề. 
Trong trường hợp V = W , ánh xạ tuyến tính f : V −→ V được
gọi là một tự đồng cấu tuyến tính hoặc một phép biến đổi tuyến
tính. Trong trường hợp này thay vì chọn hai cơ sở như ở trên ta
chỉ chọn 1 cơ sở. Nói cách khác, ma trận biểu diễn của ánh xạ f
theo cơ sở (x) của V được cho bởi điều kiện:
f(x
i
) = a
j
i
x
j

Hợp thành của hai tự đồng cấu của V lại là một tự đồng cấu của
f. Dễ thấy phép hợp thành thỏa mãn tính phân phối đối với phép
cộng ánh xạ và phép nhân với vô hướng:
(f + g) ◦ h = (f ◦ h)+)g ◦ h)
(λf) ◦ g = λ(f ◦ g)
Từ đó tập L(V, V ), thường được ký hiệu tắt là E(V ), là một vành
theo hai phép toán cộng và hợp thành ánh xạ.
16 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Quay lại trường hợp một ánh xạ tuyến tính f : V −→ W với
ma trận A theo các cơ sở (x) và (y). Ta quan tâm tới mối liên hệ
giữa A và ma trận A

cũng của f nhưng theo các cơ sở khác, (x

)
và (y

) tương ứng của V và W .
Giả thiết P ma trận chuyển cơ sở từ (x) sang (x

) và Q là ma
trận chuyển cơ sở từ (y) sang (y

) ký hiệu là Q. Khi đó ta có công
thức liên hệ sau giữa A và A

:
A

= Q

−1
AP
Trong trường hợp f : V −→ V là một tự đồng cấu tuyến tính
và P là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (x) sang cơ sở (x

). Khi đó
ma trận biểu diễn A và A

của f tương theo các cơ sở (x) và (x

)
tương ứng được liên hệ bởi công thức
A

= P
−1
AP
1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ
Giả sử U
1
, U
2
là các không gian con của V khi đó tổng U =
U
1
+ U
2
tập hợp các véc tơ có dạng u
1
+ u

2
với u
i
∈ U
i
. Dễ thấy
đây lại là một không gian con của V .
ĐỊNH NGHĨA 1.4.1. Giả thiết U
1,2
là các không gian con của
một không gian véc tơ V . Tổng U = U
1
+ U
2
được gọi là tổng trực
tiếp nếu mọi véc tơ trong U được biểu diễn một cách duy nhất ở
dạng u
1
+ u
2
với u
i
∈ U
i
. Ta nói U là tổng trực tiếp (trong) của U
1
và U
2
, ký hiệu U = U
1

⊕ U
2
.
MỆNH ĐỀ 1.4.2. Điều kiện cần và đủ để V là tổng trực tiếp
(trong) của hai không gian con U
1
và U
2
là: V = U
1
+U
2
và U
1
∩U
2
=
0.
1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 17
CHỨNG MINH. Nếu V là tổng trực tiếp của U
1
và U
2
, thì với
mọi v ∈ U
1
∩ U
2
từ hệ thức v − v = 0 ta có ngay v = 0. Ngược
lại nếu V là tổng của U

1
và U
2
đồng thời U
1
∩ U
2
= 0, thì từ
một hệ thức dạng u
1
+ u
2
= v
1
+ v
2
với u
i
, v
i
∈ U
i
, ta suy ra
u
1
− v
1
= v
2
− u

2
∈ U
1
∩ U
2
= 0. Nghĩa là u
1
= v
1
, u
2
= v
2
. 
ĐỊNH NGHĨA 1.4.3. Tổng trực tiếp (ngoài) của hai không gian
véc tơ V
1
và V
2
(không nhất thiết hữu hạn chiều) là một không
gian véc tơ V cùng các ánh xạ tuyến tính
j
1,2
: V
1,2
−→ V, p
1.2
: V −→ V
1,2
thoả mãn các hệ thức sau:

(1.4.1) j
1
p
1
+ j
2
p
2
= id
V
, p
i
j
i
= id
V
i
Ký hiệu: V = V
1
⊕ V
2
. Các ánh xạ j
i
được gọi là các phép nhúng,
các ánh xạ p
i
được gọi là các phép chiếu.
NHẬN XÉT 1.4.4. i) Tổng trực tiếp ngoài của hai không
gian véc tơ luôn tồn tại. Chẳng hạn ta có thể xây dựng
V như là tập các cặp (v

1
, v
2
) với các phép toán thực hiện
theo thành phần.
ii) Khi V là tổng trực tiếp ngoài của V
1
và V
2
, ta có thể đồng
nhất V
i
với ảnh của nó trong V qua j
i
. Khi đó V là tổng
trực tiếp trong của V
1
và V
2
.
iii) Khi nói tới tổng trực tiếp ta không chỉ quan tâm tới mình
không gian V mà cả các ánh xạ p
i
, j
i
.
iv) Ví dụ: cho 0 −→ U
f
−→ V
g

−→ W −→ 0 là một dãy khớp
ngắn, khi đó mỗi phép chẻ h : W −→ V xác định một
cấu trúc tổng trực tiếp V = U ⊕ W mà trong đó các ánh
xạ nhúng là f và h còn g là một trong hai phép chiếu và
phép chiếu thứ hai là l = f
−1
(id
V
− hg).
VÍ DỤ 1.4.5 (Ánh xạ lũy đẳng).
18 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Một ánh xạ tuyến tính p : V −→ V được gọi là lũy đẳng
nếu p
2
= p. Ký hiệu U = Imp. Khi đó ánh xạ hạn chế của p
lên U là một ánh xạ đồng nhất. Ta nói p là một phép chiếu
từ V lên không gian con U. Mặt khác ta cũng có ánh xạ
id −p là lũy đẳng: (id −p)
2
= id −2p +p
2
= id −p. Từ đó
id − p là một phép chiếu lên không gian W = Im(id −p).
Dễ dàng kiểm tra rằng V = U ⊕ W. Thực ra đây là một
cách mô tả khác của tổng trực tiếp, tuy nhiên nó có rất
nhiều ứng dụng.
Giả sử U ⊂ V là các -không gian véc tơ. Với mỗi v ∈ V xét
tập con có dạng
v + U := {v + u|u ∈ U}
của V . Một tập như vậy được gọi là lớp ghép của v theo U. Tưởng

tượng hình học, đây là không gian con U được tịnh tiến đi bởi véc
tơ v. Dễ dàng kiểm tra rằng các lớp ghép của các véc tơ v và v

theo U hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau. Tưởng tượng hình
học ta thấy chúng song song với nhau. Tập các lớp ghép của các
phần tử của V theo U được gọi là tập thương của V theo U.
Điều kiện để v + U và v

+ U trùng nhau là v − v

∈ U.
Trên tập thương V/U có một cấu trúc không gian véc tơ được
định nghĩa như sau.
(1.4.2)
(v + U) + (v

+ U) = (v + v

) + U
λ(v + U) = (λv) + U
Tập V/U với cấu trúc này được gọi là không gian thương của V
theo U. Ánh xạ tự nhiên V −→ V/U, v −→ v + U, gọi là ánh xạ
thương, là một ánh xạ tuyến tính. Nhận xét rằng đây là một toàn
ánh.
1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 19
Không gian thương V/U có tính chất quan trọng sau. Giả thiết
f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính biến U vào 0. Khi đó f cảm
sinh một ánh xạ tuyến tính
¯
f : V/U −→ W , xác định bởi

(1.4.3)
¯
f(v + U) := f(v)
Dễ thấy
¯
f là đơn ánh và f là hợp thành của
¯
f với ánh xạ thương
(là ánh xạ toàn ánh).
Dãy các ánh xạ tuyến tính
. . .
f
i−1
−→ V
i−1
f
i
−→ V
i
f
i+1
−→ V
i+1
. . .
được gọi là một phức nếu Im(f
i
) ⊂ Ker(f
i+1
) với mọi i. Một phức
như trên được gọi là khớp tại V

i
nếu
Im(f
i
) = Ker(f
i+1
)
Một dãy khớp dạng
0 −→ U
f
−→ V
g
−→ W −→ 0
được gọi là một dãy khớp ngắn. Dãy khớp ngắn như vậy được gọi
là chẻ ra nếu tồn tại ánh xạ h : W −→ V sao cho g ◦ h = id
W
.
MỆNH ĐỀ 1.4.6. Mọi dãy khớp ngắn các không gian véc tơ đều
chẻ ra. Ánh xạ chẻ không được xác định duy nhất. Mỗi ánh xạ chẻ
h xác định một đẳng cấu giữa V và U ⊕ W .
CHỨNG MINH. Đây là một hệ quả hiển nhiên của sự tồn tại cơ
sở trong một không gian véc tơ. Sự tồn tại ánh xạ chẻ h tương
đương với sự tồn tại không gian con W

trong V sao cho W

⊕
f(U) = V . 
20 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu

Không gian các ánh xạ tuyến tính L(V, ) được gọi là không
gian véc tơ đối ngẫu với V . Một phần tử của L(V, ) được gọi là
một dạng tuyến tính hoặc một phiếm hàm (tuyến tính) trên V . Để
thuận tiện ta sẽ ký hiệu
V
∗
:= L(V, )
Giả sử f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó f xác
định một ánh xạ, ký hiệu là f
∗
từ W
∗
tới V
∗
, như sau. Với ϕ ∈ W
∗
,
định nghĩa
f
∗
(ϕ) = ϕ ◦ f
Trên ngôn ngữ sơ đồ ta có sơ đồ giao hoán
(1.5.1)
V
f

f
∗
(ϕ)










W
ϕ









Ánh xạ f
∗
được gọi là ánh xạ đối ngẫu của f.
Nếu g : U −→ V là một ánh xạ tuyến tính khác thì ta có quy
tắc hợp thành
g
∗
◦ f
∗
= (f ◦ g)
∗

Trươc tiên ta sẽ giả thiết V có chiều hữu hạn. Cố định một cơ
sở (x) = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) trong V . Khi đó theo tính chất của cơ sở
(xem 1.2.10) tồn tại các ánh xạ ξ
i
: V −→ thỏa mãn
ξ
i
(x
j
) = δ
i
j
Từ đó ξ
i
(v) = v
i
. Vậy ξ
i
là phiếm hàm tuyến tính xác định tọa độ
thứ i của một véc tơ theo cơ sở (x) đã cho. Với ϕ : V −→ ta có
ϕ(v) = v
i
ϕ(x
i

) = ϕ(x
i
)ξ
i
(v)
1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 21
nghĩa là
ϕ = ϕ(x
i
)ξ
i
Vậy (ξ) = (ξ
i
) là một cơ sở của V . Cơ sở này được gọi là cơ sở
đối ngẫu với cơ sở (x). Chú ý rằng cơ sở đối ngẫu được đánh số
bởi các chỉ số trên, điều này cũng tương thích với việc ξ
i
là phiếm
hàm xác định tọa độ thứ i của một véc tơ.
Giả thiết A = [a
i
j
] là ma trận của f theo các cơ sở (x) và (y)
tương ứng trong V và W :
f(x
i
) = a
j
i
y

j
Khi đó ma trận của f
∗
theo các cơ sở đối ngẫu (η) và (ξ) được cho
bởi
(1.5.2) f
∗
(η
j
) = a
j
i
ξ
i
Thật vậy, ta có với mọi v ∈ V

f
∗
(η
j
)

(v) = η
j
(f(v)) = η
j
(a
k
i
v

i
x
k
) = a
j
i
v
i
x
j
= a
j
i
ξ
i
(v)
Nhận xét rằng ma trận của f
∗
theo các cơ sở đối ngẫu không
thực sự trùng với ma trận A của f theo các cơ sở ban đầu mà là
ma trận chuyển vị của ma trận A. Lý do là ở công thức (1.5.2) các
chỉ số của cơ sở là chỉ số trên.
Ta tiếp tục xét không gian đối ngẫu hai lần V
∗∗
của V được
định nghĩa là
V
∗∗
:= L(V
∗

, )
Như vậy một phần tử của V
∗∗
là một phiếm hàm tuyến tính trên
V
∗
. Nhận xét rằng mỗi phần tử của V cũng xác định một phiếm
hàm tuyến tính trên V
∗
bởi công thức
v −→ η
v
: η
v
(ϕ) := ϕ(v)
Như vậy ta có một ánh xạ tự nhiên từ V vào V
∗∗
.
22 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
MỆNH ĐỀ 1.5.1. Ánh xạ tự nhiên cho ở trên là một đẳng cấu
tuyến tính của V vào không gian đỗi ngẫu hai lần V
∗∗
của nó.
Thông thường ta sẽ dùng đẳng cấu này để đồng nhất V
∗∗
với V .
CHỨNG MINH. Ta chứng minh ánh xạ là đơn ánh. Thật vậy, nếu
η
v
= 0 nghĩa là ϕ(v) = 0 với mọi ϕ ∈ V . Thì v = 0. Mặt khác theo

trên ta thấy V
∗
và V có chiều bằng nhau, do đó V
∗∗
cũng có chiều
bằng chiều của V . Vậy một ánh xạ đơn ánh giữa chúng phải là
đẳng cấu. 
CHÚ Ý 1.5.2. Giả sử V là một không gian tuyến tính vô hạn
chiều. Khi đó ta vẫn có các tính chất sau:
i) Cố định một cơ sở (x) = (x
i
)
i∈I
của V thì tồn tại các
phiếm hàm tuyến tính ξ
i
, ξ
i
(x
j
) = δ
j
i
.
ii) Phiếm hàm ξ
j
là phiếm hàm xác định tọa độ theo cơ sở
(x).
iii) Ánh xạ đối ngẫu f
∗

của một ánh xạ tuyến tính f : V −→
W được định nghĩa tương tự.
• Tuy nhiên các phiếm hàm ξ
i
, i ∈ I không lập thành một
cơ sở của V . Ví dụ phiếm hàm ϕ ánh xạ tất cả các x
i
vào
phần tử 1 trong không là tổ hợp tuyến tính của ξ
i
. Do
đó không gian V được đồng nhất một cách chính tắc với
một không gian con thực sự của V
∗∗
.
Dưới đây ta sẽ xét một số tính chất của không gian đỗi ngẫu
đúng cả đối với không gian vô hạn chiều.
Giả thiết V = V
1
⊕ V
2
. Khi đó ta có đẳng cấu chính tắc
V
∗
∼
=
V
∗
1
⊕ V

∗
2
1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 23
Thật vậy, giả thiết j
i
, p
i
, i = 1, 2 là các ánh xạ cấu trúc xác định
tổng trực tiếp V
1
⊕ V
2
. Khi đó đẳng cấu trên được cho bởi các ánh
xạ j
∗
i
và p
∗
i
.
Giả thiết 0 −→ U
g
−→ V
f
−→ W −→ 0 là một dãy khớp ngắn.
Khi đó ta có dãy đỗi ngẫu
0 −→ W
∗
f
∗

−→ V
∗
g
∗
−→ U
∗
−→ 0
với g
∗
◦ f
∗
= (f ◦ g)
∗
= 0. Giả thiết h : W −→ V là ánh xạ chẻ
dãy khớp trên, nghĩa là f ◦ h = id
W
. Theo trên ta có ngay dãy đỗi
ngẫu cũng khớp.
Giả thiết U là không gian con của V và W là không gian
thương. Khi đó không gian đối ngẫu W
∗
có thể được đồng nhất với
không gian con U
⊥
của V
∗
bao gồm các phiếm hàm triệt tiêu trên
U. Thật vậy mỗi phiếm hàm trên V , triệt tiêu trên U sẽ xác định
một phiếm hàm trên không gian thương. Ngược lại mọi phiếm
hàm trên V/U khi hợp thành với ánh xạ thương sẽ cho ta một

phiếm hàm trên V .
Không gian U
⊥
còn được gọi là phần bù trực giao của U trong
V
∗
. Ngược lại U
∗
có thể được đồng nhất với không gian thương
của V
∗
bao gồm các lớp tương đương của các phiếm hàm nhận
cùng giá trị trên V . Ta cũng sẽ dùng ký hiệu (V /U)
⊥
cho U
∗
. Vậy
theo trên ta có đẳng thức
V
∗
/
U
⊥
= (V/U)
⊥
Ta có các tính chất sau của phần bù trực giao.
MỆNH ĐỀ 1.5.3. i) Giả thiết U
1
, U
2

là các không gian con của V .
Khi đó
(U
1
+ U
2
)
⊥
= U
1
⊥
∩ U
2
⊥
, (U
1
∩ U
2
)
⊥
= U
1
⊥
+ U
2
⊥
24 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
ii) Giả thiết f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó
(Imf)
⊥

= Kerf
∗
, (Kerf)
⊥
= Imf
∗
CHỨNG MINH. Các tính chất trong (i) được suy ra từ định nghĩa.
Việc chứng minh dành cho bạn đọc.
Ta chứng minh (ii). Từ định nghĩa ϕ ∈ (Imf)
⊥
nghĩa là ϕ ◦ f =
0. Nhưng điều đó cũng có nghĩa ϕ ∈ Kerf
∗
.
Đẳng thức thứ hai chứng minh phức tạp hơn một chút. Giả
thiết ϕ là một phiếm hàm tuyến tính trên V mà nhận giá trị 0 khi
hạn chế lên U := Kerf. Thế thì theo 1.4.3 ta có các ánh xạ tuyến
tính
ϕ : V/U −→ và
¯
f : V/U −→ W
với
¯
f là đơn ánh.
V
f













ϕ


















W
∃ψ


















V/U
¯
f










ϕ


Theo trên ánh xạ
¯
f
∗
là toàn ánh và do đó đối với phiếm hàm
ϕ ∈ (V /U)
∗
tồn tại phiếm hàm ψ ∈ W
∗
để
¯
f
∗
(ψ) = ϕ. Nghĩa là
ϕ = ψ ◦
¯
f. Từ đó ϕ = ψ ◦ f, hay ϕ = f
∗
ψ, nghĩa là ϕ ∈ Imf
∗
. Điều
ngược lại dễ chứng minh. 
1.6. Bài toán phổ dụng
Khái niệm bài toán phổ dụng có thể được giải thích một cách
đơn giản thông qua các ví dụ.
1.6. Bài toán phổ dụng 25
VÍ DỤ 1.6.1 (Tích trực tiếp của tập hợp). Giả thiết S
1
và S

2
là
hai tập hợp. Tích trực tiếp hoặc tích Đề Các của hai tập hợp này
là tập hợp
S
1
× S
2
:= {(s
1
, s
2
)|s
i
∈ S
i
, i = 1, 2}
Ta có các ánh xạ hiển nhiên pr
i
: S
1
× S
2
−→ S
i
gọi là các phép
chiếu
pr
i
: (s

1
, s
2
) −→ s
i
, i = 1, 2
Tập hợp S
1
× S
2
và hai ánh xạ pr
i
này có tính chất hiển nhiên
sau: với mọi cặp ánh xạ f
i
: T −→ S
i
, tồn tại duy nhất ánh xạ
f : S −→ S
1
× S
2
thỏa mãn
f
i
= pr
i
◦ f
Thật vậy, f được xác định bởi: f(t) = (f(t
1

), f(t
2
)). Mô tả bằng sơ
đồ:
(1.6.1)
T
f
2

f
1

f

S
1
× S
2
pr
2

pr
1

S
1
S
2
Ta nói bộ ba (S
1

× S
2
, pr
1
, pr
2
) thỏa mãn tính chất phổ dụng đối với
bài toán phổ dụng:
∀(f
1
, f
2
), ∃!f thỏa mãn sơ đồ (1.6.1)
VÍ DỤ 1.6.2 (Đối tích của hai tập hợp). Coi hai tập hợp S
1
, S
2
là hoàn toàn không có liên hệ gì với nhau và xét hợp của chúng
ta thu được hợp rời S
1

S
2
. Các tập hợp S
1
và S
2
có thể coi một
cách tự nhiên là tập con của S
1


S
2
ta ký hiệu các ánh xạ nhúng
là j
i
: S
i
−→ S
1

S
2
. Tương tự như trong ví dụ trên, S
1

S
2
cùng các ánh xạ nhúng thỏa mãn tính chất sau: với mọi cặp ánh