Chuyên đề 3: TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN docx

D C
B
A
Chuyên đề 3: TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
*) Khái niệm chung về tứ giác:
+) Định nghĩa :
a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA
trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một
đường thẳng.
A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh.
Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các
đỉnh.
Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên
một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với
hai cạnh đối (không kề nhau).
Đường chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau.
Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân
biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác.
b) ABCD là tứ giác lồi

ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đường
thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó.
Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm.
Trong hình, ABCD là tứ giác lồi



1. Định lí:
Tổng các gọc trong tứ giác bằng 360
0
.

*) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi:
Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đường chéo cắt nhau.
Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau thì đó là một tứ
giác lồi.
ABCD lồi

ABCD có hai đường chéo cắt nhau.

Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:
(I) Tia Oz nằm trong gọc xOy

tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với
M

Oz, N

Oy
(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt
phẳng bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ
chứa Oy.
(III)
Cho tam giác ABC
a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ
giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?
M
C
A
B

b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không

thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M
thì ABCM là tứ giác lồi?

c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và
không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong
năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra được bốn điểm là đỉnh
của một tứ giác lồi.
Giải
a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai
nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a)
b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M
là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC.
Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai trường hợp :
- M ở trong góc đối đỉnh của một góc của tam giác. trong h .2b, M ở
trong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc
miền trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm).
j
M'
M
B
CA
- M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M’ nằm trong góc A.
Do đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC,
cho nên đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC và ABM’C là tứ giác lồi.

Tóm lại, trong h .2b, các miền được gạch chéo là tập hợp các điểm M mà
MABC là tứ giác lõm.
Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các
đỉnh của tứ giác lồi.

M
N
C
A
B
o
C
D
A
B
c) Đường thẳng đi qua hai điểm M và N bao giờ cũng không cắt một cạnh
của tam giác ABC. Trong h .2c, đường thẳng MN không cắt AC. Tứ
giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngoài
của tam giác MAC và nằm trong góc MAC).




H .2a
CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1:

Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các
cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đường chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ
dài các đường chéo.

*) Nhận xét :
Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ
thêm các đường phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong một tam
giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”.
Giải
Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh :
AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)
1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA
Ta có :
AC < AB +BC (bất đẳng thức trong

ABC)
AC < AD + DC (bất đẳng thức trong

ADC)
BD < BC + CD (bất đẳng thức trong

BCD)
BD < BA + AD (bất đẳng thức trong

BAD)

Từ đó :
2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA)
AC + BD < AB + BC + CD + DA
2) Chứng minh

AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD).
Trong tam giác ABO và CDO, ta có :
AB < BO + OA (1)
CD < CO + OD (2)
Cộng (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < BD + AC (3)
O
C
D
A
B
Tương tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có :
AD + BC < BD + AC (4)
Từ (3) và (4) ta được :
AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). (đpcm)
*) Nhận xét:
1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh
của tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đường chéo. Vậy có thể phát biểu
mệnh đề :
“ Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai
đường chéo”.
2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có
còn đúng không ? vì sao?

Ví dụ 2:
Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC +
CD.
Chứng minh rằng : AB < AC.
Giải

Gọi giao điểm của AC và BD là O
Trong tam giác AOB, ta có :
Q
F
P
D
C
B
A
AB < AO + OB (1)
Trong tam giác COD, ta có :
CD < CO + OD (2)
Từ (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < AC + BD (3)
Theo giả thiết :
AB + BD

AC + CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.
(đpcm)




Ví dụ 3 :
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và
BC. Chứng minh rằng :
PQ


2
ABDC


Gợi ý :
ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn
thẳng , nên kẻ đường phụ để có các hình tam
giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí về
đường trung bình trong tam giác.
Giải
GT Tứ giác ABCD
PA = PD, QB = QC

KL PQ

2
ABDC


CM:
Ta kẻ thêm đường chéo AC và lấy trung điểm F của AC.
Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình, do đó :
PF =
2
DC

Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình. do đó :
QF =
2
AB

Nếu P,Q và F không thẳng hàng thì trong tam giác PQF ta có:
PQ < PF + QF =
2
ABDC


Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng PQ và
ta có :

PQ = PF + QF =
2
ABDC


Như vậy trong mọi trường hợp, ta có :

PQ

2
ABDC

.
( đpcm)

Nhận xét :
Có thể thấy ngay rằng :
P, Q, F thẳng hàng

AB//CD.

Do đó ta chứng minh được rằng :

PQ

2
ABDC

.
Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD.

Như vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai
định lí:
(1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ =
2
ABCD


(2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ


2
ABCD

và PQ <
2
ABDC



CÁC BÀI TẬP :

Bài tập 1:
Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm
thuộc miền trong của ttam giác OCD, với O là giao điểm của hai đoạn thẳng
AC và BD. Chỉ ra tứ giác lồi nhận bốn trong năm điểm A, B, C, D, E.



Bài tập 2:
Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không có
ba điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn được bốn điểm là các đỉnh của
một tứ giác lồi.

Bài tập 3:
Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng
nhau thì có ít nhất một góc tù.

Bài tập 4:
Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại
E, hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của hai góc
CED và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác
ABCD.