Tỷ lệ vàng và biểu diễn của nó doc

1) Tỷ lệ vàng và biểu diễn của nó
Trong toán học và nghệ thuật, hai đại lượng được gọi là có tỷ số vàng hay tỷ
lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng
tỷ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn :
Theo vế phải a = bφ, thế vào vế trái, có:
Nhân và chia hai vế cho b có:
Nhân hai vế cho φ và sắp xếp lại, có:
Nghiệm xác định duy nhất của phương trình bậc hai là
*)
Tỷ lệ vàng là 1 số vô tỷ: Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Gỉa sử φ là số
hữu tỷ, khi đó ta có thể biểu diễn φ = a/b với (a,b) =1 và a,b nguyên
dương=> tồn tại 1 cách biểu diễn φ = x/y sao cho (x+y) nhỏ nhất. nhưng
Φ = x/y=y/x-y. tổng (x+y) > (y+x-y) => vô lý
Vậy có φ là số vô tỷ
*) biểu diễn của φ
Xét dãy U(n) với : U(1)=1
U(n+1)^2= U(n)+1
Ta sẽ chứng minh rằng φ là giới hạn của dãy trên bằng định nghĩa:
Với mọi x>0, chon y(x) = log(φ) (x/(1- φ))+2, với mọi n >x có :
|U(n)- φ| = |(U(n)^2- φ^2)/ (U(n)+ φ)| = |(U(n-1)- φ)/(U(n)+ φ)| = …
= |(U(1)- φ)/((U(1)+ φ)x(U(2)+ φ)…(U(n-1)+ φ))| < |(1- φ)/ φ^(n-1)| < |(1-
φ)/ φ^(y(x)-1) <x
 φ là giới hạn dãy số hay

*)
Biểu diễn dưới dạng phân số
Đăt U(n) = [ 1;1;1…] (n số 1) ta có : U(1) = 1
1 + 1/U(n) = U(n+1)
Ta sẽ chứng minh rằng φ là giới hạn của dãy U(n) :
theo định nghĩa giới hạn của dãy số : với mọi x>0, chọn y(x) = Chọn y =
log(1/φ)(x)+2, khi đó với mọi n>y(x) ta luôn có

|U(n)- φ| = |1+ 1/U(n-1)-1-1/φ| = |1/U(n-1)-1/φ| = | (U(n-1)- φ)/(U(n-1)xφ|
=…= |(U(1)- φ)/(U(1)xU(2)x…U(n-1)xφ^(n-1)| < 1/ φ^(n-1) < 1/ φ^(y-1)
<x
Chọn y = log(1/φ)(x), khi đó với mọi n>y(x) ta luôn có |U(n)- φ| <x
Vậy φ là giới hạn của U(n) hay
Φ =[ 1;1;1…]
Ta thấy Các tử số và mẫu số của các phân số (1 /
1, 01/02, 02/03, 03/05, 05/08, 13 / 8, , hoặc 1 / 1, 1 / 2, 2 / 3, 3 / 5, 5 / 8, 8 /
13, ) có tỷ lệ tiếp số Fibonacci.
Dãy số Fibonacci : U(0)=1, U(1)=1
U(n+1) = U(n)+U(n-1)
Phương trình đặc trưng của dãy x^2-x-1 = 0, đây cũng là pt xác định giá trị
của tỷ lệ vàng, giải phương trình và thay vào dãy số ta dc :
, trong đó là tỷ lệ vàng ở trên

Ta sẽ cmr
hội tụ tới tỷ lệ vàng (phi)
Sử dụng định nghĩa, ta có : với mọi x>0, chon y = log (φ-1)(x/2)+1
Khi đó với mọi n>y ta có
|F(n+1)/F(n)- φ| = | ( F(n+1)- φxF(n))/F(n)| = |((φ-1)^nx(2φ-1))/ (5xF(n)| <
2x(φ-1)^n < 2x (φ-1)^y(x) <x
=> hội tụ tới tỷ lệ vàng (phi)
*) trong hình học
Tam giác vàng
Các tam giác vàng có thể được mô tả như là một hình tam
giác cân ABC có phân giác C góc tạo ra một tam giác mới CXB đồng dạng
với tam giác ABC
Nếu đặt góc BCX = α thì XCA = α và CAB = α vì theo tính chất của 2 tam
giác đồng dạng ; ABC = 2α , và BXC = 2α do tương tự. Tổng Các
góc trong một tam giác \180 °, do đó, 5α = 180, cho α = 36 °. Vì vậy,

cácgóc của tam giác vàng là 36 ° -72 ° -72 °. Các góc của tam giác cân tù còn
lại AXC là 36 ° -36 ° -108 °.
Giả sử XB có chiều dài 1và độ dài BC là φ
. Bởi vì tam giác cân BC = XC và XC = XA => XC =XA=φ
. Chiều dài AC =AB, vì thế bằng φ +1. Nhưng tam giác ABC đồng dạng với
tam giác CXB, do đó, AC / BC = BC / BX vì vậy cũng AC bằng φ^2. ta có
φ2 = φ +1, xác nhậnrằng φ thực sự là tỷ lệ vàng.
Tỷ lệ vàng đóng một vai trò quan trọng trong ngũ giác .Mỗi giao điểm của các
đỉnh tao ra các đoạn hẳng có tỷ với nhau theo tỷ lệ vàng. Ngoài ra, tỷ lệ chiều
dàicủa đoạn ngắn hơn để các phân đoạn giáp với 2 cạnh cắt
nhau (một bên của ngũ giácở trung tâm của năm cánh) là φ, như hình minh
hoạ bốn màu.
Bao gồm 10 cánh hình tam giác cân: năm cấp tính và năm tù hình tam
giác cân.Trong tất cả 10 tam giác. Các tam giác cấp tính là hình tam
giác vàng. Các cân tam giác tù là vàng gnomon.
Tỷ lệ vàng cũng có thể được khẳng định bằng cách áp dụng định
lý Ptolemy cho tứ giác được hình thành bằng cách loại
bỏ một đỉnh của một ngũ giác đều. Nếutứ giác có độ dài của cạnh và đường
chéo là b, và cạnh ngắn là 1 sau đó áp dụng định lý Ptolemy ta co 1+b
=b^2 , b chính là tỷ số vàng
Xem xét một tam giác với hai mặt của độ dài a, b, và c trong thứ tự giảm
dần. Xác định tỷ lệ của tam giác là hai tỷ lệ a / b và b / c. luôn luôn ít hơnφ
theo bất đẳng thuwac tam giác c+b>a và khi tỷ lệ của 3 cạnh đúng bang tỷ lệ
vàng thì tam giác trở thành 1 đường thẳng
Một hình thoi vàng là một hình thoi có đường chéo mà các đoạn thăng do 2
đường cheo cắt nhau tạo thành có tỷ lệ vàng . Trong hình thoi góc nhị diện
tù là 144 °