Sách bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo Tập 1

NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM


TRẦN ĐỨC HUYÊN - NGUYỄN THÀNH ANH (đồng Chủ biên)
NGUYỄN VĂN HIẾN - NGƠ HỒNG LONG - NGUYỄN ĐẶNG TRÍ TÍN

Bài tập

TỐN
TẬP MỘT

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM


GLU LLC


+

xà

Lời nói đầu
Cùng với Sách giáo khoa Tốn 8 và Sách giáo viên Toán 8 (bộ sách
Chân trời sáng tạo), nhóm tác giả bộ sách giáo khoa biên soạn cuốn
Bài tập Toán
8 (tập một, tập hai) nhằm giúp học sinh rèn luyện kiến thức
và các kĩ năng cơ bản, phù hợp với Chương trình Giáo đục phổ thơng
mơn Tốn của Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành năm 2018.

Nội dung sách Bài tập Toán 8 bám sát theo sách giáo khoa, đặc biệt

thể hiện tinh thần tích hợp, phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh.
Cấu trúc sách tương ứng với Sách giáo khoa Toán 8. Tập một bao gồm
bốn chương:

°
...nnmmnmnmnmanmss=sansus
se

ze

+
«+

`„e

Chương 1: Biểu thức đại số
Chương 2: Các hình khối trong thực tiễn
Chương 3: Định lí Pythagore. Các loại tứ giác thường gặp
Chương 4: Một số yếu tố thống kê

Mỗi chương bao gồm nhiều bài học. Mỗi bài học gồm các phần như sau:

KIẾN THỨC CÂN NHỚ
BÀI TẬP MẪU
BÀI TẬP

Cuối mỗi chương là phần LỜI GIẢI- HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ.

:

Rất mong nhận được góp ý của quý thầy cô giáo, phụ huynh và các em
học sinh để sách ngày càng hoàn thiện hơn.

CÁCTÁC GIÁ +
od

:
3
:


PHẦN SỐ VÀ ĐẠI SỐ

CHƯƠNG 1. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Bài 1. Đơn thức và đa thức nhiều bị
Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến .

Bài 3. Hằng đẳng thức đáng nhớ .

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 5. Phân thức đại số.
Bài 6. Cộng, trừ phân thứ:
¡7. Nhân, chia phân thức
Bài tập cuối chương 1...
Lời giải- Hướng dẫn- Đáp
PHAN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG
HÌNH HỌC TRỰC QUAN
CHƯƠNG 2. CÁC HÌNH KHỐI TRONG THỰC TIẾN ..
Bài 1. Hình chóp tam giác đều - Hình chóp tứ giác

Bài 2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều,
hình chóp tứ giác đều
Bài tập cuối chương 2...

Lời giải- Hướng dẫn - Đáp số ...

HÌNHHỌCPHẲNG

CHƯƠNG 3. ĐỊNH LÍ PYTHAGORE.
CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP.
Bài 1. Định
lí Pythagore
Bài 2. Tứ giác ....
Bài 3. Hình thang - Hình thang cân
Bài 4. Hình bình hành - Hình thoi
Bài 5. Hình chữ nhật - Hình vng
Bài tập cuối chương 3....

Lời giải- Hướng dẫn - Đáp số ...

PHẦN MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
CHƯƠNG 4. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ
Bài 1. Thu thập và phân loại dữ li
Bài 2. Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu

Bài 3. Phân tích dữ liệu
Bài tập cuối chương4.

Lời giải~ Hướng dẫn - Dap si

4

diễn d


Phan SO VA DAL SO

Gn)

BlẾU THỨC nại số
Bai 1. DON THUC VA DA THUG NHIEU BIEN

A. KIEN THUC CAN NHỚ
1. Đơn thức, đơn thức thu gọn, đơn thức đồng dang

~ Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm: một số, hoặc một biên, hoặc một tích
giữa các số và cao bien,

~ Don thite
thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của

một số với các biến mà

mối biến chí xuất hiện một lần đưới dạng nâng lên luỹ thừa với số mũ
nguyên dương.
Số nói trên gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phân biển của đơn |thức thu gọn.
Tổng số mũ của tật cả các bịi

ến có trong đơn thức (có hệ số khác 0) gợi là

bậc của đơn thức đó.
— Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

m tong, hiệu)

đơn thức đồng dang,ta cộng, trừ hệ số

2. Đa thức, đa thức thu gọn

~ Đa fuức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là
mét hang nt cha da thite dé.
Chat 3.

* Mỗi đơn thức cững là một đa thức (có một hạng tử).
+ Số 0 được gọi don hức không, cũng gợi là đa thức không.

—Da thie thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào đồng dạng.
Dé thu gon một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng đạng với nhau và cơng
các hạng tử đồng dạng đó với nhau.

Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dang thu gọn của đa thức gợi là

bậc của da thúc đó.


B. BAITAP MAU
Bài 1. Thu gon va tìm bậc của mỗi don thức sau:
1

a) ) -Oxy—

bào x’yz;
Ÿ

a) =

1

B
Zyl

a

b)
1

x’yz=-6 ye

1

| 1.
tz

2

Giải

yyz =-3x'yz; bac cla -3x"y"z 1a 6.

edadi) losin
el3 EL4

XNYpit Bee2Eon

lagi yz’,ttebậc

của —

s5...
v12? là 7.

Bài 2. Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) 9a —§b
— 7a + 6b;

b) 5a? + 2ab?
— 2ab + a? — ab.
Giải

a) 9a — §b — 7a + 6b = (9a
— 7a) + (—8b + 6b) = (9 — 7)a + (8+ 6)b =2a —2b.
Hai hạng tử 2a; 2b đều có bậc là 1. Do đó, bậc của 2a — 2b là l.

b) 5ä? + 2ab? — 2ab+ a? — ab = (5a? + a”) + 2ab? + (—2ab —ab)
=(5+ Da? + 2ab? + (2 - Dab = 6a? + 2ab? — 3ab.
Ba hạng tử 6a”; 2ab?; 3ab lần lượt có bậc là 2; 3; 2. Do đó, 6a? + 2ab? — 3ab có

bậc là 3.

Bài 3. Thu gọn rỗi tính giá trị của đa thức.

.

1

2

OT vay=—;
Bs

b)Q=x.9xy—xy—y.
5x )+x. 2xy lạ x=-2 va y=
Giải

a) P=(Ix— Ax) +

Ay —y) $=

“
1
2
Với X=— Và y=—, ta có:
6
5?

3x Sy

P=3.<—5.2+
22 =22 ~2+ 2 2 =-L,
6
5

b) Q= 9x’y — xy — 5Sx’y + 2x’y?

= (Ox’y —5x’y) — xy + 2x’y?
= 4x*y—xyt 2x’y?,

1

5.

Nie

1

a) ) P=7x—4y+ — —yhy 4xtaix=—
te


‘

VOSR

BVA YF

1

ta cd:

Q=4.C2Ý. 2 ~C8). 2 +2.

(3) =§+1+2=11,

. BÀI TẬP
. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

"-..........
5
2
xy

.

. Lập bốn biểu thức cỏ các biến là x, y, trong đó hai biểu thức là đơn thức,
hai biểu thức không phải là đơn thức.
. Hãy sắp xếp các đơn thức sau thành nhóm các đơn thức đồng dang với nhau.

2x?y; —=’yzy ae

-2 zxy;—LOyx’, 0,25y2x.

4. Cho bỗn ví dụ về đơn thức bậc 3, có các biển là x, y.
5. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?

a’ š

,

1

x

in
dary
28h: ee=.

:2ab+ ^/2 be

1

2

1
ng

380; RI, “ XYZ

Thu gọn và tìm bậc của mỗi đơn thức sau:

a) 2a”b(—2)ab;

b) “+ vea( 15 ab;

¢) 0,2ab%e . 0,5bac’.

. Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a)6x—-3y—4x—y+3x—l;

b) 3x*y + 2xy?— 3xy? = 2x’y;

c)xyz— > Zyx + ;yxz";

d) 2xyx + 6yx’y + 5x’*y — 4x’y? — Sxy’x.

. Tính giá trị của đa thức:
a) 2a

3

+ 30+ 2ab— 2a? + 2a =ab li a =Ế

1

và b=—>s
2

Ð) 4a?b—b-—a?b?
+ a. 6ab+ ab?a? tại a=~2
và b= 5.
. Cho ba hình chữ nhật A, B, C với các kích

thước như Hình 1. Tính điện tích củamỗi hình
chữ nhật này và tổng điện tích của chúng.

5

“
2a

B

Cc

—_ ><)

b

3b


Bai 2. CAC PHEP TOAN W6I DA THUG NHIEU BIEN
A. KIEN THUC CAN NHỚ
1. Cộng, trừ hai đa thức

— Muôn cộng hay trừ hai đa thức ta làm như sau:
+ Viết hai đa thức trong ngoặc và nôi với nhau bằng dâu công (+) hay trừ (-).
+ Bỏ dâu ngoac roi thu gọn đa thức thu được.

2. Nhân hai đa thức
~ Đề nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các luỹ thừa cùng

biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

~ Đề nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tứ của
đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.
—Bé nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia,
tôi cộng cáo kết quả với nhau.
3. Chia đa thức cho đơn thức
— Muỗn chia đơn thức A cho đơn thức B (với
A chỉa hết cho B), ta làm như sau:

+ Chia hệ số của A cho hệ số của B.

+ Chia luỹ thửa của từng biễn trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B.
+ Nhân các kết quả tìm được với nhau.
— Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hét), ta chia

từng hạng tử của đa thức này cho đơn thức đó, rồi cơng các kết quả tìm
được với nhau.

Cjmi ý: Khi nhân hai đa thức, chia đa thức cho đơn thức, ta thường sử dụng.
các tính chất sau của phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên:

*a™

a"

=al™*" (nhân hai luỹ thừa cùng cơ số);
a"~" (chia hai lưỷ thửa cùng cơ số);

* (ab)"=a". b" quỹ thừa của một tích);

: B

= = (b #0, luỹ thừa của một thương);

* (a7 = a"”" quỷ thừa của luỹ thừa).


B. BAITAP MAU
Bai 1. Tinh:

a) Qa + 5b— 2c) + (3c — 2b — 4a);

b) (2a? — 3ab+ 2) —(2ab — 4 — 3a’).
Giải

a) (3a+ Šb
— 2e) + (3e — 2b — 4a) = 3a + 5b— 2e + 3e — 2b — 4a
= (3a — 4a) + (Sb— 2b) + 2c + 3c)
=-a+3b+c;

b) (2a*
— 3ab + 2) —(2ab
—4 — 3a’) = 2a?
— 3ab + 2—2ab+ 4+ 3a’
= (2a? + 3a7) + (Bab —2ab) + (2+ 4)
=5a’—Sab+ 6.
Bài 2. Thực hiện các phép nhân:

a) (Šx” ~ 6y2(-2xy);

b) (2x —3y)(x" — 5xy).
Giải

a) (5x? - 6yÐ9(-2xy) = 5x/(2xy) - 6y ?(-2xy) =—10xŸy + 12xv'”,
b) (2x — 3y)(x? — Sxy) = 2x(x? — Sxy) — 3y(x’ — 5xy)
=2x.x'—2x, 5xy—3v.x?+

3y.5xy

= 2x? —10x’y —3x’y+ 15xy?
= 2x? + C10x’y —3x’y) + 15xy? = 2x? - 13x’y+ 15xy’.
Bai 3. Tinh gia trị của đa thức:

a) P= 5x?— Gxy
— 7x’) + (Oxy— 12x’) tai x= 15 vaya;

b) Q=x&x—y) - yy? -x) taix=—S vay =-3.
Gidi

a) P=5x? — Gxy — 7x") + (Sxy— 12x’)
= 5x’ — 3xy + 7x’ + Sxy— 12x”
= (Sx? + 7x? — 12x?) + C3xy + Sxy) = 2Xy.
Với x= 15 và y=—C,t

cớ

P=2.15

{-2)-

5,

b) Q=x(x-y)
yy" - x) =x’ -xy-y + xy

=x t Cay txy)ty=x'-y?.
Với x=—5 và y=-3,
ta có:

Q=(C-5—(-3)°=25 —(27)= 52.


Bai 4. Thực hiện các phép chia:

a) 20a?bfc : (—5a?b?);

b) (12a*b — 4a’b + 2ab?) : (4ab).
Giải

a) 20a?bfc : (—5a?b?) =[20 : (—5)]. (a? : a2. (f: b). c=-4ab°c;
b) (12a°b—4a’b + 2ab?) : (4ab) = 12a?b: (4ab) — 4a?b : (4ab) + 2ab : (4ab)
=(2:4.(a':a).(b:b)-(4:4).(?:a).(b:b)+(2:4.(a:a).@?:b)
=3a’-at

bey

8

C. BÀI TẬP
1. Tính:

8) TX + (-3xy+ 5x);

0) #i= 3ý — (3c 3K— Vy);

©) 2xy - 44y - (W—3Xy);

đ)@y-3xy'—y
+ (Sxy'—4y'+ 5x).

2. Tinh:

a) 2a+ 4b+ 4b+

5a)—(6a—9b);

—-b) 6a — [b+ 3a—(4a— b)].

3. Thực hiện các phép nhân:

a) Gab) . (Sbe);

b) C-6a°b), [- 5 ab? }

4. Thực hiện các phép nhân:

a)

+ 3v)@X— 2y),

b) @x—y)ly - 5x);

©) 2x — Syly’ —2xy),

đệ vê —xy—y).

5. Thực hiện các phép chia:

a) 24xy? : (6xy);

b) 3x’y°z: (5xy%);

©) CAxty) : CO, 1377).

6. Thực hiện các phép chia:

a) (6x'y — 9xy") : Gxy);

6) Gxy? +2) _

Ð) Cay + 109): C5y);

4) 2x⁄2~ 3?) : Gey).

7. Tinh:

10

a) 3a(a — b) — b(b — 3a);

b)3a?2a + b) — 2b(4a? — b);

e)(a+B)\a_—b)— (- Ù(a— 2);

d) b(3b — a) + (a? + 3b)(ab — b2.


8. Tính giá trị của đa thức:
a)(3x—y)+(3y—x)—(x+ y) tạ x= 2,7 va y= 1,3;

b) xŒ + y)— yŒ&x— y) tại x= -0,5 và
y = 0,3;

c) (1,3x’y+ 3,2xy + 1,5y?—(2,2xy— 1,2x'y+ 1,5y?) tại x=-—2 và y= 5.
9, Biếtrằngx=a+
bvà y=2a —b. Tính các đa thức sau theo
a và b.
aA=3x-4y;

b) B= 2xy.

10. Tu mét tâm tơn hình chữ nhật có chiều đài bằng a (em), chiều rong bang
b (cm), người ta cắt bỏ bếnhình vng cạnh bằng x (em) ở bỗn góc, rồi gấp và
hàn thành thùng khơng có nắp (Hình 1). Viết biểu thức biểu thị:
a) Thể tích nước tơi đa mà thùng có thể chứa được.

b) Tổng diện tích của năm mặt của chiếc thùng.

te

Hinh1

Bài 3. HANG DANG THUG DANG NHG
A. KIEN THUC CAN NHO
Bay hang dang thức đáng nhớ:

s Binh phương của một tổng: (a + b)? = a? + 2ab + bể;
* Bình phương của một hiệu: . by=a? -2ab+ a
* Hiệu của hai bình phương: a-b= ( +b)(a—
* Lập phương của một tổng: (a + b)?= a? + 3a°b + ie nở.

* Lập phương của một hiệu: Cc. by?=a? — 3a’b + 3ab?- b;
* Téng ctia hai lap phuong: a’ + b’= (a + b)(a’—ab+ b?);
* Hiệu của hai lap phuong: a’ — b*= (a— b)(a’ + ab + bì).
Chú ý: (a— by= (b— a)’ va (a- bY= (a+ by’,
11


B. BAITAP MAU
Bai 1. Tinh:

a) (s-zz]

b) C5x— 02)

©)4x—y?(4x— y2;

đ)

+ 490 — 4xy + 16).

Giải

a) [-4y)
2

=(3xy-2. 3x. tye Hội
2

2

= 9x? —3xy+ Lag
4

b) (5x— 0,2)? = (Sx+ 0,27 =x)? +2. 5x. 0,2 + 0,2?=25x2 + 2x+ 0,04;
©) C4x~y(4x~ y) =~(4x+ y (4x

y") = [xy - 7°]

=-(@x?-v)=y!- 16;

d)

+ 4y)G— 4xy + 1óy?) =(x + 4y)[x”—x. 4y+ (4}]
=x'†+(4y)'=x +64y'.

Bai 2. Thu gon cae biểu thức sau:

a) (3a — 4b) — (3a — 4b)(3a + 4b);

b) @— 2b)’ + 6ab(a - 2b).
Giải

a) (Ga — 4b} — (3a — 4b)(3a + 4b) = (Bay? — 2. 3a. 4b + (4b)? — [Gay — (4bŸ]
= 9a? — 24ab + 16b? — 9a? + 16b?

=32b? — 24ab:
b) (a— 2b)? + 6ab@— 2b)=a' —3..a?

(2b)+ 3. a. (2b)’ -(2b)? + 6ab. a— 6ab . 2b

=a?—6a”b+ 12ab? — 8b? + 6a”b— 12ab?
=a'—8b’*.
Bai 3. Tinh giá trị của biểu thức:

a) A= (2x + 2,5)? — (2x — 2,5) lại x=-4,5;
b) B =(3x+ 2y)’ — 4yx + y) ta x=4 va y=—5,5.

a) A= (2x + 2,5) — (2x — 2,5)

Giải

=(0x+2,5+ 2x—2,5\(2x + 2,5— 2x+2,5)

= 4x .5=20x.

Véix=—4,5, ta có A= 20x =20(-4,5) =—90.
12


b) B= Gx+ 2y)? — 4y(3x+ y)
= (Bx) +2. 3x. 2y + Qyy— 4y. 3x-4y.y
= 9x? + 12xy+ 4y?— 12xy—4y?
= 9x?
Với x= 4 và y=-—5,5, la có B=09x?=9.4?=9.l6=144.

Chủ ý: Ư bài tập trên, ta đã thu gọn biểu thức trước khi thay giá trị của biến vào
biểu thức thu gọn để tính giả trị của biểu thức.

Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

— B} + 4ab =(a + b}?;

b) @+3)?+ (a—3) =2a?+ 54a.
Gidi

a) Ta có:

(a— by’ + 4ab=
a?~ 2ab+ bổ + dab=a?+ 2ab+
b’ = (at by.
Vay (a— by? + 4ab = (a+ by.
b) Ta cd:

(at 33 +@—-3)=a'+3.a?.34+3.a.3?+3?+a'-3.a?.34+3.a.3-33
=a) + 9a? +27a+ 27+ a?— 9a? + 27a—27
=2a?+

54a.

Vay (a+ 3)? + (@—3)? =2a7 + 54a.

Chú ý: Ö bài tập trên, để chứng minh đẳng thức, ta đã biến đổi về trái thành
về phải (biển đối biểu thức phức tạp về biểu thức đơn giãn hơn). Đơi khi ta cũng có
thể biên đối về phải thành về trái hoặc biến đối cả hai về về cùng một biểu thức.
C. BÀI TẬP
1. Tính:

a)(4x— 5)”;

đ)Cx— 10?

b) (x:zz]:

QCx+0,3);

8) (a 3a)’;

2) (“+ze.

2. Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a)(1— 4⁄\(1 + 44);

b)C 2x—

5y)(2x - 5y);

©) @— 3x)@x + x?);

®(+x+x?4l+x-x?.

13


3. Tinh nhanh:

a) 50,5? — 50,4";
6) 10,22:

b) 202 . 198;
d) 1017-202. 71+ 712

4. Tính gia trị của biểu thức:

a) P=(x— 10) — x(x+ 80) tại x = 0,87;
b) Q= 4a’ + 8ab+ 4b’ tai a= 65 va b = 35;
c) R=x?— 3x? +3x—-1 taix=101.
5. Thu gon cac biểu thức sau:

a) 20x? — (Sx—4)(4+ 5x);

b) & — yy’ — xx+ 2y);

c) (+ 3P — @&—- 3);

d) x(x— áx+ 1)— (x— 3)@ + 3x+ 9).

6. Biếtrằng x= 2a + b và y= 2a— b. Tính các biểu thức sau theo a và b.

b)B=x ty,

Đ)Á= TAY
7. Chứng minh rằng:
a) 337° + 163? chia hét cho 500,

QC=x-#.

b)234?— 123° chia hét cho 3.

8. Chứng ming rằng, với mợi số nguyên n,

a)2n+ 1}*—n-— 1} chia hết cho 8;

b) (8n+ 4)°— (2n+ 1} chia hết cho 15.
9, Thay mỗi dâu * bằng một đơn thức thích hợp để nhận được một đồng nhất thức.
dab
ay(at “Pa?

ab,

c) @ — S5yy =0,16x’?— *+ 25y*,

)16a;
=x — Sax
b) @o*
d) Gx— 0,5y)’=9x? + 0,25y?+ *.

10. Viét các biểu thức sau thành đa thức:
a) (X” + 4y (X + 2y)(— 2y);

b) &— D&+ DE’ + DE +1.

11. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a+ b)’ — (a— by’ = 4ab;

b)a’+ b'=(a + b)[(a— by’ + ab];
c) 2(a—b)(a+ b) + (at bY + (a— by = 4a’,
a?

+ 2bc.
2ab + 2ac
+ b’ + c?+
d) (a+ b+ c)?=

14


Bai 4. PHAN TICH DA THUC THÀNH NHÂN TỪ
A. KIEN THUC CAN NHO
Phân tích ẩn thức thành nhân tử (hay thừa số) là biên đổi đa thức đã cho
thành một tích của những đa thức. Mỗi đa thức nay goi la mét nhdn te cla

đa thức đã cho.
Các phương pháp thường dùng:
* Đặt nhân tứ chung;

* Sử dụng hằng đẳng thức;
* Nhóm hạng tử (để làm xuất hiện nhân tử chung, cũng thường sử dụng

hằng đẳng thức để biên đổi).

B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 18x? — 30xy;

b) x(x — 3) —x(3—xy.
Giải

a) 18x? —30xy= 6x . 3x — 6x . Sy= 6x(3x— Sy);
b)xœ—3)—- x3 -x)! =xŒx- 3)—x(x—3)=x.. xá— 3)—x(x— 3). (x— 3)
=X(X- 3)|x— &x— 3)]=xÓÉt—- 3)@&—x+ 3)
= 3x — 3).
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)25x2—y?,

b) 8xy— 2x? — 8y*;

ce) (xy) t+ &+y)s

d)x'-81.
Gidi

a) 25x” —

'=(Šx)'~ y' =(Šx+ y)(Šx Y):;

b) Đxy2x?8y? =20 4xy + 4y?) =-2(x 2v);

â@&-y)+(@x+y)'=(Xy+x+ y)[@&y)'~ @&X—y)@&+ y)+ + y}]
=2xIx?—2xy
+ yÌ — @Ẻ — y?) + x” + 2xy
+ v?]
=2xÓ¿ + 3y),
d) x*-81 =’) —9 = (x? + 9)? -9)
= (x? + 9)? — 39) = (x? + K+

3K

-3).
Ss


Bai 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)x?—5x+ 2xy— lŨy;

b) 3x?+ 5x—3y?— 5y.
Giải

a)x?—5x+ 2xy — 10y =xŒ— 5) + 2y(x— 5) =(x— 5) + 2y);
b) 3x? + 5x-— 3v? — 5y= Qx°— 3y? + (5x— 5y) = 3Ó¿ — y?) + 5(x—V)

=3(X+ y)(x—y)+ 5x — y) =(X— y)(3x + 3y + 5).
Bai 4. Tính giá trị của biểu thức:

a) A=x(y—x) —y(x—y) — 8(y—x) tai x=6 va y=—8;
B)B=5a?~
5ab — 8a + 8b tại a= 8 và b=-~12.
Giải

a)A =xW—x)—y(—Y)T—
BÚ —X)
=x(y—x)
+ yW~—x)— 8Ú —x)
=(—x)&+y—8).

Vớix=—6 và y=~§, ta có A=(-8 - 6)(6 — 8 —8)=(~14). (10)= 140.

b)B= 5a?— 5ab— 8a + 8b
= (5a’ — Sab) + (8a+ 8b)
=5a(a—b)—8(a—b)
=(a—b)(Sa-8).

Vớia=—8 vàb=~12,
ta có B=[§ -

(—12)]5. 8—8)=20.. 32 =640.

C. BÀI TẬP
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3x’ + Oxy;

b) 5(y— 3) —x(3 -y);

¢) 2x — 6x’,

dxy’ + xy’,

e) xy —2xyz + x’y;

8)Œ+Y}—XĨÉC†
V}.

2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2) 100 —xể,

d) (yy -(y-2),

.

e)x'—(1 + 2x),

3. Phân tích các da thức sau thành nhân tử:

16

a) a’ + 12a+ 36;

b) -9 + 6a —a’;

c) 2a’ + 8b’ — 8ab;

d) 16a’ + 8ab’ + bt.

Ooty

g)x'— 16.

ty


4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x? — 1000;

b) 8x3 + (xy);

c) @&— 17-27;

đ)xf+v”.

5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)x+ 2x(x—y)-y;

b) x? + xy—3x-3y;

©)xy— 5y + 4x— 20;

đ) 5xy— 25x” + 50x — 0y.

6. Tính giá trị của biểu thức:

a)P= 7(a— 4® — b(4— a) tại a= 17 vàb=3;

b)Q =a?+ 2ab— 5a — 10b tại a= 1,2 và b= 4,4.
7, Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4a’ — 4b? -a —b;

b) 9a? — 4b? + 4b — 1;

©) 4x) — yÌ + 432V — xy;

d) a’ —b?
+ dab+ 4a?

+ 4b’.

8. Phan tich cac đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x* — 36x;

b) 4xy? — 4x*y TY,

o) x -64.

Bai 5. PHAN THUC DAI SO
A. KIEN THUC CAN NHO
1. Phan thức, điều kiện xác định, giá trị của phân thức

° Phan tute dai số (hay nói gọn là phân đức) là một biểu thức có dang =

trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.

A được gọi là sử đức (hay r), B được gợi là mẫu thức (hay mẫu) của phân thức.

* Điều kiện xác định của phân thức `...

mau thức B khác 0.

giá trị của

B

* Để tính gi #¿ của phân thức bằng các giá trị cho trước của biến

(thoả mãn điều kiện xác định), ta thay các biên của phân thức bằng giá trị
đã cho của chúng, rỗi tính giá trị của biểu thức số nhận được.

2. Hai phân thức bằng nhau
mm.
.....
* Hai phan thue — va — bang
BD

a A
BD

4

nhau, viet —=—,neuA.D=B.C.

17


3. Tính chất cơ bản của phân thức
* Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác

đa thức không thi được một phân thức bằng phân thức đã cho.

4.= a (C là một đa thức khác đa thức không).
= Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của
chúng thì được một phân thức bang phân thức đã cho.
A
ASD
pata

(D là một nhân tử chung của
A và B).

B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tìm giá trị của phân thức:
Sx-6,.
ý
3
a) P= ——
taix=l1 vatax=—;

308

b)Q=Ễ

2

=.
x+2y

tạ x=4,y=~2 vàtạix=y= 1.
Gidi

a) Điều ". xác định: 3
Khix=1

—2x #0 hayx#

rã= „ điều kiện xác định được

Khi đó, wa
Khi x = >.

L=6
M1

Sl
1

=Š
a man.

1.

điều kiện xác định khơng

được thoả mãn.

Do

đó, giá trị của

phân thức khơng xác định.

b) Điều kiện xác định: x+ 2y # 0.
x'-4y` BÊ TẾ
(x+2y\(x-2y) thung
Ta có Q= ST

x+2ÿ

x+2y
Khi x= 4,y=—2,
ta có x+ 2y
= 4+2. (2) = 0 nên điều kiện xác định không
được thoả mãn. Do đó, giá trị của phân thức khơng xác định.
Khix=y=l1,tacdx+

2y=1+2.1

thoả mãn. Khi đó, Q=1—2.1=-1.

=3+0
nên điểu kiện xác định được

Chú ý: Như bài tập trên, đối với bài tốn tính giá trị của phân thức, ta luôn

phải viết điều kiện xác định và kiểm tra giá trị của biễn có thoả mãn điều kiện
xác định hay không. Ta nên rút gọn phân thức (nêu có thể), trước khi thay

giá trị của các biến để việc tính tốn trở nên đơn giản hơn.
18


Bài 2. Rút gọn các phân thức sau:
a) sae Oxy" 4
Đ) 4x k8 Oxy.
15x'y

3 Ax’

10x

Šu ¿

—9y

2

:

aye

Ca

4x-6y

2

„1y

/

x+y

Gidi

sj —l0xy*
15x?y?

(-2).5.xy.y?_ -2y’,

3.5.x.xy?
3x”

b) Ax—Oxy _ 2x(2—3y) _2-3v.

10x?

2x.5x

Sư

”

4 4x'-9y) (2x-3V(Xx+3y) 2x+3y,
4x-6y
2(2x-3y)
2°

ad Xoxyty)
Xx-xww*ty
=.
x+y?
(xty)(x’ -xyt+y?)
x+y
C. BÀI TẬP

1. Cho phan thieP= 2%*4
Si

Truy

a) Việt điêu kiện xác định của phân thức đã cho.
b) Tim gia trị của phân thức tại x= 0 và tại x=—l.

2. Tìm giá trị của phân thức Q—

5© Ÿ tại

xy

a)x=2vay=1;

b)x=2vày=-2.

3, Chứng minh rằng mỗi cặp phân thức sau bằng nhau.
8)

6ab”.

2b

els

V2

—_ va
>;
b)
7 va
9a*b

3a
(x-y)
y-x
4. Rút gọn các phân thức sau:

3

Galt ,

bị

ap.

3

—a*

—4ac
—2a"b
5. Rút gọn các phân thức sau:
ở Seay,
b) 3x — oY!

é

oxy
12y-6x
6. Rut gon các phân thức sau:

)

Sy-

x-25

0,
4x’ -—4x4+1
bu

9+6x+x”
bos
3x+9

sàn,
x -8
_

Sa(a

€
al

Đ,

a’+ab

_. 2ab

5

và

2b* + 2ab

4b

—.

4) 3aq =a).

10b(b—a)

9(a—])

Ox 4- Ly,

3
2
a) Hae
y

12x° —6xy

Xy+3x

2x*y + 2xy*
gare:
x -y

Aer

x'(xt+y)
%2

_

v2v#

1g


Bai 6. CONG, TRU PHAN THUG
A. KIEN THUC CAN NHG
1. Công, trừ hai phân thức cùng mẫu thức

Muôn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ)
các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
B

CC

B

2628

Bo

BB

B

2. Quy dong mẫu thức

* Quy đồng mẫu thức hai phân thức là biến đổi hai phân thức đã cho thành

hai phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng hai phân thức đã cho.
+ Đề quy đông mẫu thức hai phân thức a va ie

bước sau:

=

7

ta thong thực hiện các

— Phân tích mẫn thức B và D thành nhân tử;
— Tìm các nhân tử chung của hai mẫu thức B, D và các nhân tử riêng của

nỗi mẫu thức nay;

— Tính mẫu thức chung bằng cách tính tích các nhân tử chung của hai mẫu
thức với các nhân tử riêng của từng mẫu thức.

Một số trường hợp đặc biệt:
+ Nếu B và D khơng có nhân tử chung thì mẫu thức chung là tích của hai

mâu thức.

+ Nếu B chia hết cho D thì lầy mẫu thức chung là B.

3. Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức

Muốn cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức, ta thực hiện các bước:

~ Quy đồng mẫu thức;
— Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Thực hiện các phép công, trừ phân thức sau:

a

20

a?+b?)

)

ab

+

a?-b,
ab

3

b

a?

73

9

———.
a-3


Gidi

a)
b)

a’ +b? vẢ =b
ab
2
a9

ee
ab

oeab 2a,
oeb

_a'+b+a'-b` 2a”

ab
_a

2

9_(a+3(a

vã

3443.

a-3
a-3
a-3
a-3
Bài 2. Quy đồng mẫu thức của các cặp phân thức sau:

atu:

yak:

jv.

=

xy

2xv

xì-09

x+5

2x+6

5-x

x -y

(x+yy

Gidi

a) Ta có x'y=xy. x và 2xy?=xy.. 2y nên mẫu thức chung laxy .x. 2y=2x’y’.
3

=

3.2y

xây

é

oy

x’y.2y

.

2x3y?”

b) Mẫu thức chung là (x+ 5

l
xi5

Z

1

oo

`

2xy `

2xy.x

2xìy?

—x)= ( +x)@ —).

»:
(G43)6
DẦN.
7.
Sak
(5 X)j(923)R

e) Tacóx?—9=(x
+3)

3) và 2x+ 6= 2+ 3)
riên mẫu thức chung là 2(x + 3)(x — 3).
x*x 5
2x
.
1

x?—-9

2(x+3)(x-3)`

X3

2x+6

2(x+3(x—3).

d) Ta c6 x’ -y* = (x -y)(x + y) va (x+ v)? = & + y)(x + y) nên mẫu thức chưng

là(x—y)@&+ yỲ.
1

1

ay

A-yl&ty)

x+y

@&-y)@At+yŸ”

.

2_

4b

=

6b

š

b) ——+—_;
a

2x-y)

Gry @-y)@ty)f

Bài 3. Thực hiện các phép công, trừ phân thức sau:
3a+l
3a-—l,
b-a
oa.

a)

__

ys

a+b

a+2

a+ab

=

b-2
ab+b

am

Giải

a 3a+l 3a-l_

4b

6b

b) bea,
a
a
atb

3a+l

12b

23a-l)

1b

(b-a)fa+b)ta.a
a(a+b)

9a+3-6a+2_

7

1b

7

3a+5,

1267

b’-a’ta?
ob
aa+b) — afa+b)”

21


a+2

b-2

a°+ab

b-2

a+2

abt+b’ ~ a(a+b)

_ blat2) _a(b—2)

b(a+b) s ab(a+b)

_ ab+2b-ab+2a_

ab(a+b)

2(+b)

ab(a+b)

2

— ab(a+b) ab'

C. BÀI TẬP
1. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a—3b

5a+b
Ja—b
a)
—
>
b)
3
a+b
a+b
2a
2
2
2
3
a _
b a2 23.
(a—b)’

(b-a)

a-2

b—3a
7?
2a
"
3a_ja
L
a-2

2-a

2. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:
a)

ok
2x-1

3

xy

va

3 :
2x+1

vi

b

d
Ry+X

ae

2x+2y

1

(x+y)

va
ặ

x-1

¥
Xy-X

2

va bX

x41

x-l

3. Thực hiện các phép cộng, trử phân thức sau:
x
x
3x
5x
x2

)

l-x

ose

se
1

x

) Aa,
2y
3v

=5y

x-2
2x
jr,
xy
xy

+5;

a.1-y?
3xy

4. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

b_
Tb

a-3ab
|
a’—b?

a)——+
2

2a

4

_gaua on?

a-4a+4
5. Tinh:
a) x-2%

y
4

e

b

4

X+2

a+3
1
A
d
Pt

a’+a
1

a-l

a’ta+l

2-a

RP,

b) y

12
3

atl

Ys

2
x x+y

xX
Lz

late
x-2
x_-4

y

xy

x+y

V)

.

4x

xX-y

aX°-y ta
X-XY
xX°+xy

6. Tinh:
`
ab

22

ac

be

ee

a
ab

cb cua
be

ac


7. Tinh giả trị của biểu thức:

a) fo

b)

)9

a+b

ee

a-b

Q= a?+2a —

a'-l

lth „z taia=0,12 va b=—0,11;
a-b

1
tại a= L25.
a’+atl

-

§. Cơ Xn đi bộ quảng đường dài 3 km với tơc độ trung bình x (km/h). Sau đó,

cơ đi tiếp qng đường đải 2 km với tốc độ trung bình x— 1 (km/h). Tính tong

Thời gian mà cô Xuân đã đi bộ theo x.

9, Một đội công nhân cần sửa x (m) đường. Dự kiến đội sửa được trung bình y (m)
đường mỗi ngày. Tuy nhiên, đo thời tiết không thuận lợi nên đội chỉ sửa được

trung bình z (m) đường mỗi ngày (z < y). Dự án hồn thành mn hơn bao lâu
so với kế hoạch ban đầu?

Bài 1. NHÂN, CHIA PHÂN THỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
* Muỗn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức
với nhan.

Ac AC
BD

* Muốn chia phân thức =

cho phân thức 5

(C khác đa thức không),

alo

a,=

wo] > O

4 ome
gla

tad

BD

B. BAITAP MAU
Bài 1. Thực hiện các phép nhân phân thức sau:

2a”

15b”.

a-b

® Sb?
Sb*
—12a 12a?”

2a”

15bŸ

Da
6ab

2a”.15b?

3b.

a?-4a+4

oar
ab-a

Giải

3.45a.b

° 3b? -12a7 5b.C12a) 5.C12).b.a.

a-l

nal wear”
aˆ=2a+l
a°—4

a

2

23


a-b
é

3b

(a-b)3b

3@-b)b

~~

3.@-b)b

dL

6ab ab—a’ 6abab-a) 6.a.ba(báa)
6a b(-b) 247

a’-4a+4 a-l _@-2)
a’-2a+1 a’-4
(a-1)?

a-l
(a+2Xa-2)

@-27

6-)

s

a-2

_(a-D°.(a+2)(a-2) (a-D(@a+2)
Bài 2. Thực hiện các phép chia phân thức sau:

=,
y 2y

pe yy,xy

©) X43

gt

x

—9y’).

Giải

3x

9x?

3x

2y ` 3x.2y?

tuc: dy? dy ox

pear

5x+5

3.2.XY `

dy.9x?

4.9.x? -y 6x”

ee

x+ya—
_@Œ+Y)Œ-y)xy
_ xv(

5x+5y 1

=

x+3
XS
5
=
soy)
get

o) =7=Y:
%
x
Bài
3. Tính:

Sỹ x1?

(a),

RA.

Det 2.

Vy,

x-9y `.

Pl

eS

5(x+y)
oe

x(x+3y)(x-3y)

=
5
1

9,

XÍX-3y)

2xy \

(x=

|

K+Y

cae. x

Giải

_
952 _X 2 +4x+4+x on -4x+4
X _ 2_Œ+2) 2 +(x-2)

H)T4 6: x†+2
Xx-2

Từ đó,

Xx+2

HE

_

—=

=

x+4\x-2

BTAEe

(x-2Xx+2)

x+2/

(œ—2\x+2)

2N +4)
(X-2)(x4 2)"

2a? 2 +4)

X+4

_

(X-2XXx+2)

2
X-2

2XV _(X+Y) LÊ—2XY_ X 2 †2XY†Y 2 -2XYxi 2 +y",2

RA

x+y

x+y

Xi

x+y”

X-Y,V_(X-YVX+V(+y)_ X'-Xytyxty._ xi ty
X+Y

X

(x+y)x

(x+y)x

_

id leery 2288 of MER eg
x+y)

(x+y

x

2

2

x(x+y)

2

2

nà, Xe

x+y

x(x+y)

_x ty? xxt+y)
X+y

24

xX

3

+Y

7

=X.