Bài tập tối ưu hoá phần 1

JONG DAI HOC BACH KHOA HA NOI

KHOA

TO¢ \N - TIN UNG D UNG

4
il

1



TRUONG DAI HOC BACH KiiOA HA NOI
KHOA TOAN - TIN UNG DUNG
PGS. TS. BUI MINH TRI

BAI TAP

TOI UU HOA

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT
HÀ NỘI





Chuong I

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

MỞ ĐẦU
Quy hoạch tuyến tính (QHTT)

là một trong những lớp bài toán tối ưu

ược nghiên cứu trọn vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thực hành.
Quy hoạch tuyến tính bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà toán
ọc Nga nổi tiếng, Viện sỹ Kantorovich L.V. trong một loạt các cơng trình về
ài tốn kế hoạch hố sản xuất, cơng bố năm

1938. Năm

fy Dantzig đã nghiên cứu và để xuất phương pháp
tethod) để giải bài toán QHTT.

Năm

1952 phương pháp

1947 nhà tốn học

đơn hình (Simplex
đơn hình đã được

+ạy trên máy tính điện tử ở Mỹ.
Quy hoạch tuyến tính có một vị trí quan trọng trong tối ưu hố vì hai

¡ Lẽ thứ nhất là mơ hình tuyến tính đơn giản trong việc áp dụng. Lẽ thứ
ai là nhiều bài toán quy hoạch nguyên và quy hoạch phi tuyến có thể xấp xỉ
3i độ chính xác cao bởi một dãy các bài tốn QHTT.

§ 1. BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Bài tốn tổng qt của QHTT có dạng:
n
Less => max

>

aa

(Ss,=, 2) bj, i=1,...,m
x;>0,J=1,...,n

(1.1)

(1.2)
(1.3)

Nếu gặp bài toán min, tức là:
f(x) = dex;
jel

>min,xeD

(1.4)

1ì ta có thể đưa nó về bài toán max tương đương:

F(x) =-F(x) =~ Sex, —>max, xe D

(1.5)


Nếu bài tốn max có phương án tối ưu l. x` thì bài tốn min cũng có
phương án tối ưu là x` và f„¡„ = —Ÿ ma.
Người ta thường xét QHTT dưới hai dạng sau:
Dạng chuẩn
(c, x)=
n

dex,

=)

Dax

Dạng chính tắc

> max

(c, x)=

=——

b,,i=1m

>

dejx,

nn

> max

bị,

il

x;>0,J=ln

x;>0,J=l,n

Bất kỳ bài tốn QHTT nào cũng có thể đưa về một trong hai dạng trêr
nhờ các phép biến đổi tuyến tính:

+ Ràng buộc “>” được nhân với —1; chuyển về -Yiayx, <<-b,
jel

+ Một ràng buộc đẳng thức “=” có thể viết thành hai ràng buộc bấ
đẳng thức:
n

.

> ai%; =b

Dans sb,
Yass,
jal

>

Fl

a

=

«ai

+ Mét bién khéng rang buéc vé d&u x; cé thé thay bang hiéu cia ha
biến không âm:
x =x

- x,

với

x; >0, x

>0.

+ Một ràng buộc bất đẳng thức “>” có thể đưa về ràng buộc đẳng thứ

bằng cách thêm biến phụ y > 0; Sa aX) — KH bi.
jal

n
—
+ Hệ ràng buộc 5"a,x, =b,,¡ =l,m

Jel

>
có thể viết 5ˆA,x; =b

với A, la véc tơ cột của ma trận A các hệ số vế trái.
+ Dang véc tơ và ma trận của hai bài toán trên

Fl


Dang chuẩn

Dang chinh tac

<c, x>

<c, x> —» max

+

max

Ax
Ax =b

x20

x20

Dé x là phương án cực biên (đỉnh của miền ràng buộc D) © các véctơ

26t {Aj} ứng với các biến cơ sở {x; > 0, j e J} là độc lập tuyến tính.

§ 2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA TẬP NGHIỆM
Gọi D là tập các phương án của bài tốn QHTT:
- Nếu D bị chặn thì bài tốn này ln có nghiệm vì trong R" mọi hàm
1ffine đều liên tục và một hàm

liên tục trên tập compact

sẽ đạt cực trị trên

:ập ấy.
- Nếu D không bị chặn, bài tốn (1.1 (1.2) (1.3) có thể khơng có nghiệm

hàm cÏx không bị chặn trên D). Tuy nhiên nếu (c, x) bị chặn trên ở trên D
:ức là tổn tại một số thực hữu hạn œ sao cho (e, x) < œ với mọi x € D thi bai
;ốn ln có nghiệm.

§ 3. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
3.1. Đường lối chung và cơ sở thuật tốn của phương pháp đơn hình
Phương pháp đơn hình dựa trên hai nhận xét sau:

- Nếu bài tốn QHTT có phương án tối ưu thì có ít nhất một đỉnh của D
à phương án tối ưu.
- Đa diện lỗi D có một số hữu hạn đỉnh.
Thuật toán gồm hai giai đoạn:

Giai đoạn T: Trước hết tìm một phương án cực biên (một đỉnh).

Giai đoạn 1I: Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án đó.
- Nếu điều kiện tối ưu được thoả mãn thì phương án đó là tối ưu. Nếu
:hơng ta chuyển sang phương án cực biên mới sao cho cải tiến giá trị hàm
nục tiêu.

- Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án mới.
Người ta thực hiện một dãy các thủ tục như vậy cho đến khi nhận được
“hưởng án tối ưu hoặc đến tình huống khơng có phương án tối ưu.


Với mỗi véc tơ phi cơ sd Ay = (Z¡y, Zz¿, -.., Z„v)T tính ước lượng
A= bà
je

Định

—Œy

lý (Tiêu chuẩn tối ưu): Nếu

các ước lượng của phương án cực biên

x = (x), ..., x,) thoả mãn A, >0 uới mọi b £ dJJ thì x là phương án tó

uu cua bai tốn QHTT.
3.2. Thuat toan don hinh
Khơng làm giảm tính tổng qt, ta xét bài tốn QHTT dạng chính tắc:
(ec, x)=

ox;
j=l

— max

Ax=b
x20

trong đó A là ma trận có kích thước m x n, b là vectơ có kích thước m x 1.
Thuật tốn của phương pháp đơn hình được thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm một phương án cực biên xuất phát x và cơ sở của nó {A, j d

với J là tập các chỉ số cơ sở.
Bước 2:
a.

Xác định các hệ số z¡„ bởi hệ:
A=

b.

D2,

jes

Đối với mỗi k ¢ J, tinh cdc wéc lugng:

Ay = Pz;

j

- cy

Bước 3:

a.

Néu (Vk £ J) A,>0 = x là phương án tối ưu. Dừng thuật tốn.

b._

Ngược lại, sang bước 4.

Bước 4:
a. Nếu

(ak

¢ J) A, <0,

z„ < 0, Vị

e J =

bài toán

QHTT

nghiệm tối ưu (z khơng bị chặn trên). Dừng thuật tốn.

b. Đối với mỗi k £ J sao cho A, < 0, tổn tạij e J: z„ > 0 = chọn:

A,= min {A, | A,< 0}

không

c


!a vectd A, vào cơ sở.
_
Xác định:

a.
os
9,= min tt

>o}-

x

a vectơ A, ra khỏi cơ sở.

= Ta được phương án cực biên mới x với cơ sở J’? = J \ fr} u {s}. Quay

3 lại bước 2.
"Thuật tốn đơn hình được diễn tả theo sơ đồ khối như trên hình sau:
Xác định x, J, Av

2

A, = min (A, | A, < 0, k ¢ J)
xX,
|X
0, =
—L=min +z,
Zis

8

>0

A,20,Vk

ed

Khong có phường
án tối ưu

œ

1

9

|__|

In két qua

Ỷ

Biến đổi bảng

Gq

¬


3.3. Bang don hinh
Để dễ tính tốn, người ta thực hiện thủ tục đơn hình theo bang sau, g

là bảng đơn hình:
c¡ | Cơ

|Phương|c.

sở |

án

c;..

c...

|A,|A;

€

Gm

œ%

c,

A,

A

An

A

A,

c, | Ay

x

1

0

0

0

0

Z%

Zi

Cc, | As

%¿

0

1

0

0

0

Zox

zs

SA;

Xi

00

1

0

0

Ze

Zs

¢ | A

xX,

0

0

1

0

La

Zs

Cm | Am

Xy

010

fÊ

0

%

0

8

0

Đ

|ol|o|.|o|.|0|.

i

e

Vege]

|0.

|A|.-

aw | Seg

A,

ô_

Nu tt c cỏc s trong dòng cuối (trừ Ð đều > 0, nghĩa là A, > 0 V
khi đó x là phương án tối ưu.

®

Nếu dịng cuối (trừ Ð có những

số âm

thì xem thử có cột nào ci

dòng cuối ở một số âm mà mọi số trong cột đó đều < 0 hay khơng ?
-_

Nếu có thì bài tốn khơng có phương án tối ưu.

- _ Nếu khơng thì chọn cột s sao cho:
A,= min {A, la, <0}

rồi chọn trong số các dòng cắt cột s ở những số dương dòng r mà ti số:

6,= min (Ie, > of =
Zes

z,

1s

Cột s gọi là cột xoay. Vectơ A, được đưa vào cơ sở.

Dòng r gọi là dòng xoay. Vectơ A, bị đưa ra khỏi cơ sở.

Phần tử z„ > O là giao của cột xoay và dòng xoay gọi là phần tử trụ
Các phần tử z,„ j z r gọi là phần tử xoay.
10


Ta thu được bảng đơn hình mới từ bảng đơn hình cũ bằng cách thay c,,
trong dịng xoay bằng c„ A,. Sau đó thực hiện phép biến đổi dưới đây:

1.

Chia mỗi phần tử ở dòng xoay cho phần tử trục (được số 1 ở vị trí
trục), kết quả thu được gọi là dịng chính.

2.

Lấy

mỗi

dịng

khác

trừ

đi tích của

dịng

chính

nhân

với phần

tử

xoay tương ứng (được số O ở mọi vị trí cịn lại của cột xoay).
Dịng

mới = dịng cũ tương ứng — dịng chính x phần tử xoay.

Lưu ý rằng sau phép xoay thì ở vị trí A, ta thu được sốO vi hic nay A,
3 thành vectơ đơn vị cơ sở, nghĩa là ta đã làm mất số âm nhỏ nhất ở dòng
ối của bảng cũ.
Toàn

thực

thể phép

hiện phép

biến đổi trên gọi là phép xoay xung

xoay ta có một

phương

quanh

trục z„„ Sau

án mới và một cơ sở mới.

Nếu

ưa đạt yêu cầu nghĩa là còn A, < O thì ta lại tiếp tục q trình.

§ 4. VẤN ĐỀ PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN VÀ CƠ SỞ XUẤT PHÁT
1. Trường
Đưa

hợp dạng chuẩn

vào các biến phụ, chuyển về dạng chính tắc.

2. Dạng chính tắc
C¡Xi

† C¿X¿

+...

† CaX;

Zax; =bs i= Lm

—>

max

®)

x>0;j= Ln
Ta đưa vào m biến “giả tạo” (khác biến phụ):
Xung Xu

zcsoaBEuesErÐ

một số M > O rất lớn, lớn hơn bất kỳ số nào cần so sánh với nó. Ta chuyển
1 tốn P về bài toán M sau đây.
CịXc + CaX; +... + caXa— Mx,„¿¡ - Mx,„;¿ —... — Mx,.„ > Max
lu

+ a¡zX; +... + aiXu + Xa. =b;,

x>O;J=

lm+n

1=

Lm
(M)

13

Dua M > 0 rat lớn vào chẳng khác ta “đánh thuế rất nặng” vào biến g
tạo dương khiến cho trong phương án tối ưu (nếu có) thì các biến “giả tạ

bằng 0 tất cả.
Giải bài toán (M) bằng phương pháp đơn hình

* Tình huống 1: Bài tốn M có phương án tối ưu dạng (x, 0, 0,..., (
Khi đó x' là phương án tối ưu của bài toán ban đầu.

* Tình huống 2: Bài tốn (M) có phương án tối ưu (x, y), trong đó vec
y #0 =› cịn biến giả tạo dương. Khi đó bài tốn P khơng có phương án
khơng có phương án tối ưu.
Chú ý 1: Vì các hệ số hàm mục tiêu của bài tốn (M) phụ thuộc tuyến tír
vào M, mà A, = 3Z„e, — ¢,. = A, phụ thuộc tuyến tính vào các hệ
hàm mục tiêu A, = phụ thuộc tuyến tính vào M.
Phân tích A, thành hai thành phần:
A, = 6, + 4M.
®

nếun,>0=A,>0

®

nếun,<0=A,<0

Do đó dịng cuối của bảng được tách thành hai dòng:

Dong 1: ghi 6,;

Dong 2: ghi n, (được ưu tiên xét trước);

Nếu A,<
0 ©

ne< 0, va 5, bat ki:
TM

=0, 5 <0.

+ Để so sánh các A¿¡, Ay ta phải xét xem:
Aya < As >

| Mer < Me VA Sr, Spo là tuỳ ý;

TỊa = Nez VA S41 < Syo-

Chi: ¥ 2: Khi mét bién gia tao x,,, da bi day ra khỏi cơ sở (trở nên bằng 0) tÌ
từ đó về sau nó khơng thể quay lại cơ sở = khơng thể trở lại dươr
được nữa. Do đó A,„. sẽ khơng

quay

lại được = ta khơng

cần tín

gì ở biến đó nữa = xố cột đó đi.

Chú ý 3: Nếu gặp ràng buộc >a¡x; > b,, b, > 0 thì trước hết ta phải trừ vế tr:

cho một biến phụ y; (mà không cộng nữa).

12


Sau d6 thém vao bién gia tao x,,; 2 Ö và ràng buộc đó trở thành:
n

b
vt

Trén ham

—yi † Xu = bị

muc tiéu: f =f+0. y,—Mx,...

§5. QUY HOẠCH ĐỐI NGẪU
Với mọi bài tốn QHTT,

ta có thể thiết lập tương ứng cho nó một bài

›án khác gọi là bài tốn đối ngẫu của nó. Khái niệm đối ngẫu là một trong
%c khái niệm cơ bản của QHTT. Trong nhiều trường hợp để có được những
ết luận chấp nhận được cho một trong các bài tốn QHTT

thì việc nghiên

#u bài tốn đối ngẫu của nó lại tổ ra thuận tiện hơn. Hơn nữa, khi phân
ch song song một cặp bài toán đối ngẫu ta có thể thu được những kết luận

ay cả về toán học lẫn ý nghĩa kinh tế.
J. Von Neumann

đã xây dựng mơ hình bài tốn quy hoạch đối ngẫu và

sột số định lý đối ngẫu vào năm 1947 dựa vào các kết quả của lý thuyết trò
ơi, nhưng đến tận 1951 các kết quả này mới được công bố bởi một số nhà
›án học khác như Gale, Kuhn, Tucker.

Để giải quyết bải toán đối ngẫu, nhà toán học C.E. Lemke

đã đưa ra

hương pháp đơn hình đối ngẫu vào năm 1954.

.1. Bài toán đối ngẫu
Xét bài toán QHTT dạng chuẩn:
(P): (c, x) > min

(P’): (b, y) > max

Ax2b

a

x>0

ly 20

>c

Xét bài toán QHTT dạng chính tắc:
(P): (c, x) > min

Í

Aa=b
6

(P’): (b, y) > max

„

Ays
2. Các định lý cơ sở
Định

lý 1 (Định lý đối ngẫu yếu):

13


Cho cặp bài toán QHTT đối ngẫu (P) va (P). x la phuong dn chấp nhậi
được của (P), z(x) là hàm mục tiêu cần cực tiểu hoá của (P). y là phươn,
án chấp nhận của (P2, u(y) là hàm

mục tiêu cần cực đại hố của (P/

Khi đó:

z(x) > w(y)

Xét một cặp bài toán QHTT đối ngẫu, bài toán gốc là bài tốn cực tiể
hố, cịn bài tốn đối ngẫu là bài toán cực đại hoá.

1.

Gia trị hàm mục tiêu của bài toán gốc tại bất kỳ phương án chấ
nhận được nào cũng là cận trên của hàm mục tiêu của bài toán đ(

ngẫu.
Giá trị hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu tại bất kỳ phương á
chấp nhận được nào cũng là cận dưới của hàm mục tiêu của bi
toán gốc.
Nếu bài toán gốc khả thi và hàm mục tiêu của nó khơng bị chặ
dưới trên tập các phương án chấp nhận được của nó thì bài tốn đu
ngẫu khơng có phương án chấp nhận nào.

Nếu bài tốn đối ngẫu khả thi và hàm mục tiêu của nó khơng Ì
chặn trên trên tập các phương án chấp nhận

được của nó thì b:

a

tốn gốc khơng có phương án chấp nhận nào.
Nếu bài tốn đối ngẫu khơng khả thi và bài tốn gốc khả thi tl
hàm

mục

tiêu của bài tốn gốc khơng

bị chặn

dưới trên tap cé

phương án chấp nhận được của nó. Tương tự, nếu bài tốn g(
khơng khả thi và bài tốn đối ngẫu khả thi thì hàm mục tiêu củ
bài tốn đối ngẫu không bị chặn trên trên tập các phương án châ

nhận được của nó.
Dinh lý 2 (Điều kiện tối ưu đủ của QHTT):

Xét cặp bài toán đối ngẫu của QHTT, cho z(x), to(y) tưởng ứng là hà.
mục tiêu của bài toán gốc uà bài toán đối ngẫu. Nếu X,ÿ là cặp phươi.
án chấp nhận được tương ứng của hai bài tốn thoả mãn:
z(%)
= u(y)
thì X, ÿ là phương án tối ttu tương ứng của hai bài toán.

14


Dinh lý 3 (Định lý đối ngẫu mạnh):
Với cặp bài toán đối ngẫu của QHTT,

nếu một trong hai bài toán có

phương án tối ưu thì bài tốn kia cũng có phương án tối ưu uè giá trị

hàm mục tiêu tối ưu của hơi bài toán bằng nhau.
Hệ quả:

Định lý trên có thể phát biểu như sau:
+ Nếu cặp bài tốn đối ngẫu của QHTT có phương án chấp nhận được
ì cả hai bài tốn đều có phương

án tối ưu và giá trị hàm

mục tiêu của

ving bang nhau.
+ Nếu bài toán gốc là bài tốn cực tiểu và khả thi cịn bài tốn đối ngẫu
ơng khả thì thì bài tốn gốc khơng có phương án tối ưu, nghĩa là hàm mục
3u cua nó khơng bị chặn dưới.

+ Giả sử trong cặp bài toán đối ngẫu của QHTT, bài toán gốc là bài
án cực tiểu hoá hàm mục tiêu z(x) và bài toán đối ngẫu là bài toán cực đại

›á hàm mục tiêu w(y). Nếu cả hai bài tốn có phương án chấp nhận được
ì hàm mục tiêu của chúng tính tại các cặp phương án chấp nhận được có
a tri đối nhau.

w(y)

2(x)

——>“4————

}

max w(y) = min 2(x)
Định lý 4 (Điều kiện tối ưu cần và đủ của QHTT):

Cho cặp bài toán đối ngẫu (P) uè (P2. Cho x là một phương án chấp
nhận được của (P). x sẽ được gọi là phương án tối ưu của (P) khi uà chỉ

khi tôn tại một phương án chấp nhận được v của bài toán (P) sao cho:

Z(x)= w(Y)
Định lý 4 (Định lý bù yếu hay còn gọi là Định lý cân bằng giá):

Một cặp phương án chấp nhận được của hai bài toán gốc uà đổi ngẫu
được gọi là phương án tối ưu tương ứng của hai bài tốn khi úị chỉ khi
15


nó làm cho một biến phụ của bài tốn này dương thực sự, còn giá tr
của biến tương ứng trong bài tốn bia bằng 0.

Khi đó, định lý phát biểu rằng: x, v là phương án tối ưu tương ứn
của hai bài toán khi và chỉ khi:

1)

Nếu v, = A,x—
b, >0 thì y,=0
hoặc viy, =(A,x=b,)y, =0,i=lm.

2)

Néu u, =c,-yA,>0

thi x,=0.

5.3. Thuat toan

Thực chất của phương pháp đơn hình đối ngẫu chính là áp dụn
phương pháp đơn hình để giải bài tốn đối ngẫu với phương án xuất phát Ì
phương án cực biên của bài toán đối ngẫu. Kết quả cuối cùng ta sẽ thu đưc
phương án tối ưu của bài toán gốc.
Khơng mất tính tổng qt, ta xét cặp bài tốn QHTT đối ngẫu sau:
(P):

(c,x)

> min

Ax=b
x20
(P):

(b, y)

=> max

Ays
Gia sử ta có một phương án cực biên y° khơng thối hố của bài tố
(P') với các ràng buộc độc lập tuyến tính:

(A, YD =o, je J
và mặt khác:
Ay

y)
ke J

trong dé |J| =m va hé {A,|j e J} gọi là cơ sở đối ngẫu.
Giải hệ phương trình:
x4)
kl

=b

x.=0,k#J
16


ta thu được một giả phương án của (P) tưởng ứng với cơ sở đối ngẫu dJ. Các
biến x¡ j e J cũng được gọi là các biến cơ sở của giả phương án. Nếu tất cả
các biến cơ sở của giả phương án x đều khơng âm thì x được gọi là phương án

tối ưu của bài toán (P).

Bước 1. Xây dựng bảng đơn hình cho giả phương án x với cơ sở J:

A,<0,

VkeJ

Bước 2. Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu cho giả phương án x:
a.

Nếu x¡>0, VỊ e J thi x là phương án tối ưu của bài tốn (P). Thuật
tốn dừng.

b.

Nếu 3x,<0, j e j thì sang bước 3.

Bước 3.

a..

Nếu 3x; <0 và z„ >0, Vk # J = hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu
(P’) khéng

bi chặn trên = bài tốn (P) khơng

có phương

án chấp

nhận được. Thuật toán dừng.

b..

Đối với mỗi x, < 0,j e J tổn tại k £ J sao cho:
Zj <0

- Chọn x, = min (x; | x; < 0)

£

tưa vectơ A, ra khỏi cơ sở dJ.
- Xác định:

9,= By = min {au
Zs


“ác

lưa vectd A, vào cơ sở.
Ta được cơ sở mới J“ = J \ {r} ©2 {s}.

- Thực hiện phép biến đổi cơ sở với z„ là phần tử trục, ta thu được
phương án mới x' với cơ sở đối ngẫu J' = J \ {r} +2 {s}. Quay lại bước 1.

Thuật tốn đơn hình đối ngẫu có thể diễn tả bởi sơ đổ khối như trên
hình sau:

17


1

:

6

Xác định x, J, A,

:

x, = min (x,|x;< 0,j € J)

7

0,=

A
=

_
JA
nin lê».

Đụ


- | Khôngc

5

ard

9

“
2
In két qua

|

v

—

8

Biến đổi bảng

@

5.4. Vấn đề phương án cực biên và cơ sở xuất phát
Để áp dụng thuật tốn đơn hình đối ngẫu, trước tiên ta phải xác địt

được một phương án cực biên xuất phát cho nó.
- Nếu bài tốn dạng chính tắc có một cơ sở gồm các vectơ {+ e}, ta l

bảng đơn hình ứng với cơ sở này, nếu A, < 0, Vk ø ở thì ta lấy đó làm cơ

đối ngẫu xuất phát và áp dụng thuật toán.

- Nếu biết một phương án cực biên y của bài toán đối ngẫu của bài to:

dạng chính tắc, ta cần xác định cơ sở của y, tìm ma trận hệ số phân tích th
cơ sở này và lập bảng đơn hình tương ứng. Nếu A, < 0, Vk

làm cơ sở đối ngẫu xuất phát và áp dụng thuật tốn.
18

¢ J thi ta lấy


PHANA

CAC BAI TAP CO BAI GIAI
1. Giải QHTT dạng chuẩn 2 biến số bằng:
a)

Phương pháp hình học;

b)

Phương pháp đơn hình.
21x, + 24x,

3X;
x, +

> max

Xy 633
x, $13

5x, + 8x, < 80
X,,X,

20

Giải:
a)

Bằng phương pháp hình học

*

3x; +x¿=33
x, = 0 => x, = 33 (0, 33)
xX, =0
> x,

+

=11 (11, 0)

X,+x,=13

x, = 0 > x,
= 13 (0, 13)
X, =0 > x, = 13 (13, 0)
=

5x, + 8x, = 80
x,=O>x,=10

xX, =O=>x,=16
Đường mức:

21x, + 24x, = 168
x, =0>x,=7

(0, 7)

x, =0>x,=8

(8, 0)

19


6

7

8

9

10

11

12 73 14 15

16


Phương án tối uu: x’ = (8, 5)

x.=8,x; =õ
x 5=288
Fos =21x8+24

Kiểm tra bằng đại số:
x’ la giao điểm của hai đường:
5x, + 8x, = 80
X,+

X;= 13x (5)

x

=5>x,=8

b) Bang phương pháp đơn hình
Ta đưa vào ba biến phụ x; > 0, x, > 0, x; > 0, chuyển bài toán về dạng

chính

tắc:
21x, + 24x, + Ox, + Ox, + Ox; > max

3x, + X2 +X;
xX, + X

= 33
+X,

5x, +8x,

=13
+x; =80

xj 20,315

Ta có phương án cực biên xuất phát:
X3 = 33, x, = 18, x; = 80 là các biến cơ sở.

A;

1

0

a]

=|0|.A,

=|1|,A,

=|0{ là các véctơ
cơ sở.

0

0

1]

21


co, | Cơ
sở

DC|

|Phương|

21

24

0

0

0

án

Ay

A,

As

Ay

As

0 | A, |

38—--|---3---|-—--1

1

0

0

olA

13

0

1

0

0

|A, |

0

|A, |

80
5
Q
21
23 | 198

0

0
0
1

0
0
0

1
|r=5
0
-18 | s=1

0 | A

3 A

0

0

1

-1⁄8 | r=4

24 | A; |

10° |

1

0

0

1/8

0

0

0

3

0
0

1
0

1
0
0
0

1

1 ⁄1

88

240

o|a |
DC|21|A,|
24 | A, |

4
8
5
288

0
1
0
0

-193 |
83 |
5/3 |
16

|s=2

23
-1⁄3
13
1

Mọi số trong đoạn cuối > 0. Ta có phương án tối ưu:
x, = 8,

X,= 5,

xa= 4,

finax = 288

2. Giai QHTT dạng chuẩn bằng phương pháp hình học và phương pháp đơn

hình:

:

x, + 4x,

max

2x, + 3x, $22
xX, +

xX, $10
x, $6

X,,X_ 20

a) Giải bằng phương pháp hình học
+ Giải phương trình:
2x, + 3x; = 22

Cho

22

x, =0

ye

3

ate

3


x, =0

>x,=11

+ Giải phương trình:
x, +x,=10

Cho

x,=0>x,=10
x,=0>x,=10

+ Giải phương trình x; = 6:

Ạ%

|
|
1

1

|

1

|
|
|
|

|

|
1
|
|

2

b›
2

I

1

skes

2.
2

I

2>~z7}77772

4

5

6

+

7

+

8

1

Ỳ

b;

7

1

1

wt

nha
|

'

Phương trình đường mức:
xị + 4x;= 4
=>x,=0>x,=1

Xxa=0->x:y=4

23