Giáo trình kết cấu hàn (nghề công nghệ hàn trình độ cao đẳng)

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CƠNG NGHỆ QUY NHƠN

GIÁO TRÌNH
MƠN HỌC: VẬT LIỆU HÀN
NGÀNH/NGHỀ: CƠNG NGHỆ HÀN
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG
Ban hành kèm theo Quyết định số: 99/QĐ-CĐKTCNQN ngày 14 tháng 3 năm 2018
của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Kỹ thuật Cơng nghệ Quy Nhơn

Bình Định, năm 2018


TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình lưu hành nội bộ nên các nguồn thơng tin
có thể được phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và
tham khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh
thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.

2


LỜI GIỚI THIỆU
Trong cơng nghiệp sản xuất cơ khí ngày nay, xu hướng phát triển để đạt được
chất lượng sản phẩm cao, năng xuất lao động cao, giá thành cạnh tranh, sản xuất đã
theo hướng ứng dụng các thành tự khoa học kỹ thuật: sử dụng vật liệu hợp lý, tự động
hố q trình sản xuất ở mức độ cao, đúng các công nghệ tiên tiến…
Nhằm đáp ứng nhu cầu của người học trong việc nghiên cứu lý thuyết kết cấu
chuyên ngành Hàn, chúng tôi đã đầu tư nghiên cứu, siêu tầm và biên soạn cuốn giáo
trình Kết Cấu Hàn để cung cấp cho người học những kiến thức từ tổng quát về kết cấu

hàn từ đó là cơ sở cho nghiên cứu trong học tâp và ứng dụng trong thực tế sản xuất.
Giáo trình Kết Cấu Hàn cung cấp đầy đủ kiến thức tĩnh học, các trường hợp
chịu lực và độ bền của mối hàn là cơ sở nghiên cứu để người học tiếp tục nghiên cứu
các môn học khác. Giáo trình bao gồm 5 chương:
1. Tĩnh học
2. Các trường hợp chịu lực của vật rắn
3. Tính độ bền của mối hàn
4. Ứng suất và biến dạng trong hàn
5. Dầm, dàn và trụ hàn
Trong quá trình biên soạn giáo trình khơng tránh được những thiếu sót, rất
mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp và của các em sinh viên để tơi
hiệu chỉnh hồn thiện. Cảm ơn tất cả các bạn đồng nghiệp đã tham gia giúp đỡ để hồn
thành giáo trình.
Biên soạn

KS. Nguyễn Thanh Sang

3


MỤC LỤC
Trang
BÀI MỞ ĐẦU................................................................................................................ 8
1. Giới thiệu chương trình và các tài liệu tham khảo..................................................8
1.1 Chương trình đào tạo........................................................................................ 8
1.2 Tài liệu tham khảo............................................................................................ 8
2. Phạm vi ứng dụng................................................................................................... 8
3. Các nội dung tính tốn của mơn học.......................................................................8
CHƯƠNG 1: TĨNH HỌC............................................................................................. 9
1.1. Các khái niệm cơ bản và các định luật tĩnh học...................................................9

1.1.1. Các khái niệm cơ bản....................................................................................9
1.1.2 Các định luật tĩnh học.................................................................................. 11
1.1.3. Các hệ quả...................................................................................................13
1.2. Hệ lực phẳng...................................................................................................... 13
1.2.1. Vectơ chính và mơmen chính của hệ lực phẳng......................................... 13
1.2.2. Định lý dời lực song song...........................................................................14
1.2.3. Điều kiện cân bằng và phương trình cân bằng của hệ lực phẳng............... 16
1.2.4. Bài toán hệ lực phẳng với liên kết ma sát...................................................17
1.3. Hệ lực khơng gian.............................................................................................. 22
1.3.1. Vectơ chính và mơmen chính của hệ lực khơng gian................................. 22
1.3.2. Định lý dời lực song song...........................................................................23
1.3.3. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực....................26
1.4. Ma sát.................................................................................................................28
1.4.1. Khái niệm về ma sát....................................................................................28
1.4.2. Ma sát trượt.................................................................................................28
1.4.3. Ma sát lăn....................................................................................................30
CHƯƠNG 2: CÁC TRƯỜNG HỢP CHỊU LỰC CỦA VẬT RẮN........................ 33
2.1. Nội lực, ngoại lực, ứng suất............................................................................... 33
2.1.1. Nội lực........................................................................................................ 33
2.1.2. Ngoại lực.....................................................................................................35
2.1.3. Ứng suất......................................................................................................36
2.2. Kéo, nén đúng tâm – cắt.................................................................................... 37
2.2.1. Kéo, nén đúng tâm...................................................................................... 37
2.2.2. Thanh chịu cắt.............................................................................................41
2.3. Xoắn thuần tuý...................................................................................................42
2.3.1. Khái niệm....................................................................................................42
2.3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh có mặt cắt trịn..............................43
2.3.3. Biến dạng của thanh chịu xoắn................................................................... 44
2.3.4. Điều kiện bền và điều kiện cứng – ba bài toán cơ bản.............................. 44
2.5. Uốn phẳng của thanh thẳng................................................................................46

2.5.1. Định nghĩa.................................................................................................. 46
2.5.2. Nội lực và biểu đồ nội lực...........................................................................46
4


2.5.3. Dầm chịu uốn phẳng thuần tuý – Điều kiện bền.........................................47
CHƯƠNG 3: TÍNH ĐỘ BỀN CỦA MỐI HÀN........................................................54
3.1. Tính tốn liên kết hàn dưới tác dụng của tải trọng tĩnh..................................... 54
3.1.1 Một số từ viết tắt..........................................................................................54
3.1.2. Một số thuật ngữ......................................................................................... 54
3.1.3. Các loại ứng suất xuất hiện trong liên kết hàn............................................55
3.1.4. Tính tốn liên kết hàn hồ quang theo ứng suất so sánh.............................. 55
3.2. Tính tốn mối hàn giáp mối............................................................................... 59
3.2.1. Tính tốn mối hàn giáp mối chịu lực kéo (lực pháp tuyến)........................59
3.2.2. Tính tốn mối hàn song song với phương tác dụng lực..............................60
3.2.3. Tính tốn mối hàn giáp mối chịu mơmen uốn............................................ 61
3.2.4. Tính tốn mối hàn giáp mối chịu lực phức tạp........................................... 63
3.2.5. Mối hàn chịu mômen xoắn......................................................................... 64
3.2.6. Mối hàn xiên............................................................................................... 64
3.3. Tính tốn mối hàn góc....................................................................................... 66
3.3.1. Đặc điểm..................................................................................................... 66
3.3.2. Chiều dài đường hàn góc............................................................................ 66
3.3.3. Diện tích làm việc của mối hàn góc............................................................67
3.3.4. Tính tốn mối hàn chồng............................................................................ 67
CHƯƠNG 4: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG TRONG HÀN...................................75
4.1. Trường nhiệt độ..................................................................................................75
4.1.1. Khái niệm....................................................................................................75
4.1.2. Phân loại..................................................................................................... 75
4.2. Ứng suất và biến dạng do co dọc gây ra khi hàn giáp mối................................ 77
4.2.1. Phương pháp tính theo nội lực tác dụng..................................................... 77

4.2.2. Nội ứng suất và biến dạng khi hàn vào cạnh tấm kim loại......................... 78
4.2.3. Xác định vùng ứng suất tác động................................................................81
4.2.4. Ứng suất và biến dạng dọc do co dọc gây ra trong mối hàn giáp mối........84
4.2.5. Một số biện pháp giảm biến dạng do co dọc khi hàn................................. 85
4.3. Ứng suất và biến dạng do co ngang gây ra khi hàn giáp mối............................ 86
4.3.1. Khái niệm....................................................................................................86
4.3.2. Ứng suất và biến dạng ngang gây ra trong mối hàn giáp mối các tấm tự do..
86
4.3.3. Ảnh hưởng của trình tự hàn........................................................................ 87
4.3.4. Ảnh hưởng của hàn đính.............................................................................88
4.4. Ứng suất và biến dạng khi hàn góc....................................................................90
4.4.1. Ứng suất và biến dạng khi hàn góc chữ L.................................................. 90
4.4.2. Ứng suất và biến dạng trong liên kết hàn chồng.........................................92
4.4.3. Ứng suất và biến dạng trong liên kết chữ T................................................95
4.4.4. Ứng suất biến dạng do co dọc dầm hàn chữ I.............................................98
4.5. Các biện pháp giảm ứng suất biến dạng trong quá trình hàn...........................100
4.5.1. Các biện pháp giảm ứng suất khi hàn....................................................... 100
5


4.5.2. Các biện pháp làm giảm biến dạng khi hàn.............................................. 102
CHƯƠNG 5: DẦM, DÀN, TRỤ HÀN.....................................................................108
5.1. Dầm hàn........................................................................................................... 108
5.1.1. Khái niệm - đặc điểm................................................................................108
5.1.2. Phân loại................................................................................................... 108
5.1.2. Đánh giá hiệu quả sử dụng theo tiết diện ngang của dầm.........................110
5.1.3. Nội dung u cầu tính tốn và thiết kế dầm..............................................110
5.2. Dàn hàn............................................................................................................ 111
5.2.1. Khái niệm, đặc điểm................................................................................. 111
5.2.2. Phân loại dàn.............................................................................................112

5.2.3. Hình dạng của dàn.................................................................................... 112
5.2.4. Các kích thước chính của dàn................................................................... 113
5.3. Trụ hàn............................................................................................................. 114
5.3.1. Khái niệm..................................................................................................114
5.3.2. Phân loại....................................................................................................114
5.3.3. Nguyên tắc tính cột................................................................................... 115
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................116

6


GIÁO TRÌNH MƠN HỌC/MƠ ĐUN
Tên mơn học: Kết Cấu Hàn
Mã mơn học: MH11
Vị trí, tính chất của mơn học/mơ đun:
- Vị trí: Mơn học được bố trí sau khi học xong mơn học Vẽ kỹ thuật, Vật liệu
hàn.
- Tính chất: Là môn học lý thuyết cơ sở cung cấp những kiến thức cơ học cơ
bản về lực, mô men và những tác động của nó gây ra trong vật rắn những ứng suất,
biến dạng dùng để áp dụng tính tốn độ bền của mối hàn.
Mục tiêu:
- Về kiến thức:
+ Trình bày đúng các khái niệm về cơ học vật rắn tuyệt đối và vật rắn biến
dạng.
+ Giải thích được các ứng suất và biến dạng trong hàn
- Về kỹ năng:
+ Giải đúng các bài toán về tĩnh học trong các liên kết thường gặp, các bài toán
về chịu lực cơ bản của thanh: kéo (nén) đúng tâm, uốn thuần tuý, xoắn thuần t, cắt
dập.
+ Tính tốn độ bền, ứng suất và biến dạng các liên kết hàn dưới tác dụng của tải

trọng tĩnh.
- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm:
+ Có ý thức tự giác, tìm hiểu tự học với tinh thần trách nhiệm cao, sẵn sàng hợp
tác, giúp đỡ lẫn nhau.
+ Tham gia học tập và làm bài đầy đủ.

7


BÀI MỞ ĐẦU
Mục tiêu:
- Hiểu được bố cục nội dung chương trình và lựa chọn các tài liệu tham khảo.
- Trình bày được phạm vi ứng dụng của mơn học trong thực tế
- Hiểu được các nguyên tắc khi tính tốn
Nội dung:
1. Giới thiệu chương trình và các tài liệu tham khảo
1.1 Chương trình đào tạo
Số
TT
1
2
3
4
5
6

Tên chương, mục

Thời gian (giờ)
T

K
LT TH
S
T
1 1
0
0
14 14
0
0
23 17
5
1
17 14
3
0
23 18
4
1
12 11
1
0
90 75 13
2

Bài mở đầu: Gới thiệu môn học
Chương 1: Tĩnh học
Chương 2: Các trường hợp chịu lực của vật rắn
Chương 3: Tính độ bền của mối hàn
Chương 4: Ứng suất và biến dạng trong hàn

Chương 5: Dầm, dàn và trụ hàn
Cộng
1.2 Tài liệu tham khảo
[1]. Nguyễn Minh Vượng - Sức bền vật liệu - ĐHBK Hà Nội - 2015
[2]. Kết cấu hàn- Trường ĐHBK Hà Nội- 2015
[3]. Đồn Đình Kiến-Thiết kế kết cấu thép-NXB Xây dựng - 2016
[4]. Hà Xuân Hùng- Kết cấu hàn- Trường ĐHSPKT Nam Định -2015
[5]. Bùi Đức Phương- Sức bền vật liệu 1- Trường ĐHSPKT Nam Định - 2015
2. Phạm vi ứng dụng
Chương trình mơ đun được sử dụng để giảng dạy cho trình độ Cao đẳng.
3. Các nội dung tính tốn của mơn học
- Vật rắn chịu nội lực
- Các loại ứng suất xuất hiện trong hàn
- Cách tính ứng suất và biến dạng hàn

8


CHƯƠNG 1: TĨNH HỌC
Mã bài: MH11-01
Giới thiệu:
Tĩnh học là một phân nhánh của vật lý liên quan đến việc phân tích các tải
(lực, mơ men lực) trên một hệ vật ở trạng thái cân bằng tĩnh, có nghĩa là trong trạng
thái mà vị trí của tương đối giữa các thành phần trong hệ là không thay đổi theo thời
gian, hoặc khi các thành phần và cấu trúc đang ở trạng thái đứng yên. Khi ở trong
trạng thái cân bằng tĩnh, hệ có thể đang đứng yên, hoặc khối tâm của nó đang di
chuyển với vận tốc đều.
Mục tiêu:
- Trình bày các khái niệm cơ bản và các định luật tĩnh học
- Hiểu được khái niệm về vectơ chính, mơmen chính của hệ hệ lực phẳng và hệ

lực khơng gian
- Trình bày được định lý dời lực song song của hệ lực phẳng và hệ lực không
gian
- Điều kiện cần bằng và phương trình cân bằng của hệ lực phẳng và hệ lực
khơng gian.
- Giải thích được ý nghĩa của chúng trong các bài toán tĩnh học vật rắn.
- Rèn luyện tính tự giác, ý thức trong khi tham gia học tập.
Nội dung
1.1. Các khái niệm cơ bản và các định luật tĩnh học
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trong tĩnh học có ba khái niệm thường sử dụng: Vật rắn tuyệt đối, cân bằng và
lực.
- Vật rắn tuyệt đối: là một tập hợp vô hạn các chất điểm mà khoảng cách giữa
hai chất điểm bất kỳ luôn luôn không đổi.
Vật rắn tuyệt đối chỉ là mơ hình của các vật thể khi các biến dạng của nó bỏ qua
được do quá bé hoặc khơng đóng vai trị quan trọng trong q trình khảo sát. Trong
những trường hợp các biến dạng tuy bé nhưng đóng vai trị quan trọng tức là khơng thể
bỏ qua được thì cần thiết phải bổ sung những giả thiết, tức là xây dựng mơ hình gần
đúng hơn. Để đơn giản, vật rắn tuyệt đối thường được gọi tắt là vật rắn.
- Cân bằng: Vật rắn được gọi là cân bằng khi vị trí của nó khơng thay đổi so với
vị trí của một vật nào đó được chọn làm chuẩn. Vật chọn làm chuẩn được gọi là hệ quy
chiếu. Trong tĩnh học hệ quy chiếu được chọn là hệ quy chiếu qn tính- hệ quy chiếu
trong đó tiên đề quán tính được thoả mãn. Cân bằng đối với hệ quy chiếu quán tính
được gọi là cân bằng tuyệt đối.
Trong kỹ thuật hệ quy chiếu quán tính gần đúng được chọn là quả đất.
Trong tính tốn người ta chọn hệ trục tọa độ gắn liền với hệ quy chiếu, được gọi
là hệ trục tọa độ quy chiếu. Với một hệ quy chiếu có thể gắn với nhiều hệ trục tọa độ
quy chiếu khác nhau.
9

- Lực: Từ những quan sát trong đời sống cùng với những kinh nghiệm và thực
nghiệm người ta đi đến nhận xét rằng: nguyên nhân gây ra sự biến đối của trạng thái
chuyển động cơ học, tức sự dời chỗ của các vật thể (bao gồm cả biến dạng) trong đó
cân bằng chỉ là trường hợp riêng, chính là tác dụng tương hỗ giữa các vật thể - tác
dụng cơ học (phân biệt với các tác dụng tương hỗ khác như hoá, nhiệt, điện,…).
Tác dụng tương hỗ cơ học được gọi là lực.
Các yếu tố đặc trưng của lực:
+ Điểm đặt của lực là điểm mà vật được truyền tác dụng tương hỗ cơ
học từ vật khác.
+ Phương chiều của lực là phương chiều chuyển động từ trạng thái nghỉ
của chất điểm (vật có kích thước bé) chịu tác dụng của lực.
+ Cường độ của lực là số đo tác dụng cơ học của lực. Đơn vị của lực là
Niutơn, được ký hiệu N.
+ Có thể dùng vectơ biểu diễn các đặc trưng của lực, gọi là vectơ lực,
→ →

chẳng hạn: 𝐹, 𝑄,… trong đó gốc của vectơ là điểm đặt của lực, phương chiều của vectơ
biểu diễn phương chiều của lực, mô đun của vectơ biểu diễn cường độ của lực. Giá
mang vectơ lực được gọi là đường tác dụng của lực (hình 1.1).

Hình 1.1. Đường tác dụng của lực
- Các định nghĩa khác
+ Hệ lực: Hệ lực là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên một vật rắn. Hệ
→

→

→

→

→

→

lực gồm các lực 𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛 được ký hiệu là: (𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛)

Dựa vào tác dụng cơ học của hệ lực ta có một số khái niệm:
+ Hệ lực tương đương với hệ lực khác khi nó có tác dụng cơ học như hệ
→

→

→

→

→

→

lực đó. Hai hệ lực tương đương (𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛) và (∅1, ∅2, …∅𝑛) sẽ được ký
→

→

→

→

→

→

hiệu: (𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛)≡ (∅1, ∅2, …∅𝑛)
→

+ Hợp lực của hệ lực là một lực duy nhất tương đương với hệ lực ấy. Gọi
→

→

→

𝑅 là hợp lực của hệ lực (𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛), ta có:
→

→

→

→

𝑅≡(𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛)

+ Hệ lực cân bằng là hệ lực nếu tác dụng lên vật rắn không làm thay đổi
trạng thái chuyển động của vật có được khi khơng chịu tác dụng của hệ lực ấy.
Nếu dưới tác dụng của hệ lực vật rắn cân bằng thì hệ lực được gọi là hệ lực cân
bằng hay hệ lực tương đương với không và được ký hiệu là:

10


→

→

→

(𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛)≡0

Dựa vào sự phân bố của các đường tác dụng của các lực thuộc hệ lực ta có:
+ Hệ lực không gian bất kỳ khi đường tác dụng của các lực nằm tùy ý
trong không gian.
+ Hệ lực phẳng bất kỳ khi đường tác dụng của các lực nằm tùy ý trong
một mặt phẳng.
+ Hệ lực song song (phẳng và không gian) khi đường tác dụng của các
lực song song với nhau.
+ Hệ lực đồng qui (phẳng và không gian) khi đường tác dụng của các lực
đi qua cùng một điểm.
+ Hệ ngẫu lực (phẳng và không gian) khi hệ lực gồm các cặp lực từng
đôi một song song ngược chiều cùng cường độ.
1.1.2 Các định luật tĩnh học
Tiên đề 1: Tiên đề về hai lực cân bằng
Điều kiện cần và đủ để cho hệ hai lực cân bằng là chúng có cùng đường tác
dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ.
Hai lực thỏa mãn tiên đề 1 được gọi là hai lực cân bằng (hình 1.2). Tiên đề một
đưa ra một tiêu chuẩn về cân bằng. Nói khác đi, để biết một hệ lực đã cho cân bằng
hay không ta cần chứng minh rằng hệ lực ấy tương đương với hai lực cân bằng.

bằng.

Hình 1.2. Hai lưc ngược chiều
Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng
Tác dụng của hệ lực không thay đổi nếu ta thêm vào hoặc bớt đi hai lực cân
→ →'

(

→

→

→

)

→

→

→

→ →'

Như vậy nếu 𝐹, 𝐹 là hai lực cân bằng thì: 𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛 ≡(𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛, 𝐹, 𝐹 )
→

→

→

→ →'

(

→

→

→

)

hoặc ngược lại: (𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛, 𝐹, 𝐹 )≡ 𝐹1, 𝐹2, …𝐹𝑛

Hệ quả:
Tác dụng của lực không thay đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của nó.
→

Thực vậy, giả sử 𝐹𝐴 tác dụng lên vật rắn A, áp dụng tiên đề 2, thêm tại B hai lực
→

→

→
'

→

cân bằng nhau (hình 1.3) cùng đường tác dụng với 𝐹𝐴 và 𝐹𝐴 =− 𝐹𝐵 − 𝐹𝐴

11


→

→

→
'

Hình 1.3. Trượt lực
→

→

Ta có: 𝐹𝐴 = (𝐹𝐴, 𝐹𝐵, 𝐹𝐵)≡𝐹𝐵 ở đây một lần nữa ta áp dụng tiên đề 2 để bỏ đi
→

→
'

hai lực cân bằng 𝐹𝐴 và 𝐹𝐵.

Như vậy: Lực tác dụng lên vật rắn được biểu diễn bằng vectơ trượt. Cần chú ý
rằng tính chất nêu trên chỉ có đối với vật tuyệt đối rắn.
Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực
Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đặt
chung, có vectơ lực bằng vectơ chéo hình bình hành mà hai cạnh là hai vectơ biểu

diễn hai lực thành phần (hình 1.4).

Hình 1.4. Hình bình hành lực
Tiên đề 3 cho phép xác định hợp lực của hai lực đồng qui và phân tích một lực
thành hai lực thành phần theo qui tắc hình bình hành lực.
Tiên đề 4: Tiên đề tác dụng và phản tác dụng
Lực tác dụng và phản lực tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng, hướng
ngược chiều nhau và có cùng cường độ (hình 1.5).

Hình 1.5. Lực tác dụng và phản lực tác dụng
Tiên đề 4 là cơ sở để mở rộng các kết quả khảo sát đối với một vật sang khảo sát
hệ vật.
Tiên đề 5: Tiên đề hóa rắn
Một vật biến dạng đang cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hóa rắn
nó vẫn cân bằng.
Tiên đề 5 có thể hiểu là: một hệ lực đã có khả năng làm cho vật biến dạng cân
bằng thì tất nhiên cũng có khả năng làm cho vật rắn cân bằng (ngược lại khơng dứt
khốt đúng), và như thế khi có vật biến dạng cân bằng (dưới tác dụng của một hệ lực
nào đó) ta có thể xem đó là vật rắn (hay thay bằng vật rắn) mà khơng có gì ảnh hưởng
về mặt khảo sát lực.

12


Hình 1.6. Hố rắn vật
Nhờ tiên đề 5 có thể sử dụng các kết quả đã nghiên cứu cho vật rắn cân bằng
cho trường hợp vật biến dạng cân bằng. Tuy nhiên, các kết quả đó chưa đủ để giải
quyết bài toán cân bằng của vật biến dạng mà cần phải thêm các giả thiết về biến dạng
(ví dụ định luật Húc trong sức bền vật liệu).
Tiên đề 6: Tiên đề giải phóng liên kết

Vật khơng tự do (tức vật chịu liên kết) cân bằng có thể được xem là vật tự do
cân bằng nếu ta, thay thế tác dụng của các liên kết bằng các phản lực liên kết tương
ứng (hình 1.7).
Nhờ tiên đề giải phóng liên kết, các tiên đề phát biểu cho vật rắn tự do vẫn đúng
với vật rắn chịu liên kết, khi xem nó là vật tự do chịu tác dụng của hệ lực gồm các lực
hoạt động tác dụng lên nó và các phản lực liên kết tương ứng với các liên kết được giải
phóng.
Dưới đây sẽ trình bày một số quy tắc để tìm các đặc trưng của phản lực liên kết
của một số liên kết thường gặp. Ta chỉ giới hạn đối với các liên kết khơng ma sát

Hình 1.7. Lực liên kết
1.1.3. Các hệ quả
1.1.3.1. Hệ quả (Định lý trượt lực)
Tác dụng của lực không thay đổi khi ta trượt lực trên đường tác dụng của nó
1.1.3.2. Hệ quả (Định lý về hợp lực của hệ)
Khi hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ của hệ lực ấy sẽ là lực trực đối với hợp
lực của các hệ lực còn lại
1.1.3.3. Hệ quả (Định lý về đường tác dụng của 3 lực đồng phẳng)
Khi ba hệ lực đồng phẳng cân bằng, đường tác dụng của chúng hoặc đồng quy
hoặc song song
13


1.2. Hệ lực phẳng
1.2.1. Vectơ chính và mơmen chính của hệ lực phẳng
1.2.1.1. Mômen của một lực đối với một điểm
→

→

a. Định nghĩa : Tác dụng quay mà lực 𝐹 gây ra cho vật gọi là mômen của lực 𝐹 điểm
→

O, ký hiệu là m0(𝐹)
→

m0(𝐹) = ±𝐹. 𝑎

(1.1)

Hình 1.8. Mơmen của lực F
b. Quy ước
a- Cánh tay đòn
→

m0(𝐹) lấy dấu (+) nếu chiều quay của lực làm vật qua ngược chiều kim đồng hồ
→

m0(𝐹) lấy dấu (-) nếu chiều quay của lực làm vật qua cùng chiều kim đồng hồ
Nhận xét :

Hình 1.9. Đường tác dụng của lực F
→

→

- Nếu đường tác dụng của lực 𝐹 đi qua O thì m0(𝐹) = O, vì cánh tay địn a = 0
- Trị số mômen cũng được xác định bằng hai lần diện tích tam giác do lực và
điểm O tạo thành
→

m0(𝐹) = 2𝑆∆𝑂𝐴𝐵

c. Đơn vị
Nếu tính lực bằng Niutơn (N), cánh tay địn tính bằng mét (m) thì mơmen tính
bằng Nitơn mét (N.m)
1.2.1.2. Ngẫu lực
a. Định nghĩa
Ngẫu lực là một hệ lực gồm hai lực song song ngược chiều và cùng cường độ.
Được xác định bằng công thức :
R = F1 – F2
(1.2)
14


Hình 1.10. Ngẫu lực
Trong một số trường hợp đặc biệt, nếu hai hệ lực song song ngược chiều, nhưng
chúng có cùng hệ số thì hệ hai lực này khơng có hợp lực vì : R = F1 – F2 = 0
b. Các yếu tố của ngẫu lực
Một ngẫu lực được xác định bởi các yếu tố sau :
- Chiều quay của ngẫu lực
- Trị số của mômen : m = F.a (1.3)
1.2.2. Định lý dời lực song song
1.2.2.1. Hệ lực phẳng đồng quy
a. Định nghĩa
Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng của các lực cùng nằm trên
cùng một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm

Hình 1.11. Hệ lực đồng quy
b. Hợp hai lực đồng quy

→

→

Giả sử có 2 lực 𝐹1 và 𝐹2 đồng quy tại O, phương của hai lực hợp với nhau một
→

→

→

→

góc α. Theo tiên đề 3, hợp lực 𝑅 là đường chéo của hình bình hành 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2

Hình 1.12. Hình bình hành lực
Để xác định được hợp lực R, ta phải xác định trị số, phương và chiều của nó.
+ Trị số 𝑅 =

2

2

𝐹1 + 𝐹2 + 2𝐹1𝐹2. 𝑐𝑜𝑠α

(1.4)

+ Phương : Nếu phương của R hợp với phương của F1, F2 một góc
tương ứng với α1, α2 thì :

15


𝑠𝑖𝑛α1 =

𝐹1
𝑅

. 𝑠𝑖𝑛α ;

𝑠𝑖𝑛α2 =

𝐹2
𝑅

. 𝑠𝑖𝑛α

Như vậy ta xác định được chiều của R là chiều từ điểm đồng quy tới góc đối
diện trong hình bình hành.
* Các trường hợp đặt biệt
→

→

- Hai lực 𝐹1 và 𝐹2 cùng chiều, cùng phương
Hình 1.13. Hai lực cùng phương, cùng chiều
𝐶𝑜𝑠α = 1
R = F 1 + F2
→

→

- Hai lực 𝐹1 và 𝐹2 cùng phương, ngược chiều

Hình 1.14. Hai lực cùng phương, ngược chiều
0

α = 180 ⇒𝐶𝑜𝑠α =− 1
𝑅 = [𝐹1 + 𝐹2] (Nếu F1 > F2 thì R = F1 - F2)
→

→

- Hai lực 𝐹1 và 𝐹2 vng góc nhau

Hình 1.15. Hai lực vng góc nhau
0

α = 90 ⇒𝐶𝑜𝑠α = 0
𝑅=

2

2

𝐹1 + 𝐹2

b. Quy tắc tam giác lực

Hình 1.16. Tam giác lực
→

→

→
'

Ta có thể xác định hợp lực 𝑅 bằng cách : Từ mút của lực 𝐹1 ta đặt 𝐹2 song
→

→
'

→

→

→

song cùng chiều và có cùng trị số với 𝐹2 nối điểm O với mút 𝐹2 ta được 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2.
16


→

→

Như vậy 𝑅 khép kín trong tam giác lực OAC tạo thành bởi các lực thành phần 𝐹1 và
→

𝐹2

c. Quy tắc đa giác lực
Để xác định vectơ chính có thể vẽ đa giác lực. Muốn vậy, từ một điểm bất kỳ ta
vẽ nối tiếp những vectơ song song cùng chiều và có trị số bằng các vectơ biểu diễn các
lực của hệ lực. Đường gãy khúc nhận được gọi là đa giác lực. Vectơ 𝑂𝐷→ được gọi là
vectơ khép kín đa giác lực. Vậy: Vectơ chính của hệ lực chính là vectơ khép kín của đa
giác lực.
Trong trường hợp hệ lực phẳng, đa giác lực là đa giác phẳng, còn trong trường
hợp hệ lực khơng gian, nói chung là đa giác ghềnh.

Hình 1.17. Đa giác lực
1.2.3. Điều kiện cân bằng và phương trình cân bằng của hệ lực phẳng

Từ cách hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui theo qui tắc đa giác lực ở trên, ta
thấy: Hợp lực biểu diễn bằng véc tơ đóng kín đa giác lực của hệ lực đã cho. Do đó,
hợp lực chỉ bằng khơng khi đa giác lực tự đóng kín.
Vậy, điều kiện cần và đủ để cho một hệ lực phẳng đồng qui tác dụng lên một
vật rắn được cân bằng là đa giác lực của hệ phải tự đóng kín.
Khi khảo sát một hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp giải tích, R xác định
qua các hình chiếu:
𝑛

𝑅𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + … + 𝑋𝑛 = ∑ 𝑋𝑖
𝑖=1
𝑛

(1.5)

𝑅𝑦 = 𝑌1 + 𝑌2 + … + 𝑌𝑛 = ∑ 𝑌𝑖
𝑖=1

Muốn hệ cân bằng phải có R = 0, nhưng như đã biết, một lực chỉ bằng khơng
khi tất cả các hình chiếu của nó lên các trục toạ độ đều bằng khơng, nghĩa là
𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 0
Như thế thì hệ lực phải thoã mãn điều kiện:
{∑ 𝑋 = 0 ∑ 𝑌 = 0

(1.6)

Vậy điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là tổng đại số
17


hình chiếu các lực của hệ lực đó lên hai trục toạ độ đều bằng khơng
1.2.4. Bài tốn hệ lực phẳng với liên kết ma sát
1.2.4.1. Liên kết và phản lực liên kết
a. Vật tự do và vật bị liên kết
- Vật tự do: là vật rắn khi nó chuyển động tuỳ ý theo mọi phương trong không
gian.
- Vật bị liên kết (Vật không tự do): Là vật rắn khi một vài phương chuyển động
của nó bị cản trở
b. Liên kết và phản lực liên kết
- Liên kết: Là những điều kiện cản trở chuyển động của vật. Vật gây ra cản trở
chuyển động của vật khảo sát gọi là vật gây liên kết.
Ví dụ: Quyển sách đặt trên mặt bàn thì quyển sách là vật khảo sát hay vật bị
liên kết, mặt bàn là vật gây liên kết.
- Phản lực liên kết: Vật bị liên kết hay vật bị khảo sát tác dụng lên vật gây liên
kết một lực gọi là lực tác dụng. Theo tiên đề tương tác, vật gây liên kết tác dụng lên

vật khảo sát một lực, lực đó gọi là phản lực liên kết.

→

Hình 1.18. Liên kết và phản lực liên kết

Trong đó: 𝐹: Lực tác dụng (lực ép)
→

𝑁: Phản lực
- Lực liên kết - lực hoạt động - phản lực liên kết: Những lực đặc trưng cho tác
động tương hỗ giữa các vật có liên kết với nhau qua chỗ tiếp xúc hình học được gọi là
những lực liên kết. Các lực không phải là lực liên kết được gọi là lực hoạt động. Nói
khác đi, lực hoạt động là những lực khơng bị biến mất cùng với liên kết. Lực liên kết
do các vật gây liên kết tác dụng lên vật chịu liên kết được gọi là các phản lực liên kết,
còn các lực do vật chịu liên kết tác dụng lên các vật gây liên kết được gọi là áp lực.
- Phản lực liên kết nằm ngược với hướng mà theo đó chuyển động của vật bị
cản trở.
c. Các liên kết thường gặp
- Nếu theo 1 phương nào đó mà chuyển động của vật khơng bị cản trở (phương
tiếp tuyến) thì phản lực liên kết vng góc với phương đó (hình 1.19a).
- Liên kết tựa: Hai vật tựa trực tiếp lên nhau, chỗ tiếp xúc là bề mặt hoặc đường
hoặc điểm. Phản lực tựa có phương vng góc với mặt tựa (hoặc đường tựa) (hình
→

1.8). Ký hiệu là 𝑁.
18


a)

b)
c)
Hình 1.19. Quy tắc xác định lực liên kết
- Vật tựa lên mặt (Hình 1.19a).
- Giá tựa trên con lăn (Hình 1.19b).
- Vật tựa lên điểm nhọn. Phản lực có hướng pháp tuyến với bề mặt của vật
(Hình 1.19c).
- Liên kết dây mềm, thẳng và không giãn: phản lực của dây tác dụng lên vật
khảo sát đặt vào điểm buộc dây và hướng vào dây. Phản lực của vật rắn tác dụng lên
→

dây gọi là sức căng dây, ký hiệu là 𝑇. Sức căng dây hướng dọc dây và hướng ra đối với
mặt cắt dây (hình 1.20).

Hình 1.20. Liên kết dây mềm
- Liên kết bản lề: Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung.
Trong trường hợp này hai vật tựa vào nhau nhưng điểm tựa chưa xác định. Phản lực
→

liên kết 𝑅 đi qua tâm của trục và có phương chiều chưa xác định. Phản lực được phân

(

→

→

)

thành hai thành phần vng góc với nhau 𝑌𝐴 ⊥ 𝑋𝐴 , nằm trong mặt phẳng vng góc
với đường trục của tâm bản lề (hình 1.21).

Hình 1.21. Liên kết bản lề
- Liên kết gối: Để đỡ các dầm và khung... người ta dùng các liên kết, có dạng
gối cố định (hình 1.22a) và gối con lăn (hình 1.22b). Phản lực liên kết của gối cố định
được xác định như liên kết bản lề, còn phản lực liên kết của gối con lăn được tìm theo
quy tắc của phản lực liên kết tựa.

19


Hình 1.22. Liên kết gối đỡ
- Liên kết gối cầu: Được thực hiện nhờ một quả cầu gắn vào đầu của vật chịu
liên kết và được đặt vào trong một vỏ cầu gắn liền với vật gây liên kết. Phản lực gối
cầu đi qua tâm O của vỏ cầu, có phương, chiều chưa xác định. Thường phản lực gối

(

→

→

→

)

cầu phân thành ba thành phần vng góc 𝑅𝑥, 𝑅𝑦, 𝑅𝑧 (hình 1.23a-b).

Hình 1.23. Liên kết gối cầu

- Liên kết ngàm: Là liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác (Ví dụ như
hàn). Trong trường hợp ngàm phẳng phản lực liên kết gồm hai lực thẳng góc với nhau
và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng chứa hai lực (hình 1.24). Đối với ngàm khơng
gian, phản lực liên kết gồm ba thành phần lực vng góc với nhau (dọc theo ba trục
tọa độ) và ba thành phần ngẫu lực trong ba mặt phẳng tọa độ (hình 1.25).

Hình 1.24. Ngàm phẳng
Hình 1.25. Ngàm khơng gian
- Liên kết thanh được thực hiện nhờ các thanh thỏa mãn điều kiện sau: Chỉ có
lực tác dụng ở hai đầu, cịn dọc thanh khơng có lực tác dụng và trọng lượng thanh
→

được bỏ qua. Phản lực 𝑆 có phương qua điểm đầu và điểm cuối của thanh (hình 1.26).
→

Phản lực 𝑆 gọi là ứng lực của thanh là lực do thanh tác dụng vật khảo sát.

20


Hình 1.26. Liên kết thanh
1.2.4.2. Phương pháp giải bài tốn hệ lực phẳng với liên kết ma sát:
- Phân tích bài toán: Đặt các lực tác dụng lên vật đang xét cân bằng bao gồm
các lực đã cho và các phản lực liên kết.
- Lập phương trình cân bằng: Chọn hệ trục toạ độ thích hợp với bài tốn. Hệ
trục toạ độ có thể chọn tuỳ ý, khơng ảnh hưởng đến kết quả bài toán. Tuy nhiên nếu
chọn hệ trục toạ độ hợp lý thì bài tốn sẽ được giải một cách đơn giản. Viết phương
trình cân bằng.
- Giải bài toán và nhận định kết quả: Sau khi giải được kết quả, cần thử lại hoặc
liên hệ với đầu bài xem kết quả có phù hợp khơng.

Ví dụ 1.1. Tại nút C của tam giác ABC treo vật nặng có khối lượng m = 20kg. Xác
định phản lực của thanh CA và BC
0

0

Biết α = 30 , β = 60

Giải:

→

- Xét cân bằng tại nút C. Các lực tác dụng lên C gồm có lực 𝑃 cho trước và
→

→

phản lực 𝑆𝐴 và 𝑆𝐵. Ta có tam giác lực khép kín
𝑆𝑖𝑛β =
𝑆𝐵 =

20.10

𝑡𝑔α =

𝑆𝑐 =

𝑃
𝑆𝐵

3
3

3
2

𝑆𝑐
𝑃

⇒ 𝑆𝐵 =

𝑃
𝑆𝑖𝑛β

= 231 (𝑁)

=

𝑚.𝑔

0

𝑆𝑖𝑛60

⇒ 𝑆𝑐 = 𝑡𝑔α. 𝑃 = 𝑡𝑔α. 𝑚. 𝑔

. 20. 10 = 116 (𝑁)

P = m.g (g- là gia tốc trọng trường, lấy g = 10m/s2)

21


Vậy phản lực tại các thanh CA và BC là
𝑆𝐵 = 231 (𝑁)
𝑆𝑐 = 116 (𝑁)

* Phương pháp giải tích

→

Muốn hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn được cân bằng thì hợp lực 𝑅 = 0.

Tức là 𝑅 =

(𝐹𝑥)2 + (𝐹𝑦)2

( )
( )

2

Trong đó ∑ 𝐹𝑥 ≥0
2

∑ 𝐹𝑦 ≥0

Cho nên: R = 0 ⇔ ∑ 𝐹𝑥 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0

( )2 > 0. Khi đó R≠0 tức là có

Nếu một thành phần nào đó ≠0. Thì 𝐹𝑥≠0⇒ 𝐹𝑥

hợp lực, kéo theo vật rắn không cân bằng, điều này vô lý.
Vậy điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy tác dụng lên vật rắn được
cân bằng là tổng đại số hình chiếu các lực lên trục toạ độ vng góc đều phải bằng 0
{∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0

Ví dụ 1.2. Ống trụ đồng chất có khối lượng m = 6kg, đặt trên giá đỡ ABC hồn tồn
trên và vng góc ở B. Mặt BC của giá đỡ làm với mặt phẳng nằm ngang 1 góc 600.
Xác định phản lực của giá đỡ lên ống trụ tại hai điểm tiếp xúc D và E

Giải:

→

Ống trụ được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực: Trọng lực 𝑃 của ống trụ và
→

→

các phản lực 𝑁𝐷 và 𝑁𝐸 của giá đỡ lên ống trụ tại hai điểm D và E. Chọn hệ trục toạ độ
xOy. Có B ≡ O.

22


Ta có hệ phương trình cân bằng:

0

∑ 𝐹𝑥 = 0⇔𝑁𝐷 − 𝑃. 𝑆𝑖𝑛60 = 0 (1)
0

∑ 𝐹𝑦 = 0⇔𝑁𝐵 − 𝑃. 𝐶𝑜𝑠60 = 0 (2)
0

0

Từ (1) ⇒ 𝑁𝐷 = 𝑃. 𝑆𝑖𝑛60 = 𝑚. 𝑔. 𝑆𝑖𝑛60 = 6. 10.
0

0

Từ (2) ⇒ 𝑁𝐹 = 𝑃. 𝐶𝑜𝑠60 = 𝑚. 𝑔. 𝐶𝑜𝑠60 = 6. 10.

3
2

P = m.g (g- là gia tốc trọng trường, lấy g = 10m/s2)
Vậy phản lực tại hai điểm tiếp xúc D và E là
𝑁𝐷 = 51, 96 (𝑁)

1
2

= 51, 96 (𝑁)

= 30 (𝑁)

𝑁𝐸 = 30 (𝑁)

1.3. Hệ lực không gian
1.3.1. Vectơ chính và mơmen chính của hệ lực khơng gian

1.3.1.1. Vectơ chính của hệ lực

→

→

→

→

a. Định nghĩa: Giả sử cho một hệ lực 𝐹1 , 𝐹2, 𝐹3, …𝐹𝑛 tác dụng lên vật rắn, ta định

nghĩa vectơ chính của hệ lực như sau

Hình 1.27. Vectơ chính của hệ lực
Vectơ chính của hệ lực là vectơ tổng hình học của vectơ biểu diễn các lực trong
→

hệ. Ký hiệu: 𝑅'

→

→

→

→

𝑛 →

𝑅' = 𝐹1 + 𝐹2 +... + 𝐹𝑛 = ∑ 𝐹𝑖 (1.7)
𝑖=1

Vectơ chính có thể được xác định qua các hình chiếu của nó theo các hình chiếu
của các lực của hệ lực trên các trục toạ độ vng góc Oxyz.
23


→

𝑛

'

𝑛

'

'

𝑅'{𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 +... + 𝐹𝑛𝑥 = ∑ 𝐹𝑖𝑥 𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 +... + 𝐹𝑛𝑦 = ∑ 𝐹𝑖𝑦 𝑅𝑧 = 𝐹1𝑧 + 𝐹2𝑧 +...
𝑖=1

𝑖=1

(1.8)
Từ đó mơ đun và phương chiếu của vectơ chính được xác định theo công thức:
'2

'2

'2

(1.9)

𝑅𝑥 + 𝑅𝑦 + 𝑅𝑧

𝑅' =

'

𝑅𝑥

cos 𝑐𝑜𝑠 α =

𝑅'

; cos 𝑐𝑜𝑠 β =

'

𝑅𝑦
𝑅'

; cos 𝑐𝑜𝑠 γ =

'

𝑅𝑧

(1.10)

𝑅'

Trong đó: α, β, γ là góc hợp bởi vectơ chính với các trục toạ độ.
1.3.1.2 Mơmen chính của hệ lực
a. Định nghĩa
→

Mơmen chính của hệ lực đối với tâm O, ký hiệu là 𝑀0 là một vectơ bằng tổng

hình học các vectơ mômen của các lực thuộc hệ lực đối với tâm O.
→

𝑛

→

→

(1.11)

𝑀0 = ∑ 𝑚0(𝐹𝑖)
𝑖=1

b. Phương pháp xác định
- Phương pháp vẽ: dựa vào công thức (1.11) ta thấy vectơ mơmen chính của hệ
lực đối với và tâm O là vectơ khép kín đa giác vectơ, có các cạnh là các vectơ song
song cùng chiều và có trị số bằng các vectơ mômen của các lực đối với điểm O. Đa
giác vectơ đó được gọi là đa giác vectơ mơmen được xây dựng tương tự đa giác lực, ở
đó các lực được thay thế bằng mơmen của nó đối với tâm O.
Vậy: Mơmen chính của hệ lực đối với một tâm bằng vectơ khép kín đa giác
vectơ mơmen.
- Phương pháp chiếu
Chiếu phương trình (1.11) lên 3 trục toạ độ của hệ toạ độ vng góc Oxyz và áp
dụng định lý liên hệ giữa mômen của lực đối với một điểm và mơmen của lực đối với
một trục, ta có:
𝑛

→

𝑛

→

→

𝑛

→

𝑛

→

𝑛

→

𝑀0{𝑀𝑜𝑥 = ∑ 𝑚‾𝑂𝑥(𝐹𝑖) = ∑ 𝑚‾𝑥(𝐹𝑖) 𝑀𝑜𝑦 = ∑ 𝑚‾𝑂𝑦(𝐹𝑖) = ∑ 𝑚‾𝑦(𝐹𝑖) 𝑀𝑜𝑧 = ∑ 𝑚‾𝑂𝑧(𝐹𝑖)
𝑖=1

𝑘=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

(1.12)
Trong trường hợp hệ lực phẳng, khi sử dụng cơng thức (1.11) để tính mơmen
chính của hệ lực đối với tâm O nằm trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực, ta có:
𝑛

→

𝑀𝑜 = ∑ 𝑚‾𝑂(𝐹𝑖) (1.13)
𝑖=1

Vậy: Mơmen chính của hệ lực phẳng đối với tâm O là lượng đại số bằng tổng
mômen của các lực của hệ lực đối với tâm O. Hay
𝑀0 =

2

2

2

𝑀𝑥 + 𝑀𝑦 + 𝑀𝑧

(1.14)

24


(

)

𝐶𝑜𝑠 𝑀𝑜, 𝑥 =

𝑀𝑥

𝑀𝑜

(

)

; 𝐶𝑜𝑠 𝑀𝑜, 𝑦 =
→

𝑀𝑦
𝑀𝑜

(

)

; 𝐶𝑜𝑠 𝑀𝑜, 𝑧 =
→

𝑀𝑧

𝑀𝑜

Khác với vectơ chính 𝑅 vectơ mơmen chính 𝑀0 vectơ buộc nó phụ thuộc vào

tâm O. Nói cách khác vectơ chính là một đại lượng bất biến cịn vectơ mơmen chính là
đại lượng biến đổi theo tâm thu gọn O
1.3.2. Định lý dời lực song song
1.3.2.1. Thu gọn hệ lực về một tâm
Để thu gọn hệ lực về một tâm ta dựa vào định lý dời lực song song
a. Định lý dời lực song song
→

→

Định lý: Lực 𝐹 đặt tại A tương đương với lực 𝐹' song song cùng chiều, cùng
→

→

cường độ với lực 𝐹 nhưng đặt tại O và một ngẫu lực có mơmen bằng mơmen của lực 𝐹
đối với điểm O.

Hình 1.28. Dời lực song song
→

→

→

Chứng minh: Áp dụng tiên đề 2, đặt tại O hai lực cân bằng (𝐹', 𝐹''), trong đó
→

lực 𝐹' cùng phương chiều và cường độ với lực 𝐹. Ta có:
→

→ → →

→

→ →

𝐹 ≡ (𝐹, 𝐹', 𝐹") ≡ 𝐹'và (𝐹, 𝐹")
→

→

→ →

Lực 𝐹' chính là lực 𝐹 dời song song đến O, cịn hệ gồm hai lực (𝐹, 𝐹") là ngẫu
→

→

→

lực, có vectơ mơmen 𝑚 = 𝑚𝑜(𝐹). Đó là điều cần chứng minh.
→

→

→

()

→

→

Nhận xét: vectơ mômen ngẫu lực 𝑚 = 𝑚𝑜 𝐹 vng góc với lực 𝐹, tức lực 𝐹
→

nằm trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực. Vậy hệ lực gồm một lực 𝐹 và ngẫu lực có
→

→

vectơ mơmen 𝑚 vng góc với 𝐹 (nghĩa là ngẫu lực và lực cùng nằm trong một mặt
→

→

→

→

phẳng) sẽ tương đương với một lực, tức có hợp lực 𝑅 = 𝐹 và 𝑚𝑜(𝑅) = 𝑚
a. Thu gọn hệ lực về một tâm

→

→

→

Giả sử có một hệ lực bất kỳ (𝐹1, 𝐹2,..., 𝐹𝑛). Để thu gọn hệ lực này về tâm O ta

lần lượt thu gọn từng lực về tâm O nhờ áp dụng định lý dời lực song song.
Cụ thể,
→

→
'

→

→

→

'

( )
→

→

→
'

{𝐹1 ≡ 𝐹1 𝑣à 𝑛𝑔ẫ𝑢 𝑙ự𝑐 𝑀1 = 𝑚𝑜(𝐹1 ) 𝐹2 ≡ 𝐹2 𝑣à 𝑛𝑔ẫ𝑢 𝑙ự𝑐 𝑀2 = 𝑚𝑜 𝐹2 …………. 𝐹𝑛 ≡ 𝐹𝑛 𝑣à 𝑛
→

→

→

Vậy hệ lực đã cho (𝐹1, 𝐹2,..., 𝐹𝑛) tương đương với hệ lực đồng quy tại O (

25