Giáo trình xác suất thống kê (pgs ts nguyễn thị dung)

Giáo trình Xác suất thống kê
PGS.TS Nguyễn Thị Dung, TS. Phạm Thanh Hiếu
ThS. Mai Thị Ngọc Hà, Th.S Nguyễn Thị Hồng Nhung
Ngày 1 tháng 10 năm 2018



Mục lục
Lời nói đầu

I

v

Lý thuyết xác suất

1

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
1.1 Giải tích tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 Phương pháp giải một bài tốn giải tích tổ hợp
1.2 Phép thử và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phép thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Biến cố (sự kiện) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Quan hệ và phép toán giữa các biến cố . . . . .

1.3 Các định nghĩa về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất . . . . . . . . .
1.3.2 Định nghĩa thống kê về xác suất . . . . . . . . .
1.3.3 Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ . . . . .
1.4 Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Định lý cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Định lý nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Định lý xác suất toàn phần - Định lý Bayes . .
1.4.4 Định lý Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân phối xác suất
2.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . .
2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân phối xác suất . .
2.2.2 Hàm phân phối xác xuất . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất . . .
i

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
. .3
. .3
. .4
. .4
. .5
. .5
. .6
. .6
. .7
. .7
. .7
. .8
. 10
.
. 11
.
. 13
.

. 15
.
. 15
.
. 15
.
. 17
.
. 20
.
. 23
.
. 26
.

.
.
.
.
.

29
. 29
.
. 30
.
. 31
.
. 33
.

. 36
.


ii

MỤC LỤC
2.3

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . .
2.3.1 Kỳ vọng toán . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Một số tham số đặc trưng khác . . . . . .
2.4 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng .
2.4.1 Quy luật không – một . . . . . . . . . . .
2.4.2 Quy luật nhị thức . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Quy luật Poisson . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Quy luật chuẩn N (a,σ 2 ) . . . . . . . . . .
2.4.5 Quy luật khi bình phương – χ2 . . . . . .
2.4.6 Quy luật Student – T(n) . . . . . . . . . .
2.4.7 Các định lý giới hạn . . . . . . . . . . . .
2.5 Biến ngẫu nhiên hai chiều . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên hai chiều . .
2.5.2 Bảng phân phối xác suất . . . . . . . . . .
2.5.3 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . .
2.5.4 Hàm mật độ xác suất . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Các tham số đặc trưng . . . . . . . . . . .
Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Thống kê toán
Chương 3 Cơ sở lý thuyết mẫu
3.1 Tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Tổng thể và kích thước của tổng thể . . . . . . . . .
3.1.2 Mẫu và phương pháp chọn mẫu . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Các phương pháp mô tả mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Sắp xếp số liệu thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Biểu diễn số liệu bằng biểu đồ . . . . . . . . . . . . .
3.3 Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . .
3.3.1 Hàm thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Trung bình mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Phương sai mẫu và phương sai điều chỉnh mẫu . . . .
3.3.4 Độ lệch chuẩn mẫu và độ lệch chuẩn điều chỉnh mẫu
3.3.5 Một số tham số đặc trưng mẫu khác . . . . . . . . .
3.3.6 Cách tính các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . .
3.4 Ý nghĩa thực nghiệm của một số đặc trưng mẫu . . . . . . .
Bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 40
.
. 40
.
. 43
.
. 46
.
. 46
.
. 48
.
. 48
.
. 49
.
. 50
.

. 51
.
. 58
.
. 59
.
. 60
.
. 64
.
. 64
.
. 65
.
. 66
.
. 67
.
. 69
.
. 71
.

75
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

77
. 77
.
. 77
.
. 78
.
. 79
.
. 80
.

. 80
.
. 82
.
. 84
.
. 85
.
. 85
.
. 86
.
. 86
.
. 87
.
. 87
.
. 90
.
. 93
.

Chương 4 Ước lượng tham số
97
4.1 Phương pháp ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
.


MỤC LỤC

4.2

Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy
4.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Ước lượng kỳ vọng toán . . . . . . .
4.2.3 Ước lượng tỷ lệ . . . . . . . . . . . .
Bài tập Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

Chương 5 Kiểm định giả thuyết thống kê
5.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Giả thuyết thống kê . . . . . . . . . . . .

5.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết thống kê
5.1.3 Miền bác bỏ giả thuyết thống kê . . . . .
5.1.4 Giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định
5.1.5 Quy tắc kiểm định giả thuyết . . . . . . .
5.1.6 Các sai lầm mắc phải khi kiểm định . . . .
5.1.7 Các bước tiến hành bài toán kiểm định giả
5.2 Kiểm định giả thuyết thống kê về kỳ vọng toán .
5.2.1 Trường hợp một tổng thể . . . . . . . . .
5.2.2 Trường hợp hai tổng thể . . . . . . . . . .
5.3 Kiểm định giả thuyết thống kê về tỷ lệ . . . . . .
5.3.1 Trường hợp một tổng thể . . . . . . . . .
5.3.2 Trường hợp hai tổng thể . . . . . . . . . .
Bài tập Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
thuyết
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

100
. .
100
. .
100
. .

107
. .
111
. .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
thống kê .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

115
115
. .
115
. .
116
. .
116
. .
116
. .
116
. .
117
. .
117
. .
118
. .
118
. .
122
. .

125
. .
125
. .
126
. .
128
. .

Chương 6 Tương quan và hồi quy
6.1 Sắp xếp số liệu thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Đồ thị phân tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Hệ số tương quan lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Kiểm định giả thuyết về giá trị của ρ . . . . . . . . . .
6.4 Hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Mơ hình hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Phương trình hồi quy tuyến tính đơn giản của tổng thể
6.4.3 Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu . . . . . .
Bài tập Chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

133
. 133
. .

. 135
. .
. 135
. .
. 135
. .
. 137
. .
. 140
. .
. 140
. .
. 140
. .
. 141
. .
. 143
. .
. 146
. .
. 151
. .
. 154
. .
. 155
. .
. 156
. .
159

Lời nói đầu
“Xác suất thống kê” là một mơn học cần thiết đối với sinh viên khối các trường kỹ
thuật bởi nội dung phong phú và sự ứng dụng rộng rãi của nó trong nhiều lĩnh vực
khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật, y học và kinh tế - xã hội. Đã có nhiều
cuốn sách giáo trình được viết cho mơn học này, tuy nhiên nhóm tác giả mong muốn
viết một cuốn giáo trình phù hợp với nội dung chương trình của Trường Đại học
Nơng Lâm để sinh viên có thể học tập, vận dụng mơn học này vào các mơn học
chun ngành sau đó, cũng như phục vụ cho việc học tập ở các bậc cao hơn và ứng
dụng vào thực tiễn Nơng Lâm nghiệp.
Giáo trình gồm hai phần chính.
• Phần I: “Lý thuyết xác suất” có hai chương, do PGS. TS. Nguyễn Thị Dung
biên soạn. Chương 1 trang bị những kiến thức cơ bản về giải tích tổ hợp, những
khái niệm nền tảng, những định lý quan trọng của lý thuyết xác suất cổ điển.
Chương 2 quan tâm đến khái niệm trung tâm của xác suất là biến ngẫu nhiên
và các quy luật phân phối xác suất, các tham số đặc trưng của nó. Một số quy
luật phân phối xác suất thông dụng và định lý về luật số lớn, định lý giới hạn
cũng được trình bày trong chương này.
• Phần II: “Thống kê tốn” gồm có 4 chương do TS. Phạm Thanh Hiếu và ThS.
Mai Thị Ngọc Hà biên soạn. Chương 3 trình bày về cơ sở lý thuyết mẫu:
các phương pháp chọn mẫu, sắp xếp mẫu, đặc trưng của mẫu. Chương 4 và
Chương 5 quan tâm đến hai bài toán cơ bản là ước lượng tham số và kiểm
định giả thuyết thống kê. Các bài tốn về tương quan và hồi quy tuyến tính
đơn giản được đề cập đến ở Chương 6.
Phần cuối cùng là một số bảng phụ lục thông dụng. Các bảng biểu, hình vẽ và
xử lý kỹ thuật LATEX do ThS. Nguyễn Thị Hồng Nhung đảm nhận.
Bạn đọc có thể tự học mơn “Xác suất thống kê” với cuốn giáo trình này nếu đã
được trang bị một số kiến thức cơ bản về Giải tích cổ điển và Đại số tuyến tính.
Các khái niệm mới được cập nhật thêm các thuật ngữ bằng tiếng Anh để bạn đọc

có thể làm quen với các thuật ngữ đó khi đọc sách nước ngồi. Hệ thống ví dụ được
lựa chọn ít nhiều liên quan đến các bài toán thường gặp trong thực tế của các lĩnh
vực Nông, Lâm nghiệp, Sinh học. Các bài tập ở cuối mỗi chương dành cho bạn đọc
giải quyết thông qua vận dụng lý thuyết và lời giải của các ví dụ trong chương.
Trong những kiến thức rộng lớn về lý thuyết xác suất và thống kê toán, để lựa
chọn được những vấn đề cần thiết viết trong khuôn khổ một cuốn giáo trình nhỏ
sao cho phù hợp với nội dung chương trình ở bậc đại học, đáp ứng được những mục
tiêu đã đề ra là rất khó khăn. Cuốn sách mặc dù đã được bộ mơn Tốn - Lý dùng
v


vi

Lời nói đầu

làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho sinh viên trường Đại học Nông Lâm một số
năm gần đây nhưng vẫn khó tránh khỏi sai sót. Các tác giả mong muốn nhận được
những nhận xét góp ý của các đồng nghiệp, các sinh viên và bạn đọc để cuốn giáo
trình được hồn thiện hơn.
Nhóm tác giả


Phần I
Lý thuyết xác suất
Sự không chắc chắn rất phổ biến trong thế giới mà ta đang sống: từ các vấn đề của
thế giới tự nhiên như nắng, mưa, giông, bão,... đến các vấn đề về đời sống chính trị,
xã hội của con người. Ngay cả Sinh - Lão - Bệnh - Tử – một quy luật tất yếu mà
ai cũng biết, là chặng đường chắc chắn mà mỗi đời người đều phải trải qua thì nhìn
chung cũng nằm ngồi sự điều khiển của chúng ta. Tuy nhiên, sự không chắc chắn
làm cho cuộc sống của chúng ta trở nên thú vị hơn rất nhiều. Hãy thử tưởng tượng

xem thế giới này sẽ trở nên buồn tẻ, chán ngắt đến mức nào nếu như mọi thứ đều
có thể biết trước một cách chắc chắn, hoàn hảo?
Lý thuyết xác suất là một ngành khoa học Toán học xác lập các suy luận mang
tính định lượng về sự khơng chắc chắn, thơng qua đó nghiên cứu những quy luật tất
nhiên ẩn dấu sau những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên nhằm cho phép dự báo
các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. Chính vì vậy, các phương pháp
của lý thuyết xác suất được ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực của cuộc sống.

1



Chương 1
Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
Chương này dành để giới thiệu các khái niệm nền móng của xác suất: phép thử,
biến cố ngẫu nhiên, biến cố sơ cấp,... Các định nghĩa về xác suất được giới thiệu
ở Mục 1.3 và cuối cùng Mục 1.4 cung cấp những công cụ cơ bản nhất để tính xác
suất: định lý cộng, định lý nhân, định lý toàn phần, Bayes và định lý Bernoulli. Nội
dung của chương này chủ yếu tham khảo trong các tài liệu [1]-[15].

1.1. Giải tích tổ hợp
Mục này dành để tóm lược lại các kiến thức về giải tích tổ hợp mà sinh viên đã
được học trong chương trình phổ thơng. Các bài tốn giải tích tổ hợp cịn được gọi
là các bài tốn “đếm”: đếm số kết quả, đếm số khả năng xảy ra, đếm các cách giải
quyết vấn đề,... nói chung là đếm số lượng những đối tượng nào đó mà hầu hết các
loại đối tượng được đề cập đến đều có thể mơ tả như là một dãy các phần tử thỏa
mãn những điều kiện nhất định. Ta có thể mơ phỏng một bài tốn giải tích tổ hợp
như sau.
Bài tốn. “Cho n, k ∈ N và tập hợp E = {x1 ,x2 , . . . ,xn } gồm n phần tử khác
nhau. Có bao nhiêu dãy x1 x2 . . . xk các phần tử được lấy từ tập E và thỏa mãn các

tính chất N1 , N2 , . . .?”
Có nhiều cách giải quyết bài toán trên tùy theo cách lấy k phần tử và phương
pháp sắp xếp chúng để cho ta những kết quả khác nhau.

1.1.1. Quy tắc cộng
Giả sử một cơng việc có thể thực hiện theo một trong k phương án A1 , A2 , . . . , Ak ,
trong đó mỗi phương án Ai có ni cách thực hiện và các cách thực hiện phương án Ai
không trùng với các cách thực hiện phương án Aj nếu i ̸= j, với mọi i,j = 1, . . . , k.
Khi đó, cơng việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + . . . + nk cách và ta gọi đó là
quy tắc cộng (Additional Rule).
3


4

Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

 Ví dụ 1.1.1 Một tổ gồm có 3 sinh viên ở Thái Nguyên, 3 sinh viên ở Yên Bái, 4
sinh viên ở Tuyên Quang và 4 sinh viên ở Hà Giang. Cần chọn 3 sinh viên cùng tỉnh
để đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải. Phương án 1: có 1 cách chọn 3 sinh viên ở Thái Nguyên; Phương án 2:
có 1 cách chọn 3 sinh viên ở Yên Bái; Phương án 3: có 4 cách chọn 3 sinh viên
ở Tuyên Quang; Phương án 4: có 4 cách chọn 3 sinh viên ở Hà Giang. Vậy, có
n = 1 + 1 + 4 + 4 = 10 cách chọn.
Chú ý rằng, bản chất của quy tắc trên là đếm số phần tử của các tập hợp hữu
hạn không giao nhau. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, ta cần đếm số phần tử
của hợp hai tập hợp hữu hạn có giao khác ∅. Nếu ký hiệu n(•) là số phần tử của
một tập hợp nào đó thì ta có quy tắc cộng mở rộng sau:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Ví dụ 1.1.2 Một hội nghị khoa học quốc tế gồm 100 người biết tiếng Anh, 60
người biết tiếng Pháp, 20 người biết cả hai thứ tiếng và 50 người cịn lại khơng biết
cả hai thứ tiếng trên. Hỏi Hội nghị khoa học đó có bao nhiêu người?



Giải. Gọi tập hợp những người biết tiếng Anh là A, những người biết tiếng Pháp
là B. Khi đó tập hợp những người biết tiếng Anh hoặc Pháp là A∪B. Theo bài ra ta
có n(A) = 100; n(B) = 60; n(A ∩ B) = 20 và n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) =
100 + 60 − 20 = 140. Vậy Hội nghị khoa học đó có 140 + 50 = 190 (người).

1.1.2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc phải thực hiện k giai đoạn A1 , A2 , . . . , Ak , trong đó mỗi giai
đoạn Ai được thực hiện bởi 1 trong ni cách, với mọi i = 1, . . . , k. Khi đó, có
n1 n2 . . . nk cách thực hiện cơng việc nói trên và ta gọi là quy tắc nhân (Multiplicative Rule).
 Ví dụ 1.1.3 Biển số xe ô tô gồm 7 ký tự, trong đó 2 ký tự đầu là mã số tỉnh, ký
tự thứ ba là một chữ cái trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh, các ký tự tiếp theo là
một chữ số thuộc tập {0,1, . . . ,9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh cố định thì một
tỉnh có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe khác nhau?

Giải. Vì mã số tỉnh đã được cố định nên ta có 26 cách chọn chữ cái xếp ở vị trí
thứ ba và có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí cịn lại. Theo quy
tắc nhân, ta có (26)(10)(10)(10)(10) = 260.000 (biển số xe).

1.1.3. Hoán vị
Định nghĩa 1.1.4. Hoán vị (permutation) của n phần tử của tập E là một cách
sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định.
Số các hoán vị của n phần tử, ký hiệu Pn , là
Pn = n! = n(n − 1)(n − 2) . . . (2)(1) và quy ước 0! = 1.

1.1 Giải tích tổ hợp

5

Ví dụ 1.1.5 (i) Có 3 người A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi. Ta có P3 = 3! = (1)(2)(3) =
6 cách xếp như sau:



ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
(ii) Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau?
Giải. Rõ ràng mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của
3 phần tử. Vậy ta có P3 = 3! = (1)(2)(3) = 6 số, đó là: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

1.1.4. Chỉnh hợp
Định nghĩa 1.1.6. Một chỉnh hợp (arrangement) chập k của n phần tử (0 <
k 6 n) là một dãy có thứ tự gồm k phần tử khác nhau được lấy từ tập E.
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, ký hiệu Akn , là
Akn = n(n − 1) . . . (n − k + 1) =



n!
.
(n − k)!

Ví dụ 1.1.7 Giả sử sinh viên năm thứ nhất của Trường Đại học Nông Lâm phải

học 5 học phần trong một học kỳ, mỗi buổi học 2 học phần. Hỏi Phịng Đào tạo của

Trường có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong buổi học?
Giải. Số cách cần tìm chính là số cách ghép 2 học phần từ 5 học phần, trong
đó các cách ghép sẽ khác nhau nếu có ít nhất một học phần khác nhau hoặc thứ tự
học phần khác nhau. Vì thế các cách xếp thời khóa biểu trong ngày là
A25 = (5)(4) = 20 (cách).

1.1.5. Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa 1.1.8. Một chỉnh hợp lặp (arrangement with repetition) chập k của
n phần tử là một dãy có thứ tự gồm k phần tử (khơng nhất thiết khác nhau)
được lấy từ tập E.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, ký hiệu Akn , là
Akn = nk .


Ví dụ 1.1.9 Có 5 khách hàng cùng vào mua hàng ở một cửa hàng gồm có 7 quầy.

Giả sử các khách hàng vào các quầy một cách ngẫu nhiên. Hỏi có bao nhiêu cách
để 5 người vào 7 quầy nói trên?
Giải. Vì mỗi người đều có 7 cách chọn quầy nên số cách để 5 người vào mua
hàng một cách ngẫu nhiên tại 7 quầy chính là
A75 = 57 = 78125.


6

Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

1.1.6. Tổ hợp
Định nghĩa 1.1.10. Một tổ hợp (combination) chập k của n phần tử (0 < k 6 n)
là một tập con gồm k phần tử của tập E.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu Cnk , là
Cnk =

Vì
Cnn−k =

n!
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
=
.
k!(n − k)!
k!

n!
n!
=
= Cnk ,
(n − k)!(n − (n − k))!
k!(n − k)!

nên một cách lấy ra k phần tử thì cũng chính là một cách lấy ra n − k phần tử cịn
lại. Ta có một số trường hợp đặc biệt sau
Cn0 = Cnn = 1; Cn1 = Cnn−1 = n.
Từ công thức tổ hợp trên, ta có cơng thức Nhị thức Newton
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + . . . + Cnk an−k bk + . . . + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn .
Thay n = 2, 3 vào cơng thức trên ta có các hằng đẳng thức đáng nhớ quen thuộc.


Ví dụ 1.1.11 Có 5 học sinh, cần chọn ra 2 học sinh để đi trực lớp, hỏi có mấy

cách chọn?
Giải. Rõ ràng số cách chọn ra 2 học sinh bất kỳ trong số 5 học sinh là số các tổ
hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy ta có
C52 =

(4)(5)
5!
=
= 10 cách chọn.
2!3!
2

1.1.7. Phương pháp giải một bài tốn giải tích tổ hợp
Giải tích tổ hợp là một công cụ rất quan trọng, phục vụ đắc lực cho việc giải các bài
tập xác suất sau này. Trong q trình giải một bài tốn giải tích tổ hợp, cơng việc
địi hỏi nhiều tư duy nhất chính là “nhận dạng” xem bài tốn đó thuộc cách đếm
nào. Nói cách khác, điều quan trọng nhất là cần phân biệt, so sánh được các khái
niệm trên để áp dụng được đúng cơng thức cần dùng. Do đó, ta có một số nhận
xét sau.
a) Về cách lấy các phần tử: Ta thường dùng 4 cách để lấy ra k phần tử từ n
phần tử.
(1) Lấy theo nghĩa tổ hợp.
(2) Lấy theo nghĩa chỉnh hợp.
(3) Lấy ra k phần tử, mỗi lần lấy từng phần tử một và khơng hồn lại.
(4) Lấy ra k phần tử, mỗi lần lấy từng phần tử một và có hồn lại.


1.2 Phép thử và biến cố

7

- Trong 4 cách trên, hai cách đầu các phần tử được lấy ra đồng thời một lần, hai
cách sau các phần tử được lấy lần lượt từng phần tử một và lấy k lần.
- Trong 3 cách đầu, các phần tử được lấy ra là khác nhau, còn ở cách thứ tư, các
phần tử được lấy ra có thể có những phần tử được lấy lặp lại.
- Cách thứ ba phân biệt với hai cách đầu ở chỗ lấy k lần hay lấy 1 lần.
- Cách thứ nhất phân biệt với cách thứ hai ở chỗ có kể đến thứ tự các phần tử
lấy ra hay không.
b) Về mối quan hệ giữa các khái niệm: Có nhiều mối quan hệ giữa các khái
niệm với nhau, chẳng hạn hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp khi k = n,
chỉnh hợp là lấy tổ hợp rồi hốn vị... Ta có thể đặc trưng hóa các khái niệm bằng
bảng tổng kết sau. Cho tập E gồm n phần tử xác định như trên, k, n > 1.
Khái niệm
Tính chất
đặc trưng
Cơng thức

Chỉnh hợp
1) Có thứ tự
2) Không lặp
3) k 6 n
n!
Akn = (n−k)!

Chỉnh hợp lặp
1) Có thứ tự
2) Có lặp
3) ∀k, ∀n
Akn = nk

Hốn vị
1) Có thứ tự
2) Khơng lặp
3) k = n
Pn = n!

Tổ hợp
1) Không thứ tự
2) Không lặp
3) k 6 n
n!
Cnk = k!(n−k)!

1.2. Phép thử và biến cố
1.2.1. Phép thử
Trong thực tế, để nhằm một mục đích nào đó, nhiều khi ta cần phải khảo sát, thu
thập dữ liệu thông qua quan sát các hiện tượng trong tự nhiên hay trong phịng
thí nghiệm.
Một thí nghiệm hay một quan sát các hiện tượng tự nhiên, xã hội hoặc các vấn
đề về kỹ thuật với cùng một hệ điều kiện nào đó được gọi là phép thử (experiment).
Phép thử mà ta không thể dự báo trước được một cách chắc chắn kết quả của nó
sẽ như thế nào được gọi là phép thử ngẫu nhiên. Từ nay trở đi ta sẽ dùng thuật ngữ
“phép thử” ngắn gọn thay cho thuật ngữ “phép thử ngẫu nhiên”.


Ví dụ 1.2.1 Các thí nghiệm sau đây là các phép thử:

(i) Tung một đồng tiền và quan sát xem xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa.
(ii) Gieo một con xúc xắc và quan sát xem mặt nào sẽ xuất hiện.
(iii) Gieo 100 hạt giống và đếm xem có bao nhiêu hạt nảy mầm.

1.2.2. Biến cố (sự kiện)
Định nghĩa 1.2.2. (i) Tập hợp gồm tất cả các kết quả có thể có của phép thử
được gọi là khơng gian mẫu (sample space), thường được ký hiệu là S.
(ii) Mỗi phần tử của không gian mẫu được gọi là biến cố sơ cấp (simple event).
Một tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố ngẫu nhiên (random event)
và thường được ký hiệu bởi các chữ cái A,B,C,....


8

Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
(iii) Biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố rỗng
(empty event), ký hiệu là ∅ và nó tương ứng với tập con ∅ của S.
(iv) Biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố chắc
chắn (certain event), thường được ký hiệu là Ω và tương ứng với tồn bộ tập
khơng gian mẫu S.



Ví dụ 1.2.3 (i) Gieo một đồng tiền. Ký hiệu H là biến cố “Đồng tiền xuất hiện

mặt sấp” và T là biến cố “Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa”. Khi đó H, T là hai biến
cố sơ cấp của phép thử trên và không gian mẫu là S = {H, T }.
(ii) Gieo một con xúc xắc. Ký hiệu Ei là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt i chấm”.
Khi đó, Ei , với i ∈ {1, . . . ,6} là 6 biến cố sơ cấp; “Xúc xắc xuất hiện một mặt có 7
chấm” là biến cố rỗng; “Xúc xắc xuất hiện một mặt có số chấm là k, với 1 6 k 6 6”
là biến cố chắc chắn; “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, “Xúc xắc xuất hiện
mặt có số chấm lẻ”,... là các biến cố ngẫu nhiên và không gian mẫu là
S = {E1 , E2 , . . . , E6 }.

(iii) Tiến hành xét nghiệm và ghi lại nhóm máu của một người. Ký hiệu E1 là
biến cố “Người mang nhóm máu A”; E2 là biến cố “Người mang nhóm máu B”; E3
là biến cố “Người mang nhóm máu AB”; E4 là biến cố “Người mang nhóm máu O”.
Khi đó các biến cố sơ cấp của phép thử là E1 , E2 , E3 , E4 và không gian mẫu là
S = {E1 , E2 , E3 , E4 }.
(iv) Số email mà một người nhận được mỗi ngày cũng là một số ngẫu nhiên.
Không gian mẫu là
S = {0, 1, 2, . . .}.
(v) Giả sử ta quan sát một người lạ và dự đoán ngày sinh của người đó. Khi đó
khơng gian mẫu là
S = {1/1, 2/1, . . . , 29/2, 1/3, . . . , 31/12}.

1.2.3. Quan hệ và phép toán giữa các biến cố
Vì các biến cố là các tập hợp nên các khái niệm và phép toán đại số về tập hợp như
tập con, phần bù, giao của hai tập hợp, hợp của hai tập hợp,... được vận dụng trực
tiếp trong lý thuyết xác suất. Cho A và B là hai biến cố bất kỳ. Ta xét một số mối
quan hệ giữa chúng và mô tả thông qua quan hệ và phép toán về các tập hợp.
Định nghĩa 1.2.4. (i) Biến cố A được gọi là kéo theo (imply) biến cố B nếu A
xảy ra thì B cũng xảy ra, ký hiệu là A ⇒ B (hoặc A ⊂ B). Nếu A kéo theo B và
B kéo theo A thì A và B được gọi là hai biến cố tương đương (equivalence), ký
hiệu là A = B.
(ii) Hợp (union) của hai biến cố A và B, ký hiệu bởi A ∪ B, là biến cố xảy ra
khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.


1.2 Phép thử và biến cố

9

(iii) Giao (intersection) của hai biến cố A và B, ký hiệu bởi A ∩ B, là biến cố

xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B xảy ra.
(iv) Hiệu (difference) của hai biến cố A và B, ký hiệu bởi A \ B, là biến cố
xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.
(v) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc (mutually exclusive) khi và chỉ
khi nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B khơng xảy ra và ngược lại, nếu biến cố B
xảy ra thì biến cố A không xảy ra, nghĩa là A ∩ B = ∅.
(vi) Ta gọi A là biến cố đối lập (complement) của biến cố A nếu chúng xung
khắc và hợp của chúng là một biến cố chắc chắn, nghĩa là A = Ω \ A.
Các khái niệm trên có thể được mơ tả bằng sơ đồ Venn như sau.

A

B

A

Hình 1.1: Hợp của hai biến cố A và B

B

Hình 1.2: Giao của hai biến cố A và B

A
A
A

B

Ω

Hình 1.3: Hiệu của hai biến cố A và B Hình 1.4: Biến cố đối lập A của biến cố A
Chú ý 1.2.5. (i) Các khái niệm cho thấy các phép toán hợp, giao, hiệu và phần bù
của hai tập hợp ứng với các phép toán tổng, tích, hiệu và đối lập của hai biến cố.
Trong giáo trình này, ta quy ước viết biến cố tích AB thay cho biến cố giao A ∩ B,
biến cố tổng A + B thay cho biến cố hợp A ∪ B.
(ii) Mối quan hệ giữa hai biến cố có thể được mở rộng cho một số hữu hạn bất
kỳ các biến cố.
(iii) Định nghĩa 1.2.2 cho thấy hai biến cố đối lập thì xung khắc, nhưng ngược
lại thì nhìn chung khơng đúng. Ví dụ các biến cố Ei (i = 1, . . . ,6) trong phép thử
gieo một con xúc xắc là xung khắc với nhau từng đôi, nhưng biến cố Ei không đối
lập với biến cố Ej , với mọi i ̸= j.
(iv) Phép hợp và giao các biến cố có tính chất giao hốn, kết hợp và phân phối.
Nghĩa là
A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A;
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Sau khi mở rộng các quan hệ trên cho một số hữu hạn các biến cố, ta xét khái
niệm quan trọng sau.


10

Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
Định nghĩa 1.2.6. Các biến cố A1 , . . . , An được gọi là một hệ đầy đủ các biến
cố (system of mutually exclusive and exhaustive events) nếu thoả mãn hai điều
kiện:
(i) Chúng xung khắc với nhau từng đôi một, nghĩa là Ai Aj = ∅, với mọi i ̸= j.
(ii) Tổng của chúng là một biến cố chắc chắn, nghĩa là
A1 + A2 + . . . + An = Ω.
Nếu khả năng xảy ra các biến cố đó là như nhau thì ta gọi là hệ đầy đủ đồng
khả năng (system of equally likely and exhausive events).

Ví dụ đơn giản nhất về hệ đầy đủ là hệ {A, A} (ở đây n = 2). Tuy nhiên, trong
cùng một phép thử, ta có thể viết được nhiều hệ đầy đủ khác nhau. Để bạn đọc có
thể hiểu rõ hơn và có thể so sánh các khái niệm trên, ta xét ví dụ sau.


Ví dụ 1.2.7 Gieo một con xúc xắc. Gọi Ei là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt i

chấm”, với i = 1, . . . , 6; A là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn”; B
là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ”. Hãy mơ tả các biến cố A, B, A +
B, AB, A thông qua các biến cố sơ cấp và viết hệ đầy đủ các biến cố.
Giải. Rõ ràng không gian mẫu của phép thử trên là S = {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 }
và
A = E2 + E4 + E6 ; B = E1 + E3 + E5 ; A = B; AB = ∅; A + B = S.
Vì Ei , i = 1, . . . , 6 là các biến cố trong không gian mẫu xung khắc với nhau từng
đôi và A,B là hai biến cố đối lập nên ta có thể viết hai hệ đầy đủ là {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 ,
E6 } và {A,B}.
Qua các ví dụ trên, ta thấy rằng đối với mỗi một phép thử, có thể viết được
nhiều hệ đầy đủ khác nhau và tập tất cả các biến cố sơ cấp trong không gian mẫu
luôn lập thành một hệ đầy đủ đồng khả năng. Việc xác định được các hệ đầy đủ và
dùng hệ nào trong số các hệ đó là rất quan trọng trong việc giải các bài toán xác
suất, đặc biệt là các bài tốn áp dụng cơng thức xác suất toàn phần và Bayes ở mục
sau. Giả sử trong một phép thử, cho E1 , E2 , . . . , En là một hệ đầy đủ các biến cố,
A là một biến cố khác rỗng nào đó. Khi đó
A = AΩ = A(E1 + E2 + . . . + En ) = AE1 + AE2 + . . . + AEn
và ta nói rằng A được phân chia gián tiếp thành các biến cố E1 , E2 , . . . , En .
Vì có nhiều hệ đầy đủ nên mỗi biến cố khác rỗng A cũng có thể phân chia theo
nhiều cách khác nhau nhằm mục đích chia A thành các biến cố đơn giản hơn để
đánh giá khả năng xuất hiện của A thông qua các biến cố đơn giản này.

1.3. Các định nghĩa về xác suất
Ta biết rằng mọi biến cố ngẫu nhiên đều giống nhau ở chỗ chúng không chắc chắn,
nhưng khả năng xảy ra của mỗi biến cố lại có thể khác nhau. Với mỗi một biến


1.3 Các định nghĩa về xác suất

11

cố ngẫu nhiên A, người ta dùng một con số để đặc trưng cho khả năng xảy ra của
biến cố đó là nhiều hay ít, được gọi là xác suất (probability) của biến cố A, ký hiệu
P (A). Trong mục này, ta sẽ đưa ra một số định nghĩa về xác suất. Mỗi định nghĩa
có những ưu, nhược điểm nhất định, nhưng qua đó ta có thể hình dung ra sự phát
triển của mơn Xác suất và vai trị của nó đối với các ngành khoa học khác.

1.3.1. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Định nghĩa xác suất cổ điển dựa trên hai giả thiết “mấu chốt” sau:
1. Số các biến cố sơ cấp trong phép thử ngẫu nhiên là hữu hạn (finite).
2. Tất cả các biến cố sơ cấp phải đồng khả năng (equal likelihood), nghĩa là khả
năng xảy ra của các biến cố sơ cấp này là như nhau sau khi thực hiện phép thử.
Cho một phép thử với n biến cố sơ cấp đồng khả năng, trong đó có m biến cố
sơ cấp thuận lợi cho biến cố A, nghĩa là nếu một trong m biến cố đó xảy ra thì kéo
theo A xảy ra. Khi đó ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.3.1. Xác suất (probability) xuất hiện biến cố A trong một phép
thử, ký hiệu P (A), là tỷ số giữa số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và số các
biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó. Nghĩa là
P (A) =

m
.

n

Dựa vào định nghĩa các biến cố ngẫu nhiên, biến cố chắc chắn và biến cố rỗng,
các tính chất đơn giản sau của xác suất dành cho bạn đọc tự chứng minh.
Tính chất 1.3.2. (i) 0 6 P (A) 6 1.
(ii) P (Ω) = 1.
(iii) P (∅) = 0.
Chú ý 1.3.3. (i) Nếu ta xem biến cố A như là tập con của không gian mẫu S và
ký hiệu n(•) là số phần tử của một tập hợp thì cơng thức trong định nghĩa trên có
thể viết lại như sau:
P (A) =

Số phần tử của A
n(A)
.
=
n(S)
Số phần tử của S

(ii) Việc tính xác suất dựa vào định nghĩa trên nên theo trình tự sau:
- Xét phép thử đang quan sát có phải là phép thử đồng khả năng không.
- Đếm được tất cả các biến cố sơ cấp trong không gian mẫu.
- Đếm được các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A.
Sau đó áp dụng công thức trong định nghĩa.
Theo chú ý trên, để tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển, ta áp dụng một số
phương pháp tư duy sau để đếm được số phần tử trong không gian mẫu và số phần
tử của tập hợp A.


12

Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

1. Phương pháp tính trực tiếp: Thường áp dụng cho trường hợp số các biến
cố sơ cấp đồng khả năng trong phép thử là khá nhỏ và việc suy đoán khá đơn giản.


Ví dụ 1.3.4 Trong một chuồng kín có 6 con gà trống và 4 con gà mái. Bắt ngẫu

nhiên một con gà. Tính xác suất để bắt được con gà mái?
Giải. Gọi A là biến cố “Bắt được con gà mái”. Phép thử bắt ngẫu nhiên một con
gà trong chuồng kín cho ta số các biến cố sơ cấp đồng khả năng trong không gian
mẫu là n(S) = 6 + 4 = 10 và số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là n(A) = 4. Vậy
xác suất để bắt được một con gà mái là
P (A) =

4
= 0,4.
10

2. Phương pháp dùng các cơng thức của giải tích tổ hợp: Trong phần
lớn trường hợp, khi phép thử có số biến cố sơ cấp rất lớn và không thể suy đoán
trực tiếp hay việc biểu thị bằng sơ đồ rất phức tạp thì người ta thường dùng cơng
cụ của giải tích tổ hợp để “đếm” các biến cố sơ cấp như đã trình bày ở Mục 1.1.
 Ví dụ 1.3.5 Bỏ ngẫu nhiên 5 lá thư vào 5 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ. Tính
xác suất:
(i) Cả 5 lá thư đều đến đúng địa chỉ.
(ii) Lá thư thứ nhất đến đúng địa chỉ.
(iii) Lá thư thứ nhất và lá thư thứ hai đến đúng địa chỉ.

Giải. Bỏ ngẫu nhiên 5 lá thư vào 5 phong bì đã đề trước địa chỉ. Khi đó, số phần
tử trong khơng gian mẫu là n(S) = 5! = 120.
(i) Gọi A là biến cố “Cả 5 lá thư đều đến đúng địa chỉ”. Do đó n(A) = 1.
P (A) =

1
= 0,008.
120

(ii) Gọi B là biến cố “Lá thư thứ nhất đến đúng địa chỉ”. Khi đó có 1 cách bỏ lá
thứ nhất vào phong bì đúng địa chỉ, và có 4! cách bỏ 4 lá thư cịn lại vào 4 phong
bì cịn lại. Do đó n(B) = (1)(4!).
P (B) =

(1)(4!)
= 0,2.
120

(iii) Gọi C là biến cố “Lá thư thứ nhất và lá thư thứ hai đến đúng địa chỉ”. Khi
đó, chỉ có một cách bỏ hai lá thư đầu vào hai phong bì đúng địa chỉ, cịn có 3! cách
bỏ 3 lá cịn lại ngẫu nhiên vào 3 phong bì cịn lại. Do đó n(C) = (1)(3!).
P (C) =

1
(1)(3!)
=
= 0,05.
120
20

 Ví dụ 1.3.6 Một hộp kín có chứa 100 hạt đậu giống, trong đó có 40 hạt đậu hoa
vàng thuần chủng, 30 hạt đậu hoa vàng không thuần chủng và 30 hạt đậu hoa trắng.
Chọn ngẫu nhiên 3 hạt đậu. Hãy tính xác suất để:
(i) Chọn được 3 loại hạt khác nhau.
(ii) Chọn được 3 hạt đậu hoa vàng.
(iii) Chọn được đúng một hạt đậu hoa trắng.


1.3 Các định nghĩa về xác suất

13

Giải. Phép thử ở đây là cách lấy thứ nhất ở Mục 1.1.8, tức là chọn ngẫu nhiên
cùng một lúc 3 phần tử từ 100 phần tử không quan tâm đến thứ tự nên số các biến
3
cố sơ cấp đồng khả năng trong không gian mẫu là n(S) = C100
.
(i) Gọi A là biến cố “Chọn được 3 loại hạt khác nhau”. Khi đó số các biến cố sơ
1
1
1
cấp thuận lợi cho A là n(A) = C40
C30
C30
. Vì thế
P (A) =

1
1
1

C40
C30
C30
= 0,223.
3
C100

(ii) Gọi B là biến cố “Chọn được 3 hạt đậu hoa vàng”. Khi đó số các biến cố sơ
3
cấp thuận lợi cho B là n(B) = C70
. Vì thế
P (B) =

3
C70
= 0,339.
3
C100

(iii) Gọi C là biến cố “Chọn được đúng 1 hạt hoa trắng”. Khi đó số các biến cố
1
2
sơ cấp thuận lợi cho C là n(C) = C30
C70
. Do đó
P (C) =

1
2
C30

C70
= 0,448.
3
C100

Ngồi ra, để có thể hình dung được một cách trực quan hơn về phép thử và các
biến cố, ta thường sử dụng một số loại sơ đồ như: sơ đồ Venn dùng để mô tả các
quan hệ logic có thể của một số hữu hạn các tập hợp, được giới thiệu năm 1880 bởi
nhà toán học John Venn (1834 – 1923), sơ đồ hình cây, sơ đồ dạng bảng,... hay mô
tả tập hợp.
Nhận xét 1.3.7. (i) Định nghĩa cổ điển về xác suất có ưu điểm là chỉ ra cách tính
xác suất của một biến cố một cách trực quan, đơn giản trong khi chỉ cần tiến hành
phép thử một cách giả định.
(ii) Tuy nhiên, như trên đã đề cập, định nghĩa này đòi hỏi khả năng xảy ra các
biến cố sơ cấp là như nhau và số các biến cố sơ cấp phải hữu hạn. Đây là một giả
thiết khá mạnh và không phải lúc nào cũng được bảo đảm trong thực tế. Chẳng
hạn Ví dụ 1.2.3, (iv) khơng thỏa mãn giả thiết phép thử chỉ có hữu hạn biến cố sơ
cấp và Ví dụ 1.2.3, (v) không thỏa mãn giả thiết các biến cố sơ cấp phải đồng khả
năng vì ngày 29/2 có khả năng xuất hiện ít hơn.

1.3.2. Định nghĩa thống kê về xác suất
Mục này giới thiệu một định nghĩa khác về xác suất dựa trên khái niệm sau.
Định nghĩa 1.3.8. Tần suất (relative frequency) xuất hiện biến cố A, ký hiệu
fn (A), là tỷ số
m
fn (A) = ,
n
trong đó n là số phép thử được thực hiện, m là số phép thử mà biến cố A xuất hiện.

14

Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Ta thấy rằng khi n thay đổi thì m cũng thay đổi. Tuy nhiên, tần suất có tính
ổn định, nghĩa là khi số phép thử n tăng lên đủ lớn thì tần suất sẽ biến đổi rất nhỏ
xung quanh một giá trị xác định. Để minh họa cho nhận xét trên, ta nhắc lại một
ví dụ kinh điển được thực hiện bởi Buffon và Pearson để nghiên cứu khả năng xuất
hiện mặt sấp khi tung một đồng xu như sau:
Người làm thí nghiệm
Buffon
Pearson
Pearson

Số lần tung
4.040
12.000
24.000

Số lần được mặt sấp
2.048
6.019
12.012

Tần suất
0,5069
0,5016
0,5005

Nhìn vào bảng trên, ta thấy rằng khi số lần tung ngày càng tăng lên, tần suất

xuất hiện mặt sấp ngày càng dần đến giá trị xác định là 0,5 và giá trị này được lấy
làm xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng tiền cân đối đồng chất. Ví dụ
này dẫn đến định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.9. Xác suất xuất hiện biến cố A là giới hạn của tần suất xuất
hiện biến cố đó khi phép thử tăng lên vơ hạn.
P (A) = lim fn (A).
n→∞

Trên thực tế, P (A) được tính xấp xỉ bởi tần suất f (A) khi n đủ lớn.
Ví dụ 1.3.10 Để xác định tỷ lệ nảy mầm của một giống lúa, người ta gieo thử
5000 hạt và quan sát thấy có 120 hạt khơng nảy mầm. Vậy xác suất cần tìm xấp xỉ
5000 − 120
bằng
= 0,976 hay tỷ lệ nảy mầm là 97,6%.
5000


Nhận xét 1.3.11. (i) Định nghĩa thống kê về xác suất cho ta một giá trị gần đúng
dựa trên cơ sở quan sát thực tế để đưa ra kết luận xác suất xảy ra của một biến
cố. Định nghĩa này khơng địi hỏi những điều kiện như định nghĩa cổ điển và có độ
chính xác khá lớn, phù hợp với thực tế cũng như tính tốn lý thuyết.
(ii) Tuy nhiên, định nghĩa này chỉ áp dụng cho những phép thử có thể lặp lại
nhiều lần một cách độc lập với những điều kiện giống hệt nhau. Hơn nữa, để xác
định được giá trị xác suất một cách tương đối chính xác, ta cần tiến hành trên thực
tế một số n đủ lớn phép thử, mà điều này nhiều khi không thực hiện được vì hạn
chế về thời gian và kinh phí.
Ngồi các định nghĩa vừa nêu trên, người ta còn đưa ra những định nghĩa khác
như định nghĩa hình học về xác suất, định nghĩa tiên đề về xác suất của Kolmogorop,
định nghĩa xác suất chủ quan,... Tuy nhiên, với khuôn khổ của cuốn giáo trình này,
chúng tơi khơng trình bày những định nghĩa đó ở đây mà dành để bạn đọc tự

tham khảo.


1.4 Các định lý cơ bản

15

1.3.3. Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ
Trong thực tế, ta gặp phải nhiều trường hợp mà các biến cố có xác suất rất nhỏ,
gần như bằng 0. Trong trường hợp đó, liệu ta có thể cho rằng những biến cố này sẽ
khơng xảy ra khi thực hiện phép thử? Tất nhiên ta khơng thể kết luận như vậy, vì
thậm chí một biến cố có xác suất bằng 0 vẫn chưa chắc chắn là biến cố khơng thể
có, tức là vẫn có thể xảy ra.
Tuy nhiên, qua nhiều lần quan sát, người ta thấy rằng các biến cố có xác suất
nhỏ gần như sẽ không xảy ra khi tiến hành một phép thử. Trên cơ sở đó ta có thể
đưa ra “Nguyên lý thực tế khơng thể có của các biến cố có xác suất nhỏ” sau đây:
Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử
biến cố đó sẽ khơng xảy ra. Chú ý rằng việc quy định mức xác suất được coi là rất
nhỏ sẽ được quy định trong từng bài toán cụ thể và gọi là mức ý nghĩa. Chẳng hạn,
nếu xác suất để một chuyến tàu đường dài đến ga chậm là 0,01 thì thực tế có thể
cho rằng tàu đến ga đúng giờ, nhưng nếu một phi công nhảy dù mà xác suất để dù
không mở khi sử dụng là 0,01 thì xác suất đó chưa thể coi là nhỏ và chiếc dù đó sẽ
khơng được sử dụng trong thực tế.
Tương tự như vậy, ta có thể đưa ra “Nguyên lý chắc chắn xảy ra của các biến cố
có xác suất lớn” như sau: Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần bằng 1 thì thực tế
có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử. Cũng như ở trên, việc quy
định mức xác suất được coi là lớn sẽ được quy định trong từng bài toán cụ thể.

1.4. Các định lý cơ bản
Ở mục trước, ta đã đưa ra cách tính xác suất trực tiếp bằng các định nghĩa. Tuy

nhiên, trong thực tế, có nhiều bài tốn phức tạp hơn, địi hỏi phải tính xác suất của
những biến cố thơng qua xác suất đã biết của những biến cố khác có liên quan với
chúng. Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu 5 định lý cơ bản nhất của xác suất.

1.4.1. Định lý cộng xác suất
Định lý 1.4.1. (i) Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
(ii) Nếu A, B và C là ba biến cố bất kỳ thì
P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC).
Ta có hệ quả trực tiếp của Định lý 1.4.1 cho các biến cố xung khắc, biến cố đối lập
và hệ đầy đủ các biến cố.


16

Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
Hệ quả 1.4.2. (i) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì
P (A + B) = P (A) + P (B).
(ii) Nếu các biến cố A1 , . . . , An là một hệ đầy đủ các biến cố thì
P (A1 + . . . + An ) = P (A1 ) + . . . + P (An ) = 1.
(iii) Tổng xác suất của hai biến cố đối lập nhau bằng 1, tức là P (A)+P (A) = 1.

Ví dụ 1.4.3 Một gia đình có hai vợ chồng chưa có con, xác suất để chồng xem
tivi là 0,8; vợ xem tivi là 0,5; hai vợ chồng cùng xem ti vi là 0,4. Hãy tính xác suất
để:
(i) Tivi có người xem.
(ii) Tivi khơng có ai xem.


Giải. Gọi A là biến cố “Chồng xem tivi”, B là biến cố “Vợ xem tivi”. Khi đó,

(i) Biến cố “Tivi có người xem” là A + B. Vì A và B không xung khắc nhau nên
áp dụng Định lý cộng
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0,8 + 0,5 − 0,4 = 0,9.
(ii) Biến cố “Tivi khơng có người xem” là A + B. Đây là biến cố đối lập với biến
cố “Tivi có người xem” nên
P (A + B) = 1 − 0,9 = 0,1.


Ví dụ 1.4.4 Trong một phịng thí nghiệm, có một hộp kín đựng 25 hạt giống đậu

tương, trong đó có 15 hạt giống đậu tương chịu hạn. Chọn ngẫu nhiên 3 hạt giống
trong hộp để gieo thử nghiệm. Hãy tính xác suất để:
(i) Chọn được cả 3 hạt giống đậu tương chịu hạn.
(ii) Chọn được không quá 1 hạt giống đậu tương chịu hạn.
(iii) Chọn được ít nhất 1 hạt giống đậu tương chịu hạn.
Giải. Số biến cố sơ cấp đồng khả năng là số cách chọn ngẫu nhiên 3 trong số 25
3
. Gọi Ai là biến cố “Chọn được i hạt giống đậu tương
hạt giống, do đó n(S) = C25
chịu hạn”, i = 0, . . . ,3. Khi đó các biến cố Ai xung khắc từng đơi.
(i) Gọi A là biến cố “Chọn được cả 3 hạt giống đậu tương chịu hạn”. Khi đó
A = A3 và
C3
P (A) = 15
= 0,198.
3
C25
(ii) Gọi B là biến cố “Chọn được không quá 1 hạt giống đậu tương chịu hạn”.
Khi đó B = A0 + A1 và theo Định lý cộng
P (B) = P (A0 ) + P (A1 ) =

3
2
0
1
C10
C10
C15
C15
+
= 0,346.
3
3
C25
C25


1.4 Các định lý cơ bản

17

(iii) Gọi C là biến cố “Chọn được ít nhất 1 hạt giống đậu tương chịu hạn”. Khi
đó biến cố đối lập C là “Khơng chọn được hạt giống đậu tương chịu hạn nào” và vì
C = A0 nên
P (C) =

0
3
C15
.C10

= 0,0522 suy ra P (C) = 1 − P (C) = 1 − 0,0522 = 0,9478.
3
C25

1.4.2. Định lý nhân xác suất
Mục này sẽ giới thiệu một quy tắc cho phép ta tính xác suất của tích của một số
biến cố. Trước hết ta xét ví dụ sau (xem [13, trang 65]): gieo một con xúc xắc và
gọi A là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, B là biến cố “Xúc xắc
xuất hiện hoặc các mặt 1, 2, 3, 5 chấm”. Khi đó, theo định nghĩa xác suất ta có
1
2
P (A) = ; P (B) = ·
2
3
Tuy nhiên, một câu hỏi đặt ra là xác suất để xuất hiện biến cố A với điều kiện
biến cố B xảy ra là bao nhiêu? Theo định nghĩa cổ điển, dưới giả thiết đồng khả
năng của các biến cố sơ cấp, ta có
n(AB)
1
=
P (A|B) = =
4
n(B)

n(AB)
n
n(B)
n

=

P (AB)
,
P (B)

trong đó n(AB) là số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố tích AB, n(B) là số
các biến cố sơ cấp thuận lợi cho B, (n(B) ̸= 0 vì giả thiết cho biến cố B đã xảy ra).
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau (xem [8, tr.41,43], [12, tr.149,151] và
[13, tr.66]).
Định nghĩa 1.4.5. Giả sử A và B là hai biến cố bất kỳ trong cùng một phép
thử sao cho P (B) > 0. Xác suất có điều kiện (conditional probability) của biến
cố A với giả thiết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P (A|B), được định nghĩa là
P (A|B) =

P (AB)
.
P (B)

(1.1)

Tương tự, nếu P (A) ̸= 0 thì xác suất có điều kiện của B theo A là
P (B|A) =

P (AB)
.
P (A)

(1.2)

Chú ý 1.4.6. Với hai biến cố A,B bất kỳ thì nhìn chung P (A|B) ̸= P (B|A). Thật

vậy, xét ví dụ gieo xúc xắc ở trên, rõ ràng ta có
P (A|B) =

P (AB)
n(AB)
1
P (AB)
n(AB)
1
=
= ; P (B|A) =
=
= ·
P (B)
n(B)
4
P (A)
n(A)
3