Giáo trình xác suất thông kê - Chương VI

Chuong 6
’’

´
`
´
ˆ
` `
ˆ
’
LY THUYET TU’ONG QUAN VA HAM HOI QUI
˜
˜’
´
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
MOI QUAN HE GIUA HAI ¯ AI LU’ONG NGAU NHIEN
D.
.’
.

1.

´
˜
˜
’ a
u
o e o o o

Khi khao s´t hai dai luong ngˆu nhiˆn X, Y ta thˆy giua ch´ng c´ thˆ’ c´ mˆt sˆ
¯ . ’ .’
a
e
a
’
. ´
quan hˆ sau:
e
.
´
´ a e
˜
a
a . ’ ¯ . ’ .’
a
e a
i) X v` Y dˆc lˆp voi nhau, tuc l` viˆc nhˆn gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn n`y
a
¯o a
’
’
.
.
. .
´ e
˜
’’ dˆn viˆc nhˆn gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn kia.
’
khˆng anh huong ¯e

o
a
a . ’ ¯ . ’ .’
a
e
’
.
.
´
´
ii) X v` Y c´ mˆi phu thuˆc h`m sˆ Y = ϕ(X).
a
o o
o a
o
.
.
iii) X v` Y c´ su phu thuˆc tuong quan v` phu thuˆc khˆng tuong quan.
a
o .’
o ’’
a
o
o
’’
.
.
.
.

´
ˆ ˆ
’
HE SO TU’ONG QUAN
.

2.
2.1

Moment tuong quan (Covarian)
’’

˜
2 ¯ inh nghia 1
D.
˜
’
* Moment tuong quan (hiˆp phuong sai) cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y, k´
e
¯. ’.’
a
e
a
ı
’’
’’
.
´ duoc x´c d. nh nhu sau
hiˆu cov(X, Y ) hay µXY , l` sˆ ¯ ’.’ a ¯i
e

a o
’
.
cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}
´
˜
* Nˆu cov(X, Y ) = 0 th` ta n´i hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y khˆng tuong quan.
e
ı
o
¯. ’.’
a
e
a
o
’’
Ch´ y
u´
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y )
Thˆt vˆy, ta c´
a a
o
. .
cov(XY ) = E{X.Y − X.E(Y ) − Y.E(X) + E(X).E(Y )
= E(XY ) − E(X).E(Y ) − E(X).E(Y ) + E(X).E(Y )
= E(XY ) − E(X).E(Y )
99


´ ’’

`
Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
’’
y
e
a a
o

100

⊕ Nhˆn x´t 1
a
e
.
´
` .
* Nˆu (X, Y ) roi rac th`
e
ı
’
n

m

cov(X, Y ) =
i=1 j=1

xi yj P (xi , yj ) − E(X)E(Y )

´

* Nˆu (X, Y ) liˆn tuc th`
e
e .
ı
+∞ +∞

cov(X, Y ) =
−∞ −∞

xyf (x, y)dxdy − E(X)E(Y )

⊕ Nhˆn x´t
a
e
.
´
˜
i) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` ch´ng khˆng tuong quan.
e
a
a
¯ . ’ .’
a
e ¯ˆ a
ı u
o
’’
. .
ii) Cov(X,X)=Var(X).

2.2

Hˆ sˆ tuong quan
e o ’’
. ´

˜
˜
’
2 ¯ inh nghia 2 Hˆ sˆ tuong quan cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y, k´ hiˆu rXY ,
D.
e o ’’
¯. ’.’
a
e
a
ı e
. ´
.
´
l` sˆ duoc x´c d. nh nhu sau
a o ¯ ’.’ a ¯i
’
rXY =

cov(X, Y )
SX .SY

’
´

voi Sx , SY l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn cua X, Y .
a ¯o e
e
a ’
’
. .
´
˜ ’
• Y nghia cua hˆ sˆ tuong quan
e o ’’
. ´

´
´ ¯ˆ
a
a
o
e ınh ˜
Hˆ sˆ tuong quan do muc do phu thuˆc tuyˆn t´ giua X v` Y . Khi |rXY | c`ng
e o ’’
¯
’
’ .
.
.
. ´
´
´
´
`

`
gˆn 1 th` mˆi quan hˆ tuyˆn t´ c`ng ch˘t, khi |rXY | c`ng gˆn 0 th` quan hˆ tuyˆn
a
ı o
e
e ınh a
a
a
a
ı
e
e
.
.
.
’ leo”.
t´ c`ng ”long ’
ınh a

2.3

’´ ’.
Uoc luong hˆ sˆ tuong quan
e o ’’
’
’
. ´

˜
˜

Lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WXY = [(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ) . . . (Xn , Yn )].
a
a
a
e
.
E(XY ) − E(X).E(Y )
´
De’ ’ ´ ’ .’
e o ’’
ta d`ng thˆng kˆ
u
o
e
’
. ´
¯ ˆ uoc luong hˆ sˆ tuong quan rXY =
SX .SY
R=

XY − X.Y
SX .SY

Y =

1 n
Yi ,
n i=1

trong d´

¯o
X=

1 n
Xi ,
n i=1

2
SX =

1 n
(Xi − X)2 ,
n i=1

2
SY =

XY =

1 n
Xi Yi
n i=1

1 n
(Yi − Y )2
n i=1


´
2. Hˆ sˆ tuong quan

e o ’’

101

´ a . e
˜
Voi mˆu cu thˆ’, ta t´ duoc gi´ tri cua R l`
ınh ¯ ’ .’ a . ’
a
’
rXY =

xy − x.y
sx .sy

trong d´
¯o
1 n
x=
xi ,
n i=1
s2 =
x

1 n
y=
yi ,
n i=1

1 n 2

x − (x)2 ,
n i=1 i

1 n
xy =
xi yi
n i=1

s2 =
y

1 n 2
y − (y)2
n i=1 i

Ta c´
o
n

rXY =

2.4

n(

xy − (

x2 ) − (

x)(

x)2 . n(

y)
y2) − (

y)2

´
T´ chˆt cua hˆ sˆ tuong quan
ınh a ’
e o ’’
. ´

xy − x.y
’ ’
duoc d`ng dˆ’ danh gi´ muc dˆ ch˘t che cua su
¯ ’ .’ u
¯e ¯´
a ´ ¯o a
’ .
.
.’
sx .sy
´
˜
¯ . ’ .’
a
e
a

o o a ınh
phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ giua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y , n´ c´ c´c t´
o ’’
e ınh ˜
’
.
.
´t sau dˆy:
chˆ
a
¯a
Hˆ sˆ tuong quan r =
e o ’’
. ´

i) |r| ≤ 1.

’
che.

´
´
ii) Nˆu |r| = 1 th` X v` Y c´ quan hˆ tuyˆn t´
e
ı
a
o
e
e ınh.
.

´
´
´
iii) Nˆr |r| c`ng lon th` su phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ giua X v` Y c`ng ch˘t
e
a
ı .’
o ’’
e ınh ˜
a
a
a
’
’
.
.
.

´
´
a
o
o
o
e ınh ’ ’
iv) Nˆu |r| = 0 th` giua X v` Y khˆng c´ phu thuˆc tuyˆn t´ tuong quan.
e
ı ˜
’
.

.
´
´
v) Nˆu r > 0 th` X v` Y c´ tuong quan thuˆn (X t˘ng th` Y t˘ng). Nˆu r < 0 th`
e
ı
a
o ’’
a
a
ı
a
e
ı
.
’
’
X v` Y c´ tuong quan nghich (X giam th` Y giam).
a
o ’’
ı
.
` o e ¯ ’.’
’’ ’
’
• V´ du 1 Tu sˆ liˆu duoc cho boi bang sau, h˜y x´c d. nh hˆ sˆ tuong quan cua Y v`
ı .
a a ¯i
e o ’’
a

’ ´ .
. ´
X
X 1 3
Y 1 2

4
4

6
4
’
Giai

’
Ta lˆp bang sau
a
.

8
5

9
7

11
8

14
9

´ ’’
`
Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
’’
y
e
a a
o

102

xi
1
3
4
6
8
9
11
14
x = 56

x2
i
1
9
16
36

64
81
121
196
2
x = 524

yi
1
2
4
4
5
7
8
9
y = 40

xi yi
1
6
16
24
40
63
88
126
xy = 364

2

yi
1
4
16
16
25
49
64
81
2
y = 256

’
Hˆ sˆ tuong quan cua X v` Y l`
e o ’’
a
a
. ´
rXY =

=

2.5

n
n(

xy − (

x2 ) − (

x)(

x)2 . n(

8.364 − (56).(40)

8.524 − (56)2 . 8.256 − (40)2

=

y)
y2) − (

y)2

672
= 0, 977
687, 81

´
’ o ’’
Ty sˆ tuong quan

´
’ ’ .’
De’ ¯´
o ’’
e
u

a ´ ¯o a
’
’ . .
’`
.
.
¯ ˆ danh gi´ muc dˆ ch˘t che cua su phu thuˆc tuong quan phi tuyˆn, nguoi ta d`ng
´
’ o ’’
ty sˆ tuong quan:
ηY /X =

sy
sy

trong d´
¯o
sy =

1
n

ni .(yxi − y)2 ;

sy =

1
n

mj .(yj − y)2

´
´
’ o ’’
Ty sˆ tuong quan c´ c´c t´ chˆt sau:
o a ınh a
i) 0 ≤ ηY /X ≤ 1.
ii) ηY /X = 0 khi v` chi’ khi Y v` X khˆng c´ phu thuˆc tuong quan.
a
a
o
o
o ’’
.
.
´
iii) ηY /X = 1 khi v` chi’ khi Y v` X phu thuˆc h`m sˆ.
a
a
o a
o
.
.
iv) ηY /X ≥ |r|.
´
´
’
Nˆu ηY /X = |r| th` su phu thuˆc tuong quan cua Y v` X c´ dang tuyˆn t´
e
ı .’

o ’’
a
o .
e ınh.
.
.

2.6

˜
Hˆ sˆ x´c d.nh mˆu
e o a ¯i
a
. ´

´
´
´
’
Trong thˆng kˆ, dˆ’ d´nh gi´ chˆt luong cua mˆ h` tuyˆn t´ nguot ta c`n x´t
o
e ¯e ¯a
a a ’ .’
o ınh
e ınh
o e
’
’`
2 ´
´

´
˜
hˆ sˆ x´c d. nh mˆu β = r voi r l` hˆ sˆ tuong quan. Ta c´ 0 ≤ β ≤ 1.
e o a ¯i
a
a e o ’’
o
’
.
.


`
3. Hˆi qui
o

103

`
ˆ
HOI QUI

3.
3.1

`
K` vong c´ diˆu kiˆn
y .
o ¯e
e

.

˜
i) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac
D. ’ .’
a
e ` .
’
´ ¯ e` e
˜
* K` vong c´ diˆu kiˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac Y voi diˆu kiˆn X = x l`
y .
o ¯ e` e ’ ¯ . ’ .’
a
e ` .
a
’
’
.
.
m

E(Y /x) =

yj P (X = x, Y = yj )
j=1

´ ¯ e` e
˜
* Tuong tu, k` vong c´ diˆu kiˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac X voi diˆu kiˆn

o ¯ e` e ’ ¯ . ’ .’
a
e ` .
’
’
’’
.
.
.’ y .
Y = y l`
a
n

E(X/y) =

xi P (X = xi , Y = y)
i=1

˜
ii) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc
D. ’ .’
a
e e .
+∞

E(Y /x) =

yf (y/x)dy
−∞
+∞

E(X/y) =

xf (x/y)dx
−∞

trong d´
¯o
’
´
f (y/x) = f (x, y) voi x khˆng dˆi
o ¯o
’
’
´
f (x/y) = f (x, y) voi y khˆng dˆi
o ¯o
’

3.2

`
H`m hˆi qui
a
o
´ ’
`
’
* H`m hˆi qui cua Y dˆi voi X l` f (x) = E(Y /x).
a

o
¯o ´
a

´ ’
`
’
* H`m hˆi qui cua X dˆi voi Y l` f (y) = E(X/y).
a
o
¯o ´
a
´
´
˜
Trong thuc tˆ ta thuong g˘p hai dai luong ngˆu nhiˆn X, Y c´ mˆi liˆn hˆ voi nhau,
a
¯ . ’ .’
a
e
o o e e ´
’
’`
.
. ’
.’ e
˜ c`n khao s´t Y th` kh´ hon thˆm ch´ khˆng thˆ’ khao
’ a
’ a
’

trong do viˆc khao s´t X th` dˆ o
¯´ e
ı e
ı o ’
a
ı o
e
.
.
´
´
´
`
s´t duoc. Nguoi ta muˆn t` mˆi liˆn hˆ ϕ(X) n`o d´ giua X v` Y dˆ’ biˆt X ta c´ thˆ’
a ¯ ’ .’
o ım o e e
a ¯o ˜
a ¯e e
o e
’’
’
.
du do´n duoc Y .
’ ¯ a ¯ ’ .’
.
`
´
´ .’ ¯ a
´ .
’ ’’ e

’ a
˘
Gia su biˆt X, nˆu du do´n Y bang ϕ(X) th` sai sˆ pham phai l` E[Y − ϕ(X)]2 .
e
ı
o
’ E[Y − ϕ(X)]2 l` nho nhˆt.
´
´
´
’ a
Vˆn dˆ duoc dat ra l` t` ϕ(X) nhu thˆ n`o dˆ
a ¯e` ¯ ’ .’ ¯˘
a ım
a
’ e a ¯e
.
´
Ta s˜ chung minh khi chon ϕ(X) = E(Y /X) (voi ϕ(x) = E(Y /x)) th` E[Y − ϕ(X)]2
e ´
ı
’
’
.
´
’ a
s˜ nho nhˆt.
e
Thˆt vˆy, ta c´
a a

o
. .
E[Y − ϕ(X)]2 = E{([Y − E(Y /X)] + [E(Y /X) − ϕ(X)])2 }
= E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{[E(Y /X) − ϕ(X)]2 }
+2E{[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)]}


´ ’’
`
Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
’’
y
e
a a
o

104

´
Ta thˆy E(Y /X) chi’ phu thuˆc v`o X nˆn c´ thˆ’ dat T (X) = E(Y /X) − ϕ(X).
a
o a
e o e ¯˘
.
.
.
V` E[E(Y /X)T (X)] = E[Y T (X)] nˆn
ı
e
2E[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)] = 2E{[Y − E(Y /X)]T (X)}

= 2E[Y T (X)] − 2E[E(Y /X)T (X)] = 0
Do d´
¯o
E{[Y − ϕ(X)]2 } = E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{E(Y /X) − ϕ(X)]2
´
’ a
nho nhˆt khi
E{[(Y /X) − ϕ(X)]2 = 0

`
Ta chi’ cˆn chon
a
.

ϕ(X) = E(Y /X)

(6.1)

`
Phuong tr` (6.1) duoc goi l` phuong tr`nh tuong quan hay phuong tr`nh hˆi qui.
ınh
¯ ’ .’ . a
ı
ı
o
’’
’’
’’
’’

3.3

`
X´c d.nh h`m hˆi qui
a ¯i
a
o

´ .
a) Truong hop ´ sˆ liˆu (tuong quan c˘p)
a
’
’`
’’
.
.’ ıt o e
´
´ a
˜
’ ’’ ˜
Gia su giua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y c´ tuong quan tuyˆn t´
¯ . ’ .’
a
e
a
o ’’
e ınh, tuc l`
’
’
E(Y /X) = AX + B.

’
Dua v`o n c˘p gi´ tri (x1 , x2 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) cua (X, Y ) ta t` h`m
a
a .
ım a
.
.’ a
yx = y = ax + b (∗)
dˆ’ uoc luong h`m Y = AX + B.
¯e ’ ´ ’ .’
a
’
´
˜
`
(*) duoc goi l` hˆi qui tuyˆn t´nh mˆu.
¯ ’ .’ . a o
e ı
a
´
´ ’
’
’
V` c´c c˘p gi´ tri trˆn l` tri xˆp xi’ cua x v` y nˆn thoa (*) mˆt c´ch xˆp xi.
ı a a
a . e a . a
a
e
o a
a

.
.
Do d´ yi = axi + b + εi hay εi = yi − axi − b.
¯o

´
´
’ a
Ta t` a, b sao cho c´c sai sˆ εi (i = 1, n) c´ tri tuyˆt dˆi nho nhˆt hay h`m
ım
a
o
o .
e ¯o
a
. ´
n

S(a, b) =
i=1

(yi − axi − b)2

´
dat cuc tiˆ’u. Phuong ph´p t` n`y duoc goi l` phuong ph´p b`nh phuong b´ nhˆt.
¯ . .’ e
a ım a ¯ ’ .’ . a
a ı
e a
’’

’’
’’
´
´
`
’ a . ¯e
’
Ta thˆy S s˜ dat gi´ tri nho nhˆt tai diˆ’m dung thoa m˜n
a
e ¯.
a .
a
’
0=

n
∂S
= −2
xi (yi − axi − b)
∂a
i=1

0=

n
∂S
= −2 (yi − axi − b)
∂b
i=1

`
3. Hˆi qui
o

105

hay
n

n

n

x2 .a +
i
i=1

xi .b =
i=1

n

xi yi
i=1
n

yi

xi .a + nb =

i=1

(6.2)

i=1

´
Hˆ trˆn c´ d.nh thuc
e e o ¯i
’
.
n
2
i=1 xi
n
i=1 xi

D=

n

n
i=1

xi

n

n

=n
i=1

2

n

x2
i

−

xi
i=1

´ ’
´
V` c´c xi kh´c nhau nˆn theo bˆt dang thuc Bunhiakovsky ta c´ (
ı a
a
e
a ¯˘
o
’
n
2
´
xi . Do d´ D > 0. Suy ra hˆ trˆn c´ nghiˆm duy nhˆt
¯o
e e o

e
a
.
.
i=1
a=
b=

(

´ .
Nˆu dat
e ¯˘
1 n
x= .
xi ,
n i=1

n

n
i=1

n
i=1

xi )2 <

n
i=1

xi yi − ( n xi ) ( n yi )
i=1
i=1
n
n
2
n i=1 xi − ( i=1 xi )2

x2 ) (
i
n

n
n
i=1 yi ) − ( i=1 xi ) (
2
n
n
2
i=1 xi − ( i=1 xi )

1 n
y= .
yi ,
n i=1

n
i=1

1 n
xy = .
xi yi ,
n i=1

xi yi )

x2

1 n 2
=
x
n i=1 i

´
’
th` nghiˆm cua hˆ c´ thˆ’ viˆt lai duoi dang
ı
e
e o e e .
’
’´ .
.
.
a=

xy − x.y
xy − x.y
;
=

2 − (x)2
s2
x
x

b=

x2 .y − x.xy
x2 .y − x.xy
=
s2
x2 − (x)2
x

´
` a o
T´m lai, ta c´ thˆ’ t` h`m yx = ax + b tu c´c cˆng thuc
o
o e ım a
’
’
.
a=

xy − x.y
n( xy) − ( x)( y)
=
s2
n( x2 ) − ( x)2
x

b = y − a.x

Ch´ y
u´
-bb-error =

´
´
D ’`
a
u
o a ¯ e’
’
¯ uong gˆp kh´c nˆi c´c diˆm (x1 , y1 ),
`
(x2 , y2 ) , . . . , (xn , yn ) duoc goi l` duong hˆi
¯ ’ .’ . a ¯ ’`
o
’
qui thuc nghiˆm.
e
.
.’
’
˘
D ’`
a ¯ ’ .’ ’’
’
.
¯ uong thang y = ax + b nhˆn duoc boi

´ b` phuong b´ nhˆt khˆng di qua
´
cˆng thuc ınh
o
e a
o ¯
’
’’
’
´
˘
duoc tˆt ca c´c diˆ’m nhung l` duong thang
¯ ’ .’ a ’ a ¯ e
a ¯ ’`
’
’
´
`
”gˆn” c´c diˆ’m do nhˆt duoc goi l` duong
a
a ¯ e ¯´
a ¯ ’ .’ . a ¯ ’`
’
’ ng hˆi qui v` thu tuc l`m th´ hop duong
`
˘
tha
o
a ’ . a
ıch .’ ¯ ’`

’
’ ng thˆng qua c´c diˆ’m du liˆu cho truoc
˜ e
˘
tha
o
a ¯e
’
’ .
’´
´ ınh.
` qui tuyˆn t´
duoc goi l` hˆi
¯ ’ .’ . a o
e

’
`
`
˘
¯´ ¯ e
o ˘
e ¯ ’`
o
Theo trˆn ta c´ b = y − a.x, do do diˆ’m (x, y) luˆn nam trˆn duong thang hˆi qui.
e
o
’

´ ’’
`
Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
’’
y
e
a a
o

106

´ ’.’
´
˜
`
• V´ du 2 U’oc luong h`m hˆi qui tuyˆn t´nh mˆu xua Y theo X trˆn co so bang tuong
ı .
a
o
e ı
a ’
e
’
’ ’’ ’
’’
quan c˘p sau
a
.

X 15 38

Y 145 228

23
150

16
130

16
160

13
114

20
142

24
265

’
Giai
’
Ta lˆp bang sau
a
.

xi
15
38

23
16
16
13
20
24
x = 165

yi
145
228
150
130
160
114
142
265
y = 1334

x2
i
225
1444
529
256
256
169
400
576
2

x = 3855

xi yi
3175
8664
3450
2080
2560
1482
2840
6360
xy = 29611

Ta c´
o
a=

=

n(

xy) − ( x)( y)
n( x2 ) − ( x)2

8(19611) − (165)(1334)
16778
=
= 4, 64
2
8(3855)(165)

3615

b = y − ax =

1334
16778
−
8
3615

165
= 71
8

´
˜
`
Vˆy h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` yx = 4, 64x + 71.
a a
o
e ınh a a
.
´
’
• V´ du 3 ¯ ˆ ˆm cua khˆng kh´ anh huong dˆn su bay hoi cua nuoc trong son khi
ı .
Do a
o
ı ’
’ ’

’
’
’ ’’ ¯e .’
’´
. ’
’
´ a
´
´ e e ˜ ¯o a
` ta tiˆn h`nh nghiˆn cuu mˆi liˆn hˆ giua dˆ ˆm cua khˆng kh´ X v` dˆ
’
phun ra. Nguoi
e
e
o
o
ı
a ¯o
’’
’
. ’ .
.
`
´
´
´ .
bay hoi Y . Su hiˆu biˆt vˆ mˆi quan hˆ n`y s˜ gi´p ta tiˆt kiˆm duoc luong son bang
e e` o
e a e u
e e ¯ ’.’ ’.’

’
’ ˘
’ e’
.
.
´
´
’
c´ch chinh s´ng phun son mˆt c´ch th´ch hop. Tiˆn h`nh 25 quan s´t ta duoc c´c sˆ
a
u
o a
ı
e a
a
¯ ’.’ a o
’
.
.’
liˆu sau:
e
.


`
3. Hˆi qui
o
’
Quan s´t ¯ ˆ ˆm ¯ ˆ
a

Do a
Do
.
.
(%)
1
35,3
2
29,7
3
30,8
4
58,8
5
61,4
6
71,3
7
74,4
8
76,7
9
70,7
10
57,5
11
46,4
12
28,9
13

28,1

bay hoi
’
(%)
11,0
11,1
12,5
8,4
9,3
8,7
6,4
8,5
7,8
9,1
8,2
12,2
11,9

’
Quan s´t ¯ ˆ ˆm ¯ ˆ
a
Do a
Do
.
.
(%)
14
39,1
15

46,8
16
48,5
17
59,3
18
70,0
19
70,0
20
74,4
21
72,1
22
58,1
23
44,6
24
33,4
25
28,6

107
bay hoi
’
(%)
9,6
10,9
9,6
10,1

8,1
6,8
8,9
7,7
8,5
8,9
10,4
11,1

´
˜
`
H˜y t` h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b.
a ım a
o
e ınh a
’
Giai

Ta c´
o
n = 25

x = 1314, 9

x2 = 76308, 53

y = 235, 7
y 2 = 2286, 07

xy = 11824, 44

Do d´
¯o
a=

n(

xy) − ( x)( y)
25 × 11824, 44 − (1314, 9 × 235, 7)
=
= −0, 08
2) − (
2
n( x
x)
25 × 76308, 53 − (1314, 9)2
b = y − ax = 9, 43 − (−0, 08) × 52, 6 = 13, 64

´
˜
`
Vˆy h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` yx = −0, 08x + 13, 64
a a
o
e ınh a a
.
` ´ .
’
b) Truong hop nhiˆu sˆ liˆu (tuong quan bang)

e o e
’
’`
’’
.’
’ ’’
Gia su
´ a
´
X nhˆn c´c gi´ tri xi voi tˆn suˆt ni i = 1, k,
a a
a .
a
’ `
.
´ a
´
Y nhˆn c´c gi´ tri yj voi tˆn suˆt mj j = 1, h,
a a
a .
a
’ `
.
´ a
´
XY nhˆn c´c gi´ tri xi yj voi tˆn suˆt nij i = 1, k, j = 1, h,
a a
a .
a
’ `

.
´
´ .
˜
`
Ta t` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b trong truong hop c´ nhiˆu sˆ liˆu. Theo
ım o
e ınh a
e` o e
’
’`
.’ o
(6.2) ta c´
o


´ ’’
`
Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
’’
y
e
a a
o

108

k

k

k

ni x2 .a +
i
i=1

i=1

nij xi yj
i=1 j=1
h

k

ni xi .a + nb =
i=1
k

Thay
k

(6.3)

mj yj
j=1

h

k

ni xi = nx,
i=1

h

ni xi .b =

j=1

h

ni x2 = nx2 ,
i

mj yj = ny,
i=1

2
mj yj = ny 2 ,
j=1

h

a
¯ ’ .’
nij xi yj = nxy v`o (6.3) ta duoc
i=1 j=1

x2 .a + x.b = xy (i)

x.a + nb = y (ii)
`
Tu (ii) ta c´ b = y − a.x
o
’
Thay b v`o yx = ax + b ta suy ra
a
yx − y = a(x − x)

’’
Ta t` a boi
ım
a=

k
i=1

(6.4)

nij xi yj − ( k ni xi )( h mj yj )
n2 xy − nx.ny
j=1
i=1
=
n k ni x2 − ( k ni xi )2
n.nx2 − (nx)2
i
i=1
i=1

h
j=1

=

xy − x.y
xy − x.y
=
2 − (x)2
s2
x
x

´
´
˜
`
T´m lai, ta t` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b voi a =
o .
ım o
e ınh a
’

xy − x.y
, b = y − ax .
s2
x

Ch´ y
u´

´ . ´
i) Ta biˆt hˆ sˆ tuong quan rXY =
e e o ’’

xy − xy
sy
nˆn a = rXY
e
sx .sy
sx

Thay a v`o (6.4) ta c´
a
o
yx − y = rXY

sy
(x − x)
sx

hay
(x − x)
yx − y
= rXY
sy
sx
´
˜
`
`

Tu phuong tr` n`y ta c´ thˆ’ suy ra phuong tr` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax+b
ınh a
o e
ınh o
e ınh a
’
’’
’’
mˆt c´ch thuˆn loi hon v` thˆng qua viˆc t` rXY ta da t´ sx , sy .
o a
a .’ ’ ı o
e ım
¯˜ ınh
.
.
.
’
´
ii) Khi c´c gi´ tri cua X, Y kh´ lon, ta c´ thˆ’ d`ng ph´p dˆi biˆn
a
a . ’
a ´
o e u
e ¯o e
’
ui =

xi − x0
hx

(∀i = 1, k);

vj =

yj − y0
hy

(∀j = 1, h)


`
3. Hˆi qui
o

109

trong d´
¯o
´
´ a o
* x0 , y0 l` nhung gi´ tri t`y y (thuong chon x0 , y0 l` gi´ tri cua X, Y ung voi tˆn sˆ
a ˜
a . u ´
a a . ’
’ ` ´
’
’
’`
’
.

´
´
’
nij lon nhˆt trong bang tuong quan thuc nghiˆm),
a
e
’
’’
.
.’
´ ´
’
* hx , hy l` c´c gi´ tri t`y y (thuong chon hx , hy l` khoang c´ch c´c gi´ tri kˆ tiˆp
a a
a . u ´
a
a
a
a . e e
’
’`
.
’
nhau cua X, Y).
´ ’
´
´
´
`
’

Lˆp bang tuong quan dˆi voi c´c biˆn moi U, V v` t´ to´n c´c gi´ tri cˆn thiˆt ta
a
¯o ´ a
e
a ınh a a a . a
e
’
’’
.
´
˜
`
t` duoc h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu
ım ¯ ’ .’ a
o
e ınh a
vu = a0 .u + b0
trong d´
¯o
a0 =

uv − u.v
,
s2
u

b0 = v − a0 .u

´
´

¯ ’ .’ ım ’’ o
Khi d´ ta suy ra h`m yx = ax + b voi a, b duoc t` boi cˆng thuc
¯o
a
’
’
a = a0

hy
,
hx

b = y0 + b0 .hy − a0 .

hy
.x0
hx

´
˜
`
’
• V´ du 4 X´c d. nh hˆ sˆ tuong quan v` h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu yx = ax + b cua
ı .
a ¯i
e o ’’
a a
o
e ınh a
. ´

˜
’’ ’
c´c dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y cho boi bang tuong quan thuc nghiˆm sau:
a ¯. ’ ’
a
e
a
e
’’
.
.’
X
Y
10
20
30

1

2

3

30
1

1
48

20

’
Giai
’
Ta lˆp bang sau
a
.
X
Y
10

|20

30

1200
60

20
20
20

31
62
124

60
|30
|1

4320
49
147
441

|1
|48

mj yj

2
mj yj

200

2000

31

3

200

20

ni
ni xi
ni x2
i

2

mj
20

1

620

12400

49

1470

44100

n=100
x = 229
x2 = 585

y = 2290

y 2 = 58500
xy = 5840


´ ’’
`
Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui

’’
y
e
a a
o

110

xy = 200 + 1200 + 60 + 60 + 4320 = 5840
` e o
Phˆn trˆn g´c tr´i cua ˆ ghi c´c t´ nij xi yj . Ta c´
a
a ’ o
a ıch
o
x=

x2 =

229
= 2, 29;
100

585
= 5, 58;
100

y2 =

y=

2290
= 22, 9;
100

58500
= 585
100

xy =

5840
= 58, 4;
100

=⇒

sx ≈ 0, 78

s2 = x2 − (x)2 = 5, 85 − (2, 29)2 ≈ 0, 6059
x
y 2 − (y)2 =

sy =
Do d´
¯o
a=

585 − (22, 9)2 ≈ 7, 78

xy − x.y
58, 4 − 2, 29 × 22, 9
=
= 9, 835
2
sx
0, 6059

b = y − a.x = 22, 9 − 9, 835 × 2, 29 = 0, 378

´
˜
`
H`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` yx = 9, 835x + 0, 378
a
o
e ınh a a
Hˆ sˆ tuong quan l`
e o ’’
a
. ´
rxy =

4.

xy − x.y
58, 4 − 2, 29 × 22, 9
=
≈ 0, 982
sx .sy

0, 78 × 7, 78

`
ˆ
BAI TAP
.
˜
’’ ’
1. Cho c´c gi´ tri quan s´t cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v` Y o bang sau:
a
a .
a ’
¯ . ’ .’
a
e
a
X
Y

5
20

10
20

10
30

10
30

15
30

15
40

15
50

20
50

20
60

20
60

´
´
`
’ ’’
Gia su X v` Y c´ su phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´
a
o .’
o ’’
e ınh. T` h`m hˆi qui tuyˆn
ım a
o

e
.
.
˜
t´ mˆu: y x = ax + b.
ınh a
´
’
2. Nguoi ta do chiˆu d`i vˆt duc v` khuˆn th` thˆy ch´ng lˆch khoi qui d.nh nhusau:
¯
e` a a ¯´ a
o
ı a
u
e
¯i
’
’`
’
.
.
X
Y

0.90
-0,30

1,22
0,10

1,32
0,70

0,77
-0,28

1,30
0,25

1,20
0,02

1,32
0,37

0,95
-0,70

0,45
0,55

1,30
0,35

1,20
0,32

Trong do X, Y l` c´c dˆ lˆch.
¯´
a a ¯o e

. .
X´c d.nh hˆ sˆ tuong quan.
a ¯i
e o ’’
. ´
’
`
´ .
´
´
’
3. Sˆ liˆu thˆng kˆ nham nghiˆn cuu quan hˆ giua tˆng san phˆm nˆng nghiˆp Y voi
o e
o
e ˘
e ´
e ˜ o
a
o
e
’
’
. ’ ’
.
’
´
’
tˆng gi´ tri t`i san cˆ d.nh X cua 10 nˆng trai (t´ trˆn 100 ha) nhu sau:
o
a . a ’ o ¯i

o
ınh e
’
.


111

4. B`i tˆp
a a
.

X
Y

11,3
13,2

12,9
15,6

13,6
17,2

16,8
18,8

18,8
20,2

20,0
23,9

22,2
22,4

23,7
23,0

26,6
24,4

27,5
24,6

´
˜
`
X´c d.nh duong hˆi qui tuyˆn t´ mˆu y x = ax + b. Sau do t` phuong sai sai
a ¯i
¯ ’`
o
e ınh a
¯´ ım
’
’’
´ thuc nghiˆm v` khoang tin cˆy 95% cho hˆ sˆ g´c cua duong hˆi qui trˆn.
´ o ’ ¯ ’`
`
’

sˆ .’
o
e
a
a
e o
o
e
’
.
.
.
´
’
’
4. ¯ o chiˆu cao X (cm) v` trong luong Y (kg) cua 100 hoc sinh, ta duoc kˆt qua sau:
D
e`
a .
¯ ’ .’ e
’ .’
.
X
Y
35
40
45
50
55

−
−
−
−
−

145 − 150

40
45
50
55
60

150 − 155

3
5

155 − 160

160 − 165

165 − 170

20
15

6
12

6

5
4

10
14

´
´ .
´
`
’
Gia thuyˆt X v` Y c´ mˆ phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´
e
a
o o
o ’’
e ınh. T` c´c h`m hˆi qui
ım a a
o
.
a) y x = ax + b;
b) xy = cy + d
´
5. Theo d˜i luong phˆn b´n v` n˘ng suˆt l´a cua 100 hecta l´a o mˆt v`ng, ta thu
o ’ .’
a o a a
a u ’
u ’’ o u

.
´ .
duoc bang sˆ liˆu sau:
¯ ’ .’ ’
o e
X
Y
2,2
2,6
3,0
3,4
3,8
4,2

120
2
5

140

3
11

160

180

8
15
10

4
17
6

200

7
12

´
´
Trong do X l` phˆn b´n (kg/ha) v` Y l` n˘ng suˆt l´a (tˆn/ha).
¯´
a a o
a
a a
a u
a
´
a) H˜y uoc luong hˆ sˆ tuong quan tuyˆn t´ r.
a ’ ´ ’ .’
e o ’’
e ınh
’
. ´
´
b) T` phuong tr` tuong quan tuyˆn t´
ım
ınh ’ ’

e ınh: y x = ax + b.
’’
´
’’ ’
’
6. ¯ o chiˆu cao v` duong k´ cua mˆt loai cˆy, ta duoc kˆt qua cho bo bang sau:
D
e`
a ¯ ’`
ınh ’
o
¯ ’ .’ e
’
.
. a
X
Y
30
35
40
45
50

6

8

10

12

14

2

17
10
3

9
17
24
6
2

3
9
16
24
11

13
12
22


112

´ ’’
`

Chuong 6. L´ thuyˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
’’
y
e
a a
o

Trong do X l` duong k´ (cm) v` Y l` chiˆu cao (m).
¯´
a ¯ ’`
ınh
a
a
e`
’
´
˜
a) X´c d.nh hˆ sˆ tuong quan tuyˆn t´ mˆu r.
a ¯i
e o ’’
e ınh a
. ´
´
˜
`
b) T` c´c phuong tr` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu.
ım a
ınh o
e ınh a
’’

’
´
´
c) C´c phuong tr` trˆn s˜ thay dˆi nhu thˆ n`o nˆu X duoc t´ theo don vi l`
a
ınh e e
¯o
¯ ’ .’ ınh
¯’ . a
’’
’ e a e
m´t (m)?
e
’ `
`
ˆ
’
•
2 TRA LOI BAI TAP
.
1. x = 14, y = 39, y x = 8 x + 5 .
3
3
2. r = −0, 3096.
3. y x = 0, 67x + 7, 18, σ 2 = 1, 126, (0, 6280 ; 0, 7176).
4. a) y x = 0, 7018x − 61, 5537, b) xy = 0, 91y + 112, 96.
5. r = 0, 8165; y x = 0, 017x + 0, 5622.
6. a) r = 0, 69, b) y x = 0, 218x + 2, 434, xy = 2, 18y + 15, 87.
c) y x = 21, 8x + 2, 434, xy = 0, 0218y + 0, 1587.