Dạng 6 phương trình mũ logarit chứa tham số 01

HQ MATHS – 0827.360.796 –

DẠNG 6

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x + (4m − 1)2 x + 3m2 − 1 = 0 có
hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1
A. m = −1 .
B. m = 1 .
C. m = 1 .
D. m = 0 .
2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 3 x − m log 3 x + 1 = 0 có hai
nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 = 81
A. m = 4 .
B. m = −3 .
C. m = −4 .
D. m = 3 .
2
Cho phương trình ( m + 1) log 2 x + 2 log 2 x + ( m − 2 ) = 0 . Tìm tập hợp các giá trị m để phương
trình có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn 0  x1  1  x2
A. ( 2; + ) .

Câu 4:

D. ( −; −1) .

B. ( −; −1)  ( 2; + ) . C. ( −1; 2 ) .

Hỏi có bao nhiêu số nguyên m  ( −2018; 2018 ) để phương trình 4 x − 2 ( m + 1) 2 x + 3m − 8 = 0

có hai nghiệm trái dấu?
A. 2025 .
B. 2008 .

C. 2005 .

(

D. 6 .

x +1

)  m + x có nghiệm

Câu 5:

Tìm tất cả các tham số thực m là để bất phương trình log 2 4 + 2

Câu 6:

A. m  4 .
B. m  1 .
C. m  2ln 2 .
D. m  4 .
2
2
Cho phương trình ( m − 1) log 3 x + ( 2016 − m ) log 3 x + m − 2017 = 0 . Có tất cả bao nhiêu số

x

ngun m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 0  x1  1  x2 ?
A. 2013 .
B. 2018 .
C. 2014 .
D. 2015
Câu 7:

Câu 8:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 2:

Phương trình Mũ – Logarit chứa tham số 01

(

)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x − 6 x − 9 x = m 3x.2 x +1 − 9 x có 2
nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 

log 5
?
log 2 − log 3

A. m  6 .

1
C. −  m  6 .

2

B. 1  m  5 .

D. 1  m  6

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 1:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để phương trình log 22 x + ( m + 1) log 2 x − 8 = 0 có
hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x22 = 1 . Tính tổng các phần tử của S .
A. −2 .
B. 4 .
C. −1 .
D. −3 .

Câu 9:

(

)

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 4 x+1 + 41− x = ( m + 1) 22+ x − 22− x + 16 − 8m có

nghiệm thuộc đoạn  0;1 .
A. 5 .
B. 2 .

C. 4 .
Câu 10: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
log 22 2 x − 2 ( m + 1) log 2 x − 2  0 có nghiệm thuộc khoảng

A. ( 0; + ) .

 3 
B.  − ;0  .
 4 

(

D. 3 .

)

2; + .

 3

C.  − ; +  .
 4


D. ( −; 0 ) .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

1


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 11:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình log 22 x − 2log 2 x + 3m − 2  0 có
nghiệm.
2
A. m  1 .
B. m  1 .
C. m  0
D. m  .
3

Câu 12:

Biết phương trình a log 2 x + b log x + 5 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
x1 .x2 = 102018 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng.
A. b = −2018a .
B. a = 2018b .

C. b = 2018a

D. a = −2018b .

Xét các số nguyên dương a và b sao cho phương trình a ln 2 x + b ln x + 6 = 0 có hai nghiệm

phân biệt x1 , x2 và phương trình 6log 2 x + b log x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 sao
cho x1 x2  x3 x4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 3b .
A. 33 .
B. 30 .
C. 24 .
D. 35 .
2
Câu 14: Tìm tập hợp giá trị thực của tham số m để phương trình log 2 x + 2log 2 x + m = 0 có hai
nghiệm thực x1 , x2 thoả mãn 0  x1  4  x2 .
A. m  0 .
B. m  −4 .
C. m  −8 .
D. −8  m  −4 .
2
Câu 15: Tìm tập hợp giá trị thực của tham số m để phương trình log x − 2 ( m + 1) log x + 4 = 0 có hai
nghiệm thục 0  x1  10  x2
3
.
D. m  3 .
2
Câu 16: Xét các số nguyên dương a và b sao cho phương trình a.100 x − b.10 x + 5 = 0 có hai nghiệm
thực phân biệt x1 , x2 và phương trình e 2 x − be x + 5a = 0 có hai nghiệm thực phân biệt x3 , x4

A. m  −1 .

B. m  −3 .

C. m 

x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 =

1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
9
B. −3  m  −1 .
C. 2  m  3 .

A. 1  m  2 .
D. −1  m  1 .
2
2
Câu 19: Cho phương trình log 2 x − 4log 2 x − m − 2m + 3 = 0 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực
của tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 68 .
Tính tổng các phần tử của S .
A. −1 .
B. −2 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 20: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m + 1) 16 x − ( 2m − 3 ) 22 x+1 + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
6
3
3
A. −  m  −1 .
B. −4  m  −1 .
C. −  m  −1 .
D. −1  m  .
5
2
2

x−2
− x+ 2
− 18 = 0 có hai nghiệm thực
Câu 21: Có bao nhiêu số ngun m để phương trình 3 + m.3

phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2  6 :
HQ MATHS –

2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

thỏa mãn x3 + x4  10 ( x1 + x2 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b .
A. 9 .
B. 11 .
C. 10 .
D. 13 .
2
Câu 17: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log 3 x − m log 3 x + 2m − 7 = 0 có hai nghiệm
thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 = 81 .
A. m = −4 .
B. m = 4 .
C. m = 44 .
D. m = 9 .
1
Câu 18: Cho phương trình 4log 92 x + m log 1 x + log 1 x + m − 3 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt
6
3

3

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 13:


HQ MATHS – 0827.360.796 –
A. 70 .
Câu 22:

B. 7 .

(

Cho phương trình 3 + 5

)

x

(

+m 3− 5

)

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

C. 8 .

x

D. 71 .

= 3.2 x . Gọi S là tập hợp giá trị thực của m để

phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S  ( 0; 3 ) .
B. S = ( 0; 2 ) .
C. S = ( 0; 3 ) .
D. S  ( 0; 2 ) .
Câu 23:

Cho hai số nguyên dương a, b và phương trình 9 x − b ( 3e ) + a.e 2 x = 0 có hai nghiệm thực
x

(

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2  10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b
A. 5
B. 7
C. 16
D. 12
x
x +1
2
Câu 24: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4 − m.2 + m − 1 = 0 có hai nghiệm thực
phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 = 4

17
5
9
A. m = 17 .
B. m =
.
C. m = .
D. m = .
15
3
7
2
2
Câu 25: Cho phương trình log a ( x − 1) − 4log a ( x − 1) − 4 2 + m = 0 với 0  a  1, m  . Tìm giá trị

)

thực của a để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 .x2 = x1 + x2 + 15 .
C. a = 4 15 .

D. a = 4 17 .

Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 62 x+1 − 5.6 x + m = 0 có hai nghiệm
âm phân biệt.
5
25
25
5
A. 0  m  .
B. 0  m  .

C. 0  m  .
D. 0  m  .
6
24
4
4
2
Câu 27: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a ln x + b ln x + 10 = 0 có hai nghiệm
thực phân biệt x1 , x2 và phương trình 10log 2 x + b log x + a = 0 có hai nghiệm thực phân biệt
x3 , x4 thoả mãn x1 x2  x3 x4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 3b
A. 55 .
B. 46 .
C. 43 .
D. 53 .
2x
x
Câu 28: Có bao nhiêu số ngun m để phương trình e − 10e + m = 0 có hai nghiệm trái dấu.
A. 10 .
B. 24 .
C. 8 .
D. 23 .

(

)

Câu 29: Cho phương trình 8x − 3m.4 x + 3 m2 − 1 2 x + 3m − 29 = 0 .Tập hợp tất cả các giá trị thực của
m để phương trình có ba nghiệm phân biệt là khoảng ( a; b ) . Tính S = a + 3b .

A. S = 30 .

B. S = 3 + 3 3 31
C. S = 10 .
D. S = 9 + 3 31 .
Câu 30: Cho phương trình log 2 ( x + 1) + ( 2 m − 9 ) log ( x + 1) − m2 − 1 = 0 .Tìm giá trị thực của tham số
m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thoả mãn x1 x2 + x1 + x2 = 999 .
A. m = 0 .
B. m = 6 .
C. m = 3 .
D. m = 12 .

(

)

(

HQ MATHS – 0827.360.796 –

B. a = 4 .

A. a = 2 .

)

Câu 31: Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình 27 x − m32 x+1 + m2 − 1 3x+1 − m2 − 1 = 0
có ba nghiệm thực phân biệt là khoảng ( a; b ) . Tính S = a + b .

A. S = 2 .
B. S = 1 + 3 .
C. S = 2 + 2 .

D. S = 1 + 2 + 3 .
Câu 32: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
8 x − m22 x+1 + 2m2 − 1 2 x + m − m3 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt là khoảng ( a; b ) . Tính

(

)

S = ab .

A. S =

2 3
.
3

B. S =

4
.
3

C. S =

3
.
2

D. S =

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

2
.
3

HQ MATHS –

3


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

(

Câu 33: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 + 3

) (
x

có hai nghiệm thực phân biệt.
3

A. ( 2; + ) .
B.  ; +  .
2


1

C.  ; +  .
2

Câu 34: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình

)

x2

(

+m 7+3 5

)

x2

= 2x

2

−1

)

x

= 2m − 1

D. ( 3; + ) .

có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

1  1 
B.  −; −   0;  .
2   16 


1  1 
D.  −; −     .
2   16 



1 
A.  −;  .
16 

 1 1
C.  − ;  .
 2 16 

Câu 35: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình

(

10 + 1

)

log 3 x

−

A. ( 0; 3 ) .

(

10 − 1

)

log 3 x

= mx có nghiệm dương.

B. ( −; + ) .

D. ( 3; + ) .

C. ( −; 0 )

nghiệm x1 .Phương trình ln 2 x − ( n + 1) ln x + m = 0 có nghiệm x2 .Giá trị nhỏ nhất của
2x1 + x2 2 bằng.

B. 2e + 1 .

A. 3 .

Câu 39:

C. 2e + e 2 .

D. e 2 + 1 .

(

)

Có bao nhiêu số ngun m để phương trình 4 x + 2 x + 27 = 3m 2 x + 1 có hai nghiệm thực
phân biệt.
A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
log 2 cos x − m log cos 2 x − m2 + 4 = 0 vô nghiệm là

(

)

(

B. ( − 2 ; 2] .

A. − 2 ; 6 − 1 .

)

C. − 2 ; 2 .

(

)

D. − 2 ; 6 + 1 .

Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 4 x − m.2 x+1 + 2m2 − 5 = 0 có hai nghiệm thực
phân biệt.
A. 1.
B. 5.
C. 2.
D. 4.
Câu 1:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
9.9 x

2

−2 x

− (2 m + 1)15 x

1 
A.  ;1 
2 
HQ MATHS –

4

2

− 2 x +1

+ (4 m − 2)52 x

2

−4 x+ 2

= 0 có đúng hai nghiệm thực phân biệt.



3− 6   3+ 6
; + 
B.  −;



2   2



“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 36: Có bao nhiêu số nguyên dương của m để phương trình 16 x − 2.12 x + ( m − 2)9 x = 0 có nghiệm
dương
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 3 .
x
x
x
Câu 37: Có bao nhiêu số nguyên của m để phương trình 9 + 3 + 6 = m(3 + 1) có nghiệm thực phân
biệt
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 1 .
2
Câu 38: Với m , n là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn phương trình ln x − ( m + 1) ln + n = 0 có

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

(

7−3 5

+ 2− 3

HQ MATHS – 0827.360.796 –

 3− 6 3+ 6 
D. 
;

 2

2




1
C.  −;   ( 1; + )
2


Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  −
 2018; 2018  để phương trình
2

−2 x

− (2 m + 1)6 x

A. 2012

2

− 2 x +1

+ m.4 2 x

2

−4 x+ 2

B. 2013

= 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;2).

C. 2010

D. 2011

Câu 3:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x − m.2 x+1 + 3m − 3 = 0
có hai nghiệm thực trái dấu.
A. ( −; 2 ) .
B. ( 1; + ) .
C. ( 1; 2 ) .
D. ( 0; 2 ) .

Câu 4:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

9 x − m.3x+1 + 3m2 − 75 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 5 .
B. 4 .
C. 8 .
D. 19 .
x
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 9 − 2m.6 x + m.4 x = 0 có
hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2

Câu 5:

9 
A.   .
4

Câu 6:

Câu 7:

3
B.   .
2

Câu 8:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 91− x + 2 ( m − 1) 31− x + 1 = 0
C. ( −; 0 ) .

D. ( 1; 2 ) .

Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để phương trình 16 x − m.4 x + 25 − m2 có hai nghiệm
thực phân biệt là.
5 2 
;5 .
A. ( 0; 5 ) .
B. 
C. 2 5; 5 .
D. ( −5;0 ) .
 2




(

Câu 9:

9 
D.   .
8 

C. 1 .

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 25x − m.5x + 2m − 5 = 0 có
hai nghiệm trái dấu.
5 
5 
5 
A. ( 0 ; 2 ) .
B.  ; 4  .

C.  ; 5 .
D.  ; 4  .
2 
2 
2 
có hai nghiệm phân biệt
A. ( 1; + ) .
B. ( −; −1) .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

m.9 x

)

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 2:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Với m, n là các số nguyên dương sao cho phương trình ln 2 x − ( m + 1) ln x + n = 0 có hai

nghiệm phân biệt x1 , x2 ; phương trình ln 2 x − ( n + 1) ln x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt
x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 = ( x3 x4 ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2m + 3n bằng
2

A. 51 .

B. 46 .

C. 48 .

D. 53 .

Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln 2 x − m ln x + 2m − 7 = 0 có hai nghiệm thực
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1  x1 x2  81 .
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Câu 11: Với m, n là các số nguyên dương khác 1. Gọi P là tích các nghiệm của phương trình
2018log m x.log n x = 2017 log m x + 2018log n x + 2019 . Khi P nguyên và đạt giá trị nhỏ nhất
thì
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

5


HQ MATHS – 0827.360.796 –
B. m.n = 22017 .

A. m.n = 22020 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

C. m.n = 22019 .

D. m.n = 22018 .

Câu 12: Biết rằng a.log 22 x + b log 2 x + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2  . Khi dó giá trị
lớn nhất của biểu thức P =
A. 2 .

( a − b )( 2a − b )
a(a − b + c)

bằng

B. 5 .

C. 3 .

D. 4 .

nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 0; ln 5 ) . Giá trị của biểu thức a + b bằng
A. 2 .
B. 4 .
C. −6 .
D. −14 .
x
Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4log 225 x − m log 5 − 1 = 0 có hai
5
nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 − 50 x1 x2 + 625  0 ?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn 0; 2020  sao cho với mỗi giá trị a
a
luôn tồn tại số thực x để 3 số 5x +1 + 51− x , và 25x + 25− x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số
2
cộng?
A. 2007 .
B. 2009 .
C. 2010 .
D. 2008 .

x1 − x2 = log 2 +


3
A.  −; −  .
2


3

)

x

(

+ (1 − 2a ) 2 − 3

)

x

− 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ,x 2 thỏa mãn

3 . Khi đó a thuộc khoảng

B. ( 0; + ) .

3

C.  ; +  .
2


 3

D.  − ; +  .
 2


Câu 17: Cho phương trình m ln 2 ( x + 1) − ( x + 2 − m)ln( x + 1) − x − 2 = 0 (1) . Tập hợp tất cả giá trị của
tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0  x1  2  4  x2 là
khoảng ( a; +) . Khi đó, a thuộc khoảng:
A. (3,8; 3,9)
B. (3,7; 3,8) .
C. (3,6; 3,7) .
D. (3,5; 3,6) .
Câu 18: Cho các số thực a,b,c thay đổi sao cho phương trình ln 4 x + a ln 3 x + b ln 2 x + c ln x + 4 = 0 ln
có ít nhất một nghiệm thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 20a2 + 20b2 + 5c 2 bằng:
A. 64

B. 48 .
C. 32 .
D. 24 .
Câu 19: Bất phương trình log 22 x − (2m + 5)log 2 x + m2 + 5m + 4  0 nghiệm đúng với mọi x   2 ; 4 )
khi và chỉ khi
A. m  0 ;1) .
B. m  −
C. m  ( 0 ;1 .
D. m  ( −2 ; 0  .
 2 ; 0) .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

(

Câu 16: Phương trình 2 + 3

Câu 20: Tính tổng T của các giá trị nguyên của tham số m để phương trình e x + ( m2 − m)e − x = 2m có
1
đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn
.
log e
A. T = 28 .

HQ MATHS –

6

B. T = 20 .

C. T = 21 .

D. T = 27 .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 13: Gọi ( a; b ) là tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình 2e 2 x − 8e x − m = 0 có hai


Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

HQ MATHS – 0827.360.796 –

1.C
11.A
21.D
31.D
41.A
51.C
61.D

2.A
12.A
22.A
32.A
42.A

52.C

3.C
13.A
23.B
33.B
43.B
53.C

4.A
14.C
24.B
34.B
44.C
54.D

5.B
15.C
25.A
35.B
45.B
55.B

6.D
16.B
26.B
36.B
46.A
56.B

7.D
17.B
27.A
37.A
47.B
57.D

8.A
18.B
28.C
38.A
48.C
58.B

9.B
19.B
29.B
39.A
49.C
59.A

10.C
20.B
30.C
40.C
50.A
60.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Chọn C
Đặt 2x = t , t  0 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

BẢNG ĐÁP ÁN

Để phương trình 4 x + (4m − 1)2 x + 3m2 − 1 = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1
thì phương trình t 2 + (4 m − 1)t + 3m2 − 1 = 0 có hai nghiệm t1 , t2 dương thỏa mãn t1 .t2 = 2
 4 m2 − 8 m + 5  0
  0


 S  0  4m − 1  0
 m=1
P = 2
 2

 3m − 1 = 2

Câu 2:

Chọn A

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

7

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Đặt log 3 x = t , để phương trình log 23 x − m log 3 x + 1 = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn
x1 x2 = 81 thì phương trình t 2 − mt + 1 = 0 có hai nghiệm t1 , t2 thực thỏa mãn t1 + t2 = 4
2

  0
m − 4  0


m=4

S = 2
m = 4

Câu 3:

Chọn C
Đặt log 2 x = t , Phương trình có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn 0  x1  1  x2 thì phương
trình ( m + 1) t 2 + 2t + ( m − 2 ) = 0 có hai nghiệm t1 , t2 thực thỏa mãn t1  0  t2
 ( m + 1)( m − 2 )  0  −1  m  2

Đặt 2 x = t . Để phương trình 4 x − 2 ( m + 1) 2 x + 3m − 8 = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 trái dấu
thì phương trình g ( t ) = t 2 − 2 ( m + 1) t + 3m − 8 = 0 có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1  1  t2
 ag ( 1)  0  m − 9  0  m  9

Do số nguyên m  ( −2018; 2018 ) và m  9 nên có 2025 số nguyên thỏa mãn.
Câu 5:

Chọn B

(

)

(

)

Bất phương trình log 2 4 x + 2 x+1  m + x  4 x + 2 x+1  2m+ x  4 x − 2 x 2m − 2  0 ( 2 )
Đặt t = 2 x

(

)

Để bất phương trình log 2 4 x + 2 x+1  m + x (1) có nghiệm thì bất phương trình

(

)

t 2 − 2m − 2 t  0 có nghiệm t  0  m  1 .

Câu 6:

Chọn D
Ta có ( m − 1) log 23 x + ( 2016 − m ) log 3 x 2 + m − 2017 = 0
 ( m − 1) log 23 x + 2 ( 2016 − m ) log 3 x + m − 2017 = 0 ( 1)

Đặt t = log 3 x . Phương trình (1) thành: ( m − 1) t 2 + 2 ( 2016 − m ) t + m − 2017 = 0 ( 2 ) .
Có 0  x1  1  x2  log 3 x1  log 3 1  log 3 x2  t1  0  t2 .
Để phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 0  x1  1  x2 thì (2) có 2
nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn t1  0  t2 

m − 2017
 0  1  m  2017 . Mà m nguyên
m −1

nên m  2; 3;...; 2016 . Vậy có tất cả 2015 giá trị m thảo mãn.
Câu 7:

Chọn D

(

)

Ta có 4 x − 6 x − 9 x = m 3x.2 x+1 − 9 x (1)  4 x − (1 + 2m ) 6 x + ( m − 1) 9 x = 0
2x

x

2
2
   − (1 + 2m )   + ( m − 1) = 0

3
3

HQ MATHS –

8

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

ChọnA

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 4:


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

x

2
Đặt t =    0 phương trình (1) thành: t 2 − ( 1 + 2 m ) t + ( m − 1) = 0 ( 2 ) .
3

Để phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thì phương trình (2) có 2 nghiệm t
 = ( 1 + 2m )2 − 4 ( m − 1)  0


 m  1.
dương điều kiện là (1 + 2m )  0

( m − 1)  0
x

x

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

2 1
2 2
Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1 =   , t2 =   .
3
 3

Theo viet t1 .t2 = m − 1 .
x

x

2 1 2 2 2
Mà phải có t1 .t2 =   .   =  
3 3
3

x1 + x2

log 5

 2  log 2 −log 3  2 
 
= 
 3
3

log 2 5
3

= 5  m−1 5  m  6

Kết hợp điều kiện có 1  m  6 .
Chọn A
Xét log 22 x + ( m + 1) log 2 x − 8 = 0 ( 1)
Đặt t = log 2 x thì phương trình trở thành: t 2 + ( m + 1) t − 8 = 0 ( 2 )
Để ( 1) có 2 nghiệm thỏa mãn x1 x22 = 1  phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa mãn
t1 + 2t2 = 0  t1 = −2t2 .

Vì phương trình (2) có P = −8  0 nên phương tình ln có 2 nghiệm t1 , t2 trái dấu
Khi đó, áp dụng định lí Viet cho ( 2 ) thì: t1 .t2 = −8  −2t2 .t2 = −8  t22 = 4  t2 = 2
Trường hợp 1: Xét t2 = 2 là nghiệm của ( 2 )  4 + 2 ( m + 1) − 8 = 0  m = 1
Trường hợp 2: Xét t2 = −2 là nghiệm của ( 2 )  4 − 2 ( m + 1) − 8 = 0  m = −3
Câu 9:

Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là −2 .
Chọn B

(

)

Ta có: 4 x+1 + 41− x = ( m + 1) 22+ x − 22− x + 16 − 8m ( 1)

(

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 8:

)

 4 x+1 + 41− x = m 22+ x − 22− x − 8 + 22+ x − 22− x + 16
m=

4 x +1 + 41− x − 2 2 + x + 2 2 − x − 16 4 x + 4 − x − 2 x + 2 − x − 4
=
22+ x − 22−x − 8
2x − 2− x − 2

Đặt t = 2 x − 2 − x  m =

t2 + 2 − t − 4
 m = f (t ) = t + 1
t−2

Ta có: t = 2 x.ln 2 + 2 − x.ln 2
 3
 5
Vì t ( x )  0 nên t là hàm đồng biến nghĩa là: x  0;1  t  0;   f ( t )  1;  .

 2
 2

Để phương trình ( 1) có nghiệm x  0;1 thì đường thẳng y = m phải cắt đồ thị y = f ( t )
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

9


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 5
 m  1;  . Vì m là số nguyên nên có 2 giá trị của m là: m  1; 2 .
 2
Câu 10: Chọn C

Ta có: log 22 2 x − 2 ( m + 1) log 2 x − 2  0

 ( 1 + log 2 x ) − 2 ( m + 1) log 2 x − 2  0  log 22 x − 2m log 2 x − 1  0 ( 1)
2

)

1

2; + thì t   ; +  .

2


Khi đó: ( 1) trở thành t 2 − 2mt − 1  0  m 
Xét hàm f ( t ) =

t2 − 1
(2)
2t

t2 + 1
1 1
1

 f  ( t ) = + 2  0t   ; + 
2t
2 2t
2


1
 3


Nên f ( t ) là hàm đồng biến khi t   ; +  , khi đó f ( t )   − ; + 
2
 4



Để ( 1) có nghiệm x 

(

)

1
 3


2; + thì ( 2 ) có nghiệm t   ; +   m   − ; +  .
2
 4



Câu 11: Chọn A
Điều kiện x  0 .
Đặt t = log 2 x . Bất phương trình trở thành t 2 − 2t − 2  −3m .
Xét hàm số f (t ) = t 2 − 2t − 2 . Để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi min f (t)  −3m
 −3  −3m  m  1
Câu 12: Chọn A

Điều kiện x  0 . Đặt t = log x . Phương trình trở thành at 2 + bt + 5 = 0 .
Áp dụng định lý Vi-ét ta có
b
−
b
b
b

t1 + t2 = −  log x1 + log x2 = −  log( x1 x2 ) = −  x1 x2 = 10 a .
a
a
a

10

2018

= 10

−

b
a

b
 − = 2018  b = −2018a .
a

Câu 13: Chọn A
Điều kiện: x  0 . Đặt t = ln x; u = log x , khi đó
a ln 2 x + b ln x + 6 = 0  at 2 + bt + 6 = 0 (1) và 6 log 2 x + b log x + a = 0  6u2 + bu + a = 0 ( 2 )

Để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thì
b2 − 24a  0  b2  24a ( * )

Khi đó giả sử phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 ; phương trình ( 2 ) có hai
nghiệm phân biệt u1 , u2 , ta có x1 .x2 = e t +t và x3 .x4 = 10u + u
1

2

1

2

Theo giả thiết ta có x1 x2  x3 x4  e t1 +t2  10u1 +u2  t1 + t2  ( u1 + u2 ) ln10
b
b
6
 −  − ln10  a 
a3.
a
6
ln10

Kết hợp với ( * ) suy ra b2  72  b  9 (do b nguyên dương)
HQ MATHS –

10

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

(

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Đặt t = log 2 x . Với x 


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Do đó S = 2a + 3b  33 . Vậy min S = 33 .
Câu 14: Chọn C
Điều kiện: x  0 . Đặt t = log 2 x , PT  g ( t ) = t 2 + 2t + m = 0 ( 2 )
Phương trình log 22 x + 2log 2 x + m = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thoả mãn 0  x1  4  x2 khi
Phương trình ( 2 ) hai nghiệm thực t1 , t2 thoả mãn t1  2  t2
 g ( 2 )  0  8 + m  0  m  −8 .
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 15: Chọn C
Điều kiện: x  0 . Đặt t = log 2 x , PT  g ( t ) = t 2 − 2 ( m + 1) t + 4 = 0 ( 2 )
Phương trình log 2 x − 2 ( m + 1) log x + 4 = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thoả mãn
0  x1  10  x2 khi phương trình ( 2 ) hai nghiệm thực t1 , t2 thoả mãn
t1  1  t2  g (1)  0  3 − 2m  0  m 

3
.
2

Câu 16: Chọn B

(

Phương trình a.100 x − b.10 x + 5 = 0  at 2 − bt + 5 = 0 t = 10 x  0

(

e 2 x − be x + 5a = 0  s2 − bs + 5a = 0 s = e x  0

) ( 1)

) (2)

HQ MATHS – 0827.360.796 –

1 = b2 − 20a  0

b2 − 20 a  0
 b  0; 5  0

 a  0
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt   a
.
a
 = b2 − 20 a  0
b  0

 2
b

0;
5
a


0

10 x + x ).log e
10 x + x )
 e x .e x  10 (
Điều kiện x3 + x4  10 ( x1 + x2 )  e x + x  e (
3

 e x3 .e x4  10 x1 .10 x2 

10log e

1

4

2

3

4

1

2

10log e

5
 5a   

a

10log e −1

10log e +1

a

10log e −1

5

10log e − 1
 ( 10 log e + 1) log 5 a  10 log e − 1  log 5 a 
 a  5 10log e +1 .
10log e + 1

Giá trị a nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là: a = 3 .
Với a = 3 , ta có b2  20a = 60 . Số nguyên dương b nhỏ nhất thỏa mãn là: b = 8 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của a + b là 11 .
Câu 17: Chọn B
Điều kiện: x  0 . Đặt t = log 3 x , phương trình trở thành: t 2 − mt + 2m − 7 = 0 (1).
Ta có: x1 .x2 = 81  log 3 x1 + log 3 x2 = 4 .
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

11

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 .x2 = 81
 ( 1) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1 + t2 = 4

 = m2 − 4 ( 2m − 7 )  0

 m = 4.
m = 4

Câu 18: Chọn B
Điều kiện x  0 . Phương trình đã cho tương đương với

Nên phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn x1 x2 =

1
9

 ( 1) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn t1 + t2 = −2
2


1
 =  m +  − 4 ( m − 3 )  0
7

3



 m = −  ( −3; −1) .
3
1

m
+
=
−
2

3

Câu 19: Chọn B
Điều kiện xác định x  0 .
t = 1 − m
Đặt log 2 x = t , ta có phương trình t 2 − 4t + ( 1 − m )( m + 3 ) = 0  
.
t = m + 3
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 khi và chỉ khi

1 − m  m + 3  m  −1 .

Ta có log 2 x1 = 1 − m  x1 = 21−m và log 2 x2 = m + 3  x2 = 2m+ 3 .

(

Từ đó x12 + x22 = 68  21−m

( )

 16. 4m

2

) + (2 )
2

m+ 3

2

= 68 

4
+ 64.4 m = 68
m
4

4m = 1
m = 0
(thỏa mãn).
− 17.4m + 1 = 0   m 1  
4 =
m = −2


16

Như vậy S = −2; 0 . Tổng các các phần tử của S bằng −2 .

Câu 20: Chọn B
Ta có ( m + 1) 16 x − ( 2 m − 3 ) 2 2 x +1 + 6 m + 5 = 0  ( m + 1) 16 x − 2 ( 2 m − 3 ) 4 x + 6 m + 5 = 0
Đặt 4 x = t  0 ta có phương trình ( m + 1) t 2 − 2 ( 2 m − 3 ) t + 6 m + 5 = 0 ( * )

HQ MATHS –

12

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

1

1
 t 2 −  m +  t + m − 3 = 0 (1). Ta có: x1 x2 =  log 3 x1 + log 3 x2 = −2
9
3


Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

2


1
1

1

4  log 3 x  − m log 3 x + . ( −2 ) log 3 x + m − 3 = 0  log 23 x −  m +  log 3 x + m − 3 = 0
3
6

2



HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu x1  0  x2  4 x  1  4 x . Khi đó,
1

2

phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt t1 , t 2 thỏa mãn t1  1  t2 .
Đặt f ( t ) = ( m + 1) t 2 − 2 ( 2m − 3 ) t + 6m + 5 .
Điều kiện để phương trình ( * ) có hai nghiệm 0  t1  1  t2 là
( m + 1) ( m + 1) .0 2 − 2 ( 2m − 3 ) .0 + 6 m + 5   0
( m + 1) f ( 0 )  0





2
( m + 1) f ( 1)  0
( m + 1) ( m + 1) .1 − 2 ( 2m − 3 ) .1 + 6 m + 5   0

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

( m + 1)( 6 m + 5 )  0
( m + 1)( 6 m + 5 )  0
 −4  m  −1 .


m
+
1
3
m
+
12

0
m
+
1
3
m
+
12

0
(
)(
)
(

)(
)


Câu 21: Chọn D
m
2 x−2
Ta có 3x−2 + m.3− x+ 2 − 18 = 0  3x − 2 + x − 2 − 18 = 0  3 ( ) − 18.3x − 2 + m = 0 ( 1)
3

Đặt t = 3x − 2 , t  0 ta được phương trình: t 2 − 18t + m = 0 ( 2 )

Phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2  6 khi phương trình ( 2 )
  0
81 − m  0


 S  0  S = 18  0  9  m  81
P  9
m  9


m

 m  10,11,12,...,80  có 71 số nguyên thỏa yêu cầu.

Câu 22: Chọn A

(

Ta có 3 + 5

)

x

(

+m 3− 5

2x

)

x

(

= 3.2 x  3 + 5

)

2x

(

)

x

− 3. 3 + 5 2 x + m2 2 x = 0

x

 3+ 5 
3+ 5 

 − 3. 
 + m = 0 ( 1)
 2 
 2 




x

 3+ 5 
2
Đặt t = 
 , t  0 ta được phương trình: t − 3.t + m = 0 ( 2 )
 2 



Phương trình ( 1) có hai nghiệm thực phân biệt khi phương trình ( 2 ) có hai nghiệm dương

HQ MATHS – 0827.360.796 –

có 2 nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 thỏa mãn t1 .t2  9

phân biệt
9 − 4 m  0
  0
9
 9


 S  0  S = 3  0  0  m 
 S =  0;   S  ( 0; 3 )
4
 4
m  0
P  0


Câu 23: Chọn B
Ta có 9 − b ( 3e ) + a.e
x

x

2x

2x

= 0  3 − b3 .e + a.e
2x

x

x

2x

x

3
 3
= 0    − b   + a = 0 ( 1)
e
e

x

3
Đặt t =   , t  0 ta được phương trình t 2 − bt + a = 0 ( 2 )
e
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

13


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Phương trình ( 1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2  10 khi phương trình

10

( 2 ) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 thỏa mãn t1 .t2   3e  .
 

5

 2
3
  0
b  2  
b − 4 a  0



 e  . Vì
 S  0  b  0

a, b 
10
P  0

 3
10

a   3 
a   e 


  

  e 

+

a  3
nên 
S = a+b 7
b  4

Đặt t = 2 x , t  0 ta được phương trình t 2 − 2m.t + m2 − 1 = 0 ( 2 )
Phương trình ( 1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 = 4 khi phương trình

( 2 ) có hai nghiệm dương phân biệt t ; t
1

2

thỏa mãn t1 = 16t2 .

  = 1  0
  0


Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2  S  0  2m  0  m  1
P  0
m2 − 1  0





2m
t
=
2

17t = 2 m
t + t = 2m

17
 2

Ta có  1 2
t1 = 16t2
t1 = 16t2
t = 32m
 1
17


17
m = ( n)
2

17
64
m
15
Ta có t1 .t2 = m2 − 1 
. Vậy m =
= m2 − 1  225m2 = 289  

15
289
 m = − 17 l
(
)

15
Câu 25: Chọn A

x  0
Điều kiện: 
. Ta có log 2a ( x − 1) − 4log a ( x − 1) − 4 2 + m2 = 0 ( 1)
1

a

0


(

(

)

)

Đặt t = log a ( x − 1) . Ta được phương trình t 2 − 4t − 4 2 + m2 = 0 ( 2 )
Phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 .x2 = x1 + x2 + 15 khi phương
trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt t1 ; t2 thỏa mãn t1 + t2 = log a 16

(

)

 = 4 m2 + 3  0 m
  0
a=2



S
=
log
16
log
16
=
4
a

 a

Câu 26: Chọn B
Ta có: 62 x+1 − 5.6 x + m = 0  6.62x − 5.6 x + m = 0 .
HQ MATHS –

14

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 24: Chọn B
Ta có 4 x − m.2 x+1 + m2 − 1 = 0  22 x − 2m.2 x + m2 − 1 = 0 ( 1)

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b là 7


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Đặt t = 6 x , phương trình trở thành 6t 2 − 5.6t + m = 0 (1).
Để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân
5
biệt thoả 0  t1  t2  1 . Để ý tổng hai nghiệm của phương trình (1) nếu có là t1 + t2 =  1 .
6
Suy ra điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả điều kiện bài tốn là:

25
m


 = 25 − 24m  0


24  0  m  25


24
t1 .t2  0
m  0
 6
Câu 27: Chọn A
Điều kiện để mỗi phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là b2  40a
b
−
b
Khi đó − = ln x1 + ln x2 = ln ( x1 x2 ) → x1 x2 = e a
a

Và −

b
−
b
= log x3 + log x4 = log ( x3 x4 )  x3 x4 = 10 10
10

Do đó ta có bpt e

−

b
a

 10

−

b
10

b
b
10
 −  − ln10  a 
 4,342 .
a
10
ln10

Suy ra a  5 → b2  200  S  10 + 45 = 55

HQ MATHS – 0827.360.796 –

 11 7 
Vậy phương trình có 6 nghiệm thuộc đoạn  −
; .
 4 2 

Câu 28: Chọn C
Đặt t = e x ( t  0 ), phương trình trở thành t 2 − 10t + m = 0 (1).
Với x1  0  x2  t1  1  t2 .
Để phương trình (1) có hai nghiệm thoả điều kiện đó thì:
af ( 0 )  0

m  0

0m9

m − 9  0
af ( 1)  0

Câu 29: Chọn B

(

)

Đặt t = 2 x , phương trình trở thành t 3 − 3mt 2 + 3 m2 − 1 t + 3m − 29 = 0

(

(

)

)

Xét hàm số y = t 3 − 3mt 2 + 3 m2 − 1 t + 3m − 29 , y ' = 3t 2 − 6mt + 3 m2 − 1 .
t = m − 1
y = 0  
t = m + 1
Để y = 0 có ba nghiệm phân biệt ta phải có điều kiện sau:
 y ( m − 1) y ( m + 1 )  0
 yCD .yCT  0


29


1  m  3
 m − 1  0

 xCD  0
y 0  0
 3m − 29  0
 m3 − 27 m3 − 31  0

 ( )


(

)(

)

 3  m  3 31

Vậy S = 3 + 3 31
Câu 30: Chọn C
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

15

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Ta có: 9 − 2 m = log ( x1 + 1) + log ( x2 + 1) = log ( x1 x2 + x1 + x2 + 1) = log1000 = 3
Suy ra m = 3 .
Thay vào phương trình thử lại ta được:
 x = 99999
log ( x + 1) = 5
thoả điều kiện bài toán.
log ( x + 1) − 3log ( x + 1) − 10 = 0  

 x = − 99
log
x
+
1
=
−
2
( )


100
2

Câu 31: Chọn D

(

)

(

(

)

)

(

)

27 x − m32 x+1 + m2 − 1 3x+1 − m2 − 1 = 0  33 x − 3m32 x + 3 m2 − 1 3x − m2 − 1 = 0 ( * )

) (

)

Phương trình (*) có ba nghiệm thực khi và chỉ khi phươg trình (**) có ba nghiệm thực phân
biệt lớn hơn 0.

(

) (

)

(

)

Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 3mt 2 + 3 m2 − 1 t − m2 − 1 , f  ( t ) = 3t 2 − 6mt + 3 m2 − 1 .
Ta có f  ( t ) = 0 ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m và t1 = m − 1, t2 = m + 1 là hai
nghiệm của phương trình.

(
(

)

 m 2 − 3 ( m − 1)  0
 f ( t1 )  0


 m 2 − 2 m − 1 ( m + 1)  0
 f ( t2 )  0

Yêu cầu của bài toán tương đương với 
m − 1  0
t1  0
 2
 f (0)  0

−m + 1  0

 3  m  1+ 2 .

Vậy
Câu 32: Chọn A

(

(

)

)

)

8 x − m22 x+1 + 2m2 − 1 2 x + m − m3 = 0  8 x − 2m22 x + 2m2 − 1 2 x + m − m3 = 0 ( * ) .

Đặt 2 x = t ( t  0 ) .

(

)

Phương trình (*) có dạng  t 3 − 2mt 2 + 2m2 − 1 t + m − m3 = 0 ( * * ) .
Phương trình (*) có ba nghiệm thực khi và chỉ khi phươg trình (**) có ba nghiệm thực phân
biệt lớn hơn 0.
t = m ( 1)
t 3 − 2mt 2 + 2m2 − 1 t + m − m3 = 0  ( t − m ) t 2 − mt + m2 − 1 = 0   2
2
t − mt + m − 1 = 0 ( 2 )
Yêu cầu bài toán tương đươg với: m  0 và phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
khác m .

m  1
m  1

2
2
2
m − m + m − 1  0

− 2  m  2
2
2

−
m
3
2
 3
  0
 3
 1 m 
Hay 
.
3 
3
m  0
m  0
S  0
 2
  m  −1
P  0


m − 1  0

  m  1

(

HQ MATHS –

16

)

(

)

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

(

Phương trình (*) có dạng  t 3 − 3mt 2 + 3 m2 − 1 t − m2 − 1 = 0 ( * * ) .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Đặt 3x = t ( t  0 ) .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 2 3
Vậy để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt thì m   1;
.


3


Câu 33: Chọn B
x
x
1
Đặt t = 2 + 3  2 − 3 = (Điều kiện: t  0 ).
t
1
1
Ta được phương trình: t + = 2m − 1 ( 1) . Xét hàm số f ( t ) = t + với t  0
t
t
f (t ) = 1 −

) (

)

t = 1 ( nhan )

1 t2 − 1

f
t
=
0

;
.
=

(
)
t2
t2
t = −1 ( loai )

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

(

Bảng biến thiên:

Câu 34: Chọn B

(

Ta có: 7 − 3 5

)

x2

(

+m 7+3 5

7+3 5 
Đặt: t = 



2



x2

)

x2

x2

= 2x

2

−1

x2

7−3 5 
7+3 5 
1

 + m
 = .




2
2
2





( t  1) phương trình trở thành :
1
1
1
+ mt =  mt 2 − t + 1 = 0 ( 1)
t
2
2

Với t = 1 có duy nhất x = 0 ; với t  1 có hai giá trị của x .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

3
.
2

Yêu cầu bài toán  2m − 1  2  m 

Yêu cầu bài toán tương đương với ( 1) :
m = 0  t = 2 (thỏa mãn)
2

1
 =   − 4m = 0
1

2
m=
Phương trình có nghiệm kép lớn hơn 1  
.
16
1

t0 = 4m  1

Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

1 
1

t1  1  t2  af (1)  0  1 m − + 1   0  m  −
2 
2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

17


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 35: Chọn B
Với x  0 thì x = 3log3 x . Khi đó:

(

)

10 + 1

log 3 x

−

(

 10 + 1 
Đặt t = 

 3 



)

10 − 1
log 3 x

log 3 x

 10 + 1 
= mx  

 3 



 10 − 1 


 3 



log 3 x

=

log 3 x

 10 − 1 
−

 3 



log 3 x

=m

1
(Điều kiện: t  0 ). Ta được phương trình:
t

1
t − = m ( 1) .
t
1
với t  0 .
t

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Xét hàm số: f ( t ) = t −
f (t ) = 1 +

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m luôn cắt đồ thị hàm số f ( t ) = t −

1
với
t

HQ MATHS – 0827.360.796 –

1
 0, t  0 .
t2
Bảng biến thiên:

t  0  Phương trình ( 1) ln có nghiệm t  0 với mọi m  Phương trình đã cho ln có

nghiệm dương với mọi m .
Câu 36: Chọn B
2x

x

4
4
16 x − 2.12 x + ( m − 2)9 x = 0    − 2   + m − 2 = 0
3
 3
x

4

Đặt t =   , x  0  t  1
3

Xét hàm số y = t 2 − 2t + m − 2, t  1  y ' = 2t − 2  0 .
Hàm số luôn đồng biến nên y  y(1)  y  m − 3 .
Vậy phương trình có nghiệm dương 0  m − 3  m  3  m = 1  m = 2
Câu 37: Chọn A
9 x + 3x + 6 = m(3x + 1) 

t2 + t + 6
9 x + 3x + 6
.
Xét
hàm
số
y
=
, t = 3x  0
=
m
t +1
(3x + 1)

Phương trình trình 9 x + 3x + 6 = m(3x + 1) có nghiệm thực phân biệt khi vào chỉ khi phương
trình

HQ MATHS –

18

t2 + t + 6
= m có 2 nghiệm dương phân biệt
t +1

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”


HQ MATHS – 0827.360.796 –
y' =

t 2 + 2t − 5

( t + 1)

2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

t = −1 + 6
 y' = 0  
t = −1 − 6

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Từ bảng biến thiên ta có phương trình 9 x + 3x + 6 = m(3x + 1) có nghiệm thực phân biệt khi và
chỉ khi −1 + 2 6  m  6 . Vậy m = 4  m = 5
Câu 38: Chọn A
Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là 1 = ( m + 1) − 4n  0;  2 = ( n + 1) − 4m  0 . Khi
2

2

( )

Do đó 2x1 + x2 2  2e 0 + e 0

2

= 3 . Dấu bằng đạt m = 1 = 0 và x1 = x2 = 1 .

Câu 39: Chọn A
Đặt t = 2 x ( t  0 ) ,phương trình trở thành:

(

)

t 2 + t + 27 = 3m ( t + 1)  t 2 + 1 − 3m t + 27 − 3m = 0

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình cuối có hai nghiệm
 = 1 − 3m 2 − 4 27 − 3m  0


 6 3 − 1  3m  27  log 3 6 3 − 1  m  3 .
dương, tức là S = 3m − 1  0
 P = 27 − 3m  0


Câu 40: Chọn C
Ta có: log 2 cos x − m log cos 2 x − m2 + 4 = 0  log 2 cos x − 2 m log cos x − m2 + 4 = 0 ( 1) .

(

)

(

)

(

)

HQ MATHS – 0827.360.796 –

đó theo cơng thức nghiệm phương trình bậc hai ta có:
2
2
2

m
+
1

m
+
1
−
4
n

m
+
1
−
m
+
1
−
4
n
m
+
1
−
m
+
1
(
)
(
)
(
)
ln x =


=0
1

2

2
2
, m, n  0

2
2
2

n + 1  ( n + 1) − 4 m n + 1 − ( m + 1 ) − 4 n m + 1 − ( m + 1 )
ln x2 =


=0
2
2
2


Đặt t = log cos x .  t  ( −; 0  ( 1) trở thành: t 2 − 2mt − m2 + 4 = 0 ( 2 )
Phương trình (1) vơ nghiệm khi phương trình (2) xảy ra các trường hợp sau:

(

)

Trường hợp 1: phương trình (2) vơ nghiệm, tức là  = 2m2 − 4  0  m  − 2; 2 (3)
Trường hợp 2: phương trình (2) có 2 nghiệm 0  t1  t2 tức là:

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

19


HQ MATHS – 0827.360.796 –
m  2

  m  − 2

  0


a. f (0)  0  −2  m  2 
S  0
m  0





Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

2  m  2 (4)

(

Kết hợp ( 3 ) ; ( 4 ) ta được m  − 2 ; 2

)

( 2).

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm thỏa 0  t1  t2 tức
là:
− 5  m  5

2

10
−m + 5  0
 '  0
m 




2
2

a. f (0)  0  2m − 5  0   

−
10
S  0
 m
m  0


 

2

m  0

10
 m  5 . Do m 
2

nên m = 2 .

Câu 42: Chọn A
Phương trình đã cho tương đương: 32( x

2

− 2 x + 1)

− (2 m + 1)15x

2

− 2 x +1

3 2
3 2
3
 ( )2( x − 2 x +1) − (2 m + 1)( )x − 2 x +1 + 4 m − 2 = 0 (1) . Đặt t =  
5
5
5

+ (4 m − 2)52( x

2

− 2 x + 1)

x2 − 2 x +1

,0  t  1.

Khi đó phương trình trở thành: t 2 − (2m + 1)t + 4m − 2 = 0 (2)
Ứng với một giá trị t , 0  t  1 ta tìm được hai giá trị của x .
Ta cần tìm m để (2) có một nghiệm t , 0  t  1 .
Ta có  = (2m − 3)2    0
Nếu  = 0  m =

3
, khi đó phương trình (2) có nghiệm t = 2( L) .
2

Nếu   0  m 

3
, khi đó để phương trình (2) có nghiệm 0  t1  1  t2 thì:
2


1
af (0)  0

4 m − 2  0
1
m 


2  m  ( ;1) .

2
af (1)  0
2 m − 2  0
m  1


Câu 43: Chọn B
HQ MATHS –

20

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

=0

HQ MATHS – 0827.360.796 –

(1)  t 2 − 2mt + 2 m2 − 5 = 0

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 41: Chọn A
Ta có: 4 x − m.2 x+1 + 2m2 − 5 = 0 ( 1) . Đặt t = 2 x  t  0