GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ

MỤC LỤC
Trang
Phần 1: Mở đầu
1. Mục đích của sáng kiến
2. Tính mới và những ưu điểm nổi bật của sáng kiến
3. Đóng góp của sáng kiến để nâng cao chất lượng mơn tốn 9
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Khái qt thực trạng vấn đề mà sáng kiến tập trung giải quyết.
Chương 2: Những giải pháp được áp dụng tai đơn vị
Chương 3: Kiểm chứng các giải pháp đã triển khai
Phần 3: Kết luận
1. Những vấn đề quan trọng được đề cập trong sáng kiến
2. Hiệu quả thiết thực của sáng kiến
3. Kiến nghị với các cấp
Phần 4: Phụ lục

1


GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Mục đích của sáng kiến:
Trong luật Giáo dục điều 24 khoản 2 đã ghi “ Phương pháp giáo dục phổ
thơng phải được phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh,
phù hợp với đặc điểm từng lớp hoc, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Với môn Tốn thì yếu tố sáng tạo là vơ cùng cần thiết, nó khơng những địi hỏi
người học phải nắm vững kiến thức mà trên cơ sở đó người học cịn phải biết tổng
hợp các kiến thức mới, kiến thức chưa có sẵn trong sách giáo khoa cũng như sách

bài tập.
Là một giáo viên dạy lớp 9 nhiều năm và trực tiếp tham gia dạy ôn thi vào
Trung học Phổ thông, qua tìm hiểu các đề thi thì nhiều năm có những bài tốn liên
quan đến phương trình bậc hai chứa tham số. Trong khi gặp dạng toán này các em
thường nhầm lẫn, dẫn đến việc bỏ sót các trường hợp nghiệm.
Chính vì lý do trên mà tơi mạnh dạn đưa ra cách giải một số dạng bài tập có liên
quan đến phương trình bậc hai chứa tham số.
2. Tính mới và ưu điểm của sáng kiến:
Sáng kiến hệ thống lý thuyết và các dạng bài tâp về “ Phương trình bậc hai chứa
tham số”
Đối với mỗi dạng bài tập thì việc tổng hợp những lý thuyết có liên quan,
phương pháp giải, ví dụ minh họa và các bài tập tương tự được trình bày cụ thể,
chi tiết giúp học sinh dễ nhớ, dễ thuộc khi giải quyết những bài toán có liên quan.
3. Đóng góp của sáng kiến :


Sáng kiến này được bản thân áp dụng tại trường và triển khai trong tổ Toán của
nhà trường được đồng nghiệp đón nhận và áp dụng vào giảng dạy mơn toán lớp 8
với dạng toán “ Biện luận nghiệm của phương trình bậc nhất chứa tham số ”. Kết
quả đạt được là trong các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi vào Trung học Phổ thơng bài
tốn này góp phần không nhỏ trong tỷ lệ đỗ vào Trung học Phổ thơng . Đặc biệt
trong 6 năm Phịng Giáo dục và Đào tạo tổ chức thi học
sinh giỏi giải toán trên mạng thì năm nào cá nhân tơi hướng dẫn các em cũng đạt
được thành tích đáng khích lệ.
PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ MÀ SÁNG KIẾN
TẬP TRUNG GIẢI QUYẾT:
1. Những thuận lợi và khó khăn:
1.1

Thuận lợi:

- Đây là dạng toán rất quan trọng và là dạng toán đặc trưng của chuyên đề
“Giải và biện luận nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số”.
- Những bài tốn về phương trình bậc hai chứa tham số thường xuất hiện
trong đề thi vào Trung học Phổ thông ở những năm gần đây nên được học sinh chú
ý và ôn luyện.
- Học sinh đã được học về phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et nên các
em khơng bỡ ngỡ khi gặp dạng tốn này.
1.2.Khó khăn:
- Nhiều học sinh cịn ngại khi biến đổi các biểu thức có liên quan tới hệ
thức Vi- et
- Kỹ năng lập luận và biến đổi của các em còn hạn chế.
- Một số dạng tốn trong chun đề cịn mới mẻ với học sinh trung bình và
yếu nên việc giải bài tốn thuộc chun đề này gặp khơng ít khó khăn.
Chương 2 : NHỮNG GIẢI PHÁP ĐÃ ĐƯỢC ÁP DỤNG TẠI ĐƠN VỊ
1. Các bước tiến hành :


+ Trong các tiết dạy chính khóa bản thân tơi đã dạy cho học sinh những
kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai trong sách giáo khoa và sách bài tập. Bên
cạnh đó tơi cịn mở rơng thêm những dạng bài đơn giản như bài toán 1 và bài tốn
2.
+ Trong các buổi dạy thêm và ơn thi vào Trung học Phổ thông tôi đã dậy
cho các em nắm vững kiến thức ở nhiều góc độ khác nhau. Bài tập được nâng lên
từ dễ đến khó, đặc biệt chúng tôi đã chia đối tương học sinh để việc tiếp thu kiến
thức dễ dàng hơn.
+ Đối với học sinh có trình độ yếu, kém dạy cho học sinh làm đến dạng bài
1, bài 2, bài 3 và bài 4 đó là những bài toán cơ bản rèn kĩ năng giải phương trình
bậc hai và hệ phương trình với ẩn là x 1 và x .

2

+ Đối với học sinh trung bình dạy cho các em đến bài tốn 6 . Như vậy đối
tượng học sinh này nắm được tất cả các phương pháp giải các dạng tốn về phương
trình bậc hai có liên quan
+ Đối với đối tượng học sinh khá giỏi dạy cho các em nắm được tất cả các
bài toán . Đặc biệt là dạy cho các em biết nhận dạng , phân loại bài trước khi đi tìm
lời giải
Để học sinh có kĩ năng trong việc giải dạng tốn này thì giáo viên cần có
thời gian cho các em nắm lý thuyết một cách chắc chắn và luyện tập nhiều để tích
lũy kinh nghiệm giải tốn cho các em.
2. Các bài tốn về phương trình bậc hai chứa tham số:
2.1 BÀI TỐN 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm,
có nghiệm kép, vơ nghiệm, có hai nghiệm phân biệt.
Bước 1: Xác định các hệ số a,b,c ( hoặc a,b,c,b ’) Nếu các em chưa thành
thạo.
Bước 2: Tính ∆ hoặc ∆'
Bước 3: Kiểm tra các điều kiện:
+ Nếu ∆ <0 ( hoặc ∆' <0 ) thì phương trình vơ nghiệm.


+ Nếu ∆ = 0 ( hoặc ∆' = 0 ) thì phương trình có nghiệm kép.
+ Nếu ∆ > 0 ( hoặc ∆' >0 )thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
+Nếu ∆ ≥ 0 ( hoặc ∆' ≥ 0 ) thì phương trình có nghiệm.
•

Lưu ý:

- Trong một số bài tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số
a chứa tham số ta phải xét trường hợp a = 0. Sau đó xét trường hợp a ≠ 0 và làm

như các bước ở trên.
- Trong một số bài tốn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm, có
nghiệm kép, vơ nghiệm, có hai nghiệm phân biệt mà hệ số a chứa tham số ta phải
tìm điều kiện để phương trình đó là phương trình bậc hai (a ≠ 0 ).
Ví dụ : Cho phương trình (m - 1)x2 + 2.(m + 2)x + m = 0 (1).
a/ Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
b/ Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
a/ + Khi m - 1 = 0 hay m = 1, phương trình (1) trở thành 6x + 1 = 0.
Đó là phương trình bậc nhất và có nghiệm x =

−1
6

+ Khi m - 1 ≠ 0 hay m ≠ 1. Ta có :
∆' =(m + 2)2 – m(m - 1) = m2 – 4m + 4 – m2 + m = 5m + 4

Để phương trình có nghiệm thì ∆' ≥ 0 , tức là: 5m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥
Kết hợp hai trường hợp ta được khi m ≥

−4
5

−4
thì phương trình (1) có nghiệm.
5
a ≠ 0

b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì 

'
∆ > 0

m ≠ 1
m − 1 ≠ 0

⇔
−4

5m + 4 ≥ 0
m ≥ 5

tức là


Vậy với m ≥

−4
và m ≠ 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
5

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm
a) x2 – x – 2m = 0

b) 5x2 + 3x + m – 1 = 0

c) mx2 - x – 5 = 0

d)( m2 + 1) x2 - 2(m + 3) + 1 = 0

Bài 2: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.
a) 3x2 – 2x + m = 0

b) x2 + 2(m – 1) – 2m + 5 = 0

Bài 3: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau vơ nghiệm
a) (m – 1)x2 + 2x + 11 = 0

b) x2 + (m – 1)x + m – 2 = 0

2.2 BÀI TOÁN 2:Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm, có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số.
Phương pháp giải:
Bước1: Tính ∆ hoặc ∆'
Bước 2: Biến đổi biểu thức ∆ hoặc ∆' về dạng thu gọn nhất
Bước 3: + Chứng minh ∆ ≥ 0 ( hoặc ∆' ≥ 0 ) thì phương trình ln có nghiệm
với mọi giá trị của tham số.
+ Chứng minh ∆ > 0 ( hoặc ∆' >0 ) thì phương trình ln có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số.
( Chú ý sử dụng hằng đẳng thức thứ nhât hoặc thứ hai để biến đổi các biểu
thức thành bình phương của một biểu thức ; hoặc các biểu thức dạng

A; A 2

Đặc biệt ta có thể dựa vào việc chứng minh tích a.c < 0( a và c trái dấu).
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 – (m + 1)x + m = 0 (1) ( x là ẩn, m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi giá trị của m.
Giải:
Ta có ∆ = [ − ( m + 1) ] 2 − 4m = ( m + 1) 2 − 4m = m 2 − 2m + 1 = ( m − 1) 2

Ta thấy ∆ = ( m − 1) 2 ≥ 0, ∀m
Suy ra, phương trình (1) ln có nghiệm với mọi giá trị của m.


Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
(x là ẩn, m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá
trị của m.
Giải:
Ta có
∆' = [ − ( m − 1) ] − ( m − 3) = ( m − 1) − m + 3 = m 2 − 2m + 1 − m + 3 = m 2 − 3m + 4
2

2

2

3
9 7 
3
7
 2
Mà m – 3m + 4 =  m − 2. m +  + =  m −  + > 0, ∀m
2
4 4 
2
4

2

Suy ra, ∆' >0 với mọi m.
Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình ( ẩn x) sau ln có nghiệm hoặc có hai
nghiệm phân biệt.
a) x2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0
b) x2 – 3x + 1 – m = 0
c) x2 + ( m + 3)x + m + 1 = 0
2.3 BÀI TOÁN 3: Xác đinh m để phương trình có một nghiệm bằng α
cho trước. Với m vừa tìm được hãy tìm nghiệm cịn lại.
Phương pháp giải:
Bước1: Thay x = α vào phương trình đã cho, sau đó giải phương trình với
ẩn m để tìm ra giá trị của m
dùng hệ thức Vi –et
Bước2: Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình, sau đó dùng hệ thức
Vi-et để tính nghiệm cịn lại bằng cách x = S – x 1 ( S là tổng hai nghiệm).
2

Ví dụ : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0(1)
Xác định giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng – 1 và sau đó
hãy xác định nghiệm cịn lại của phương trình.


Giải:

+ Thay x = - 1 vào phương trình (1), ta có :
(-1)2 – 2(m – 1).(-1) + 2m – 3 = 0
⇔ 4m − 4 = 0
⇔ m =1

+ Thay m = 1 vào phương trình (1), ta được phương trình :
x − 1 = 0

x = 1

⇔
x2 – 1 = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) = 0 ⇔ 
x + 1 = 0
 x = −1

Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có một nghiệm x = -1 và nghiệm cịn lại
là x = 1
Bài tập áp dụng :
Bài tập 1 : Tìm giá trị của m để các phương trình sau có một nghiệm cho
trước và tìm nghiệm cịn lại .
a)

x2 – (m + 2)x + m + 2 = 0 có một nghiệm x = 1

b)

x2 + 2x + m2 – 2m = 0

có một nghiệm x = -3

c)

mx2 + 2x + 1 – m = 0

có một nghiệm x = 2

2.4 BÀI TỐN 4 : Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai
nghiệm x 1 ,x thỏa mãn điều kiện mx 1 + nx = p(1) (Trong đó m, n là các số cho
2

2

trước)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x 1 ,x ( ∆ ≥ 0
2

hoặc ∆' ≥ 0 ) (*)
Bước 2: Lập hệ thức Vi-et về tổng và tích hai nghiệm của phương trình

x1 + x 2 =
x1 .x 2 =

−b
( 2)
a

c
( 3)
a


Bước 3: Giải hệ phương trình sau để tìm ra x 1 ,x

2

mx1 + nx 2 = p
x1 + x 2 =

−b
a

Bước 4: Thay x 1 ,x vào (3) ⇒ m cần tìm
2

Bước 5 : Đối chiếu giá trị của m tìm được với điều kiện ở bước 1 ⇒ kết luận
*Lưu ý : Cũng có thể kết hợp (1) với (3) để có hệ phương trình như ở bước
3. Tìm được x 1 ,x rồi tiếp tuc làm như ở bước 4 và bước 5
2

Ví dụ : Cho phương trình x2 – 8x + m = 0. Tìm giá trị của m để phương trình
đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x 1 - x = 2(1)
2

Giải:
Ta có ∆' = (-4)2 - m = 16 – m
Để phương trình có hai nghiệm x 1 ,x thì ∆' ≥ 0 tức là 16 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 16(*)
2

Theo hệ thức Vi et ta có : x 1 + x = 8(2) ;x 1 .x = m(3)
2

2

Kết hợp (1) với (2) ta có hệ phương trình :

x1 + x 2 = 8
x1 − x 2 = 2

x1 = 5

⇔

x2 = 3

Thay x 1 = 5, x = 3 vào (3) ta có : m = 5.3 = 15 ( Thỏa mãn điều kiện của *)
2

Vậy với m = 15 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x 1 - x = 2
2

Lưu ý : Các bài tốn tìm m để phương trình bậc hai chứ tham số có hai
nghiệm đối nhau (x 1 = - x ), có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia(x 1 = k x ), có
2

2

nghiệm này lớn hơn nghiệm kia k đơn vị(x 1 = x + k hay (x 1 - x = k), .... ta có thể
2

2

quy về bài tốn 4
2.5 BÀI TỐN 5 : Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai
nghiệm thỏa mãn một biểu thức về x 1 ,x ( sử dụng hệ thức Vi-et)

2

Phương pháp giải :
Bước 1 :Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 ,x
( ∆ ≥ 0 hoặc ∆' ≥ 0 ) (*)

2

2


Bước 2 : Lập hệ thức Vi-et về tổng và tích hai nghiệm của phương trình
x1 + x 2 =
x1 .x 2 =

−b
( 2)
a

c
( 3)
a

Bước 3 : Biến đổi biểu thức ở đầu bài vê dạng tổng hai nghiệm, tích hai
nghiệm. Sau đó thay kết quả ở bước 2 vào biểu thức rồi giải phương trình ẩn m thu
được các biểu thức thường gặp :
a) x12 + x22 = k ⇔ ( x1 + x 2 ) 2 − 2 x1 x2 = k
b) x13 + x 23 = k ⇔ ( x1 + x 2 ) 3 − 3x1 x 2 ( x1 + x2 ) = k
1

x +x

1

1
2
c) x + x = k ⇔ x x = k
1
2
1 2

x
x
x 2 + x 22
( x + x 2 ) − 2 x1 x 2 = k
=k ⇔ 1
d) 1 + 2 = k ⇔ 1
x 2 x1
x1 x 2
x1 x 2
2

Bước 4 :

Đối chiếu giá trị của m tìm được ở bước 3 với điều kiện ở bước 1

⇒ kết luận.

Lưu ý : Các biểu thức khác chúng ta cũng làm tương tự, sử dụng phương pháp
hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, quy đồng phân thức,... để đưa về dạng tơng,

tích các nghiệm.
Ví dụ : Cho phương trình x2 – 4x + m – 1 = 0(1).
Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 12
Giải:
Ta có ∆/ = ( − 2) 2 − ( m − 1) = 4 − m + 1 = 5 − m
Để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ,x thì ∆' ≥ 0 tức là 5 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5 (*)
2

Theo hệ thức Vi –et ta có :

x1 + x 2 = 4
x1 .x 2 = m − 1

Ta có :


x12 + x 22 = 12 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = 12
2

⇔ 4 2 − 2( m − 1 = 12 )
⇔ 16 − 2m + 2 = 12
⇔m=3

Ta thấy m = 3 thỏa mãn điều kiện (*). Vậy với m = 3 thì phương trình(1) có hai
nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 12
2.6 BÀI TỐN 6 : Lập phương trình khi biết hai nghiệm x 1 ,x

2

Trường hợp 1 : Hai nghiệm x 1 ,x là hai số cụ thể

2

Phương pháp giải :
Bước 1 : Tính tổng S = x 1 + x và tích P = x 1 .x
2

2

Bước 2 : Lập phương trình : x 1 ,x là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0
2

Trường hợp 2 : x 1 ,x

2

2

là nghiệm của phương trình ban đầu. Lập phương

trình có nghiệm là biểu thức chứa x 1 ,x

2

Phương pháp giải
Bước 1 : Lập tổng và tích hai nghiệm x 1 ,x đã cho( biến đổi như bài toán 5)
2

Bước 2 : Lập hệ thức Vi –et cho phương trình ban đầu.
Bước 3 : Lập phương trình x2 – Sx + P = 0. Đây là phương trình cần tìm.
Ví dụ : a) Lập phương trình biết hai nghiệm của nó là : x 1 = 7 ; x = 10

2

b) Cho x 1 ,x là nghiệm của phương trình x2 – 2(m – 1)x – 1 = 0(1). Hãy
2

1

1

lập phương trình có hai nghiệm là x 2 và x 2
1
2
Giải
a) Ta có : S = x 1 + x = 7 + 10 = 17
2

P = x 1 .x = 7. 10 = 70
2

Suy ra x 1 ,x là nghiệm của phương trình x2 - 17x + 70 = 0
2

b) Ta nhận thấy a = 1, c = - 1 ⇒ a.c = -1 < 0 ⇒ phương trình (1) ln có hai
nghiệm phân biệt x 1 ,x

2


Theo hệ thức Vi-et ta có :

x1 + x 2 = 2(m−)
x1 .x 2 = −1

S=

x12 + x 22 ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 [ 2( m − 1) ] 2 − 2( − 1)
1
1
+
=
=
=
= 2 2m 2 − 4m + 3
2
2
2
2
x1 x 2
x1 x 2
( x1 x 2 )
( − 1)

P=

1 1
1
1
. 3 =
=
=1

2
2
x1 x 2 ( x1 x 2 )
( − 1) 2

2

Ta có :

(

)

Phương trình cần lập là : x2 – 2(2m2 – 4 + 3)x + 1 = 0
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Lập phương trình có hai nghiệm là :
a) x 1 = 7, x = 10

c) x 1 =

2

b) x 1 = -3, x - 8

5− 6
5+ 6
,x 2 =
2
2

d) x 1 =

2

−1
5
, x2=
3
2

Bài 2 : Cho Phương trình -3x2 + 8x – 2 = 0. Lập phương trình có hai nghiệm
mà nghiệm này gấp đơi mỗi nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 3 : Cho Phương trình x2 – 6x + 4 = 0.Lập phương trình có hai nghiệm bằng
bình phương mỗ nghiệm của phương trình đã cho.
2.7 BÀI TỐN 7 : Tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 ,x .
2

Sau đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức có liên quan
đến nghiệm x 1 ,x

2

Phương pháp giải :
Bước 1 : Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 ,x ( ∆
2

≥ 0 hoặc

∆' ≥ 0 ) (*)
x1 + x 2 =

Bước 2 : Lập hệ thức Vi-et

x1 .x 2 =

−b
( 2)
a

c
( 3)
a

Bước 3 : Biến đổi biểu thức về dạng tổng và tích hai nghiệm để có thể áp dụng
hệ thức Vi- et. Từ đó ta thu được biểu thức bậc hai đối với m.
Các biểu thức thường gặp :


a) x12 + x22 = k ⇔ ( x1 + x 2 ) 2 − 2 x1 x2 = k
b) x13 + x 23 = k ⇔ ( x1 + x 2 ) 3 − 3x1 x 2 ( x1 + x2 ) = k
1

1

x +x

1
2
c) x + x = k ⇔ x x = k
1

2
1 2

x1 x 2
x12 + x 22
( x + x 2 ) − 2 x1 x 2 = k
+
=
k
⇔
=k ⇔ 1
d)
x 2 x1
x1 x 2
x1 x 2
2

Bước 4 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
+ Nếu hệ số a của biểu thức chứa m mà a >0 ta có giá trị nhỏ nhất . Để tìm giá
trị nhỏ nhất ta biến đổi về dạng A 2 + k ≥ k với mọi m, khi đó giá trị nhỏ nhất là k
( phải chỉ rõ đạt được tại giá trị của m bằng bao nhiêu từ đó so với điều kiện ở
bước 1 rồi kết luận)
+ Nếu hệ số a của biểu thức chứa m mà a <0 ta có giá trị lớn nhất. Để tìm giá trị
lớn nhất ta biến đổi về dạng -A 2 + k ≤ k với mọi m, khi đó giá trị lớn nhất là k
( phải chỉ rõ đạt được tại giá trị của m bằng bao nhiêu từ đó so với điều kiện ở
bước 1 rồi kết luận).
Ví dụ 1 : Cho phương trình x2 – (m -1)x + m = 0(1). Gọi x 1 ,x là nghiệm của
2

phương trình ( 1). Tìm giá trị của m để biểu thức A = x12 x 2 + x1 x 22 + 2007 dạt giá trị

nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải :
+ Ta có ∆ = [ − ( m + 1) ] 2 − 4m = m 2 − 2m + 1 = ( m − 1) ≥ 0, ∀m
2

⇒ ∆ ≥ 0, ∀m . Phương thình có nghiệm với mọi m.

+ Theo hệ thức Vi-et ,ta có : x 1 + x = m + 1 ;x 1 .x = m
2

2

+ Ta có : A = x1 x 2 ( x1 + x 2 ) + 2007 = m( m + 1) + 2007 = m 2 + m + 2007
2

1 1
3 
1
3
3
A = m 2 + 2.m. + + 2006 =  m +  + 2006 ≥ 2006 , ∀m
2 4
4 
2
4
4
1
2

Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi m + = 0 ⇔ m =

−1
2


Vậy với m =

−1
3
thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất là 2006
2
4

Ví dụ 2 : Cho phương trình x2 + 2mx + 2m – 1 = 0(1) có hai nghiệm là x 1 ,x .
2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x12 x 2 + x1 x 22
Giải :
Ta có: ∆' = m2 – 2m + 1 = (m + 1)2 ≥ 0, ∀m
Suy ra ∆' ≥ 0 với mọi m. Do đó phương trình ln có nghiệm.
+ Theo hệ thức Vi-et ,ta có : x 1 + x = - 2m ; x 1 .x = 2m – 1
2

2

+ Ta có B = x 1 .x (x 1 + x ) = - 2m(2m – 1) = - 4m2 + 2m
2

2

2

B=

1 
1
1
−  2m −  ≤ , ∀m
4 
2
4
1
2

Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi 2m − = 0 ⇔ m =
1
4

1
4

Vậy với m = thì biểu thức B đạt giá trị lớn nhất là

1
4

Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho phương trình x2 - 2mx + m – 1 = 0(1) có hai nghiệm là x 1 ,x .
2

Tìm giá trị của m để biểu thức C = x12 + x22 + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị
nhỏ nhất đó.
Bài 2 : Cho phương trình
a) x2 - 2mx + m2 + m – 1 = 0(1) có hai nghiệm là x 1 ,x 2 .
b) x2 – 2(m + 1)x +m2 - 6m + 5 = 0(1) có hai nghiệm là x 1 ,x 2 .

Tìm giá trị của m để tích hai nghiệm của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 : Cho phương trình x2 – (a – 1)x – a2 + a – 2 = 0
a) Tìm a để tích hai nghiệm của phương trình đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm a để biểu thức D = x12 + x22 + 2015
2.8 BÀI TOÁN 8: Cho x 1 ,x là hai nghiệm của phương trình bậc hai. Tìm
2

hệ thức liên hệ giữa x 1 ,x độc lập với m ( không phụ thuộc vào m)
2


Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 ,x

2

( ∆ ≥ 0 hoặc ∆' ≥ 0 ) (*)
x1 + x 2 =

Bước 2: Lập hệ thức Vi-et

x1 .x 2 =

−b
( 2)

a

c
( 3)
a

Bước 3: Rút m từ (2) thế vào (3) (hoặc ngược lại) ta sẽ được hệ thức liên hệ.
Lưu ý: Trong một số bài tốn ta có thể cộng hay trừ (2) cho (3) khi đó ta thu
được hệ thức cần tìm. Tùy từng bài tốn mà vận dụng một cách linh hoạt để tìm
được kết quả nhanh nhất.
Ví dụ: Cho phương trình x2 + 2mx + 2m – 1 = 0(1) có hai nghiệm là x 1 ,x . Tìm
2

hệ thức liên hệ giữa x 1 ,x độc lập với m.
2

Giải:
+ Ta có ∆/ = m 2 − 2m + 1 = ( m − 1) 2 ≥ 0, ∀m
⇒ phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m

+ Theo hệ thức Vi-et ta có x 1 + x = - 2m(1) và x 1 .x = 2m – 1(2)
2

2

x +x
x +x
Từ (1) ⇒ m = 1 2 . Thế vào (2) ta được x 1 ,x = 2. 1 2 − 1 ⇔ x1 .x 2 + x1 .x 2 = −1
−2

2

−2

Hay 2x 1 .x = - 1
2

Vậy hệ thức cần tìm thỏa mãn điều kiện đầu bài là : 2x 1 .x = - 1
2

Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0(1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 ,x độc lập với m.
2

Bài 2 : Cho phương trình x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0(1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x thỏa mãn
2

3x 1 - 4x = 11
2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 ,x độc lập với m.
2


2.9 BÀI TỐN 9: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có chứa tham
số m.
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
c) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm dương
d) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm âm
Phương pháp giải :
• Sử dụng các điều kiện sau đây để hồn thành bài tốn :
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

⇔P<0

b) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu

∆ ≥ 0
⇔
P > 0

∆ ≥ 0

c) Phương trình có hai nghiệm cùng dương ⇔  P > 0
S > 0


d) Phương trình có hai nghiệm cùng âm

∆ ≥ 0

⇔ P > 0
S < 0


( Trong đó S là tổng hai nghiệm, P là tích hai nghiệm của phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
Ví dụ : Cho phương trình x2 + 3x - 2m + 1 = 0(1) . Tìm m để phương trình có
hai nghiệm cùng dấu.
Giải :
∆ ≥ 0
, tức là :
P > 0

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ 
2 m < 1
⇔ 
⇔
8m + 5 ≥ 0

Vậy với


m ≥

m <


−5
8
1
2

⇔

1 − 2m > 0


9 − 4(1 − 2m ) ≥ 0

−5
1
≤m<
8
2

−5
1
≤ m < thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu.
8
2


MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 : Cho phương trình x2 + 2(m – 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 ,x thỏa mãn x12 + x22 = 12
2

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 ,x thỏa mãn tích hai nghiệm đạt giá
2

trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Bài 2 : Cho phương trình x2 - 2mx + 2m – 5 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Gọi x 1 ,x là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của m để
2

(

)

(

)

x12 1 − x 22 + x 22 1 − x12 = 8

Bài 3 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m - 15 = 0
a) Giải phương trình với m = 0
b) Gọi x 1 ,x là hai nghiệm của phương trình.Tìm giá trị của m để 5 x1 + x 2 = 4
2

Bài 4 : Cho phương trình (m – 1)x2 + 2mx + m - 2 = 0
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có một nghiệm lớn hơn nghiệm kia là 2
d) Lập hệ thức liên hệ giữa x 1 ,x 2 độc lập với m.

Bài 5 : Cho phương trình x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm cịn lại.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 ,x thỏa mãn x13 + x 23 ≥ 0
2

c) Lập hệ thức liên hệ giữa x 1 ,x độc lập với m.

2

Bài 6 : Lập phương trình biết nghiệm của chúng là :
a) x 1 = 7 ; x 12
2

b) x 1 = - 2 ; x = 5
2

c) x 1 = -3 ;x = - 4
2


CHƯƠNG 3 : KIỂM CHỨNG GIẢI PHÁP ĐÃ TRIỂN KHAI CỦA
SÁNG KIẾN
Năm học
2012 - 2013
2013 - 2014
2014 - 2015

Số HS thi
87
92
85

Số HS đạt
72
80
81

Tỷ lệ %
82,76
87,00
95,29

Ghi chú
THPT
Học kì 2
THPT

PHẦN 3 : KẾT LUẬN
- Qua thực tế giảng dạy và kết quả thực hiện chuyên đề này tôi thấy các em
đã hệ thống kiến thức cụ thể và nắm được phương pháp giải riêng cho từng dạng
bài. Các em biết lập luận chặt chẽ hơn trong giải toán.
- Đây là dạng toán quan trọng đòi hỏi học sinh khả năng lập luận, tư duy
sáng tạo. Phải nắm vững lí thuyết để biện luận và giải toán. Nếu các em giải tốt
dạng toán này thì khi học lên bậc Trung học Phổ thơng các em sẽ có nhiều thuận
lợi trong việc giải và biện luận tam thức bậc hai.
- Trên đây chỉ là một số dạng bài tốn về phương trình bậc hai chứa tham
số. Trong quá trình nghiên cứu và viết sáng kiến khơng tránh khỏi những thiếu sót,
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để sáng kiến của tơi được
hồn thiện hơn.
•Kiến nghị với các cấp quản lý : Không.
Vạn Ninh, ngày 30 tháng 3 năm 2016
Người viết

Nguyễn Thị Lý


PHẦN 4 : PHỤ LỤC

Tài liệu tham khảo :
1. Sách giáo khoa lớp 9 tập 2
2. Sách bài tập toán 9 tập 2
3. Một số dạng tốn ơn thi vào Trung học phổ thông.

.