Dạng 10 bài toán liên quan đến hàm đặc trưng

HQ MATHS – 0827.360.796 –

DẠNG 10

Bài toán liên quan đến hàm đặc trừng

Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn 1  x  2020 và x + x 2 − 9 y = 3 y .
A. 2020.

Câu 2.

B. 1010.

C. 6.

D. 7.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 1.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn x , y  5;37  và

x = y2 + 2 y − x + 2 + y2 + 2 y + 2 .
A. 32.

2

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 0  x  2020 và 3x +1 + x + 1 = 3 y + y
A. 2020 .

Câu 5.

D. 33 .

Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn 2.2 x + x + sin 2 y = 2cos y .
A. 4.

Câu 4.

C. 1 .

B. 2021 .

C. 2022 .

D. 2023 .

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2018 để phương trình

)

(

log 2 m + m + 2 x = 2 x có nghiệm thực?

A. 2017 .
Câu 6.

B. 2018 .

C. 2016 .

D. 2015 .

Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn 0  y  100 và
x 6 + 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 19 y 3 + 3x 2 − 3 y = 0 .

A. 10 .
Câu 7.

B. 100 .

C. 20 .

D. 21 .

Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn x, y  3; 48 và

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 3.

B. 5 .

( x − 2) y + 2 = y + 1 x 2 − 4 x + 5 (1).

A. 46.
Câu 8.

B. 6 .

Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn log 2 (
A. Vô số.

Câu 9.

C. 45 .

B. 3 .

D. 5 .

4
4
x +1
) + x = 4 sin y+ cos y − sin 2 2 y .
2

C. 1 .

D. 2 .

Cho số thực x, y thỏa mãn 2 x − 2 y = y − x 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x − 2 y .
2

A. P =

1
.
4

B. P =

3
.
4

C. P =

1
.
3

D. P =

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

1
.
8

HQ MATHS –

1


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 10. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 0  x, y  1 trong đó x, y không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và

 x+ y 
log3 
 + ( x + 1)( y + 1) − 2 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P với P = 2 x + y .
 1 − xy 
A. 2 .

B. 1 .

C.

1
.
2

D. 0 .

Câu 11. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 0  x  2020 và
3 ( 9 y + 2 y ) = x + log 3 ( x + 1) − 2 ?
3

C. 5 .

D. 3 .

Câu 12. Cho f ( x ) = 2020 x − 2020− x . Gọi m0 là số lớn nhất trong số nguyên m thỏa
 m

f ( m + 1) + f 
− 2020   0 . Giá trị của m0 là
 2020


A. m0 = 2018 .

B. m0 = 2019 .

C. m0 = 2020 .

(

D. m0 = 2021 .

)

Câu 13. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 9 x3 + 2 − y 3xy − 5 x + 3xy − 5 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất

(

)

của biểu thức P = x3 + y 3 + 6 xy + 3 3x 2 + 1 ( x + y − 2 ) .
A.

4 6 + 36
.
9

B.

36 + 296 15
.
9

C.

36 − 296 15
.
9

D.

−4 6 + 36
.
9

Câu 14. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức
x +1
log
 9 y 4 + 6 y 3 − x 2 y 2 − 2 y 2 x (1) . Biết y  1000 , hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên
3y +1

dương ( x ; y ) thỏa mãn bất đẳng thức (1) .
A. 1501100 .

B. 1501300 .

C. 1501400 .

Câu 15. Cho 2 số thực x, y không âm thỏa mãn : 2

x+

1
x

D. 1501500 .

= log 2 14 − ( y − 2 ) y + 1  . Giá trị của biểu

thức P = 1 − 2 ( x + y ) bằng
A. 3 .

B. 5 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 16. Cho x, y là các số thực thỏa mãn log 2 (2 x + 2) + x − 3 y = 8 y (*) . Biết 0  x  2018 , số cặp
x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức (*) là

A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

(

Câu 17. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 2 2a
P=

2

+b2 + c2

D. 5 .

)

− 1 + (a − 1) 2 + (b − 1) 2 + (c − 1) 2 = 4a +b +c . Đặt

3a + 2b + c
và gọi S là tập hợp gồm những giá trị nguyên của P . Số phần tử của tập S
a+b+c

là
HQ MATHS –

2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

B. 4 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 2 .


HQ MATHS – 0827.360.796 –
A. Vơ số.
Câu 18. Phương trình log x 1
A. 11.

B. 5.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

C. 4.

D. 3.

C. 101.

D. 99.

C. 2 .

D. 6 .

2 có nghiệm là.
B. 9.

Câu 19. Cho 2a = 3, 3b = 4, 4c = 5, 5d = 6. Tính 2abcd .
B. log 6 2 .

Câu 20. Cho x, y, z là ba số thực khác 0 thỏa mãn 2 x = 5 y = 10− z . Tính P =
A. −2 .

B. 3 .

1 1 1
+ + .
x y z

C. 0 .

D. 1 .

Câu 21. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log 4 x = log 6 y = log 9 ( x + y ) . Giá trị của tỉ số
A.

−1 + 5
.
2

B.

1 5
.
2

C.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

A. log 2 6 .

1+ 5
.
4

Câu 22. Cho x, y, a, b là các số dương thỏa mãn a  b  1 và a x +1 = b 2 y =

D.

x
bằng
y

−1 + 5
.
4

a
. Giá trị nhỏ nhất của biểu
b

A. −2 .

B.

−13
.
4

C. 4 .

Câu 23. Cho biết a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2018a
a b
biểu thức P
.
b c

D.
2019b

HQ MATHS – 0827.360.796 –

thức P = x 2 + y 2 + y là
3
.
4

2020c . Hãy tính giá trị của

A. log 2018 2019 .

B. log 2018 2019

log 2019 2020 .

C. log 2018 2020 .

D. log 2018 2019.2020 .

Câu 24. Cho x, y dương thỏa mãn: log3 ( x 2 + 2 y) = 1 + log 3 4 . Giá trị lớn nhất của P = xy thuộc
khoảng nào
A. ( −1;1) .

1 
B.  ;3  .
2 

D. ( −2;0 )

C. ( 5;10 ) .
z

Câu 25. Cho a, b, c  1 và các số thực dương x, y, z thỏa mãn a x = b y = c 2 = abc . Tìm giá trị lớn
1 1
nhất của P = + − z 2 .
x y
A. −2 .
B. 3 .
C. −1 .
D. 1 .
2

4x + y
Câu 26. Cho x  0; y  0 và 20202019( x − y + 4) =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = y − 2 x
( x + 2) 2
?
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

3


HQ MATHS – 0827.360.796 –
B. min P = 2 .

A. min P = 4 .

Câu 27. Cho x  y  0 thỏa mãn 3x + y + 2 xy − 2 =
A. 2 .

B.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

C. min P = 1 .

2 (1 − xy )
x+ y

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 5 y là

9
.
5

C. 4 .

Câu 28. Xét các số thực a , b thỏa mãn điều kiện

D. min P = 3 .

D.

50 − 8 5
.
4 5 +1

1
 b  a  1 . Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3

B. min P =

A. min P = 13 .

1
.
3
2

C. min P = 3 2 .

D. min P = 9 .

Câu 29. Xét các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a  1, b  1, c  1 và a x = b y = c z = 3 abc . Giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z thuộc tập hợp nào dưới đây ?
B. ( 4; 6 ) .

A. ( 2; 4 ) .

C. ( 6;8 ) .

D. ( 8;10 ) .

biểu thức T = m + n có giá trị bằng bao nhiêu?
2

A. 79 .

B. 25 .

C. 34 .

D. 85 .

Câu 31. Cho các số thực x, y thỏa mãn x  −1, y  −3 và log 2 ( y + 3)( x + 1) +

xy + 3x + y + 2
= 0.
x +1

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 3 y + 10 thuộc tập nào dưới đây:
A. 1; 3 ) .

B. 3; 4 ) .

C.  4;5 ) .

D. 5; 6 ) .

Câu 32. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 1  a  b  0, 25 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

P = log a  b −  − log a b thuộc tập hợp nào dưới đây?
4

b
A. ( 0;1) .




B.  4;

11 
.
2

5

2




C.  ; 4  .




5
2

D. 1;  .

Câu 33. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy  4 y − 1 . Giá trị nhỏ nhất của

P=

6 ( 2x + y )
x + 2y
+ ln
là a + ln b . Giá trị của tích a.b là
x
y

A. 45 .

B. 81 .

C. 108 .

D. 115 .

3
Câu 34. Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn 1  a  b  a và a x = b y = 3 ab . Giá trị lớn nhất

của biều thức P = x + 3 y thuộc tập hợp nào dưới đây?
HQ MATHS –

4

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 30. Xét các số thực dương a , b , x , y thỏa mãn a  1 , b  1 và a x = b y = 4 ab . Giá trị nhỏ nhất
m
m
của biểu thức P = x + 4 y là Pmin =
với là phân số tối giản và n  , khi đó giá trị của
n
n

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 3b − 1 
2
P = log a 
 + 12log b a − 3 .

 4 
a


HQ MATHS – 0827.360.796 –
B.  2; 3) .

A. 1; 2 ) .

Câu 35. Cho hai số thực a, b thỏa mãn log 2 a

log3 a

D.  4; 5 ) .

C.  3; 4 ) .
log3 b

1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

log 2 b bằng.

A.

log 2 3

log3 2 .

B.

log 2 3 log3 2 .

C.

1
log 2 3
2

log 3 2 .

D.

2
.
log 2 3 log 3 2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

P

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

2x − y
y
. Tính giá trị T = .
3
x
2
3
C. T = − .

D. T = − .
3
2

Câu 36. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log16 x = log 20 y = log 25
A. T =

2
.
3

B. T =

3
.
2

Câu 37. Cho p và q là các số thực dương sao cho: log9 p = log12 q = log16 ( p + q) . Tìm giá trị của

(

(

)

q
p

)

bao nhiêu?
A. 1 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 7 .
Câu 39. Cho số thực 1  x  8 . Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
x
log 2
128 − log x lần lượt là a, b . Tính ab
P=
.
2
log 2 x + 1
A. ab = 5 .
B. ab = 35 .
C. ab = −7 .
D. ab = 35 .
Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) , x  2020 và thỏa mãn phương trình
log 2 x + log 2 ( x − y ) = 1 + 4 log 4 y

A. 2020 .

B. 1010 .

C. 2019 .

D. 1011 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

1
1
8
4
B.
C. 1 + 3
D. 1 + 5
2
2
5
3
Câu 38. Cho x, y là hai số nguyên không âm thỏa mãn log 2 ( x + y ) = log 3 ( x − y ) . Hỏi tổng x + y là
A.

 4 x2 − 4 x + 1 
2
Câu 41. Biết x1 , x2 ( x1  x2 ) là hai nghiệm của phương trình log 2 
 = 6 x − 4 x và
x


3
2 x1 − x2 = a − b , ( a, b  ) . Tính giá trị của biểu thức P = a + b
4

(

A. P = −4 .

)

B. P = 6 .

C. P = −6 .

D. P = 4 .

Câu 42. Cho phương trình 2 log 3 ( cot x ) = log 2 ( cos x ) . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên
khoảng ( 0; 2020 )
A. 2020

B. 2019

C. 1009

D. 1010

Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của y thỏa mãn 5 x = log 5 ( x + y ) + y . Biết rằng y  2020 .
A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 7 .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

5


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 44. Cho bất phương trình log10 x + log 2 x + 3  m log100 x với m là tham số thực. Có bao nhiêu
giá trị của m ngun dương để bất phương trình có nghiệm thuộc 1; + ) .
A. 1 .

B. 3 .

C. vô số

.

(

D. 2

.

)

2
2
Câu 45. Cho x, y là các số thực thỏa mãn log3 ( x + y ) = log 4 x + y . Tập giá trị của biểu thức

P = x3 + y 3 có chứa bao nhiêu giá trị nguyên.

B. 5 .

C. 9 .

D. Vô số.

Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực dương y thỏa mãn 2 x
A. 1.

B. 2.

C. 3.

2

+ y2

= 2.2 y − x ?

D. 4.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

A. 4 .

2
 1 
Câu 47. Tìm m để phương trình ( m − 1) log 21 ( x − 2 ) + 4 ( m − 5 ) log 1 
 + 4m − 4 = 0 có nghiệm

2
2  x−2

5



trên  ; 4 
2 
A. −3  m 

7
.
3

B. m 

.

C. m  1 .

D. −3  m 

7
.
3

Câu 48. Phương trình 2 log 3 ( cot x ) = log 2 ( cos x ) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; 2020 ) ?
B. 1010 nghiệm.

C. 2018 nghiệm.

D. 1009 nghiệm.

Câu 49. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

log 4 ( x + y + 3) = log5 ( x 2 + y 2 + 2 x + 4 y + 5) ?

A. 3 .

B. 2 .

Câu 50. Cho x, y thỏa mãn 2

2 x − y +1

C. 1 .

D. Vô số.

+ 32 x − y +1 − 52 x− y +1 = 5−2 x+ y +1 − 2−2 x + y +1 − 3−2 x + y +1 . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức P = 2 x 2 − y 2 − 2 x + 3 y + 1 .
B. −2 .

A. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 51. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

(

)

log3 x + 2 y = log 2 ( x 2 + y 2 ) .
A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. Vơ số.

Câu 52. Có bao nhiêu cặp số ( x; y ) thuộc đoạn [1;2020] thỏa mãn y là số nguyên và
x + ln x = y + e y ?

A. 2021 .

B. 2020 .

C. 7 .

D. 6 .

1
và log x + log y + 1  log ( x + y ) . Giá trị nhỏ
10

nhất của biểu thức S = x + 3 y thuộc tập hợp nào dưới đây?

Câu 53. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x 

HQ MATHS –

6

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 2020 nghiệm.

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”


HQ MATHS – 0827.360.796 –

5






A.  ; 2  .
3 

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

4 5 

4

B. 0;  .
3

4

C.  ;  .
3 3





D.  ; 2  .
3 

BẢNG ĐÁP ÁN
2C

3D

4B

5A

6D

7B

8B

9D

10B

11D

12A

13B

14D

15C

16C

17D

18D

19D

20C

21A

22D

23B

24B

25C

26D

27A

28D

29A

30D

31B

32B

33B

34B

35B

36A

37D

38A

39B

40B

41B

42D

43A

44A

45A

46B

47D

48B

49B

50D

51B

52C

53B

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Chọn D
Ta có: x + x 2 − 9 y = 3 y  x + x 2 = 3 y + ( 3 y ) (1). Xét hàm f (t ) = t + t 2 , ( t  0 ) .
2

Ta có: f ' (t ) = 1 + 2t  0, t  0  f (t ) là hàm đồng biến trên ( 0; +  ) .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

( )

y
y
Vì vậy, (1)  f ( x) = f 3  x = 3 .

Theo giả thiết, 1  x  2020  1  3 y  2020  0  y  log 3 2020 .
Vì y nguyên nên y  0;1; 2;3; 4;5; 6  x  1;3;9; 27 ;81; 243; 729 .
Vậy có 7 cặp ( x ; y ) thỏa mãn.
Câu 2.

Chọn C

Ta có:

x = y 2 + 2 y − x + 2 + y 2 + 2 y + 2  x + x = y 2 + 2 y + 2 + y 2 + 2 y + 2 . (2)

Xét hàm số f (t ) = t + t trên khoảng ( 0; + ) ta có:

f '(t ) = 1 +

1
2 t

 0, t  0  f (t ) đồng biến trên ( 0; + ) .

(2)  f ( x) = f ( y 2 + 2 y + 2 )  x = y 2 + 2 y + 2 .
Do x , y  5;37  nên 5  y 2 + 2 y + 2  37  4  ( y + 1) 2  36  2  y + 1  6  1  y  5 .
Do y 

và y  5;37  nên y = 5 , với mỗi giá trị y cho ta 1 giá trị x = 37  5;37  thoả đề

bài.
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

7


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Vậy có 1 cặp số nguyên ( x ; y ) thoả bài tốn.
Câu 3.

Chọn D
Có 2.2 x + x + sin 2 y = 2cos

2

y

 2 x +1 + x + 1 = 2cos

2

y

+ cos 2 x (3).

Đặt f (t ) = 2t + t  f '(t ) = 2t.ln 2 + 1  0, t  0  Hàm số y = f ( t ) đồng biến trên ( 0; + )
.

(

)

2
2
2
Vì vậy phương trình (3)  f ( x + 1) = f cos x  x + 1 = cos x  x = − sin x  x  0 .

Chọn B
Ta có: 3x +1 + x + 1 = 3 y + y  f ( x + 1) = f ( y )
Xét hàm số f ( t ) = 3t + t  f  ( t ) = 3t.ln 3 + 1  0, t  R
Do đó f ( x + 1) = f ( y )  x + 1 = y  x = y − 1
Vì 0  x  2020  0  y − 1  2020  1  y  2021
Mà y 

nên y  1; 2;3;...; 2021

Vậy có 2021 cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 5.

Chọn A
Phương trình đã cho tương đương với phương trình :

(

m + m + 2 x = 22 x  m + 2

Ta có

m + 2x  0 ,

x

)+

m + 2 x = 22 x + 2 x (1)

2 x  0 . Xét hàm đặc trưng

f ( t ) = t 2 + t trên  0; +  ) .

f  ( t ) = 2t + 1  0, t  0; +  )
 f ( t ) đồng biến trên khoảng  0; +  ) do đó (1)  f


m + 2x = 2x

(

)

m + 2x = f ( 2x )

 m = 22 x − 2 x .

Đặt a = 2 , a  0 . Ta có  m = g ( a ) = a 2 − a .
x

HQ MATHS –

8

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 4.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Mà x là số ngun dương. Vậy khơng có giá trị nào của x thỏa mãn.


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1
mà m nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên
4
m  1; 2;3;...; 2017 . Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Phương trình đã cho có nghiệm  m  −

Chọn D
Ta có
x 6 + 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 19 y 3 + 3x 2 − 3 y = 0  x 6 + 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 + 8 y 3 − 27 y 3 + 3x 2 − 3 y = 0

 x 6 + 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 + 8 y 3 + 3x 2 + 6 y = 27 y 3 + 9 y
3

(2)

Xét hàm f (t ) = t 3 + 3t . Ta có f ' (t ) = 3t 2 + 3  0, t 

 f (t ) là hàm đồng biến trên

Vì vậy, (2)  f ( x 2 + 2 y ) = f ( 3 y )  x 2 + 2 y = 3 y  x 2 = y .
Theo giả thiết: 0  y  100  0  x 2  100  −10  x  10 .
Vì x nguyên nên x  −10; − 9; − 8;...0...8;9;10 . Với mỗi x xác định duy nhất giá trị
y = x2 .

Vậy có 21 cặp ( x ; y ) thỏa mãn bài toán.
Câu 7.

Chọn B

(1)  ( x − 2) ( y + 1) + 1 = y + 1 ( x − 2)2 + 1


( y + 1) + 1
y +1

( x − 2) 2 + 1
( y + 1) + 1
( x − 2)2 + 1
=

=
(2).
x−2
y +1
( x − 2)2

Xét hàm số f (t ) =
1

f '(t ) = −
2t

2

.

HQ MATHS – 0827.360.796 –

 ( x 2 + 2 y )3 + 3( x 2 + 2 y ) = ( 3 y ) + 3.3 y

1
1+
t

t +1
trên khoảng ( 0; + ) ta có:
t
 0, t  0  f (t ) nghịch biến trên ( 0; + ) .

(2)  f ( y + 1) = f (( x − 2) 2 )  y + 1 = ( x − 2) 2  y = ( x − 2) 2 − 1
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

9

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

2
Do x, y  3; 48 nên 3  ( x − 2) − 1  48  4  ( x − 2 )  49  2  x − 2  7  4  x  9 .
2

nên x  4;5; 6; 7;8;9 , với mỗi giá trị x cho ta 1 giá trị y thoả mãn đề bài.

Do x 

Vậy có 6 cặp số nguyên ( x ; y ) thoả đề bài.
Chọn B
Ta có: log 2 (

4
4
4
4
x +1
) + x = 4 sin y+ cos y − sin 2 2 y  log 2 ( x + 1) + x − 1 = 4 sin y+cos y − sin 2 2 y
2

 log 2 ( x + 1) + x + 1 = 22(sin
 log 2 ( x + 1) + x + 1 = 22(sin

4

4

 log 2 ( x + 1) + x + 1 = 22(sin

4

y+ cos4 y )

− 4sin 2 y.cos 2 y + 2

y+ cos4 y )

− 4sin 2 y.cos 2 y + 2 ( sin 2 y + cos 2 y )

y+ cos 4 y )

+ 2 ( sin 4 y + cos 4 y ) (2).

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 8.

2

Xét hàm số f (t ) = 2t + t  f '(t ) = 2t.ln 2 + 1  0, t  0 .
 hàm số y = f (t ) đồng biến ( 0; + ) .

(

)

Vì vậy (2)  f ( log 2 ( x + 1) ) = f 2(sin 4 y + cos 4 y )  x + 1 = 22(sin

4

y + cos 4 y )

.

1 
2 

1
2

 2  x + 1  4  1  x  3 . Mà

HQ MATHS – 0827.360.796 –

4
4
2
Ta có: sin y + cos y = 1 − sin 2 y   ;1 nên 1  2(sin 4 y + cos 4 y )  2

x là số nguyên dương  x {1, 2,3} .

Vậy có 3 giá trị x thỏa mãn.
Câu 9.

Chọn D

( )

Ta có: 2 x − 2 y = y − x 2  2 x + x 2 = 2 y + y  f x 2 = f ( y ) , với f ( t ) = 2t + t .
2

2

Xét hàm số f ( t ) = 2t + t  f  ( t ) = 2t.ln 2 + 1  0, t 

( )

2
2
Do đó f x = f ( y )  x = y . P = x − 2 y = x − 2 x 2 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P =

.

1
.
8

1
1
1
đạt được khi x = , y = .
16

4
8

Câu 10. Chọn B
Từ điều kiện đề bài và

x+ y
 0; 1 − xy  0  x + y  0; 1 − xy  0 . Khi đó
1 − xy

 x+ y 
log3 
 + ( x + 1) . ( y + 1) − 2 = 0  log3 ( x + y ) + ( x + y ) = log3 (1 − xy ) + (1 − xy )
 1 − xy 
HQ MATHS –

10

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

(1) .


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Xét hàm số g ( t ) = log 3 t + t , ( t  0 ) có g  ( t ) =

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1
+ 1  0, t  0 .

t.ln 3

Suy ra g ( t ) là hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; + ) .
Vậy phương trình (1)  x + y = 1 − xy  y =

1− x
−2
với x   0;1 . Ta có f  ( x ) = 2 +
.
2
x +1
( x + 1)
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Xét hàm số f ( x ) = 2 x +

1− x
1− x
.
 P = 2x +
1+ x
1+ x

x = 0
và f ( 0 ) = 1; f (1) = 2  min f ( x) = 1 .
f ( x) = 0  
0;1
 x = −2
Câu 11. Chọn D

(

)

Ta có: 3 9 y + 2 y = x + log 3 ( x + 1) − 2
3

 3.9 y + 6 y = x + 3log 3 ( x + 1) − 2  32 y +1 + 3 ( 2 y + 1) = ( x + 1) + 3log 3 ( x + 1)

( *) .

2 y +1
Do đó (*)  f ( 2 y + 1) = f ( log 3 ( x + 1) )  2 y + 1 = log 3 ( x + 1)  x = 3 − 1 .
2 y+1
− 1  2020  − 1  y  log3 2021 − 1
Vì 0  x  2020 nên 0  3
2
2
Do y nguyên nên y  0;1; 2 .

 ( x; y )  ( 2; 0 ) ; ( 26;1) ; ( 242; 2 ) do đó có 3 cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn.

Câu 12. Chọn A
Ta có f ( − x ) = 2020− x − 2020 x.

− f ( x ) = − ( 2020 x − 2020− x )  f ( − x ) = − f ( x ) nên f ( x ) là hàm số lẻ vậy nên.
 m

f ( m + 1) + f 
− 2020   0  f ( m + 1) 

 2020


 m

f −
+ 2020  .
 2020


(*)

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Xét hàm số f ( t ) = 3t + 3t . Ta có: f  ( t ) = 3t.ln 3 + 3  0, t .
Suy ra hàm số f ( t ) liên tục và đồng biến trên .

Lại có f ( x ) = 2020 x − 2020− x là hàm số đồng biến trên .
Nên (*)  m + 1 

−m
2019.2020
. Vậy m0 = 2018.
+ 2020  m 
2020
2021

Câu 13. Chọn B

(

)

9 x3 + 2 − y 3xy − 5 x + 3xy − 5 = 0  27 x3 + 6 x − 3xy 3xy − 5 + 3 3xy − 5 = 0

 ( 3x ) + 2 ( 3x ) =
3

(

)

3

3xy − 5 + 2 3xy − 5 (*) .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

11


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + 2t có f  ( t ) = 3t 2 + 2  0 t 
Do đó (*)  f ( 3x ) = f

(

)

nên hàm f ( t ) đồng biến trên

.

3xy − 5  3x = 3xy − 5  x  0 và 9 x 2 = 3xy − 5 .

Với x = 0 khơng thỏa mãn.

(

(

)

)

3
3
3
3
2
2
Với x  0 thì P = x + y + 6 xy + 3 3x + 1 ( x + y − 2 ) = x + y + 6 xy + 9 x + 3 ( x + y − 2 )

= x + y + 6 xy + ( 3 xy − 2 )( x + y − 2 ) = x + y + 3 x y + 3 xy − 2 ( x + y ) + 4
3

3

3

3

2

2

= ( x + y) − 2( x + y) + 4 .
3

Xét hàm số g ( t ) = t 3 − 2t + 4 với t 

4 5
4 5
. Khi đó g ' ( t ) = 3t 2 − 2  0, t 
.
3
3

 4 5  36 + 296 15
36 + 296 15
. Vậy min P =
.
 =
9
9

3



Do đó g ( t )  g 
Câu 14. Chọn D
Ta có : log

 log

x +1
 9 y 4 + 6 y3 − x2 y 2 − 2 y 2 x
3y +1

xy + y
 ( 9 y 4 + 6 y 3 + y 2 ) − ( x 2 y 2 + 2 xy. y + y 2 )
2
3y + y

 log ( xy + y ) − log ( 3 y 2 + y )  ( 3 y 2 + y ) − ( xy + y )
2

2

 log ( xy + y ) + ( xy + y )  log ( 3 y 2 + y ) + ( 3 y 2 + y )
2

2

(*)

Xét hàm f ( t ) = log t + t 2 với t  ( 0; + )
f ' (t ) =

1
+ 2t  0 t  ( 0; +  ) . Suy ra f ( t ) là hàm đồng biến trên t  ( 0; + ) .
t ln10

(*)  f ( xy + y )  f ( 3 y 2 + y )

 xy + y  3 y 2 + y  x  3 y .

Vì y  2020 nên ta có các trường hợp sau

y =1

 x  1; 2;3

y = 2  x  1; 2;3; 4;5; 6

...............................................
y = 1000  x  1; 2;.......;3000

Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài là: 3 + 6 + 9 + ... + 3000 = 1501500 .

HQ MATHS –

12

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

4 5
9 x2 + 5
5 4 5
. Đặt t = x + y thì t 
.
= 4x + 
3x
3x
3
3

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Mà x + y = x +


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 15. Chọn C
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 2

x+

1
x

2

2 x.

1
x

= 4, x  0

(1)

Mặt khác ta có: 14 − ( y − 2 ) y + 1 = 14 − ( y + 1) y + 1 + 3 y + 1 .
y + 1  1 . Xét hàm : f ( t ) = −t 3 + 3t + 14, t  1 có f  ( t ) = −3t 2 + 3; f  ( t ) = 0  t = 1 .

Đặt t =

 f ( t )  16  log 2 14 − ( y − 2 ) y + 1   log 2 16 = 4

Câu 16. Chọn C
Ta có log 2 (2 x + 2) + x − 3 y = 8 y  2log2 ( x +1) + log 2 ( x + 1) = 23 y + 3 y (1)
.

Khi đó (1)  f ( log 2 ( x + 1) ) = f ( 3 y )  log 2 ( x + 1) = 3 y  x = 23 y − 1
Với 0  x  2018  1  8 y  2019  0  y  log8 2019  3.7 .
 y  0;1; 2;3 . Rõ ràng với y nguyên thì

Vì y 

HQ MATHS – 0827.360.796 –

( 2)

1

x = 1
x =
x
Từ (1) , ( 2 ) ta có dấu bằng xảy ra khi: 
. Vậy: P = 1 − 2 ( x + y ) = 1 .

y
=
0

t = 1 + y = 1


Xét hàm số f (t ) = 2t + t có f (t ) = 2t ln 2 + 1  0, t 

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Bảng biến thiên

x nguyên.

Vậy có 4 cặp số x, y nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 17. Chọn D

(

Ta có: 2 2a

2

+b2 + c 2

)

− 1 + (a − 1) 2 + (b − 1) 2 + (c− 1) 2 = 4 a +b + c

 2a +b +c +1 + a 2 + b2 + c 2 + 1 = 22 a +2b+2c + ( 2a + 2b + 2c )
2

2

2

Xét hàm f ( t ) = 2t + t trên
Ta có, f  ( t ) = 2t ln 2 + 1  0, t 

nên hàm số f ( t ) đồng biến trên

.

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

13

HQ MATHS – 0827.360.796 –

(

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

)

2
2
2
Khi đó, phương trình đã cho có dạng f a + b + c + 1 = f ( 2a + 2b + 2c ) .

2
2
2
Suy ra: 2a + 2b + 2c = a + b + c + 1  ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) = 2 (*)
2

Ta lại có, P =

2

2

3a + 2b + c
 ( P − 3) a + ( P − 2 ) b + ( P − 1) c = 0 (**)
a+b+c

Trong hệ trục tọa độ Oxyz lấy M ( a; b; c ) .
Theo (*) ta có M thuộc mặt cầu tâm I (1;1;1) ,bán kính R = 2 .

3P − 6

Suy ra d ( I ; ( ) )  R hay

( P − 3)2 + ( P − 2 )2 + ( P − 1)2

 2

 ( 3P − 6 )2  2. ( P − 3)2 + ( P − 2 )2 + ( P − 1)2 





 3P 2 − 12 P + 8  0 

6−2 3
6+2 3
P
. Vậy S = 1; 2;3 .
3
3

Câu 18. Chọn D
Điều kiện x 1 0
Ta có log x 1

2

1.

x

x 1 102

x

Vậy tập nghiệm của phương trình là S
Câu 19.

99 .

99 .

Chọn D
Ta có 2a = 3  a = log 2 3 .
Tương tự b = log 3 4, c = log 4 5, d = log 5 6
 abcd = log 2 3.log3 4.log 4 5.log5 6 = log 2 6  P = 2log2 6 = 6

Câu 20. Chọn C

HQ MATHS –

Đặt 2 x = 5 y = 10− z = t

(t  0)

1

x
2
=
t

1


 5 = t y

−1
10 = t z


=t

14

t

1 1
+
x y

−

1

z



1 1 1
+ + = 0.
x y z

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Tồn tại bộ ( a; b; c ) khi và chỉ khi tồn tại M ( mặt cầu và mặt phẳng có điểm chung).

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Theo (**) thì M thuộc mặt phẳng ( ) có phương trình ( P − 3) x + ( P − 2 ) y + ( P − 1) z = 0 .


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Câu 21.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Chọn A

 x = 4t

Đặt log 4 x = log 6 y = log 9 ( x + y ) = t   y = 6t
.

 x + y = 9t


Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 x −1 − 5
(l )
 =
y
2
t t
t 2
2
2
2

Mà 4 .9 = (6 )  x ( x + y ) = y  x + xy − y = 0 
.
 x −1 + 5
 =
(t / m)
2
 y
Câu 22. Chọn D

 x +1 a
 x = − log a b
a = b
−x −1



Ta có: 
y=
 2 xy = − x − 1 .
1
2x
 b2 y = a
 y = 2 ( −1 + log b a )

b
2

1 3 3
2

Khi đó P = x 2 + y 2 + y = ( x + y ) − 2 xy + y =  x + y +  +  .
2 4 4


Câu 23.

Chọn B
Đặt 2018

a

b

2019

Từ đó suy ra P
Câu 24.

HQ MATHS – 0827.360.796 –

1

x=
1


2
 x+ y =−

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
.
2 
−
2
−
1
2 xy = − x − 1  y =

2

2020

log 2018 k
log 2019 k

c

k

a

log 2018 k

b

log 2019 k

c

log 2020 k

log 2019 k
log 2020 k

log 2018 2019

log 2019 2020 .

Chọn B
log3 ( x 2 + 2 y) = 1 + log3 4 = log3 3 + log3 4 = log3 12  x 2 + 2 y = 12

Ta có: 16 = x 2 + 4 + 2 y  2 x 2 .4 + 2 y  4 x + 2 y  2 4 x.2 y = 2 8 xy

 P = xy  8.

 x 2 = 4, x  0, y  0  x = 2

Dấu bằng xảy ra khi 
. Vậy MinP = 8 .
4
x
=
2
y
y = 4

Câu 25. Chọn C
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

15


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

z
2

Đặt a = b = c = abc = t ( t  0 )
x

y

1 1 2
2
1 1

+ − z = 2 − − z2 = 2 −  + + z2  .
x y
z
z z


Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương

1 1
= = z 2  z = 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng −1 .
z z

Dấu " = " xảy ra 
Câu 26.

1 1 2
1 1
; ; z ta có: + + z 2  3  P  −1 .
z z
z z

Chọn D
2019 ( x + 2)2 − (4 x + y ) 
4x + y
4x + y

20202019( x + 2)
4x + y


=

2020
=

=
2
2
2019(4 x + y )
( x + 2)
( x + 2)
2020
( x + 2)2
2

Ta có 2020

2019( x 2 − y + 4)

 20202019( x + 2) ( x + 2)2 = 20202019(4 x + y ) (4 x + y )(1) .
2

Xét hàm số f (t ) = 20202019t t với t  0 .
Ta có f ' (t ) = 20202019t + 20202019t t ln 20202019  0t  0.
Khi đó (1)  ( x + 2) 2 = 4 x + y  y = x 2 + 4 .

x = 1
Nên P = y − 2 x = x 2 + 4 − 2 x = ( x − 1) 2 + 3  3 . min P = 3 khi 
.
y = 5
Câu 27. Chọn A
Điều kiện 1 − xy  0 .
Ta có: 3x + y + 2 xy −2 =

2 (1 − xy )
x+ y

 x + y + 2 xy − 2 = log 3

2 (1 − xy )
x+ y

.

 log3  2 (1 − xy ) + 2 (1 − xy ) = log3 ( x + y ) + ( x + y ) (*).

Xét hàm f ( t ) = t + log 3 t với t  0  f  ( t ) = 1 +

1
 0.
t ln 3

(*)  f ( 2 (1 − xy ) ) = f ( x + y )  2 (1 − xy ) = x + y  y =

HQ MATHS –

16

2− x
.
2x +1

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

P=

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1

x
a
=
t

1

1 1 2
1 1
2
b = t y
 + + = 2 + = 2− .

x y z

x y
z
2

z
c
=
t


2
abc = t


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

x2 + 1
Khi đó 1 − xy  0 
 0 (ln đúng).
2x + 1
Ta có P = x + 5 y = x + 5

2− x
2− x
25
. Đặt f ( x ) = x + 5
.
 f ( x) = 1−

2
2x +1
2x +1
( 2 x + 1)

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

f ( x) = 0  x = 2 .

x = 2
Vậy PMin = 2 đạt được khi 
.
y = 0

Câu 28. Chọn D
Ta có (2b − 1) 2 (b + 1)  0  3b − 1  4b3 và từ điều kiện bài toán suy ra log a b  1 .
Từ đó suy ra

12

( log a b − 1)

2

−3 =

3log a b  ( log a b − 3)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b =

( log a b − 1)

2

2

HQ MATHS – 0827.360.796 –

P  3log a b +

+9 9

1
1
, a= 3 .
2
2

Vậy min P = 9 .
Câu 29. Chọn A
Ta có: a, b, c  1 và x, y, z  0 nên a x ; b y ; c z ; 3 abc  1

1

 x = 3 (1 + log a b + log a c )

1

x
y

z
3
Do đó: a = b = c = abc   y = ( log b a + 1 + log b c ) .
3

1

 z = 3 ( log c a + log c b + 1)

Khi đó, ta có:
P = x+ y+z =

1
(1 + log a b + log a c + logb a + 1 + logb c + log c a + log c b + 1)
3

1
= . ( 3 + log a b + log a c + log b a + log b c + log c a + log c b )
3
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

17


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1
= . ( 3 + log a b + log b c + log c a + log a c + log c b + log b a )
3

Mặt khác a, b, c  1 nên log a b, log b c, log c a, log a c, log c b, log b a  0

(

)

log b = log c = log a
b
c
log a b = logb c = log c a
 a

a = b = c
1
1
 1
=
=

Dấu " = " xảy ra khi: log a c = log c b = log b a  
.
x = y = z =1
log c a logb c log a b

 x


y
z
3
a = b = c = abc
a x = b y = c z = 3 abc

Vậy minP = 3  ( 2; 4 ) .
Câu 30. Chọn D

 1 1
1
1
1
 x
 x − 14
4
4
4
 x − 4 = 4 log a b
a = a .b
a = b
x
y
4

Theo bài ra ta có: a = b = ab  
.
 1
1
1

1
 y − 1 = 1 .log a
b y = a 4 .b 4
b y − 4 = a 4
b



4 4
1 1
5 1
Do đó: P = x + 4 y = + log a b + 1 + logb a = + log a b + log b a .
4 4
4 4
Đặt t = log a b . Vì a , b  1 nên log a b  log a 1 = 0 . Suy ra: t = log a b  0 .

1 1 5
9
5 1 1 5
+ t +  + 2 t. = + 1 = .
4 4 t 4
4 t 4
4
1 1
9
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là khi t +  t = 2 hay log a b = 2  b = a 2 .
4 t
4
3


x=


4
Suy ra: a x = a 2 y = 4 a 3  
.
3
y =

8
Khi đó: m = 9, n = 4  T = 85 .
Khi đó P =

Câu 31.

Chọn B
Với điều kiện: x  −1, y  −3  x + 1  0, y + 3  0 . Ta có:
log 2 ( y + 3)( x + 1) +

xy + 3x + y + 2
1
= 0  log 2 ( y + 3) + log 2 ( x + 1) + ( y + 3) −
=0.
x +1
x +1

 log 2 ( y + 3) + ( y + 3) = log 2

1
1

+
x +1 x +1

Xét hàm số: f (t ) = log 2 t + t (t  0), f '(t ) =
khoảng (0; +). Do đó: (1)  y + 3 =
HQ MATHS –

18

(1) .

1
+ 1  0, t  0. Suy ra f (t ) đồng biến trên
t ln 2

1
.
x +1

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1
3 + 3 3 log a b.log b c.log c a + 3 3 log a c.log c b.log b a = 3 .
3

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Suy ra: P 

HQ MATHS – 0827.360.796 –
Khi đó: P = x + 3 y + 10 = x + 3(
Dấu '' = '' xảy ra  x + 1 +

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1
3
− 3) + 10 = x + 1 +
2 3.
x +1
x +1

3
 3 = ( x + 1) 2  x = 3 − 1 , (vì x  −1 ).
x +1

Vậy: min P = 2 3 .
Câu 32.

Chọn B

Với điều kiện: 1  a  b 
Ta có: b 2 − b +

b

1

khi đó: 0 = log b 1  log b a  log b b = 1  t  (0;1)
4

1
1
1
1 2


 0  b −  b 2  log a  b −   log a b 2  log a  b −   .
4
4
4
4 t



1
1
1
2
1

=
. Do đó P = log a  b −  − log a b  +
.
2 ( log b a − 1) 2 ( t − 1)
4
t 2(1 − t )


b

Xét hàm f (t ) =

2
1
2
1
với t  (0;1) có f '(t ) = − 2 +
.
+
t 2(1 − t )
t
2(1 − t ) 2

Với t  (0;1) ta có: f '(t ) = 0  x =

2
.
3

HQ MATHS – 0827.360.796 –

log a b =

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Đặt log b a = t .

2

2
1 
1 
Do: lim+ f (t ) = lim+  +
= + ; lim− f (t ) = lim−  +

 = + .
t →0
t →1
t →1
t →0
 t 2(1 − t ) 
 t 2(1 − t ) 
Lập BBT của hàm số f (t ) =

2
1
với t  (0;1) ta có:
+
t 2(1 − t )

Dựa vào BBT ta tìm được Min f (t ) =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

2
9
tại t = .
3
2

9
.
2

Câu 33. Chọn B
Ta có: xy  4 y − 1  4 y  xy + 1  2 xy  4 y  2 xy nên:

x
x
 2   4.
y
y

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

19


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

6 ( 2x + y )
x

x + 2y
y
+ ln

= 12 + 6. + ln  + 2  .
x
y
x
y

x
6
Đặt t = , 0  t  4 . Suy ra : P = f ( t ) = 12 + + ln ( t + 2 ) .
t
y
Xét P =

Ta có: f  ( t ) = −

t 2 − 6t − 12 ( t − 3) − 21
6
1
.
+
= 2
= 2
t2 t + 2
t .(t + 2)
t .(t + 2)
2

Với 0  t  4 thì −3  t − 3  1  0  ( t − 3)  9 nên ( t − 3) − 21  0, t  ( 0; 4 .
2

2

Khi đó : a =

27
; b = 6 nên ab = 81 .
2

Câu 34. Chọn B
Ta có a x = 3 ab  x =
P = x + 3y =

1
1
(1 + log a b ) , b y = 3 ab  y = (1 + logb a ) .
3
3

1
4 1
1
.
(1 + log a b ) + 1 + logb a = + log a b +
3
3 3
log a b

Đặt log a b = t , do 1  a  b  a 3  1  log a b  3  t  1; 3  P =
Xét hàm số f (t ) =

4 t 1
+ + .
3 3 t

4 t 1
+ + ; với t  1; 3 .
3 3 t

t = 3
1 1
f '(t ) = − 2 ; f '(t ) = 0  
. Do t  1; 3  t = 3 .
3 t
t = − 3
8
f (1) = f ( 3) = ; f
3

Câu 35.

( 3 ) = 4 + 32

3

8
8
 max f (t ) = . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng .
1;3
3
3

Chọn B
Biến đởi u cầu của bài tốn ta được:

P

log3 a

Xét hàm số f t

HQ MATHS –

20

log 2 b
t
log 2 3

log 2 a
log 2 3

log3 b
log3 2

log 2 3. 1 t

log 2 a
log 2 3
f t

1 log 2 a
log3 2
1
2 t log 2 3

log 2 3
2 1 t

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

.

HQ MATHS – 0827.360.796 –

6
27
Suy ra: f ( t )  f ( 4 ) ,  t  (0; 4] . Hay P  f (4) = 12 + + ln 6  P 
+ ln 6 .
4
2
x
x = 2
27
 =4

Vậy Pmin =

+ ln 6 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  y
1
2

 xy = 1  y = 2


Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Do đó: f  ( t )  0 . Hàm số f ( t ) nghịch biến trên (0; 4] .