Bài giảng Đại số tuyến tính và hình học

Chương 1

Ma trận
1.1
1.1.1

Khái niệm và các dạng ma trận đặc biệt
Khái niệm

Định nghĩa 1 Ma trận cấp m × n là một bảng trong đó các số thực được sắp xếp thành m hàng và n
cột như sau


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A= .
..
.. 
 ..
.
. 
am1 am2 · · · amn
aij : là phần
 tử
hi (A) = ai1

a1j
 a2j


cj (A) =  .
 ..

giao của dòng ivà cột j của ma trận A.
ai2 · · · ain là hàng thứ i của ma trận A



 là cột j của ma trận A


amj
Tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n ký hiệu M(m, n)

1.1.2

Các dạng ma trận đặc biệt

♣ n = 1 tức là các ma trận có cấp m × 1 đgl ma trận cột
♣ m = 1 tức là các ma trận có cấp 1 × n đgl ma trận hàng
♣
n = m tức 
là các ma trận có cấp n × n đgl ma trận vng
..
. X
 :đường chéo của ma trận.
♦
..
.
X



..
.
X
: ma trận tam giác trên.
♦
..
.



..
.

♦
: ma trận tam giác dưới.
..
.
X


..
.

 : ma trận chéo.
♦
..
.

1


CHƯƠNG 1. MA TRẬN



♦


1
0
..
.

0
1
..
.

···
···
..
.

0
0
..
.

0

0

···

1

1.2

2




 = In : ma trận đơn vị.


Các phép toán hàng trên ma trận

1.2.1

Các phép toán hàng

Định nghĩa 2 : Các phép toán hàng
♣ Phép đổi hàng : hi ↔ hj
♣ Phép tỷ lệ hoá : hi → αhi , α 6= 0
♣ Phép thay thế hàng : hi → hi + αhj
Định nghĩa 3

1. Hàng bằng khơng là hàng có tất cả các phần tử đều bằng 0.
2. Phần tử cở sở là số khác 0 đầu tiên tính từ trái qua của mỗi hàng.

1.2.2

Ma trận có dạng bậc thang, bậc thang rút gọn

Định nghĩa 4 Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang nếu thoả hai điều kiện sau
1) Nếu có hàng bằng 0 thì phải nằm dưới hàng khác 0
2) Phần tử cơ sở của hàng dưới phải nằm về cột bên phải của phần tử cơ sở của hàng trên.
Ví dụ 1







1
0
0
0
0

2
0
0
0

...

...
0
0
0


...
3
0
0

...
0
0

0
0





4 
0

Định nghĩa 5 Ma trận bậc thang A được gọi là ma trận bậc thang rút gọn nếu thoả hai điều kiện sau
1) Tất cả phần tử cơ sở đều phải bằng 1
2) Tất cả các phần tử khác nằm trên cùng cột với phần tử cơ sở phải bằng 0.
Ví dụ 2


1
 0

 0
0

0
1
0
0

3
3
0
0


0
0 

1 
0

Một ma trận A bất kỳ đều có thể dùng các phép tốn hàng để đưa về dạng bậc thang (tương ứng bậc
thang rút gọn) B. Khi đó, B đgl dạng bậc thang (tương ứng bậc thang rút gọn) của A
Mỗi một ma trận có vơ số ma trận bậc thang tương ứng nhưng chỉ có duy nhất một ma trận bậc
thang rút gọn.
Thuật toán đưa ma trận về dạng bậc thang
Bước 1: Dùng phép đổi hàng (nếu cần) để có phần tử ở đỉnh của cột khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang

phải) của ma trận là phần tử khác 0. Phần tử này gọi là phần tử cơ sở thứ nhất của ma trận.
Bước 2: Dựa vào phần tử cơ sở thứ nhất, phát hiện các phép toán hàng cần thiết để biến tất cả các phần
tử nằm phía dưới phần tử cơ sở thứ nhất (trong cùng cột) thành phần tử 0 và thực hiện các phép
toán này.


CHƯƠNG 1. MA TRẬN

3

Bước 3: Lặp lại hai bước trên đối với ma trận con thu được từ ma trận ban đầu bằng cách bỏ đi hàng và
cột chứa phần tử cơ sở thứ nhất, cứ lặp lại quá trình trên cho đến phần tử cơ sở cuối cùng
♦ Chú ý: Phần tử cơ sở của ma trận bậc thang sẽ nằm ở các hàng liên tục (hàng 1,2,3,...) nhưng chưa
chắc ở các cột liên tục (cột 1,2 4, 6,...).
Ví dụ 3 Dùng phép toán

1 −1 2
1
 2 −1 1
1
A=
 −3
2 1 −1
3 −1 3
2

1 −1
0
1
h4 →4h4 −3h3 

−−
−−−−−−→ 
 0
0
0 0
1
 0
h1 →h1 −h4

A −−−−−−−−−−→ 
0
h2 → h2 + h4
h3 → h3 − h4
0

1 0 0
0 1 0
h1 →h1 +h1 
−−−−−−−→ 
 0 0 1
0 0 0

1.2.3

hàng đưa ma trận sau về dạng bậc thang sau đó đưa về bậc thang




1 −1

2
1
3
3
 0
1 −3 −1 −5 
1 
h3 →h3 +h2 
h2 →h2 −2h1
 −−−

 −−
−−−−−−→ 
−
−
−
−
−
−
−
−
→
7
2
10  h4 →h4 −2h2 
1  h3 → h3 + 3h1  0 −1
h4 → h4 − 3h1
0
2 −3 −1 −11
−2


2
1
3
−3 −1 −5 
 (Dạng bậc thang của A)
4
1
5 
0
1 −19



1 −1 0 0
10
−1
2 0
22
 0
h3 → 41 h3
1 −3 0 −24 
1 0 0 −6 

 −−−−
−−−−−−−→ 
0
4 0
24  h1 → h1 − 12 h4  0
0 1 0

6 
h2 → h2 + 34 h4
0
0 1 −19
0
0 0 1 −19

0
4
0
−6 
 (Dạng bậc thang rút gọn của A)
0
6 
1 −19

rút gọn.
1
0
0
0


−1
2
1
3
1 −3 −1 −5 

0

4
1
5 
0
3
1 −1

Hạng của ma trận

Định nghĩa 6 Hạng của ma trận A là số các hàng khác 0 có trong dạng bậc thang (hay bậc thang rút
gọn) của A.
Ký hiệu: r(A)= Số phần tử cơ sở có trong dạng bậc thang bất kỳ của A.

1.3
1.3.1

Các phép toán đại số trên ma trận
Phép cộng 2 ma trận-Phép nhân một số với ma trận

♣ Cho A = [aij ]m×n và B = [bij ]m×n
♣ Cho α ∈ R và A = [aij ]m×n

⇐⇒





2
4

1
8

5
1

⇐⇒

Định nghĩa

Ví dụ 4 Tính A + B biết A =
Giải: A + B =

Định nghĩa

1
4

A + B = [aij + bij ]

αA = [αaij ]

2
5

3
6




và B =



Tính chất 1
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + θ = A, trong đó ma trận khơng θ = [0]m×n
4. A + (−A) = θ, trong đó ma trận đối −A = [−aij ]
5. (α + β)A = αA + βA
6. α(A + B) = αA + αB
7. α(βA) = (αβ)A
8. 1.A = A
9. αA = θ ⇒ α = 0 hoặc A = θ

1
0

−1
3

2
−5


.

CHƯƠNG 1. MA TRẬN

1.3.2

4

Phép nhân hai ma trận

Định nghĩa 7 Phép nhân một ma trận hàng và ma trận cột


b1
 b2 


Định nghĩa


A = a1 a2 · · · an ∈ M(1, n) và B =  .  ∈ M(n, 1) ⇐⇒ A.B := [a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ]
 .. 
bn
Định nghĩa 8 Tích hai ma trận
A = [aik ]m×n , B = [bkj ]

Định nghĩa

⇐⇒

AB = [hi A.cj B] = [

n
X

k=1


Ví dụ 5 Tính AB biết A =

Giải:
(AB)11
(AB)12
(AB)13
(AB)21
(AB)22
(AB)23

= h1 A.c1 B
= h1 A.c2 B
= h1 A.c3 B
= h2 A.c1 B
= h2 A.c2 B
= h2 A.c
3 B
6
Vậy AB =
2

1
2

−2
1

3
−1



2
và B =  −2
0

= 1.2 + (−2)(−2) + 3.0 = 6
= 1.1 + (−2).1 + 3.1 = 2
= 1.3 + (−2)1 + 3.1 = 4
= 2.2 + 1.(−2) + (−1).0 = 2
= 2.1 + 1.1 + (−1).1 = 2
= 2.3 +1.1 + (−1).1 = 6
2 4
2 6

Nhận xét
1. (AB)ij = hi A.cj B



1
1
1


3
1 
1

aik bkj ]


CHƯƠNG 1. MA TRẬN




2. cj (AB) = 



5


h1 A.cj B
h2 A.cj B
h3 A.cj B
..
.
hm A.cj B





 = A.cj (B)





3. hi (AB) = hi A.c1 B hi A.c2 B · · · hi A.cp B = hi A.B


h1 A.B
 h2 A.B 
 




4. AB =  h3 A.B  = A.c1 B A.c2 B A.c3 B · · · A.cp B


..


.
hm A.B
Tính chất 2 Cho A, B, C là các ma trận với các cấp thích hợp để phép tốn là có nghĩa cịn α ∈ R. Khi đó,
1. (AB)C = A(BC)
2. A(B + C) = AB + AC
3. (A + B)C = AC + BC
4. (αA)B = α(AB) = A(αB)
5. Im A = A.In = A, ∀A ∈ M(m, n)

Chú ý 1 Một vài tính chất mà phép nhân hai ma trận khơng có
1. AB 6= BA


A
B
nhưng AB = θ

2. AB = θ ;

=
=

θ
Thật vậy ta lấy Phản ví dụ sau: Ta có A =
θ


3. AB = AC ; B = C Thật vậy ta có Phản ví dụ sau: A =


2 4
ràng B 6= C nhưng AB =
= AC
0 0

1.3.3

1
0

0
0



1
0

−1
0





2
1


,B =


6= θ và B =
4
2





,C =

Ma trận chuyển vị

Định nghĩa 9




A=


a11
a21
..
.
am1

a12
a22
..
.
am2

···
···
..
.
···

a1n
a2n
..
.
amn

AT được gọi là ma trận chuyển vị của A.
Tính chất 3
1. (AT )T = A
2. (A + B)T = AT + B T
3. (αA)T = αAT
4. (AB)T = B T .AT nếu tích AB xác định.







 Đổi hàng thành cột 
⇐⇒





a11
a12
..
.

a1n

a21
a22
..
.
a2n

···
···
..
.
···

am1
am2
..
.
amn




T
=A


2
2

0
0



2
3

4
5



6= θ

. Rõ


CHƯƠNG 1. MA TRẬN

1.3.4

6

Ma trận khả nghịch

Định nghĩa 10 Ma trận A ∈ M(n, n) được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B ∈ M(n, n) sao cho
AB = In = BA. Khi đó ma trận B được gọi là nghịch đảo của A. Ký hiệu A−1 = B.
−1
Nhận

 xét Ma trận nghịch đảo A của A là duy nhất. Thật vậy, giả sử A có hai ma trận nghịch đảo là B và C
AB = BA = In
nên B = BIn = B.(AC) = (BA)C = In C = C.
thì
AC = CA = In

Tính chất 4 Nếu A, B ∈ M(n, n) khả nghịch và 0 6= α ∈ R thì:
1. A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A
1
2. αA khả nghịch và (αA)−1 = A−1
α
3. AB khả nghịch và (AB)−1 = B −1 A−1
4. AT khả nghịch và (AT )−1 = (A−1 )T


Chương 2

Định thức
2.1
2.1.1

Khái niệm về định thức
Định thức cấp 2


Định nghĩa 11 Cho A =

2.1.2

a11

a21

a12
a22



Định nghĩa

⇐⇒




a11
det(A) =


a21



a12


= a11 a22 − a12 a21 .
a22


Định thức cấp 3



a11
Định nghĩa 12 Cho A =  a21
a31

a12
a22
a32


a13
a23 
a33

Định nghĩa

⇐⇒

det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12