Bải giảng đại số tuyến tính doc

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 1
TOÁN CAO CẤP A2 ðẠI HỌC
Tài liệu tham khảo
1. Giáo trình Toán cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ðHCN TP.HCM.
3. Toán cao cấp A2 – ðỗ Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM.
4. Toán cao cấp A2 – Nguyễn ðình Trí – NXB Giáo dục.
5. Toán cao cấp A2 – Nguyễn Viết ðông – NXB Giáo dục.
6. Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục.
7. Bài tập Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục.
8. ðại số tuyến tính – Bùi Xuân Hải (chủ biên) – ðHKHTN TP. HCM.

Chương 1. MA TRẬN – ðỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

§1. MA TRẬN

1.1. ðịnh nghĩa
a) Ma trận A cấp
m n
×
trên
ℝ
là 1 hệ thống gồm m.n số
(
)
1, ; 1,
ij
a i m j n
∈ = =ℝ
và ñược sắp xếp thành bảng:

11 12 1
21 22 2
1 2




n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
(gồm m dòng và n cột).
• a
ij
là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j.
• Cặp số (m, n) là kích thước của A.
• Khi m = 1, A = (a
11
a
12

… a
1n
) là ma trận dòng; n = 1,
11
1

m
a
A
a
 
 
=
 
 
 
là ma trận cột; m = n = 1, A = (a
11
) (1 phần tử).
• Tập hợp các ma trận A là
,
( )
m n
M
ℝ
, ñể cho gọn ta viết
( )
ij m n
A a
×

= .

b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ
khi chúng cùng kích thước và a
ij
= b
ij
.


VD 1.
1 1 0 1
0; 1; 2; 2; 3
2 2 3
x y
x y z u t
z t u
−
   
= ⇔ = = − = = =
   
   
.

c) Ma trận
(0 )
ij m n
×
Ο =
gồm tất cả các phần tử ñều bằng 0 là

ma trận không.

d) Khi m = n: A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu
( )
ij n
A a
=
.


Các ma trận vuông ñặc biệt:
• ðường chéo chứa a
11
, a
22
, …, a
nn
là ñường chéo chính của
A, ñường chéo còn lại là ñường chéo phụ.
• Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài ñường
chéo chính ñều bằng 0 là ma trận chéo.
• Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên ñường
chéo chính ñều bằng 1 là ma trận ñơn vị cấp n, ký hiệu I
n
.
VD 2.
2
1 0
0 1
I

 
=
 
 
,
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=
 
 
 
.


• Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận có các phần
tử nằm phía dưới (trên) ñường chéo chính ñều bằng 0.
VD 3.
1 0 2
0 1 1
0 0 0
A
−
 
 
= −

 
 
 
là ma trận tam giác trên;

3 0 0
4 1 0
1 5 2
B
 
 
=
 
 
−
 
là ma trận tam giác dưới.
• Ma trận ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối xứng
qua ñường chéo chính bằng nhau (a
ij
= a
ji
).
• Ma trận phản ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối
xứng qua ñường chéo chính ñối nhau (a
ij
= –a
ji
) và tất cả các
phần tử trên ñường chéo chính ñều bằng 0.

VD 4.
3 4 1
4 1 0
1 0 2
A
−
 
 
=
 
 
−
 
là ma trận ñối xứng;

0 4 1
4 0 0
1 0 0
B
−
 
 
=
 
 
−
 
là ma trận phản ñối xứng.

1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ
Cho
( )
ij m n
A a
×
=
,
( )
ij m n
B b
×
=
ta có:
( )
ij ij m n
A B a b
×
± = ±
.
VD 5.
1 0 2 2 0 2 1 0 4
2 3 4 5 3 1 7 0 3
−
     
+ =
     
− − −
     

;

1 0 2 2 0 2 3 0 0
2 3 4 5 3 1 3 6 5
− −
     
− =
     
− − − −
     
.

• Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.

b) Nhân vô hướng
Cho
( )
ij m n
A a
×
=
,
λ
∈
ℝ
ta có:
( )
ij m n
A a
λ λ

×
=
.
VD 6.
1 1 0 3 3 0
3
2 0 4 6 0 12
− −
   
− =
   
− −
   
;

2 6 4 1 3 2
2
4 0 8 2 0 4
   
=
   
− −
   
.
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối ñối với phép cộng
ma trận.
• Ma trận –A là ma trận ñối của A.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 2

c) Nhân hai ma trận
• Cho
( )
ij m n
A a
×
= ,
( )
jk n p
B b
×
= ta có:
( )
1
( ) , 1, ; 1,
n
ik m p ik ij jk
j
AB c c a b i m k p
×
=
= = = =
∑
.
VD 7. Tính a)
( )
1
1 2 3 2
5

−
 
 
 
 
−
 
; b)
1 0 0 0
4 0 3 2
  
  
−
  
;
c)
2 0 1
1 1 1
1 1 2
2 0 3
1 3 2
 
−
 
 
−
 
 
−
 

 
− −
 
.

• Phép nhân ma trận có các tính chất:

1) (AB)C = A(BC);
2) A(B + C) = AB + AC;
3) (A + B)C = AC + BC;
4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);
5)
n m
AI A I A
= =
, với
,
( )
m n
A M∈
ℝ
.

VD 8. Tính
a)
1 1 2 0 1 3 2 1 2 1
2 3 0 1 2 1 1 0 2 1
1 1 4 2 1 3 3 1 0 2
− − −
     

     
− − − −
     
     
− − − −
     
;


b)
1 0 1 1 2 1
2 2 0 0 3 1
3 0 3 2 1 0
− − −
  
  
− −
  
  
− −
  
và

1 2 1 1 0 1
0 3 1 2 2 0
2 1 0 3 0 3
− − −
  
  
− −

  
  
− −
  
.

• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
• ðặc biệt, khi
( )
ij n
A a
=
và
*
p∈
ℕ
ta có:
A
0
= I
n
; A
p
= A
p–1
A (lũy thừa ma trận).

VD 9. a) Cho
1 1
0 1

A
−
 
=
 
 
, tính A
2009
;
b) Cho
2 0
1 2
B
 
=
 
 
, tính (I
2
– B)
2009
.
VD 10. Cho A = (a
ij
) là ma trận vuông cấp 100 có các phần
tử ở dòng thứ i là (–1)
i
. Tìm phần tử a
36
của A

2
.

d) Phép chuyển vị
• Cho
( )
ij m n
A a
×
=
, ma trận chuyển vị của A là:
( )
T
ji n m
A a
×
=
(chuyển tất cả dòng thành cột).


• Tính chất:
1) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
;
2) (λA)
T

= λA
T
;
3) (A
T
)
T
= A;
4) (AB)
T
= B
T
A
T
;
5)
T
A A
= ⇔
A ñối xứng;
6)
T
A A
= − ⇔
A phản xứng.

1.3. Phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ma trận
a) ðịnh nghĩa
• Cho
( )

ij m n
A a
×
=

( 2)
m
≥
. Các phép bi
ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p dòng
e trên A là:

– (e
1
): Hoán v
ị
hai dòng cho nhau
i k
d d
A A
↔
′
→

.
– (e
2
): Nhân 1 dòng v
ớ
i s
ố

0
λ
≠
,
i i
d d
A A
λ
→
′′
→
.
– (e
3
): Thay 1 dòng b
ở
i t
ổ
ng c
ủ
a dòng
ñ

ó v
ớ
i tích
λ
dòng
khác
i i k
d d d
A A
λ
→ +
′′′
→
.

Chú ý
1) Trong th
ự
c hành ta th
ườ
ng làm
i i k
d d d
A B
µ λ
→ +
→
.
2) Sau 1 s
ố

h
ữ
u h
ạ
n các PB
ð
SC dòng ta
ñượ
c ma tr
ậ
n
B t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i A, ký hi
ệ
u
B A
∼
.
3) T
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có các phép bi

ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p trên
c
ộ
t c
ủ
a ma tr
ậ
n.


VD 11.
Cho
1 2 3
2 1 1
3 1 2
A
−
 
 
= −
 
 
−

 
và
1 2 3
0 1 7 /5
0 0 0
B
−
 
 
= −
 
 
 
.
Ch
ứ
ng t
ỏ

A B
∼
.

b) Ma trận sơ cấp
• Ma tr
ậ
n thu
ñượ
c t
ừ

I
n
b
ở
i
ñ
úng 1 phép bi
ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p
dòng (c
ộ
t) là ma tr
ậ
n s
ơ
c
ấ
p.
VD 12.

0 0 1
0 1 0
1 0 0
 

 
 
 
 
,
1 0 0
0 5 0
0 0 1
 
 
−
 
 
 
và
1 0 0
2 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
là các ma
tr
ậ
n s
ơ
c
ấ

p.

1.4. Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn

a) Ma trận bậc thang
• Hàng có t
ấ
t c
ả
các ph
ầ
n t
ử

ñề
u b
ằ
ng 0
ñượ
c g
ọ
i là hàng
b
ằ
ng 0.

• Ph
ầ
n t
ử

khác 0
ñầ
u tiên tính t
ừ
trái sang c
ủ
a 1 hàng
ñượ
c
g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử

cơ sở
c
ủ
a hàng
ñ
ó.

• Ma tr
ậ
n b
ậ
c thang là ma tr
ậ
n khác 0 c

ấ
p
m n
×

( , 2)
m n
≥

th
ỏ
a:
1) Các hàng b
ằ
ng 0
ở
d
ướ
i các hàng khác 0;
2) Ph
ầ
n t
ử
c
ơ
s
ở
c
ủ
a 1 hàng b

ấ
t k
ỳ
n
ằ
m bên ph
ả
i
ph
ầ
n t
ử
c
ơ
s
ở
c
ủ
a hàng trên nó.






ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 3


VD 13.

+
1 0 2
0 0 3
0 0 0
 
 
 
 
 
,
0 1 2 3
0 0 4 5
0 0 0 1
 
 
 
 
 
và I
n
là các ma trận bậc thang;
+
0 2 7
0 3 4
0 0 5
 
 
 
 
 

và
2 3 5
0 0 0
0 1 3
 
 
 
 
 
không là ma trận bậc thang.

ðịnh lý
• Mọi ma trận ñều có thể ñưa về bậc thang bằng hữu hạn
phép biến ñổi sơ cấp trên dòng.

b) Ma trận bậc thang rút gọn

• Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có phần tử
cơ sở của một dòng bất kỳ ñều bằng 1 và là phần tử khác 0
duy nhất của cột chứa nó.

VD 14.
I
n
,
1 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 

 
 
 
và
0 1 0 3
0 0 1 2
0 0 0 0
 
 
 
 
 
là các ma trận bậc
thang rút gọn.



1.5. Ma trận khả nghịch

a) ðịnh nghĩa

• Ma trận
( )
n
A M∈
ℝ
ñược gọi là khả nghịch nếu tồn tại
( )
n
B M∈

ℝ
sao cho AB = BA = I
n
.
Ma trận B là duy nhất và ñược gọi là ma trận nghịch ñảo
của A, ký hiệu A
–1
. Khi ñó:
A
–1
A = AA
–1
= I
n
; (A
–1
)
–1
= A.

• Nếu B là ma trận nghịch ñảo của A thì A cũng là ma trận
nghịch ñảo của B.

VD 15.
2 5
1 3
A
 
=
 

 
và
3 5
1 2
B
−
 
=
 
−
 
là nghịch ñảo của nhau vì
AB = BA = I
2
.

Nhận xét
1) Nếu ma trận vuông A có 1 dòng (hoặc 1 cột)
bằng 0 thì không khả nghịch.
2) Mọi ma trận sơ cấp ñều khả nghịch và ma trận
nghịch ñảo cũng là ma trận sơ cấp.
3) (AB)
–1
= B
–1
A
–1
.

b) Tìm ma trận nghịch ñảo bằng phép biến ñổi sơ cấp
dòng

• Cho
( )
n
A M∈
ℝ
, ta tìm A
–1
như sau:
Bước 1.
Lập ma trận
(
)
n
A I
(ma trận chia khối) bằng cách ghép I
n

vào bên phải A.
Bước 2.
Dùng phép biến ñổi sơ cấp dòng ñể ñưa
(
)
n
A I
về dạng
(

)
A B
′
(
A
′
là ma trận bậc thang dòng rút gọn).

1) Nếu
A
′
có 1 dòng (cột) bằng 0 hoặc
n
A I
′
≠
thì A
không khả nghịch.

2) Nếu
n
A I
′
=
thì A khả nghịch và A
–1
= B.

VD 16. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của:
1 1 0 1

0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
−
 
 
−
 
=
 
 
 
và
1 1 1
1 0 1
2 1 0
B
−
 
 
=
 
 
 
.


§2. ðỊNH THỨC

2.1. ðịnh nghĩa

a) Ma trận con cấp k

• Cho ma trận vuông
(
)
( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
. Ma trận vuông
cấp k ñược lập từ các phần tử nằm trên giao k dòng và k cột
của A ñược gọi là ma trận con cấp k của A.

• Ma trận M
ij
cấp n–1 thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi dòng
thứ i và cột thứ j là ma trận con của A ứng với phần tử a
ij
.


b) ðịnh thức

• ðịnh thức cấp n của ma trận vuông
(
)

( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
,
ký hiệu detA hay
A
, là 1 số thực ñược ñịnh nghĩa:

1) A cấp 1:
11 11
( ) det
A a A a
=
⇒
=
;
2) A cấp 2:
11 12
11 22 12 21
21 22
det
a a
A A a a a a
a a
 
=
⇒
= −

 
 
;
3) A cấp n: det A = a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ … + a
1n
A
1n
, trong
ñó A
ij
= (–1)
i+j
det(M
ij
) là phần bù ñại số của phần tử a
ij
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 4


Chú ý
•
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
= + +

31 22 13 12 21 33 23 32 11
a a a a a a a a a
− − −
(quy tắc 6 ñường chéo).
ðặc biệt.
det I
n
= 1, det 0
n
= 0.
VD 1. Tính các ñịnh thức của:
3 2
1 4
A
−

 
=
 
 
,
1 2 1
3 2 1
2 1 1
B
−
 
 
= −
 
 
 
và
1 0 2 0
4 1 2 1
3 1 0 2
2 3 3 5
C
 
 
−
 
=
 
 
 

.

2.2. Các tính chất cơ bản của ñịnh thức
• Cho ma trận vuông
(
)
( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
, ta có các tính
chất cơ bản sau:
Tính chất 1
(
)
det det
T
A A
=
.
VD 2.
1 3 2 1 2 1
2 2 1 3 2 1
1 1 1 2 1 1
−
− = −
−
;

1 3 2 1 0 0
0 2 1 3 2 0
0 0 1 2 1 1
− = −
.


Tính chất 2. Hoán vị hai dòng (cột) cho nhau thì ñịnh thức
ñổi dấu.
VD 3.
1 3 2 1 1 1 1 1 1
2 2 1 2 2 1 2 2 1
1 1 1 1 3 2 3 1 2
− −
− = − − = −
−
.
Hệ quả
• ðịnh thức có ít nhất 2 dòng (cột) giống nhau thì bằng 0.
VD 4.
3 3 1
2 2 1 0
1 1 7
=
;
2 3
2 5
2 5
1 0
1

x x x
y y
y y
=
;
2 5
2 5
2 5
1
1 0
1
y y
y y
y y
=
.
Tính chất 3. Nhân 1 dòng (cột) với số thực λ thì ñịnh thức
tăng lên λ lần.
VD 5.
3 0 3 1 0 1
2 1 2 3 2 1 2
3 1 7 3 1 7
− −
− = −
;
3 3
3 3
3 3
1 1
( 1) 1 1

1 1
x x x x x
x y y x y y
z z x z z
+
+ = +
+
.
Hệ quả
1) ðịnh thức có ít nhất 1 dòng (cột) bằng 0 thì bằng 0.
2) ðịnh thức có 2 dòng (cột) tỉ lệ với nhau thì ñịnh thức
bằng 0.


Tính chất 4
• Nếu ñịnh thức có 1 dòng (cột) mà mỗi phần tử là tổng của
2 số hạng thì có thể tách thành tổng 2 ñịnh thức.
VD 6.
3 3 3
3 3 3
3 3 3
1 1
1 1
1 1
x x x x x x x x
x y y x y y y y
x z z x z z z z
+
+ = +
− −

.
Tính chất 5
• ðịnh thức sẽ không ñổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) với λ
lần dòng (cột) khác.
VD 7. Tính các ñịnh thức:
1 2 3
1 2 1
2 3 4
− −
;
1 1
1 1
1 1
x
x
x
.

Chú ý
• Phép biến ñổi
1 2 1
2
1 5 0 7
2 3 1 3
d d d→ −
−
=
là sai do dòng 1 ñã
nhân với số –2.

2.3. ðịnh lý Laplace
• Cho ma trận vuông
(
)
( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
, ta có các khai
triển det A sau:
a) Khai triển theo dòng thứ i
1 1 2 2
1
det
, ( 1) det( )
i i i i in in
n
i j
ij ij ij ij
j
A a A a A a A
a A A M
+
=
= + + +
= = −
∑
.

b) Khai triển theo cột thứ j
1 1 2 2
1
det
, ( 1) det( )
j j j j nj nj
n
i j
ij ij ij ij
i
A a A a A a A
a A A M
+
=
= + + +
= = −
∑
.

VD 8. Tính ñịnh thức
1 0 0 2
2 1 1 2
1 2 2 3
3 0 2 1

bằng cách khai triển theo dòng 1; cột 2.

VD 9. Áp dụng tính chất và ñịnh lý Laplace, tính ñịnh thức:
1 1 1 2

2 1 1 3
1 2 1 2
3 3 2 1
−
−
.
Các kết quả ñặc biệt:

1)
11 12 1 11
22 2 21 22
11 22
1 2
0 0
0 0


0 0
n
n
nn
nn n n nn
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
= =

(dạng tam giác).

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 5


2) det(AB) = detA.detB (ñịnh thức của tích hai ma trận).
3)
det .det
0
n
A B
A C
C
=
, với
, , ( )
n
A B C M∈
ℝ

(ñịnh thức chia khối).
VD 10. a)
1 2 3 4
0 2 7 19 1 2 3 0
0 0 3 0 0 2 0 1
0 0 0 1
−
=
− −
−
;

b)
1 1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4
2 0 3 2 1 3 2 0 3 2 1 3
1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1
− −
  
  
=
  
  
− −
  
;

c)
1 1 1 2 1 4 3 1 4
2 0 3 2 1 3 0 1 2
1 2 3 1 2 1 1 2 1
T
− −
   
   
=
   
   
−
   

1 1 1 2 1 4 3 1 4
2 0 3 2 1 3 0 1 2

1 2 3 1 2 1 1 2 1
− −
=
−
.

2.4. Ứng dụng ñịnh thức tìm ma trận nghịch ñảo
a) ðịnh lý
• Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det A khác 0.



b) Thuật toán tìm A
–1


• Bước 1
Tính det A. Nếu det A = 0 thì kết luận A không khả nghịch,
ngược lại làm tiếp bước 2.

• Bước 2
Lập ma trận
(
)
(
)
T
T
ij ij
n n

A A A
⇒ =
(ma trận phụ hợp của A).

• Bước 3. Ma trận nghịch ñảo là:

1
1
.
det
T
A A
A
−
=
.
VD 11. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của:
1 2 1
1 1 2
3 5 4
A
 
 
=
 
 
 
và
1 2 1
0 1 1

1 2 3
B
 
 
=
 
 
 
.

Nhận xét

• Nếu
0
ac bd
− ≠
thì:
1
1
a b c b
d c d a
ac bd
−
−
   
=
   
−
−
   

.



2.5. Hạng của ma trận
a) ðịnh thức con cấp k
• Cho ma trận
(
)
ij
m n
A a
×
= . ðịnh thức của ma trận con cấp
k của A ñược gọi là ñịnh thức con cấp k của A.
ðịnh lý
• Nếu trong ma trận A tất cả các ñịnh thức con cấp k ñều
bằng 0 thì các ñịnh thức con cấp k + 1 cũng bằng 0.

b) Hạng của ma trận
• Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của ñịnh thức con
khác 0 của A, ký hiệu r(A). Ta có:
1 ( ) min{ , }
r A m n
≤ ≤
.
• Nế
u A là ma tr
ậ
n không thì ta quy

ướ
c r(A) = 0.

c) Phương pháp tìm hạng của ma trận
ðịnh lý
• H
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n b
ậ
c thang (dòng) b
ằ
ng s
ố
dòng khác 0
c
ủ
a ma tr
ậ
n
ñ
ó.
• Cho A là ma vuông c
ấ
p n,
( ) det 0
r A n A

= ⇔ ≠
.
Phương pháp
• B
ướ
c 1. Dùng PB
ð
SC dòng
ñư
a ma tr
ậ
n A v
ề
b
ậ
c thang.
• B
ướ
c 2. S
ố
dòng khác 0 c
ủ
a A sau bi
ế
n
ñổ
i là r(A).
VD 12.
Tìm h
ạ

ng c
ủ
a ma tr
ậ
n
2 1 1 3
0 1 0 0
0 1 2 0
0 1 1 4
A
−
 
 
−
 
=
 
 
− −
 
.


VD 13.
Tìm h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ

n
1 3 4 2
2 5 1 4
3 8 5 6
A
−
 
 
= −
 
 
−
 
.

VD 14.
Tùy theo giá tr
ị
m, tìm h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n
1 2 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 2 2 1 1
m

A
m
− −
 
 
− − −
 
=
 
 
−
 
.





ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 6

§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1. ðịnh nghĩa
• Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn và m phương trình
có dạng:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2

n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =


+ + + =




+ + + =

(1).
ðặt
( )
11 1
1



n
ij

m n
m mn
a a
A a
a a
×
 
 
= =
 
 
 
(ma trận hệ số),

( )
1
1

T
m
m
b
B b b
b
 
 
= =
 
 
 

(ma trận cột tự do)
và
( )
1
1

T
n
n
x
X x x
x
 
 
= =
 
 
 
là ma trận cột ẩn.
Khi ñó, hệ (1) trở thành
AX B
=
.

• Bộ số
( )
1

T
n

α α α
=
ñược gọi là nghiệm của (1) nếu
A B
α
=
.


VD 1. Cho hệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3
2 3
2 4 4
2 4 3
2 7 5
x x x x
x x x
x x
− + + =


+ + = −


− =


ðưa hệ về dạng ma trận:
1

2
3
4
1 1 2 4 4
2 1 4 0 3
0 2 7 0 5
x
x
x
x
 
−
   
 
   
 
= −
   
 
   
−
 
   
 
.
Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghiệm của hệ.


3.2. ðịnh lý Crocneker – Capelli

• Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B. Xét ma trận mở
rộng
( )
11 12 1 1
1 2



n
m m mn m
a a a b
A A B
a a a b
 
 
= =
 
 
 
.
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
(
)
( )
r A r A r
= =
.
Khi ñó:
1) r = n: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất;
2) r < n: Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm phụ

thuộc vào n – r tham số.


3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
a) Phương pháp ma trận nghịch ñảo
• Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n khả nghịch.
Ta có
1
AX B X A B
−
= ⇔ =
.
VD 2. Giải hệ phương trình
2 1
3 3
2 1
x y z
y z
x y z
+ − =


+ =


+ + = −

.
b) Phương pháp ñịnh thức (Cramer)
• Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n.

ðặt
11 1 1
1

det

j n
n nj nn
a a a
A
a a a
∆ = =
,

11 1
1

, 1,

j n
j
n j nn
a b a
j n
a b a
∆ = =
(thay cột j trong A bởi
cột tự do).

Khi ñó, ta có các trường hợp:

1) Nếu
0
∆ ≠
thì hệ có nghiệm duy nhất
, 1,
j
j
x j n
∆
= ∀ =
∆
.
2) Nếu
0, 1,
j
j n
∆ = ∆ = ∀ =
thì hệ có vô số nghiệm (thay
tham số vào hệ và tính trực tiếp).
3) Nếu
0
∆ =
và
0, 1,
j
j n
∃∆ ≠ =
thì hệ vô nghiệm.

VD 3. Giải hệ phương trình sau bằng ñịnh thức:
2 1
3 3
2 1
x y z
y z
x y z
+ − =


+ =


+ + = −

.

VD 4. Tùy theo tham số m, giải và biện luận hệ phương
trình:
2
1
mx y z
x my z m
x y mz m

+ + =

+ + =



+ + =

.


c) Phương pháp Gauss
•
B
ướ
c 1.
ðưa ma trận mở rộng
(
)
A B
về dạng bậc thang
bởi PBðSC trên dòng.
•
B
ướ
c 2.
Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.

Chú ý
Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:
1) Có 2 dòng tỉ lệ thì xóa ñi 1 dòng;
2) Có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng ñó;
3) Có 1 dòng dạng
(
)

0 0 , 0
b b
≠
thì kết luận hệ vô
nghiệm.
4) Gặp hệ giải ngay ñược thì không cần phải ñưa
(
)
A B
về
bậc thang.



ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 7



VD 5. Giải hệ phương trình:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
6 2 5 2 4
2 12 6 18 5 5
3 18 8 23 6 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + − − = −



+ + − − = −


+ + − − = −

.

VD 6. Giải hệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
5 2 5 3 3
4 3 2 1
2 7 = 1
x x x x
x x x x
x x x
− + − =


+ + − =


+ − −

.

3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

a) ðịnh nghĩa
• Hệ pttt thuần nhất là hệ pttt có dạng:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0

0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
AX
a x a x a x
θ
+ + + =


+ + + =

⇔ =



+ + + =

(2).
Nhận xét

• Do
(
)
( )
r A r A
=
nên hệ pttt thuần nhất luôn có nghiệm.
Nghiệm (0; 0;…; 0) ñược gọi là nghiệm tầm thường.


b) ðịnh lý
• Hệ (2) chỉ có nghiệm tầm thường
( ) det 0
r A n A
⇔ = ⇔ ≠
.

c) Liên hệ với hệ pttt tổng quát
ðịnh lý
• Xét h
ệ
pttt t
ổ
ng quát AX = B (1) và h
ệ
pttt thu
ầ
n nh
ấ
t

AX
θ
=
(2).
Khi
ñ
ó:
1) Hi
ệ
u hai nghi
ệ
m b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a (1) là nghi
ệ
m c
ủ
a (2);
2) T
ổ
ng 1 nghi
ệ
m b
ấ
t k
ỳ

c
ủ
a (1) và 1 nghi
ệ
m b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a (2)
là nghi
ệ
m c
ủ
a (1).


Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR

§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR


1.1. ðịnh nghĩa
• Không gian vector V trên
ℝ
là c
ặ
p (V,
ℝ

) trang b
ị
hai
phép toán

( , ) ( , )
V V V V V
x y x y y x
λ λ
× → × →
+
ℝ
֏ ֏
th
ỏ
a 8 tính ch
ấ
t sau:
1) x + y = y + x;
2) (x + y) + z = x + (y + z);
3)
! :
V x x x
θ θ θ
∃ ∈ + = + =
;
4)
( ) :( ) ( )x V x x x x
θ
∃ − ∈ − + = + − =

;
5)
1 2 1 2
( ) ( )
x x
λ λ λ λ
=
; 6)
( )
x y x y
λ λ λ
+ = +
;
7)
1 2 1 2
( )
x x x
λ λ λ λ
+ = +
; 8) 1.x = x.

VD 1.
T
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n
nh
ấ
t là không gian vector.
T
ậ
p
{
}
( )
n
V A M= ∈
ℝ
các ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n là kgvt.
{
}
1 2
( , , , ) , 1,
n i
V u x x x x i n

= = ∈ ∀ ∈ℝ
là kgvt Euclide
n
ℝ
.
1.2. Không gian con của kgvt
• Cho kgvt V, t
ậ
p
W V
⊂
là kgvt con c
ủ
a V n
ế
u (W,
ℝ
)
c
ũ
ng là m
ộ
t kgvt.
• Cho kgvt V, t
ậ
p
W V
⊂
là kgvt con c
ủ

a V n
ế
u:
( ) , , , x y W x y W
λ λ
+ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
ℝ
.
VD 2.
T
ậ
p
{
}
W
θ
=
là kgvt con c
ủ
a m
ọ
i kgvt V.
Trong
n
ℝ
, t
ậ
p
{
}

1 1
( ,0, ,0)W u x x= = ∈
ℝ
là kgvt con.

§2. SỰ ðỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

2.1. ðịnh nghĩa
Trong kgvt V, cho n vector u
i
(i = 1, 2,…, n).
• T
ổ
ng
1
,
n
i i i
i
u
λ λ
=
∈
∑
ℝ

ñượ
c g
ọ
i là m

ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a
n vector u
i
.
• H
ệ
n vector {u
1
, u
2
,…, u
n
}
ñượ
c g
ọ
i là
ñộ
c l
ậ
p tuy

ế
n tính
n
ế
u có
1
n
i i
i
u
λ θ
=
=
∑
thì
0, 1,
i
i n
λ
= ∀ =
.
• H
ệ
n vector {u
1
, u
2
,…, u
n
} không là

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính thì
ñượ
c g
ọ
i là ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính.
VD 1.
Trong
2
ℝ
, h
ệ
{u
1
= (1;–1), u
2
= (2; 3)} là
ñ
ltt.
Trong

n
ℝ
, h
ệ
{u
i
= (0; 0;…; 1; 0;…; 0)} (v
ị
trí th
ứ
i là 1)
là
ñ
ltt.
Trong
3
ℝ
, h
ệ
{u
1
=(–1;3;2), u
2
=(2;0;1), u
3
=(0;6;5)} là pttt.

ðịnh lý
• H
ệ

n vector ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính
⇔ ∃
1 vector là t
ổ
h
ợ
p
tuy
ế
n tính c
ủ
a n – 1 vector còn l
ạ
i.
VD 2.
N
ế
u x
1
= 2x
2
– 3x
3
thì h

ệ
{x
1
, x
2
, x
3
} là ph
ụ
thu
ộ
c
tuy
ế
n tính.
Hệ quả
• H
ệ
có 1 vector không thì ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính.
• N
ế
u có 1 b
ộ
ph

ậ
n c
ủ
a h
ệ
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính thì h
ệ
ph
ụ

thu
ộ
c tuy
ế
n tính.

2.2. Hệ vector trong
n
ℝ

ðịnh nghĩa
• Trong
n
ℝ

cho m vector
1 2
( , , , ), 1,
i i i in
u a a a i m
= =
.
Ta g
ọ
i
(
)
ij
m n
A a
×
=
là ma tr
ậ
n dòng c
ủ
a m vector u
i
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 8

§3. CƠ SỞ – SỐ CHIỀU – TỌA ðỘ
ðịnh lý

• Trong
n
ℝ
, hệ
{
}
1 2
, , ,
m
u u u
ñộc lập tuyến tính khi và chỉ
khi r(A) = m (bằng số phần tử của hệ).
• Trong
n
ℝ
, hệ
{
}
1 2
, , ,
m
u u u
phụ thuộc tuyến tính khi và
chỉ khi r(A) < m.
VD 3. Xét sự ñltt hay pttt của các hệ:
B
1
= {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B
2
= {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}.

Hệ quả
• Trong
n
ℝ
, hệ có nhiều hơn n vector thì phụ thuộc tuyến
tính.
• Trong
n
ℝ
, hệ n vector ñộc lập tuyến tính
det 0
A
⇔ ≠
.

3.1. Cơ sở của kgvt

ðịnh nghĩa
• Trong kgvt V, hệ B = {u
1
, u
2
,…, u
n
} ñược gọi là một cơ sở
của V nếu hệ B ñltt và mọi vector của V ñều biểu diễn tuyến
tính qua B.

VD 1.

– Trong
n
ℝ
, hệ
E = {e
1
= (1; 0;…; 0), e
2
= (0; 1;…; 0), …, e
n
= (0;…; 0; 1)}
là cơ sở chính tắc.
– Trong
2
ℝ
, hệ B = {u
1
= (1;–1), u
2
= (2; 3)} là cơ sở.


3.2. Số chiều của kgvt

ðịnh nghĩa
• Kgvt V ñược gọi là có n chiều, ký hiệu dimV = n, nếu
trong V có ít nhất 1 hệ gồm n vector ñltt và mọi hệ gồm n+1
vector ñều pttt.

ðịnh lý

• dimV = n khi và chỉ khi trong V tồn tại 1 cơ sở gồm n
vector.

Hệ quả
• Trong
n
ℝ
, mọi hệ gồm n vector ñltt ñều là cơ sở.

3.3. Tọa ñộ
a) ðịnh nghĩa
• Trong kgvt V cho cơ sở B = {u
1
, u
2
,…, u
n
}. Khi ñó, mỗi
x V
∈
có biểu diễn tuyến tính duy nhất x = x
1
u
1
+…+x
n
u
n
.
Ta nói x có tọa ñộ ñối với B là (x

1
,…, x
n
).
Ký hiệu
[ ]
1

B
n
x
x
x
 
 
=
 
 
 
.
• ðặc biệt, tọa ñộ của vector x ñối với cơ sở chính tắc E là
[x]
E
= [x] (tọa ñộ cột thông thường của x).
VD 2. Trong
2
ℝ
cho cơ sở B = {u
1
= (2;–1), u

2
= (1; 1)} và
x = (3;–5). Tìm [x]
B
.


b) ðổi cơ sở
• Ma trận chuyển cơ sở
– Trong kgvt V cho 2 cơ sở
B
1
= {u
1
, u
2
,…, u
n
} và B
2
= {v
1
, v
2
,…, v
n
}.
Ma trận
[ ] [ ]
[ ]

(
)
1 1 1
1 2

n
B B B
v v v
ñược gọi là ma trận chuyển
cơ sở từ B
1
sang B
2
. Ký hiệu
1 2
B B
P
→
.
– ðặc biệt, nếu E là cơ sở chính tắc thì:
[
]
[
]
[
]
(
)
1
1 2

E B n
P u u u
→
=
.

• Công thức ñổi tọa ñộ
[
]
[
]
1 2
1 2
B B
B B
x P x
→
=
.

VD 3. Trong
2
ℝ
cho 2 cơ sở B
1
= {u
1
= (1; 0), u
2

= (0;–1)},
B
2
= {v
1
= (2;–1), v
2
= (1; 1)} và
[ ]
2
1
2
B
x
 
=
 
 
.
a) Tìm
1 2
B B
P
→
; b) Tìm
[
]
1
B
x

.
ðịnh lý
Trong kgvt
n
ℝ
cho 3 cơ sở B
1
, B
2
và B
3
. Khi ñó:
1)
i i
B B n
P I
→
=
(i = 1, 2, 3);
2)
1 3 1 2 2 3
.
B B B B B B
P P P
→ → →
=
;
3)
(
)

1 2 2 1
1
B B B B
P P
−
→ →
=
.


Hệ quả
(
)
1 2 1 2 1 2
1
B B B E E B E B E B
P P P P P
−
→ → → → →
= =
.

VD 4. Giải lại VD 3.

3.4. Không gian con sinh bởi 1 hệ vector

• Trong kgvt V cho hệ m vector S = {u
1
,…, u
m

}. Tập tất cả
các tổ hợp tuyến tính của S ñược gọi là không gian con sinh
bởi S trên
ℝ
. Ký hiệu spanS hoặc <S>.



• Trong kgvt
n
ℝ
, ta có:
{
}
1 2 1 1 2 2
, , , : ,
n
m m m i
u u u x x u u u
λ λ λ λ
= ∈ = + + + ∈
ℝ ℝ
.


Khi ñó:
1) dim<S> = r(S) (hạng ma trận dòng m vector của S);
2) Nếu dim<S> = r thì mọi hệ con gồm r vector ñltt của S
ñều là cơ sở của spanS.

VD 5.
Trong
4
ℝ
cho hệ vector
S = {u
1
=(–2; 4;–2;–4), u
2
= (2;–5;–3; 1), u
3
= (–1; 3; 4; 1)}.
Tìm 1 cơ sở và dimspanS.






ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 9
§4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

4.1. ðịnh nghĩa
• Ánh xạ :
n m
f →
ℝ ℝ
thỏa
( ) ( ) ( )

, ,
( ) ( )
n
f x y f x f y
x y
f x f x
λ
λ λ
+ = +

∀ ∈ ∀ ∈

=

ℝ ℝ

ñược gọi là ánh xạ tuyến tính.
• Ánh xạ
:
n n
f →
ℝ ℝ
thỏa
( ) ( ) ( )
, ,
( ) ( )
n
f x y f x f y
x y
f x f x

λ
λ λ
+ = +

∀ ∈ ∀ ∈

=

ℝ ℝ

ñược gọi là phép biến ñổi tuyến tính.
VD 1.
f(x
1
; x
2
; x
3
) = (x
1
–x
2
+x
3
; 2x
1
+3x
2
) là AXTT từ
3 2

→
ℝ ℝ
.
f(x
1
; x
2
) = (x
1
– x
2
; 2x
1
+ 3x
2
) là PBðTT từ
2 2
→
ℝ ℝ
.

f(x
1
; x
2
) = (x
1
– x
2
; 2 + 3x

2
) không là PBðTT từ
2 2
→
ℝ ℝ
.

Chú ý
ðiều kiện
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x y f x f y
f x f x
λ λ
+ = +


=


( ) ( ) ( ) , ,
n
f x y f x f y x y
λ λ λ
⇔ + = + ∀ ∈ ∀ ∈
ℝ ℝ
.
VD 2. Các PBðTT thường gặp trong mặt phẳng:
1) Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox, Oy:
f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y).

2) Phép ñối xứng qua Ox, Oy:
f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y).
3) Phép quay góc φ quanh gốc tọa ñộ O:
f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ).


4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
a) ðịnh nghĩa
• Cho AXTT
:
n m
f →
ℝ ℝ
và hai cơ sở lần lượt là
B
1
= {u
1
, u
2
,…, u
n
} và B
2
= {v
1
, v
2
,…, v
m

}.
Ma trận cấp
m n
×

[ ] [ ]
[ ]
(
)
2 2 2
1 2
( ) ( ) ( )
n
B B B
f u f u f u
ñược
gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B
1
, B
2
.
Ký hiệu
2
1
[ ]
B
B
f
hoặc A.
Cụ thể, nếu

(
)
( )
( )
1 11 1 21 2 31 3 1
2 12 1 22 2 32 3 2
1 1 2 2 3 3





m m
m m
n n n n mn m
f u a v a v a v a v
f u a v a v a v a v
f u a v a v a v a v
= + + + +

= + + + +




= + + + +

thì

2
1
11 12 1
21 22 2
1 2


[ ]


n
n
B
B
m m mn
a a a
a a a
f
a a a
 
 
 
=
 
 
 
.
• Cho PBðTT
:
n n

f →
ℝ ℝ
và cơ sở B = {u
1
, u
2
,…, u
n
}.
Ma trận vuông cấp n
[
]
[
]
[
]
(
)
1 2
( ) ( ) ( )
n
B B
B
f u f u f u
ñược
gọi là ma trận của PBðTT f trong cơ sở B.
Ký hiệu
[
]
B

f
hoặc [f] hoặc A.
Chú ý
• Nếu A là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B
1
, B
2
thì
1 2 1 2
( , , , ) ( )
T
n n
f x x x A x x x
=
.


VD 3. a) Cho AXTT
f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t).
Tìm
3
4
[ ]
E
E
f
.
b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm
3
2

[ ]
E
E
f
.
c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z).
Tìm
3
[ ]
E
f
.
VD 4. Cho AXTT
2 3
:f →
ℝ ℝ
có ma trận của f trong hai
cơ sở chính tắc E
2
và E
3
là
1 3
0 2
4 3
A
−
 
 
=

 
 
 
.
Tìm ma trận f trong hai cơ sở B
1
= {u
1
= (1; 1), u
2
= (1; 2)}
và B
2
= {v
1
= (1; 0; 1), v
2
= (1; 1; 1), v
3
= (1; 0; 0)}.

b) Ma trận ñồng dạng

ðịnh nghĩa
• Hai ma trận vuông A, B cấp n ñược gọi là ñồng dạng với
nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P
–1
AP.

ðịnh lý

• Nếu AXTT
:
n m
f →
ℝ ℝ
có ma trận trong các cặp cơ sở
(
)
/
1 1
,
B B
,
(
)
/
2 2
,
B B
tương ứng là A
1
, A
2
và
1 2
B B
P P
→
=
,

/ /
1 2
B B
P P
→
′
=
thì
( )
1
2 1
A P A P
−
′
=
.
• ðặc biệt, nếu PBðTT
:
n n
f →
ℝ ℝ
có ma trận trong hai
cơ sở B
1
, B
2
lần lượt là A, B và
1 2
B B
P P

→
=
thì B = P
–1
AP.



VD 5.
Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y). Tìm ma trận của f
trong cơ sở chính tắc E và trong B={u
1
=(2;1),u
2
=(1;–1)}.

VD 6.
Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z). Tìm ma trận
của f trong cặp cơ sở:
1 2 3
{ (1;1;0), (0;1;1), (1;0;1)}
B u u u= = = =

và
/ /
1 2
{ (2;1), (1;1)}
B u u
′
= = =

.


c) Thuật toán tìm ma trận của AXTT
• Cho AXTT
:
n m
f →
ℝ ℝ
và hai cơ sở lần lượt là
B
1
= {u
1
, u
2
,…, u
n
} và B
2
= {v
1
, v
2
,…, v
m
}.

– Ký hiệu:
[

]
[
]
[
]
(
)
1 2

m
S v v v
=
(ma trận cột các vector của B
2
),
[
]
[
]
[
]
(
)
1 2
( ) ( ) ( )
n
Q f u f u f u=
.

– Dùng PBðSC dòng ñưa ma trận

(
)
[ ]
(
)
2
1
B
B
S Q I f→
.
VD 7. Tìm lại các ma trận f trong VD 4 và VD 6.



ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 10
§5. CHÉO HÓA MA TRẬN

5.1. Giá trị riêng, vector riêng của PBðTT
a) ðịnh nghĩa
Cho PBðTT :
n n
f →
ℝ ℝ
có ma trận trong cơ sở
B = {u
1
, u
2

,…, u
n
} là A.

• Số
λ
∈
ℝ
ñược gọi là giá trị riêng của A (hay f) nếu:
, :
n
x x Ax x
θ λ
∃ ∈ ≠ =
ℝ
.

• Vector x ñược gọi là vector riêng của A (hay f) ứng với
giá trị riêng
λ
.
• ða thức P
A
(λ) = det(A – λI) ñược gọi là ña thức ñặc trưng
của A (hay f) và λ là nghiệm của pt ñặc trưng P
A
(λ) = 0.

Cách tìm giá trị riêng và vector riêng:

• Bước 1. Giải phương trình ñặc trưng
0
A I
λ
− =
ñể tìm
giá trị riêng λ.

• Bước 2. Giải hệ phương trình
(
)
A I x
λ θ
− =
, nghiệm
không tầm thường là vector riêng.
VD 1. Cho
0 0 1
0 1 0
1 0 0
A
 
 
=
 
 
 
.
Tìm giá trị riêng và vector riêng của A.

VD 2. Cho
1 3 3
3 5 3
3 3 1
B
 
 
= − − −
 
 
 
.
Tìm giá trị riêng và vector riêng của B.

b) Tính chất
• Các vector riêng ứng với giá trị riêng λ cùng với vector
không tạo thành 1 không gian vector con riêng E(λ) của
n
ℝ
.
• Các vector riêng ứng với giá trị riêng khác nhau thì ñộc
lập tuyến tính.

5.2. Chéo hóa ma trận

a) ðịnh nghĩa

• Cho PBðTT
:

n n
f →
ℝ ℝ
, nếu có một cơ sở sao cho ma
trận của f là ma trận ñường chéo thì ta nói f chéo hóa ñược.

• Ma trận vuông A là chéo hóa ñược nếu nó ñồng dạng với
ma trận ñường chéo D, nghĩa là P
–1
AP = D.
Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A.



VD 3. Cho
0 0 0
0 1 0
1 0 1
A
 
 
=
 
 
 
, xét ma trận:

1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1
P P
−
   
   
= ⇒ =
   
   
−
   
.
Khi ñó:
1 1
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
P AP A P P
− −
   
   
= ⇒ =
   
   
   
.

b) ðiều kiện chéo hóa ñược
ðịnh lý
• Nếu A có n giá trị riêng ñôi phân biệt thì A chéo hóa ñược.
• A chéo hóa ñược khi và chỉ khi A có n giá trị riêng kể cả

bội và số chiều của tất cả không gian con riêng bằng số bội
của giá trị riêng tương ứng.

c) Thuật toán chéo hóa ma trận
• Bước 1. Giải phương trình ñặc trưng ñể tìm các giá trị
riêng của A.
1) Nếu A không có giá trị riêng nào thì A không chéo
hóa ñược.



2) Giả sử A có k giá trị riêng phân biệt λ
1
, λ
2
,…, λ
k
với số
bội tương ứng n
1
, n
2
,…, n
k
. Khi ñó:
a) n
1
+ n
2
+…+ n

k
< n thì A không chéo hóa ñược.
b) n
1
+ n
2
+…+ n
k
= n thì ta làm tiếp bước 2.

• Bước 2. Với mỗi λ
i
tính r(A – λ
i
I) = r
i
.
Khi ñó dimE(λ
i
) = n – r
i
.
1) Nếu có một λ
i
mà dimE(λ
i
) < n
i
thì A không chéo hóa
ñược.

2) Nếu dimE(λ
i
) = n
i
với mọi λ
i
thì kết luận A chéo hóa
ñược. Ta làm tiếp bước 3.
• Bước 3. Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của
E(λ
i
). Khi ñó, P
–1
AP = D với D là ma trận ñường chéo có
các phần tử trên ñường chéo chính lần lượt là λ
i
(xuất hiện
liên tiếp n
i
lần).
VD 4. Chéo hóa các ma trận:
3 0
8 1
A
 
=
 
−
 
,

1 0
6 1
B
 
=
 
−
 
.
VD 5. Chéo hóa các ma trận :
0 0 0
0 1 0
1 0 1
A
 
 
=
 
 
 
,
1 3 3
3 5 3
3 3 1
B
 
 
= − − −
 
 

 
.









ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 11
Chương 3. DẠNG TOÀN PHƯƠNG

§1. KHÁI NIỆM DẠNG TOÀN PHƯƠNG
1.1. Dạng toàn phương tổng quát

ðịnh nghĩa
• Hàm số n biến số x = (x
1
, x
2
,…, x
n
)
:
n
Q →
ℝ ℝ

cho bởi biểu thức
[ ] [ ]
1 1
( )
n n
T
ij i j
i j
Q x x A x a x x
= =
= =
∑∑
(A là ma trận ñối xứng)
ñược gọi là dạng toàn phương trong
n
ℝ
.

• Ma trận A và r(A) ñược gọi là ma trận và hạng của dạng
toàn phương Q.



VD 1. Tìm dạng toàn phương Q(x) hai biến x
1
, x
2
.
Biết ma trận của Q(x) là
1 1

1 2
A
−
 
=
 
−
 
.


VD 2. Cho dạng toàn phương 3 biến
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3
( ) 2 3 6
Q x x x x x x x x
= + − − +
.
Tìm ma trận A.



1.2. Dạng chính tắc của dạng toàn phương
ðịnh nghĩa
• Dạng chính tắc là dạng toàn phương trong
n
ℝ
chỉ chứa
bình phương của các biến
2

1
( )
n
ii i
i
Q x a x
=
=
∑
.
• Ma trận A của dạng chính tắc là ma trận ñường chéo.
VD 3. Tìm dạng chính tắc Q(x) hai biến x
1
, x
2
.
Biết ma trận của Q(x) là
1 0
0 2
A
 
=
 
−
 
.
VD 4. Cho dạng chính tắc 3 biến
2 2 2
1 2 3
( ) 5 3

Q x x x x
= − −
.
Tìm ma trận A.

1.3. Dạng toàn phương xác ñịnh dấu

a) ðịnh nghĩa
• Dạng toàn phương Q(x) là xác ñịnh dương nếu:
( ) 0, ( )
n
Q x x x
θ
> ∀ ∈ ≠
ℝ
.
• Dạng toàn phương Q(x) là xác ñịnh âm nếu:
( ) 0, ( )
n
Q x x x
θ
< ∀ ∈ ≠
ℝ
.
• Dạng toàn phương Q(x) là nửa xác ñịnh dương (âm) nếu:
( ) 0, ( ( ) 0, )
n n
Q x x Q x x≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
ℝ ℝ
.

• Dạng toàn phương Q(x) là không xác ñịnh nếu nó nhận cả
giá trị dương lẫn âm.


b) các tiêu chuẩn xác ñịnh dấu

ðịnh lý 1

• Dạng toàn phương Q(x) của
n
ℝ
xác ñịnh dương khi và
chỉ khi tất cả các hệ số dạng chính tắc của nó ñều dương.

• Dạng toàn phương Q(x) của
n
ℝ
xác ñịnh âm khi và chỉ
khi tất cả các hệ số dạng chính tắc của nó ñều âm.

ðịnh lý 2 (Sylvester)

Cho ma trận vuông cấp n
(
)
ij
n
A a
= . ðịnh thức:
11 1

1



k
k
k kk
a a
D
a a
=

(1 )
k n
≤ ≤
ñượ
c g
ọ
i là
ñị
nh th
ứ
c con
chính c
ủ
a A (A có n
ñị
nh th
ứ
c con chính).

• D
ạ
ng toàn ph
ươ
ng Q(x) c
ủ
a
n
ℝ
xác
ñị
nh d
ươ
ng khi và
ch
ỉ
khi t
ấ
t c
ả
các
ñị
nh th
ứ
c con chính D
k
> 0.
• D
ạ
ng toàn ph

ươ
ng Q(x) c
ủ
a
n
ℝ
xác
ñị
nh âm khi và ch
ỉ

khi các
ñị
nh th
ứ
c con chính c
ấ
p ch
ẵ
n d
ươ
ng, c
ấ
p l
ẻ
âm.


§2. ðƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Phương pháp chung

ðổ
i bi
ế
n
n
x∈
ℝ
b
ằ
ng bi
ế
n
[
]
[
]
[
]
[
]
1
:
n
y x P y y P x
−
∈ = ⇔ =
ℝ

(P là ma tr
ậ

n vuông không suy bi
ế
n,
det 0
P
≠
) sao cho
D = P
T
AP có d
ạ
ng chéo. Khi
ñ
ó:
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
T T
Q x x A x y D y
= =
(d
ạ
ng chính t
ắ
c theo bi
ế
n y).

2.1. Thuật toán Lagrange
Cho d
ạ

ng toàn ph
ươ
ng
2
1 1 1 1
( ) 2
n n n
ij i j ii i ij i j
i j i i j n
Q x a x x a x a x x
= = = ≤ < ≤
= = +
∑∑ ∑ ∑
(a
ij
= a
ji
).


a) Trường hợp 1 (có 1 hệ số a
ii
≠
0
)
• B
ướ
c 1. Gi
ả
s

ử

11
0
a
≠
, ta tách t
ấ
t c
ả
các s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a x
1

trong Q(x) và thêm (b
ớ
t)
ñể
có d
ạ
ng:
( )
2
11 1 12 2 1 1 2 3
11

1
( ) ( , , , )
n n n
Q x a x a x a x Q x x x
a
= + + + +
,
1 2 3
( , , , )
n
Q x x x
có n – 1 bi
ế
n.
ðổ
i bi
ế
n
1 11 1 12 2 1

n n
y a x a x a x
= + + +
,
(
)
2,
i i
y x i n
= =

.
ðổ
i bi
ế
n ng
ượ
c
( )
1 1 12 2 1
11
1

n n
x y a y a y
a
= − − −
,

(
)
2,
i i
x y i n
= =
.
V
ớ
i bi
ế
n m

ớ
i thì
2
1 1 2
11
1
( ) ( , , )
n
Q y y Q y y
a
= +
.


ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 12


• Bước 2. Tiếp tục làm như bước 1 cho Q
1
(y
2
,…, y
n
), sau 1
số hữu hạn bước thì Q(x) có dạng chính tắc.
b) Trường hợp 2 (các hệ số a
ii
= 0)
Giả sử

12
0
a
≠
, ta ñổi biến
1 1 2
2 1 2
( 3, , )
i i
x y y
x y y
x y i n
= +


= −


= =

. Khi ñó,
2 2
12 1 12 2
2 2
Q a y a y
= − +
có hệ số của
2
1
y

là
12
0
a
≠
.
Trở lại trường hợp 1.
VD 1. ðưa dạng toàn phương
2 2
2 3 1 2 1 3
4 2 4
Q x x x x x x
= − + + + về dạng chính tắc. Tìm P.
VD 2. ðưa dạng toàn phương
1 2 1 3 2 3
2 2 6
Q x x x x x x
= + − về
dạng chính tắc. Tìm P.

2.2. Thuật toán Jacobi
Cho dạng toàn phương
( )
Q x
có ma trậ
n
(
)
ij
n

A a
=
th
ỏ
a
0, 1,
k
D k n
≠ ∀ ∈
. V
ớ
i j > i, ta
ñặ
t D
j–1,i
là
ñị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma
tr
ậ
n có các ph
ầ
n t
ử
n
ằ

m trên giao c
ủ
a các dòng 1, 2,…, j–1
và các c
ộ
t 1, 2, …, i–1, i+1,…, j (b
ỏ
c
ộ
t i) c
ủ
a A.

•
ðổ
i bi
ế
n theo công th
ứ
c:
1 1 21 2 31 3 41 4 1
2 2 32 3 42 4 2





n n
n n
n n

x y b y b y b y b y
x y b y b y b y
x y
= + + + + +


= + + + +




=

,


v
ớ
i
1,
1
( 1)
j i
i j
ji
j
D
b
D
−

+
−
= −
.

• Khi
ñ
ó,
2 2 2 2
32
1 1 2 3
1 2 1

n
n
n
D D
D
Q D y y y y
D D D
−
= + + + +
.

VD 3.

ðư
a d
ạ
ng toàn ph

ươ
ng
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
2 3 4
Q x x x x x x x
= + + + +
v
ề
d
ạ
ng chính t
ắ
c. Tìm P.


2.3. Thuật toán chéo hóa trực giao

a) ðịnh nghĩa
• Ma tr
ậ
n vuông P
ñượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n tr
ự
c giao n

ế
u:
P
T
= P
–1
hay P
T
P = I
n
.
• N
ế
u có ma tr
ậ
n tr
ự
c giao P làm chéo hóa ma tr
ậ
n A thì ta
g
ọ
i P chéo hóa tr
ự
c giao ma tr
ậ
n A.

Chú ý

– N
ế
u
(
)
ij
n
P a
=
là ma tr
ậ
n tr
ự
c giao thì :
2
1
1
n
ij
i
a
=
=
∑
(t
ổ
ng bình ph
ươ
ng c
ộ

t).



b) ðịnh lý
• M
ọ
i d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng Q(x) c
ủ
a
n
ℝ

ñề
u
ñư
a
ñượ
c v
ề

d
ạ
ng chính t
ắ
c

2 2 2
1 1 2 2

n n
Q y y y
λ λ λ
= + + +
b
ằ
ng phép
ñổ
i
bi
ế
n [x] = P[y], v
ớ
i P là ma tr
ậ
n làm chéo hóa tr
ự
c giao A
và các
i
λ
là các giá tr
ị
riêng c
ủ
a A.

c) Thuật toán
• B
ướ
c 1.
Tìm các giá tr
ị
riêng
i
λ
và vector riêng
i
u
(i = 1,…,n).
• B
ướ
c 2. Tr
ự
c chu
ẩ
n hóa u
i
nh
ư
sau:
1)
ðặ
t

1 1
v u

=
,
2 1
2 2 1
1 1
u v
v u v
v v
= −
,


3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
u v u v
v u v v
v v v v
= − −
,…
(ký hi
ệ
u
u v
là tích vô h
ướ
ng c
ủ
a u và v).
2) Chu

ẩ
n hóa
i
i
i
v
w
v
=
, v
ớ
i
i
v
là
ñộ
dài vector v
i
.
• B
ướ
c 3.
Ma tr
ậ
n P = ([w
1
] [w
2
] … [w
n

]).

VD 4.

ðư
a d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
6 6 5 4 2 2
Q x x x x x x x x x
= + + − − −
v
ề
d
ạ
ng chính
t
ắ
c. Tìm P. Cho bi
ế
t A có
1 1
3, (1;1;1);
u
λ
= =

2 2 3 3
6, ( 1; 1;2); 8, ( 1;1;0)
u u
λ λ
= = − − = = −
.

§3. RÚT GỌN QUADRIC
2.4. Thuật toán biến ñổi sơ cấp ma trận ñối xứng
• B
ướ
c 1. Bi
ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p dòng
(
)
A I
và
ñồ
ng th
ờ
i l
ặ

p l
ạ
i
các bi
ế
n
ñổ
i cùng ki
ể
u trên các c
ộ
t c
ủ
a
(
)
A I

ñể

ñư
a A v
ề

d
ạ
ng chéo. Khi
ñ
ó, I s
ẽ

tr
ở
thành P
T
và
1
2
0 0
0 0

0 0 0
T
n
P AP
λ
λ
λ
 
 
 
=
 
 
 
.
• B
ướ
c 2.
ðổ
i bi

ế
n [x] = P[y] ta có
2 2 2
1 1 2 2

n n
Q y y y
λ λ λ
= + + +
.
VD 5.

ðư
a d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng
1 2 1 3 2 3
2 4 6
Q x x x x x x
= − +
v
ề

d
ạ
ng chính t
ắ
c. Tìm P.

3.1. ðường bậc hai trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy
a) ðịnh nghĩa
• Trên mpOxy,
ñườ
ng b
ậ
c hai là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các
ñ
i
ể
m
M(x; y) có t
ọ
a
ñộ
th
ỏ
a ph
ươ
ng trình:
Ax

2
+ 2Bxy + Cy
2
+ 2Dx + 2Ey + F = 0 (1).
Trong
ñ
ó, A
2
+ B
2
+ C
2
> 0.
• Các d
ạ
ng chính t
ắ
c c
ủ
a
ñườ
ng b
ậ
c hai:
1)
2 2
2 2
1
x y
a b

+ =
(
ñườ
ng elip);
2)
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
(
ñườ
ng hyperbol);
3)
2
2
y px
=
(parabol);
4)
2 2
0
x y
− =
(c
ặ
p
ñườ
ng th

ẳ
ng c
ắ
t nhau);
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 13


5)
2
y a
=
, a > 0 (cặp ñường thẳng song song);
6)
2
0
y
=
(cặp ñường thẳng trùng nhau).
• Các ñường bậc hai có phương trình dạng 1), 2) và 3) ñược
gọi là không suy biến.

b) Nhận biết các ñường Conic
• Cho (C) là ñường bậc hai có phương trình (1).
ðặt
A B D
Q B C E
D E F
 
 

=
 
 
 
, khi ñó:
(C) không suy biến
(
)
det 0 3
Q r Q
⇔ ≠ ⇔ =
.
• Cho (C) là ñường bậc hai không suy biến (Conic) có
phương trình (1).
ðặt
A B
Q
B C
 
=
 
 
, khi ñó:
1) (C) là ñường elip
det 0
Q
⇔ >
;
2) (C) là
ñườ

ng hyperbol
det 0
Q
⇔ <
;
3) (C) là
ñườ
ng parabol
det 0
Q
⇔ =
;
4) (C) là
ñườ
ng tròn
0, 0
A C B
⇔ = ≠ =
.
c) Phương pháp lập phương trình chính tắc của ñường
bậc hai
• Gi
ả
s
ử

ñườ
ng b
ậ
c hai (C) có ph

ươ
ng trình (1) trong Oxy.
Xét d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng: Q(x, y) = Ax
2
+ 2Bxy + Cy
2

xác
ñị
nh b
ở
i ph
ầ
n
ñẳ
ng c
ấ
p trong (1).


• B
ướ
c 1. Chính t
ắ
c hóa tr
ự

c giao Q(x, y) nh
ờ
phép quay
thích h
ợ
p trong h
ệ
t
ọ
a
ñộ

ñ
ang xét.
• B
ướ
c 2. T
ị
nh ti
ế
n h
ệ
t
ọ
a
ñộ
m
ộ
t cách thích h
ợ

p
ñể
ph
ươ
ng
trình (C) có d
ạ
ng chính t
ắ
c.
VD 1.
Xác
ñị
nh d
ạ
ng c
ủ
a
ñườ
ng b
ậ
c hai
(C): x
2
– 4xy + 4y
2
+ 4x – 3y – 7 = 0.
Ta có
( )
1 2 2

2 4 3/ 2 3
3/ 2 7
Q r Q
E
−
 
 
= − − ⇒ =
 
 
− −
 


⇒
(C) không suy bi
ế
n.

1 2
det 0
2 4
Q Q
−
 
= ⇒ = ⇒
 
−
 
(C) là

ñườ
ng parabol.

VD 2.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c c
ủ
a
(C): 5x
2
+ 4xy + 8y
2
– 32x – 56y + 80 = 0 trong Oxy.
Giải.
Xét d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng Q(x, y) = 5x
2
+ 4xy + 8y
2
.
Ta có
5 2

2 8
Q
 
=
 
 

1 2
5 5
2 1
5 5
P
 
−
 
 
⇒ =
 
 
 
là ma tr
ậ
n tr
ự
c giao chéo hóa Q.
Quay quanh O m
ộ
t góc
ϕ
sao cho

cos sin
sin cos
P
ϕ ϕ
ϕ ϕ
 
=
 
−
 
,


ngh
ĩ
a là ta
ñổ
i t
ọ
a
ñộ
:
1 2
5 5
2 1
5 5
x x y
y x y

′ ′

= −




′ ′
= +


.
Khi
ñ
ó, (C) có ph
ươ
ng trình:
2 2
144 8
9 4 80 0
5 5
x y x y
′ ′ ′ ′
+ − + + =

2 2
8 1
9 4 36
5 5
x y
   
′ ′

⇔ − + + =
   
   



2 2
8 1
5 5
1
4 9
x y
   
′ ′
− +
   
   
⇔ + =
.
Dùng phép t
ị
nh ti
ế
n h
ệ
t
ọ
a
ñộ
:

8
5
1
5
X x
Y y

′
= −




′
= +


thì
2 2
( ): 1
4 9
X Y
C
+ =
(elip).



3.2. Mặt bậc hai trong không gian tọa ñộ Oxyz
a) ðịnh nghĩa

• Trong không gian Oxyz, m
ặ
t b
ậ
c hai là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các
ñ
i
ể
m M(x; y; z) có t
ọ
a
ñộ
th
ỏ
a ph
ươ
ng trình:
Ax
2
+ 2Bxy + 2Cxz + Dy
2
+ 2Eyz + Fz

2
+ 2Gx + 2Hy +
2Kz + L = 0(2).
Trong
ñ
ó A, B, C, D, E, F không
ñồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng 0.
• Các d
ạ
ng chính t
ắ
c c
ủ
a m
ặ
t b
ậ
c hai:
1)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =

(m
ặ
t elipxoit);
2)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − =
(hyperboloit 1 t
ầ
ng);
3)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = −
(hyperboloit 2 t
ầ
ng);

4)
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c

+ − =
(nón eliptic);
5)
2 2
2 2
2
x y
z
a b
+ =
(parabolit eliptic);
6)
2 2
2 2
2
x y
z
a b
− =
(parabolit hyperbolic – yên ng
ự
a);
7)
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
(m

ặ
t tr
ụ
eliptic);
8)
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
(m
ặ
t tr
ụ
hyperbolic);
9)
2
2
y px
=
(m
ặ
t tr
ụ
parabolic).


ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 14

b) Nhận biết các mặt bậc hai
• Cho (S) là mặt bậc hai có phương trình (2).
ðặt
A B C
Q B D E
C E F
 
 
=
 
 
 
và
A B C G
B D E H
Q
C E F K
G H K L
 
 
 
=
 
 
 
, ta có:
(S) không suy biến

(
)
det 0 4
Q r Q
⇔ ≠ ⇔ =
. Khi ñó:
1) (S) là mặt elipxoit
Q
⇔
xác ñịnh dương hoặc xác ñịnh
âm.
2) (S) là mặt parabolic
det 0
Q
⇔ =
.
VD 3.
Xác
ñị
nh d
ạ
ng c
ủ
a m
ặ
t b
ậ
c hai sau
ñ
ây r

ồ
i l
ậ
p
ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c (S):
22x
2
+ 8xy + 28y
2
+ 15z
2
– 112x – 184y – 30z + 343 = 0.

Giải.

Ta có
22 4 0
4 28 0
0 0 15
Q
 
 
=
 
 
 

và
22 4 0 56
4 28 0 92
0 0 15 15
56 92 15 343
Q
−
 
 
−
 
=
 
−
 
− − −
 
.
Do
(
)
4
r Q
=
nên (S) không suy bi
ế
n.

Theo
ñị

nh lý Sylvester, Q có
D
1
= 22 > 0; D
2
= 600 > 0; D
3
= 9000 > 0 nên Q xác
ñị
nh
d
ươ
ng. V
ậ
y (S) là m
ặ
t elipxoit.


Ta có:
1 2
0
5 5
22 4 0
2 1
4 28 0 0
5 5
0 0 15
0 0 1
Q P

 
−
 
 
 
 
 
= ⇒ =
 
 
 
 
 
 
 
 
là ma
tr
ậ
n tr
ự
c giao chéo hóa Q.
ðổ
i t
ọ
a
ñộ
:
1 2
5 5

2 1
5 5
x x y
y x y
z z

′ ′
= −



′ ′
= +



′
=


.
Khi
ñ
ó, (S) có ph
ươ
ng trình:

2 2 2
480 40
30 20 15 30 343 0

5 5
x y z x y z
′ ′ ′ ′ ′ ′
+ + − − − + =

( )
2 2
2
8 1
1
5 5
1
2 3 4
x y
z
   
′ ′
− −
   
′
−
   
⇔ + + =
.
Dùng phép t
ị
nh ti
ế
n h
ệ

t
ọ
a
ñộ
:
8
5
1
5
1
X x
Y y
Z z

′
= −



′
= −



′
= −



thì

2 2 2
( ) : 1
2 3 4
X Y Z
S
+ + =
(m
ặ
t elipxoit).


……………………………H
ế
t…………………………….