Vecto toán 10 chuyên đề 6

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 72 trang )

hange E

O
W

1

Y
B

A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm mở đầu:
 Véctơ là một đoạn thẳng:
 Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn.
 Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ.
 Độ dài của véctơ là độ dài đoạn thẳng xác định bởi điểm đầu và điểm cuối của véctơ.
 Điểm gốc: A
 Điểm ngọn: B
Ví dụ: Véctơ

 Phương (giá): đường thẳng AB
AB :
 Hướng: từ A đến B
B

 Độ dài (môđun : độ dài đoạn AB



 Véctơ có gốc A, ngọn B được kí hiệu là và độ dài của véctơ AB được kí hiệu là AB là
khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véctơ. Ngồi ra, véctơ cịn được kí hiệu bởi

   


một chữ cái in thường phía trên có mũi tên như a , b , v , u độ dài của a kí hiệu: a .

 Véctơ “khơng”, kí hiệu 0 là véctơ có:
 Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau.
 Độ dài bằng 0.
 Hướng bất kỳ
 Hai véctơ cùng phương khi chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai
đường thẳng song song.
 
 
Hai cặp véctơ ( AB , CD ) và ( MN , PQ ) được gọi là cùng phương.
Q
A

B

C

P

D
M

N




 AB //CD
AB cùng phương CD  
 A, B, C , D thẳng hàng
 Hướng của hai véctơ: Hai véctơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Ta
chỉ xét hướng của hai véctơ khi chúng cùng phương.


 Hai véctơ AB và CD gọi là cùng hướng:


C
D
 AB //CD
AB  CD  
A
B
 Hai tia AB, CD cùng hướng



 Hai véctơ AB và CD gọi là ngược hướng:


 AB //CD
AB  CD  
 Hai tia AB, CD ngược hướng
Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

D
A

C
B

ac

k e r- s o ft w a

.c

k

lic

tr

om

to

Bài 1. VÉCTƠ

A

C

om

k
lic

C

.c

re

.

.

VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

Chủ đề 6

k e r- s o ft w a

w

w

ac

t

U

Y
U
to

B

Ll20202020v,.

ww

ww

tr

di

!

XC

N

O
W

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tần và biên tập)

F-

N

t

PD

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

re

x

B

0  
xOy  180 

A



xO y  0 

C

A

O

C

.c

B
C



  180
 Khi AB và CD khơng cùng hướng thì 0  xOy


  0
 Khi AB và CD cùng hướng thì xOy


  180
 Khi AB và CD ngược hướng thì xOy
 Hai véctơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.



 AB và CD cùng hướng
 
C
D

AB = CD   
 AB  CD hay AB  CD
A

B

 Hai véctơ đối nhau khi và chỉ khi chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau.


D
C
 AB và CD ngược hướng



AB =  CD   

AB
CD
hay AB  CD

A

B

2. Các phép toán trên vectơ:
a) Tổng của hai véctơ:


 

 Định nghĩa phép cộng 2 véctơ a và b là véctơ a  b , được xác định tùy theo vị trí của
2 véctơ này. Có 3 trường hợp:
 
 
 
① a  b nối đuôi
② a  b cùng điểm gốc
③ a  b là 2 véctơ bất kỳ

b


a

 
ab


a


a

 

ab

 
ab

b


b
 
a  b được cộng theo
2 trường hợp trên

 
 
a  b được cộng theo
a  b được cộng theo
quy tắc 3 điểm
quy tắc hình bình hành
 Qui tắc ba điểm: (Qui tắc tam giác hay qui tắc Chasles)
  
- Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có: AB  AC  CB .
- Qui tắc 3 điểm còn được gọi là hệ thức Chasles dùng để cộng các véctơ liên tiếp,
có thể mở rộng cho trường hợp nhiều véctơ như sau:
   

A1 An  A1 A2  A2 A3  A3 A4  ...  An 1 An
 Qui tắc hình bình hành:

  

 
 AC  AB  AD
 AB  DC D
Cho hình bình hành ABCD thì”     và   
 DB  DA  DC
 AD  BC
- Qui tắc hình bình hành dùng để cộng các véctơ chung gốc.
A

 Lưu ý: phép cộng véctơ không phải là phép cộng độ dài các véctơ.

C

B

!
O
W
N
Y

D

A
D

t

U

B

D

xO y  180 

2

di

B



y

hange E

tr

ac

om

.c

k
lic
C

om



XC

to

!

O
W

N
Y
U
B
to

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac



 Góc của hai véctơ AB và CD là góc tạo bởi hai tia Ox, Oy lần lượt cùng hướng với hai
 
 
tia AB và CD. Nghĩa là: xOy
AB, CD .

F-

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

ww

ww

tr

PD

t

k

di

lic

hange E

C

XC

or

PD

F-

k e r- s o ft w a

re

XC

hange E

O
W
Y
U



 



b) Hiệu của hai véctơ:
 Véctơ đối:


- Véctơ đối véctơ a kí hiện là  a .
 
 
- Tổng hai véctơ đối là 0 : a    a   0

 
 

 Định nghĩa: hiệu hai véctơ a và b cho 2 kết quả a  b hoặc b  a được xác định:
 

  
 a  b  a  ( véctơ đối của b )  a  b
  
 

 b  a  b  ( véctơ đối của a )  b   a 

 

 Tính chất:

   
① a : a  a  0

  



② a : a  0  a





A

③  AB  BA

 Qui tắc tam giác đối với hiện hai véctơ:
  
Với ba điểm bất kỳ A , B , C ta có: AB  CB  CA .

C

B

c) Tích của một số đối với một véctơ:

  
 Định nghĩa: Cho số thực k ( k  0 ) và một véctơ a ( a  0 )



cùng hướng với a nếu k  0
Tích k. a là một véctơ

ngược hướng với a nếu k  0

 Tính chất:

 






 k a  b  k .a  k .b
  k  h  .a  k .a  h.a
 k .  h.a    k .h  .a


 
 
  1 .a   a
 1.a  a
 0.a  0
 Điều kiện để hai véctơ cùng phương:
   
- Điều kiện cần và đủ để hai véctơ a; b ( b  0 ) cùng phương là tồn tại một số k để



a  k .b .


- Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A , B , C thẳng hàng là AB  k AC



k
lic

tr



d) Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:
 Trung điểm của đoạn thẳng:

A

I

B

- I là trung điểm của AB:



  
  1 
 IA  IB  0 hay AI  IB  AB hay IA   IB

2
 

- I là trung điểm của AB , với M bất kì, ta có: MA  MB  2 MI

M

A

 Trọng tâm của tam giác:

   
G là trọng tâm của ABC  GA  GB  GC  0
  

- Với M bất kì: MA  MB  MC  3MG

G

B

C

ac

.c

   
 Giao hoán: a  b  b  a
  

  
  
 Kết hợp: a  b  c  a  b  c   a  c   b

 
 Cộng với véctơ đối: a   a   0 .
    
 Cộng với véctơ không: a  0  0  a  a .

om

to

 Tính chất:

C

.c

om

k
lic
C

t

B

U

Y

N

3

B
to

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

F-

N

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

PD

t

O
W

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

k e r- s o ft w a

re

!

hange E

4

t

Y
U
B

ac

.c

tr

k e r- s o ft w a

Vấn đề 1. KHÁI NIỆM VÉCTƠ
I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Véctơ là 1 đoạn thẳng có hướng (có điểm đầu, điểu cuối)
 
 1 đoạn thẳng AB xác định 2 véctơ: AB , BA .
 Véctơ dùng để giải các bài tốn hình học và vật lý mà có tính chất “độ dài + hướng”
(như các bài toán về chuyển động, lực, …)
 Độ dài véctơ (modul) là độ dài đoạn thẳng tạo thành véctơ đó. Độ dài véctơ cũng là
 
khoảng cách giữa hai điểm đầu mút. Kí hiệu: AB  AB  BA .





om

k
lic
C

.c

C

lic

k

om

to

B - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

to

B

U

Y

N

O
W

XC

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

!

t

O
W

di

N

hange E

PD

XC

or

PD

F-

2 véctơ cùng phương khi giá chủa chúng song song hoặc cùng nằm trên đường thẳng.
2 véctơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.


2 véctơ đối nhau khi chúng ngược hướng và cùng độ dài. Véctơ đối của a là  a .
Véctơ khơng là véctơ có điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau, độ dài là 0 , phương
  

hướng tùy ý. Như vậy với mọi điểm A , B , C , … bất kỳ thì AA  BB  CC  ...  0 .

II - BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt A và B . Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng và bao nhiêu vectơ khác nhau và

khác vectơ 0 ?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Cho ABC . Gọi P , Q và R là trung điểm các cạnh AB , BC và AC .
a) Nêu các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là A , B và C



b) Nêu các vectơ bằng PQ
b) Nêu các vectơ đối của PQ
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 3. Cho ABC cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AB .
 

a) Ta có: AB  AC đúng hay sai ?
b) Các vectơ nào cùng hướng với AC

c) Các vectơ nào ngược hướng với BC ?
d) Các vectơ bằng nhau?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

re

hange E

U

ac

.c

om

k
lic
C

om

.c

to

B

U
to
k
lic
C

t

N

O
W

5

B

tr

.

.

Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Dựa theo hình vẽ. Tìm:

re
a) Các vectơ bằng nhau (  0 ) có điểm đầu và điểm cuối trong 4 điểm A , B , C và D .
b) Các vectơ bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là O .

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

XC

Y

N

F-

Y

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

PD

t

O
W

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

k e r- s o ft w a

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................


Ví dụ 5. Cho hình vuông ABCD tâm O . Nêu các vectơ (  0 ) bằng nhau mà có điểm đầu và điểm cuối
trong các điểm A , B , C và D và O .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

hange E

Y
to

B

U

Y
U
B

.

.

k e r- s o ft w a

 
Ví dụ 9. Cho tứ giác ABCD . Chứng minh: ABCD là hình bình hành  AB  DC
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 10. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC . AN và
  
CM lần lượt cắt BD tại E và F . Chứng minh DE  EF  FB
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.

Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB . Các khẳng định sau đây đúng hay sai ?




a) AC và BC cùng hướng
b) AB và BC ngược hướng
 
 


c) AB  BC

d) AC  BC
e) AB  2 BC

Bài 2.

Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O .


a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA .

b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB
.
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có điểm đầu là O , D , C .

Bài 3.

Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tếp O . Gọi B  là điểm đối xứng
 
của B qua O . Chứng minh AH  BC .

Bài 4.

Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , P , Q là trung điểm các cạnh AB , BC , CD , DA . Chứng
 
 
minh NP  MQ và PQ  NM .
Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

om

.c

k

lic

C

.c

om

to
k
lic
C

t

Ví dụ 8. Cho ABC cân tại A . Kẻ đường trung tuyến AH . Các mệnh đề sau là đúng hay sai ? (học
tr
re
re
ac
k e r- s o ft w a
sinh có thể ghi Đ hay S vào  )
 
 
a) AB  AC


b) AB  AC

c) AB  AC

 
 
d) BH  CH

e) BH  CH

f) BH  CH

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

XC

6

N

O
W

!

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

O
W

t

N

di

PD

hange E

or

PD

XC

or

F-

hange E

t

N

O
W

7
U

ac

.c

tr

om

k
lic

Vấn đề 2. TỔNG – HIỆU VÉCTƠ

C

.c

C

lic

k

om

to

B

U
B
to

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

XC

Y

N

F-

Y

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

PD

t

O
W

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

k e r- s o ft w a

Dạng 1. Chứng minh một đẳng thức véctơ
I – PHƯƠNG PHÁP
 Chứng minh đẳng thức là chứng minh 2 vế / 2 biểu thức bằng nhau
 Cách chứng minh:
 Cách thường dùng: biến đổi 1 vế cho đến khi ra vế còn lại.
 Cách bắc cầu: biến đổi 2 vế cho ra cùng 1 kết quả (suy ra vế này bằng vế kia)
 Mổ số kinh nghiệm về chứng minh đẳng thức véctơ:

 2 vế là phép cộng, trừ có cùng số lượng véctơ thì thường dùng quy tắc 3 điểm.

 Vế trái là tổng nhiều véctơ, vế phải là véctơ 0 thì biến đổi vế trái thành tổng các cặp
véctơ đối nhau.

II - BÀI TẬP MẪU
   
Ví dụ 11. Cho tứ giác ABCD . Chứng minh : AB  CD  AD  CB
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 14. Cho hình bình hành ABCD có tâm O . CHứng minh:
  
  
a) CO  OB  BA
b) AB  BC  DB
   
   
c) DA  DB  OD  OC
d) DA  DC  DB  0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

to
k
lic
C

.c

r

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

   
Ví edụ 12. Cho hình bình hành ABCD và 1 điểm M bất kì. CHứng minh : MA  MC  MD  MB

hange E

8

N

O
W

XC

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

O
W

t

N

di

.c

hange E

PD

XC

or

PD

F-

re

hange E

t

N

O
W

9
U

ac

.c

tr

k e r- s o ft w a

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 5.

Cho lục giác ABCDEF . Chứng minh :
     
a) BA  DC  FE  FC  DA  BE

    
b) ED  BE  CF  BF  CD

Bài 6.

Cho tứ giác MNPQ . Chứng minh :
   
a) PQ  NP  MN  MQ
   
c) NP  MN  QP  MQ

    

b) MP  QN  PQ  NM  0
   
d) PQ  MN  MQ  PN

Bài 7.

Cho ABC . Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ , BCPQ, CARS .Chứng minh:
   
  
a) RS  PQ  IJ  0
b) RJ  IQ  SP

Bài 8.

Cho hình bình hành
ABCD . Lần lượt vẽ các điểm M , N , P, Q thoả
     
 
 
AM  BA, MN  DA, NP  DC và PQ  BC . Chứng minh : AQ  0
 
 
Cho 4 điểm A, B, C , D . Chứng minh nếu AB  DC thì AD  BC
     
Cho ABC . Lần lượt vẽ các điểm M , N , P thoả : AM  BA, BN  CB, CP  AC . Gọi I là 1
     
điểm bất kì, chứng minh IA  IB  IC  IM  IN  IP

Bài 9.
Bài 10.

Bài 11.

Bài 12.
Bài 13.
Bài 14.

Bài 15.
Bài 16.
Bài 17.
Bài 18.
Bài 19.

Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N là trung điểm BC và AD . Chứng minh
   
AM  AN  AB  AD
  
Cho 2 hình bình hành ABCD và ABC D có chung đỉnh A . Chứng minh BB  DD  CC 
  
Cho 2 hình bình hành ABCD và ABC D có chung đỉnh A . Chứng minh : BB  DD  CC 
Cho hình bình hành ABCD với tâm O . Mỗi khẳng định nào sau đây đúng hay sai ?
  
  
a) OA  OB  AB
b) CO  OB  BA
  
   
  
c) AB  AD  AC
d) AB  AD  BD
e) CD  CO  BD  BO

 
 
Chứng minh rằng nếu AB  CD thì AC  BD
   
Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng DA  DB  DC  0
   
Cho hình bình hành ABCD và điểm M tuỳ ý. Chứng minh rằng: MA  MC  MB  MD
 
Chứng minh rằng AB  CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng
nhau.
Cho 6 điểm A, B, C , D, E , F . Chứng minh rằng
        
a) AD  BE  CF  AE  BF  CD  AF  BD  CE
   
   
b) AB  CD  AD  CB
c) AB  CD  AC  BD

om

k
lic
C

om

.c

to

B

U
B
to
k
lic
C

   
b) v  AB  CD  CB

.

.

Ví dụ 15. Cho tứ giác ABCD . Xác định vectơ
    
re
a) u  AB  CD  BD  AC

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

XC

Y

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

F-

Y

N

PD

t

O
W

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

re

!

O
W

hange E

10

di

t

Y
k
lic

ac

I – PHƯƠNG PHÁP

.c

tr

k e r- s o ft w a


 Biến đổi véctơ tổng, véctơ hiệu đã cho thành một véctơ duy nhất u . Tính độ dài của

véctơ u . Từ đó suy ra độ dài của véctơ tổng, véctơ hiệu.
 
   
   
 Lưu ý: thường thì a  b  a  b và a  b  a  b , như vậy biến đổi AB  AC thành
AB  AC là sai.

II - BÀI TẬP MẪU
 
 
Ví dụ 16. Cho ABC đều, cạnh bằng 10 . Tính độ dài các vectơ AB  AC và AB  AC
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

 
Ví dụ 17. Cho ABC vng tại A có cạnh AB  5 và AC  12 . Tính độ dài các vectơ AB  AC và
 
AB  AC .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

om

to

B

U

.c

Dạng 2. Tính độ dài của một véctơ tổng, véctơ hiệu

re

C

k
lic
C

k e r- s o ft w a

.

.

ac

w

w

tr

ww

ww

om

to

B

U

Y

N

XC

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

!

t

O
W

di

N

hange E

PD

XC

or

PD

F-

re

O
W

t

Bài 20.
Bài 21.
Bài 22.

Bài 23.
Bài 24.
Bài 25.

   
Cho ABC . Chứng minh nếu AB  AC  AB  AC thì tam giác này là tam giác vng.

k

ac

.c

tr

k e r- s o ft w a

Cho doạn
thẳng AB
có AB
 50 . Lấy điểm M trong đoạn này có AM  30 . Tính độ dài các
 

vectơ MA  MB và MA  MB .

 
Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB  a, AC  2a . Tính độ dài của vectơ tổng AB  AC ,
 
vectơ hiệu AB  AC .
 
 
Tứ giác ABCD là hình gì nếu AB  CD và AB  BC ?

 
 
Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính độ dài của các vectơ AB  BC và AB  BC .

 
Cho a, b là hai vectơ khác 0 . Khi nào có đẳng thức
 
   
a) a  b  a  b
b) a  b  a  b .

Dạng 3. Xác định một điểm thỏa một đẳng thức véctơ cho trước
I – PHƯƠNG PHÁP
Để xác định một điểm M thỏa một đẳng thức véctơ cho trước, ta làm như sau:
 

 Biến đổi đẳng thức véctơ đã cho về dạng AM  v , trong đó A là điểm cố định, v là
véctơ cố định.

 Lấy A làm điểm gốc, dự véctơ bằng v thì điểm ngọn chính là điểm M cần dựng.

II - BÀI TẬP MẪU

   
Ví dụ 18. Cho tam giác ABC . Hãy xác định điểm M thoả điều kiện MA  MB  MC  0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 26.

Cho tam giác ABC . Hãy kiếm các điểm M thoả một trong các điều kiện sau đây:
  
  
a) MA  MB  BA
b) MA  MB  AB
   
   
c) MA  MB  MC  BA
d) MA  CA  AC  AB

om

to

B

U

.c

lic

om

k
lic
C

C

B
to

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

hange E

U

Y

XC

N

11

N

O
W

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

F-

Y

t

PD

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

re

!

O
W

hange E

12

di

t

Y
U
B
k
lic

tr

ac

.c

Vấn đề 3. PHÉP NHẬN MỘT SỐ VỚI 1 VÉCTƠ

k e r- s o ft w a

Dạng 1. Chứng minh một đẳng thức véctơ
I – PHƯƠNG PHÁP
 Chứng minh đẳng thức là chứng minh 2 vế / 2 biểu thức bằng nhau
 Cách chứng minh:
 Cách thường dùng: biến đổi 1 vế cho đến khi ra vế còn lại.
 Cách bắc cầu: biến đổi 2 vế cho ra cùng 1 kết quả (suy ra vế này bằng vế kia)
 Mổ số kinh nghiệm về chứng minh đẳng thức véctơ:
 2 vế là phép cộng, trừ có cùng số lượng véctơ thì thường dùng quy tắc 3 điểm.

 Vế trái là tổng nhiều véctơ, vế phải là véctơ 0 thì biến đổi vế trái thành tổng các cặp
véctơ đối nhau.

II - BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 19. Cho ABC có 3 trung tuyến là AM , BN , CP . Chúng minh:
   
  1 
a) AM  BN  CP  0
b) AP  BM  AC
2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 20. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi M là 1 điểm bất kỳ. Chúng minh:
  

   

a) AB  AC  AD  2 AC
b) MA  MB  MC  MD  4 MO
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

om

to

.c

re

C

k
lic
C

k e r- s o ft w a

.

.

ac

w

w

tr

ww

ww

om

to

B

U

Y

N

XC

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

!

t

O
W

di

N

hange E

PD

XC

or

PD

F-

re

di

O
W

!

hange E

t

k

ac

.c

tr

om

to

B

U

Y

N

PD

XC

lic

k
lic
C

.c

r

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

 

Ví edụ 21. Cho tứ giác ABCD , Gọi I , J là trung điểm của AC và BD . Chứng minh AB  CD  2 IJ

ww

ww

tr

13

om

to

B

U

Y

N

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

F-

C

t

O
W

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

k e r- s o ft w a

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 22. Cho tứ giác ABCD , gọi M , N là trung điểm của AB , CD và I là trung điểm MN . CMR:
  
  
    
a) 2MN  AC  BD
b) 2MN  AD  BC
c) IA  IB  IC  ID  0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

B

U

ac

k e r- s o ft w a

Bài 27.

Cho tam giác ABC , gọi AM là trung tuyến của tam giác và D là trung điểm của AM . Gọi I
là 1 điểm bất kỳ. Chứng minh:
   
  

a) 2 DA  DC  DB  0
b) 2 IA  IB  IC  4 ID

Bài 28.

Cho 2 tam giác ABC
   
AA  BB  CC   3GG

và

ABC  có các trọng tâm G

và G . Chứng minh

Dạng 2. Xác định một điểm thỏa một đẳng thức véctơ cho trước
I – PHƯƠNG PHÁP
Để xác định một điểm M thỏa một đẳng thức véctơ cho trước, ta làm như sau:
 

 Biến đổi đẳng thức véctơ đã cho về dạng AM  v , trong đó A là điểm cố định, v là
véctơ cố định.

 Lấy A làm điểm gốc, dự véctơ bằng v thì điểm ngọn chính là điểm M cần dựng.

II - BÀI TẬP MẪU
   
Ví dụ 23. Cho tam giác ABC . Xác định vị trí điểm M sao cho MA  MB  2 MC  0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 29.

Cho tam giác ABC . Tìm điểm M thoả đẳng thức sau

   
  
a) MA  MB  MC  BC
b) MA  2 MB  BC

Bài 30.

Cho tam giác ABC . Tìm điểm
  
a) K sao cho 3KA  2 KB  0
   
a) M sao cho MA  MB  MC  0

  
c) MA  2 MB  CB

   
b) M sao cho MA  MB  2 MC  0
   
b) N sao cho 2AN  NC  NB  CA

Dạng 3. Phân tích (biểu diễn) một véctơ theo nhiều véctơ cho trước
I – PHƯƠNG PHÁP



Viết/Biểu diễn/Phân tích 1 véctơ a theo 2 véctơ x và y cho trước nghĩa là tìm các số thực




m , n sao cho a  m.x  n. y .

II - BÀI TẬP MẪU

om

to
k
lic

tr

.c

.c

C

lic

k

om

to

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

C

B

U

Y

N

XC

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

!

t

O
W

di

N

hange E

PD

XC

or

PD

F-

re

XC

hange E

t

O
W

15

di

!

F-

N

!

PD

t

O

W

di

N

PD

hange E

or

XC

or

F-

Y

U

B

.

.

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................


a) DI với I là trung điểm của BC
b) AG với G là trọng tâm của tam giác CDI
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

om

.c

k

lic

C

om

w

w

.c

k

lic

ww

ww

C

to

to

B

U

Y


Ví
dụ

24.
Cho
tam
giác
ABC
.
Lấy
điểm
M

cạnh
BC
sao
cho
MB

3
MC
.
Hãy
phân
tích
AM theo
tr
tr


re
re
ac

ac
k e r- s o ft w a
k e r- s o ft w a
các vectơ AB và AC

!

O
W

hange E

16

t

Y
k
lic

Bài 31.

ac

.c

tr

k e r- s o ft w a

Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi M là 1 trung điểm BC . Biểu diễn:






a) AM theo các vectơ AB và AD
b) OD theo các vectơ DA và DM

Dạng 4. Chứng minh véctơ tổng, véctơ hiệu là véctơ khơng đổi.
Tính độ dài của một véctơ tổng, véctơ hiệu
I – PHƯƠNG PHÁP

Biến đổi véctơ tổng, véctơ hiệu thành một véctơ duy nhất u khơng đổi. tính độ dài của

véctơ u . Từ đó suy ra độ dài của véctơ tổng, véctơ hiệu cần tính.

II - BÀI TẬP MẪU

  
Ví dụ 27. Cho hình vng ABCD cạnh a , M là điểm bất kì. Chứng minh vectơ u  2 AM  MB  MC

là vectơ không đổi và tính các độ dài của u .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

 Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm I , ta lấy hai điểm A , B trên d và
chứng minh ba điểm I , A , B thẳng hàng.
Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

om

to

B

U

.c

C

lic

k

om

to

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

C

B

U

Y

N

XC

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

!

t

O
W

di

N

hange E

PD

XC

or

PD

F-

re

XC

hange E

U

Y

N

O
W

t

ac

.c

tr

om

to
k
lic
C

om

.c

B

U
B
to
k
lic
C

II - BÀI TẬP MẪU

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

F-

Y

N

17

PD

t

O
W

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

k e r- s o ft w a

Ví dụ 28. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O , M là một điểm bất kì, S là điểm thoả:
    
MS  MA  MB  MC  MD . Chứng minh đương thẳng MS luôn đi qua một điểm cố định.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 29. Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD . Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho
BM  2 MI . Chứng minh rằng 3 điểm A, M , C thẳng hàng.

re

!

O
W

hange E

18

di

t

Y
k
lic

I – PHƯƠNG PHÁP

ac

.c

tr

k e r- s o ft w a




 Nếu là hệ thức véctơ thì biến đổi về dạng AM  k .v , trong đó k là số thục thay đổi, v
là véctơ cho trước, A là điểm cố định cho trước. Như vậy tập hợp các điểm M là

đường thẳng qua A và cùng phương với v .
 Nếu là hệ thức về độ dài thì:

 Rút gọn hệ thức đã cho về dạng AM  l (với A cố định, l là độ dài cho sẵn). Như
vậy tập hợp các điểm M là:
① Đường trịn tâm A bán kính l nếu l  0 .
② Điểm A nếu l  0 .
③  nếu l  0

 
 Rút gọn hệ thức đã cho về dạng MA  MB ( A , B là hai điểm phân biệt cố định).
Tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn AB .

II - BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 30. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau:
   
  

a) MA  MB  MC  0
b) MA  2 MB  MC  k BC
   
   
c) MA  MB  MA  MC

d) MA  MB  MA  MC
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

om

to

B

U

.c

Dạng 6. Tìm tập hợp điểm thỏa một hệ thức, một tính chất cho trước

re

C

k
lic
C

k e r- s o ft w a

.

.

ac

w

w

tr

ww

ww

om

to

B

U

Y

N

XC

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

!

t

O
W

di

N

hange E

PD

XC

or

PD

F-

re

XC

hange E

Y
U

ac

.c

k e r- s o ft w a

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

lic
C

t

N

O
W

19

B

tr

.

.

Ví dụ 31. Cho tam giác ABC .
     
re
a) Xác định các điểm D, E thoả các đẳng thức sau 4 DA  DB  0, EA  2 EC  0 .
   
b) Tìm tập hợp các điểm M thoả hệ thức 4MA  MB  MA  2 MC .

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

F-

Y

N

PD

t

O
W

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

re

!

O
W

hange E

20

t

Y
U

Bài 37.

Bài 38.

Bài 39.

Các khẳng định sau đây có đúng không ?
a) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương

b) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì cùng phương
c) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng

d) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì cùng hướng

e) Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì cùng hướng
f) Điều kiện cần và đủ để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau.

  
Cho ba vectơ a , b , c đều khác vectơ 0 . Các khẳng định sau đây đúng hay sai ?

 


a) Nếu hai vectơ a , b cùng phương với c thì a và b cùng phương.

 


b) Nếu a , b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng.

ac

.c

tr

k e r- s o ft w a

Trong hình sau, hãy chỉ ra các véc tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ
bằng nhau, đối nhau:

a


x

b


u


w


y


v


z

Bài 40.

Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O .


a) Tìm các vectơ khác 0 là cùng phương với OA .

b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB .

Bài 41.

Cho lục giác đều ABCDEF . Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ và có:
b) Các điểm cuối là F , D , C .
a) Các điểm đều là B , F , C .

Bài 42.

Gọi C là trung điểm của đoạn thảng AB . Các khẳng định sau đây đúng hay sai ?




a) AC và BC cùng hướng
b) AC và AB cùng hướng



 
d) AB  BC
c) AB và BC ngược hướng
 


e) AC  BC
f) AB  2 BC

Bài 43.

Cho hình bình hành ABCD với tâm O . Hãy điền vào chỗ trống (…) để được đẳng thức đúng:
 
 
a) AB  AD  ……………
b) AB  CD  ……………
 
 
d) OA  OC  ……………
c) AB  OA  ……………
   
e) OA  OB  OC  OD  ……………

Bài 44.

Cho hình bình hành ABCD với tâm O . Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ?
  
  
   
a) AB  AD  BD

b) AB  BD  BC
c) OA  OB  OC  OD
   
  
  
d) BD  AC  AD  BC
e) OA  OB  AB
f) CO  OB  BA
  
  
   
h) AB  AD  BD
i) CD  CO  BD  BO
g) AB  AD  AC

Bài 45.

Cho

Bài 46.

Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì, ta ln có:
    
   
a) AB  BC  CD  DA  0
b) AB  AD  CB  CD

Bài 47.

đoạn thẳng

AB và
 điểm
 M
 nằm
AM  MB . Vẽ các vectơ MA  MB và MA  MB .

giữa

A

và

B

sao

cho

 
Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh là a , G là trọng tâm. Tính độ dài các vectơ AB  AC ,
   
AB  BC , GB  GC .
Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

om

to
k
lic
C

.c

C

lic

k

om

to

C - BÀI TẬP TỔNG HỢP

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

B

B

U

Y

N

XC

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

!

t

O

W

di

N

hange E

PD

XC

or

PD

F-

re

Bài 52.


  90 . Biết AB  AD  a , C
  45 . Tính CD ,
Cho hình thang vng ABCD có 
AD

BD ?

Bài 53.

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O .
        
a) Hãy xác định các điểm M , N , P sao cho: OM  OA  OB; ON  OB  OC ; OP  OC  OA
   
b) Chứng minh rằng: OA  OB  OC  0

Bài 54.

Cho 6 điểm A, B, C , D, E , F . Chứng minh rằng:
        
AD  BE  CF  AE  BF  CD  AF  BD  CE
  

Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng: AB  AC  AD  2 AC .

Bài 58.

Bài 59.

om

!

.c

k e r- s o ft w a

Cho tam giác ABC vuông tại B có 
A  30 , BC  a . Gọi I là trung điểm của AC . Hãy tính:
    
AC , AI , AB  AC , BC ?

Bài 57.

N
U
B

ac

Bài 51.


Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC . Hãy phân tích các vectơ AB ,

 
 
CA theo hai vectơ u  AK và v  BM .
 
 
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Đặt a  GA và b  GB . Hãy biểu diễn mỗi vectơ
 



GC , BC và CA theo các vectơ a và b .

t

to

tr

  600 , BC  2 cm.
Cho tam giác ABC vng tại A có B
     
Tính AB , AC , AB  AC , AB  AC ?

Bài 56.

O
W

21

Bài 50.

Bài 55.

di

Y

PD

hange E

k

om

k
lic
C

.c

Bài 49.

  
Cho hình chữ nhật ABCD có AB  5 cm, BC  10 cm. Tính AB  AC  AD .

XC

lic

N
Y
U
to

B

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

 
Cho tam giác ABC vng tại A có AB  AC  2 cm. Tính AB  AC ?

ww

ww

tr

Bài 48.

F-

C

t

O
W

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-


BC ,


AB ,

Chứng minh rằng nếu G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ABC 
   
thì 3GG  AA  BB  CC  . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và
ABC  có trọng tâm trùng nhau.


Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB  3MC .




Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và AC .

Bài 60.

Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM . CMR:
   
a) 2 DA  DB  DC  0
  

b) 2OA  OB  OC  4OD với O là điểm tùy ý.

Bài 61.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD . Chứng
    
minh rằng: 2MN  AC  BD  BC  AD

Bài 62.

Cho lục giác ABCDEF . Gọi M , N , P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC , CD, DE , EF , FA . Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 63.

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi
D, E , F lần lượt là chân đường vng góc hạ từ M đến BC , AC , AB . Chứng minh:
   3 
MD  ME  MF  MO

2

Bài 64.

Cho tam giác vuông cân OAB với OA  OB  a . Hãy dựng các vectơ sau đây và tính độ dài
của chúng:
 
 
 
21  5 
11  3 
b) OA  OB
c) 3OA  4OB
d)
OA  OB e)
OA  OB
a) OA  OB
4
2
4
7
Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

re

hange E

22

t

Y
U

Bài 66.

Cho tam giác ABC và điểm G . Chứng minh rằng:
   
a) Nếu GA  GB  GC  0 thì G là trọng tâm tam giác ABC .
  

b) Nếu có điểm O sao cho OA  OB  OC  3OG thì G là trọng tâm tam giác ABC .

Bài 67.

Cho tam giác ABC .
a) Tìm điểm I sao cho:
b) Tìm điểm K sao cho:
c) Tìm điểm D sao cho:
d) Tìm điểm M sao cho:
e) Tìm điểm N sao cho:
f) Tìm điểm P sao cho:
g) Tìm điểm Q sao cho:
h) Tìm điểm L sao cho:
i) Tìm điểm H sao cho:
j) Tìm điểm R sao cho:
k) Tìm điểm S sao cho:
l) Tìm điểm T sao cho:
m) Tìm điểm U sao cho:

  
IA  2 IB  0
  
KA  2 KB  CB
  
3DA  2 DB  0
   
MA  MB  2MC  0
  
NA  2 NB  0
   
PA  PB  2 PC  0
   
QA  QB  QC  BC
    
2 LA  LB  3LC  AB  AC
 

2 HA  3HB  3BC
 
 
2 RA  RB  2 BC  CA
   
SA  SB  SC  BC
    
TA  TB  TC  AB  AC
   
3UA  UB  UC  0

Bài 68.

Cho 4 điểm A , B , C , D bất kỳ. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB, CD ; O là trung
điểm của EF . Chứng minh:
     

   
b) AB  CD  AC  BD
a) AB  CD  AD  BC ; AD  BC  2 EF
    
   

c) OA  OB  OC  OD  0
d) MA  MB  MC  MD  4MO
   
e) 4 AO  AB  AC  AD

Bài 69.

Cho ABC . Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho MB  2 MC . Chứng minh rằng:
 1  2 
AM  AB  AC .
3
3


Cho ABC . Gọi M là trung điểm AB , N là một điểm trên cạnh AC sao cho CN  2 NA ,
K là trung điểm của MN .
 1  1 
a) Chứng minh rằng: AK  AB  AC .

4
6
 1  1 
b) Gọi D là trung điểm BC . Chứng minh: KD  AB  AC .
4
3

Bài 70.

Bài 71.

Cho ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G .
 2  1 

1  
a) Chứng minh: AH  AC  AB và CH   AB  AC .
3
3
3
 1  5 
b) Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh: MH  AC  AB .
6
6
     
Cho tứ giác ABCD với AB  b , AC  c , AD  d .
  
 

a) Phân tích các véctơ BC , CD, DB theo các véctơ b , c và d .


 

b) Gọi Q là trọng tâm của BCD . Phân tích AQ theo b , c và d .



Bài 72.

Giáo viên: Phạm Thị Nhâm



.c

om

to

k

lic

C

om

.c

Cho tam giác OAB . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh OA và OB . Hãy tìm các
tr

e
ac
ar
ke
tw
số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:

 

 

 

  r- s o f
a) OM  mOA  nOB b) MN  mOA  nOB c) AN  mOA  nOB d) MB  mOA  nOB
.

.

re

B

U
B
to
k
C

lic

Bài 65.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

XC

Y

N

O
W

!

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

F-

O
W

t

N

di

PD

hange E

or

PD

XC

or

F-

   
 OA  OB  OC  OH

 O , H , K thẳng hàng.

Chứng minh rằng: I , M , P và J , M , Q thẳng hàng.
Bài 76.

Cho ABC . Gọi M , N , P là trung điểm BC , CA, AB .
   
a) Chứng minh: AM  BN  CP  0 .
     
b) Lấy điểm O bất kỳ. C/minh: OA  OB  OC  OM  ON  OP .
c) Có nhận xét gì về trọng tâm 2 tam giác ABC và MNP ?

Bài 77.

Cho ABC . Lấy điểm M tùy ý.
   
khơng phụ thuộc vào vị trí M .
a) Chứng minh: v  MA  2
3
 
b) Dựng D sao cho CD  v . Đường thẳng CD cắt AB tại K .
  


Chứng minh rằng: KA  2 KB  0 và CD  3CK .

      

Cho ABC . Lấy M , N , P thỏa: MB  2MC , NA  2 NC  0 , PA  PB  0

 

b) Suy ra ba điểm M , N , P thẳng hàng.
a) Tính PM , PN theo AB và AC .

Bài 79.

Cho ABC , hãy dựng điểm I , J , K , L thỏa:
   
a) IA  IB  2 IC  AB
   
c) KA  KB  2 KC  0

Bài 80.

Cho hình bình hành ABCD tâm O . Hãy xác định điểm I , J , K thỏa:
  

 
 
    
a) IA  IB  IC  4 ID
b) 2 JA  2 JB  3JC  JD
c) 4 KA  3KB  2 KC  KD  0

Bài 81.

Cho ABC . Tìm tập hợp những điểm M thỏa:

   
   
a) MA  MB  MA  MB
b) 2MA  MC  MA  2MC

  
  
e) 4MA  MB  MC  2MA  MB  MC
Bài 82.

om

.c

k e r- s o ft w a

Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi I , J là 2 điểm sao cho:
  
  
IA  3IB  0 và JC  5 JD  0

   
a) Tính a  IC  ID  2 IB theo AD .
  
  
b) Gọi M , P, Q là các điểm thỏa hệ thức: MP  MA  3MB và MQ  MC  5MD

  
 
c) MA  MB  MC  3 MB  MC

!
Y
U

ac

D . Chứng minh rằng BHCD là hình bình hành.


c) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh: AH  2OI .

Bài 78.

t

B

tr

b) Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , AO cắt đường tròn  O  tại

Bài 75.

O
W

23
to




a) Gọi P là điểm đối xứng của B qua C . Tính AP theo u và v .
 1 
 1 
 


b) Gọi Q, R là 2 điểm định bởi AQ  AC và AR  AB . Tính PR, RQ theo u và v .
2
3
c) Suy ra ba điểm P, Q, R thẳng hàng.
   
Cho ABC . Gọi K là điểm sao cho KA  KB  KC  0 .
a) Chứng minh rằng: K là trọng tâm của tam giác ABC .

d) Chứng minh:
  

 HA  HB  HC  2 HO

di

N

PD

hange E

k

om

k
lic
C

.c

Bài 74.

XC

lic

N
Y
U
to

B

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

   
Cho ABC . Đặt AB  u , AC  v .

ww

ww

tr

Bài 73.

F-

C

t

O
W

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

    
b) JA  JB  JC  AB  2 AC
   
d) 3LA  2 LB  LC  0

   3  
d) MA  MB  MC  MB  MC
2

Cho ABC đều tâm O . Lấy một điểm M nằm trong tam giác. Gọi D, E , F lần lượt là hình
   3 
chiếu của M xuống ba cạnh. Chứng minh rằng: MD  ME  MF  MO .
2
Giáo viên: Phạm Thị Nhâm

re

hange E

Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi M , N là hai điểm trên hai cạnh AB, CD sao cho:
.
3AM  
AB , 2CN CD 
a) Tính AN theo AB và AC .



b) Gọi G là trọng tâm của BMN . Tính AG theo AB và AC .
 6 
c) Gọi I thỏa BI  BC . Chứng minh A, I , G thẳng hàng.
11
   
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA  MB  MC  MD  4 AB .

Bài 89.
Bài 90.

Bài 91.

Bài 92.

O
W

k e r- s o ft w a

Bài 85.

Bài 88.

N
Y
U

ac

Cho lục giác đều ABCDEF .

   

a) Biểu diễn các véctơ AC , AD, AE, EF theo các véctơ AB và AC .
   
 
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA  MB  MC  MD  3 MA  MD .
     
c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA  MB  MC  MD  ME  MF .

Bài 87.

t

B

tr

Bài 84.

Bài 86.

!

24

di

om

.c

.c

om

k
lic
C

XC

to

!

O
W

N
Y
U
to

B

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

     
Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O . Chứng minh rằng: OB  OB  OC  OD  OE  0

ww

ww

tr

Bài 83.

F-

or

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 – HÌNH HỌC – VÉCTƠ – TỌA ĐỘ

PD

t

k

di

lic

hange E

C

XC

or

PD

F-

   

 
Cho ABC . Lấy P, Q, R thỏa: 3PB  4 PC  0 , 3 AQ  2QC , k RA  RB (k  1) . Tìm k sao
cho P, Q, R thẳng hàng.
Cho ABC cố định.
   
a) Hãy xác định điểm I sao cho: IA  3IB  2 IC  0 .
   
b) Gọi M là một điểm di động. Lấy N thỏa: MN  MA  3MB  2MC . Chứng minh MN
luôn đi qua một điểm cố định.


  
Cho ABC . Gọi I , J là hai điểm thỏa: IA  2 IB và 3 JA  2 JC  0 . Chứng minh: IJ qua
trọng tâm G của ABC .
   
Cho ABC . Gọi I là điểm định bởi: 3IA  IB  2 IC  0 . Xác định giao điểm của:
b) IG với AB , với G là trọng tâm ABC .
a) IA với BC .





Cho ABC và véctơ v  3MA  2MB  MC , với M là điểm bất kỳ.

a) Chứng minh: v là véctơ không đổi.
 
b) Vẽ véctơ AD  v . Chứng minh đường thẳng AD luôn luôn đi qua một điểm cố định khi

M thay đổi.
 
c) Vẽ véctơ MN  v . Gọi P là trung điểm của CN . Chứng minh rằng MP đi qua một điểm cố
định khi M thay đổi.
   
 
Cho ba lực F1  MA , F2  MB và F3  MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật
 
đứng yên. Cho biết cường độ của F1 , F2 đều là 100 N và 
AMB  60 . Tìm cường độ và hướng

của lực F3 .


Cho hai lực F1 và F2 cùng có điểm đặt tại O . Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng trong các
trường hợp sau:




d) F1 và F2 cùng có cường độ 100 N, góc hợp bởi F1 và F2 bằng 120 .




e) F1 và F2 cùng có cường độ 100 N, góc hợp bởi F1 và F2 bằng 90 .





f) F1 và F2 cùng có cường độ 100 N, góc hợp bởi F1 và F2 bằng 60 .




g) Cường độ của F1 là 40 N, của F2 là 30 N và góc hợp bởi F1 và F2 bằng 0 .




h) Cường độ của F1 là 100 N, của F2 là 50 N và góc hợp bởi F1 và F2 bằng 180 .

re

hange E

O
W

25

t

Y
U
B

U
B

Câu 1.

Trong các điều kiện sau, câu nào xác định được một véctơ duy nhất?
A. Hai điểm phân biệt.
B. Hướng của một véctơ.
C. Độ dài một véctơ.
D. Hướng và độ dài.

Câu 2.

Mệnh đề nào sau đây là sai?
 

A. a  0  a  0

ac

.c

tr

k e r- s o ft w a

 
B. Cho ba điểm A , B , C phân biệt thẳng hàng CA , CB cùng hướng khi và chỉ khi C nằm
ngoài đoạn AB .
 

 

C. a , b cùng phương với c thì a , b cùng phương.
  
D. AB  AC  AC .
Câu 3.

Cho ba điểm A , B , C phân biệt thẳng hàng. Câu nào sau đây đúng?
 
A. Nếu B là trung điểm của AC thì AB  CB
 
B. Nếu điểm B nằm giữa A và C thì BC , BA ngược hướng.
 
C. Nếu AB  AB thì B nằm trên đoạn AC .
   
D. CA  AB  CA  AB .

Câu 4.

Mệnh đề nào sau đây là sai?
 
A. AB  AC  B  C .

  
B. Với mọi điểm A , B , C bất kì ta ln có: AB  BC  AC .
  
C. BA  BC  0 khi và chỉ khi B là trung điểm AC .
 
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB  CD .
Câu 5.

Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn tâm O . B là điểm đối xứng

của B qua O . Mệnh đề nào sau đây là sai?
 
 
A. AH , BC cùng phương.
B. CH , BA cùng phương.
  
D. HB  HA  HC .
C. AHCB là hình bình hành.

Câu 6.

Cho tam giác ABC có trọng tâm G , M là trung điểm của BC và O là điểm bất kì. Mệnh đề
nào sau đây là sai?
  
 

B. OB  OC  2OM .
A. MB  MC  0 .
   
   
C. OG  OA  OB  OC .
D. GA  GB  GC  0 .
   

Cho ABC có trọng tâm G và điểm M thỏa mãn 2MA  MB  3MC  0 thì GM bằng:
1 
1 
1 
1 
B. CA .

C. AB .
D. BC .
A. BC .
6
6
6
3

Câu 7.

Câu 8.

Cho tam giác ABC câu nào sau đây là đúng?
  
A. AB  AC  BC .
  
C. AC  BA  CB .

Câu 9.

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A . Mệnh đề nào sau đây sai?
 
  
  
A. AB  AC .
B. AB  AC  BC . C. BC  AB  AB .

   
B. AB  CA  BC  0 .
  

D. AB  AC  BC .
 
D. AB  AC .

 
Câu 10. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Khi đó AB  AC bằng:
A. a 3 .

B.

a 3
.
2

C. 2a .

D. 2a 3 .

om

to
k
lic
C

.c

C

lic

k

om

to

D - CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

re

.

.

k e r- s o ft w a

w

w

ac

ww

ww

tr

di

!

XC

Y

N

O
W

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tần và biên tập)

F-

N

t

PD

di

!

hange E

or

PD

XC

or

F-

re

Vecto toán 10 chuyên đề 6

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về