CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM ppt

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
1

I.CC BI TON TèM TP HP IM
Bi 1: Cho ng trũn (O; R) v tam giỏc cõn ABC cú AB = AC ni tip
ng trũn (O; R) K ng kớnh AI. Gi M l mt im bt kỡ trờn cung
nh AC. Mx l tia i ca tia MC. Trờn tia i ca tia MB ly im D sao
cho MD = MC.
a) Chng minh rng MA l tia phõn giỏc ca ca gúc BMx.
b) Gi K l giao th hai ca ng thng DC vi ng trũn (O). T
giỏc MIKD l hỡnh gỡ? vỡ sao?
c) Gi G l trng tõm ca tam giỏc MDK. Chng minh rng khi M di
ng trờn cung nh AC thỡ G luụn nm trờn mt ng trũn c nh.
d) Gi N l giao im th hai ca ng thng AD vi ng trũn (O). P
l giao im th hai ca phõn giỏc gúc IBM vi ng trũn. Chng minh
rng, ng thng DP luụn i qua mt im c nh khi M di ng trờn cung
nh AC.

Hng
dn:
a) Gúc
AMB =
(1/2)sAB (gúc
x
N
G
K
D
I
C

O
A
B
M
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
2

ni tip (O) chn AB )
Gúc AMx = 180 - Gúc AMC = 180 - (1/2)scungABC =
(1/2)scungAC =(1/2)scungAB
vy: Gúc AMB = Gúc AMx hay MA l tia phõn giỏc ca Gúc BMx
b) +Tam giỏc MCD cõn => Gúc MCD = Gúc MDC = (1/2)Gúc BMC (
gúc ngoi ca tam giỏc)
li cú Tam giỏc ABC cõn => I l im chớnh gia ca cung BC => Gúc
IMC = Gúc IMB = (1/2)Gúc BMC
vy Gúc MCD = Gúc IMC => IM song song vi CD
+ Gúc MCD = Gúc MDC = Gúc BMI => BI = MK =>Gúc MIK =
Gúc IMB => IK song song vi MD
Vy MIKD l hỡnh bỡnh hnh.
c) D thuc ng trũn (A; AC)
Gi N l im trờn AI sao cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD =
(2/3)AC = hs
=> G thuc ng trũn (N; (2/3)AC)


Bi 2: Cho tam giỏc ABC ngoi tip ng trũn (O; R). Gi D l im
chớnh gia ca cung BC khụng cha A. V ng trũn qua D v tip xỳc vi
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh

3

AB tại B. Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểm
thứ hai của hai đường tròn này.
a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng.
b) Một đường tròn tâm K di động luôn đi qua A và D, cắt AB, AC theo
thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng BM = CN.
c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.












Hướng dẫn:
a) + góc BED = góc DBx = góc ACB
x
y
I
N
M
E
D
C

A
B
K
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
4

+ góc CED = góc DCy = góc ABD
=> góc BEC = gócABD + gócACD = 180 độ.
=> B, E, C thẳng hàng.
b) cung BD = cung DC => góc BAD = góc CAD => cung DN = cung
DM
=> DM = DN
cung BD = cung DC => DB = DC
góc DCN = góc DBM
=> Tam giác BMD = tam giác CND => BM = CN.
c) Tính được DI = 2KD sin
2
(A/2) =>(DI/DK) =2 sin
2
(A/2) =hs
K thuộc trung trực của AD => I thuộc đường thẳng vuông góc với AD
cắt AD tại P sao cho (DP/DA )=sin
2
(A/2)


Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển
động trên các cạnh AB, AC sao cho AM = CN.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một

điểm cố định khác A.
b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
5





Hướng dẫn:
a) Đường cao AH cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác AMN tại P
=> tam giác AMP = tam giác CNP =>
PA = PC
=> P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => P cố định.
b) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm trên đường trung
trực của AP.


Bài 4. Tìm quỹ tích đỉnh C các tam giác ABC có AB cố định, đường cao
BH bằng cạnh AC.




P
H
I
N

A
C
B
M
E
C
A
B
H
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
6



Hướng dẫn:
Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại A, trên đó lấy E sao cho AE = AB
=> tam giác ACE = tam giác BHA
=> góc ACE = 90 độ => C thuộc cung chứa góc 90 độ dựng trên AE.


Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, góc A =45
0
, góc B = góc C =
90
0
.
a) Chứng minh rằng BD cố độ dài không đổi.
b) Gọi E là giao của BC và AD, F là giao của DC và AB. Chứng minh
EF có độ dài không đổi.

c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.






I
H
J
E
F
D
O
C
A
B
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
7

Hướng dẫn:
a) góc B = góc D = 90 độ => B, D thuộc đường tròn đường kính AC
góc A = 45 độ => BD = R
2
= hs.
b) Tam giác CDE vuông cân => CD = ED
tam giác ADF vuông cân => DA = DF
=>Tam giác ACD = tam giác FED
=> EF = AC = hs

c) Trung trực của AF cắt trung trực của AE tại J, cắt (O) tại H và I
=> H, I là điểm chính giữa của hai cung AC => H, I cố định.
góc HJI = góc BCD = 135 độ
=> J thuộc cung chứa góc 135 độ dựng trên HI.


Bài 6: Cho đoạn thẳng AB cố định. Một điểm M di động trên đoạn AB.
Dựng về cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB các hình vuông
AMDE, MBGH. Gọi O, O' tương ứng là tâm các hình vuông trên.
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn OO'.
b) Chứng minh rằng AH và EG đi qua giao điểm N khác M của các
đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMDE và MBGH.
c) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
8


Bài 7: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và D có các
đường kính AOB và AO'C vuông góc với nhau tại A. Một đường thẳng d đi
qua A và cắt các nửa đường tròn không chứa điểm D của (O), (O') tương
ứng tại các điểm M, N khác A.
a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CAN đồng dạng.
b) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động.
c) Tiếp tuyến M của (O) cắt AD tại I. Chứng minh rằng: IM
2
= IA. ID.
d) Tìm vị trí của cát tuyến d để cho tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp
tuyến tại N của (O') cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng AD.
d) Xác định vị trí của d sao cho tứ giác MNCB có diện tích lớn nhất. Tìm

giá trị lớn nhất đó theo R và R'.


Hướng dẫn
a) Tam giác AMB
và tam giác CAN đồng
dạng
b) góc PMA + góc
PNA = góc OAM +
I
P
N
D
O
O'
B
C
A
M
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
9

gúc O'AN = 90
=> gúc OPO' =90 => P thuc ng trũn ng kớnh OO'
c) Tam giỏc IMA v tam giỏc IDM ng dng
=> IM
2
= IA.ID
d) tng t cõu c gi s tip tuyn ti N ca (O') ct AD ti I' => I'M

2
=
I'A.I'D . Vy I trựng I' <=> IM = I'N <=> I thuc trung trc ca NM
Vy khi I l giao ca AD v trung trc ca MN thỡ tip tuyn ti M ca
(O) v tip tuyn ti N ca (O') ct nhau ti mt im thuc ng thng
AD.
e) din tớch T giỏc BMNC ln nht <=> (S
BMA
+S
ANC
)
min
<=>
(S
BMA
)min <=> (BM.AM)
min
li cú: BM
2
+ AM
2
= R
2
vy: BM.AM
2
R
2

du bng khi BM = AM <=> d to vi AB mt gúc 45
Khi ú din tớch t giỏc BMNC l:

22
R'RR.R'
2
1
.


Bi 8: Mt im A i ng trờn na ng trũn ng kớnh BC c nh.
ng thng qua C song song vi BA ct ng phõn giỏc ngoi ca gúc
BAC ca tam giỏc ABC ti D. Tỡm qu tớch D.
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
10












Hng dn
AD ct (O) ti E => E c nh
li cú gúc CDE = 45

Vy D thuc cung cha gúc 45 dng trờn CE.


Bi 9: Cho ng trũn (O; R) c nh v ng thng d ct (O; R) ti
hai im A, B c nh. Mt im M di ng trờn d v bờn ngoi on AB.
V cỏc tip tuyn MP v MN vi (O; R). Gi N, P l hai tip im.
j
E
D
O
B
C
A
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
11

a) Chứng minh rằng khi M di động, đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP
luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
c) Trình bày cách dựng điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều.


Hướng dẫn:
a) Giả sử (I) cắt AB tại H khác M => góc OHM = 90 độ => HA = HB
hay H cố định. Vậy (I) đi qua O và H cố định.
b) IO = IH => I thuộc trung trực của OH.
c) Tam giác MNP đều <=> góc OMN = 30 độ <=> OM = 2ON = 2R
Vậy M thuộc (O; 2R)

Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
12



Bài 10: Cho hình vuông ABCD cố định. Một điểm I di động trên cạnh
AB (I khác A và B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đường thẳng CI cắt đường
thẳng AE tại M. Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE tại F. Tìm quỹ tích
điểm F.

Hướng dẫn:
Trên BC lấy G sao cho AI = BG =>
AI vông góc với ED
d
H
N
P
I
O
B
A
M
A
G
F
M
E
B

D
C
I
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
13

áp dụng định lí Meleneut trong tam giác AEB với 3 điểm thẳng hàng C,
I, M có
 
1 1
MA
ME
IB
IA
CE
CB

lại có
BE
IB
CE
CD
CE
CB
 thay vào (1) =>
BG
BE
IA
BE

MA
ME
 => MB song song
với AG hay góc DFB vuông
Vậy F thuộc đường tròn đường kính BD ( cung nhỏ AB ).


Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn.
Điểm M lưu động trên tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Qua M vẽ tiếp tuyến
thứ hai với (O; R). Gọi tiếp điểm là B.
a) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB.
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMB.






Hướng dẫn:
H
B
E
O
A
M
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
14

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB là đường tròn đường kính OM

=> E thuộc trung trực của OA
b) Tứ giác AOBH là hình thoi => AH = R. Vậy H thuộc đường tròn (A;
R) ( thuộc nửa mặt phẳng bờ xy chứa B)


Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác
của góc A cắt đường tròn tại điểm D. Một đường tròn (L) thay đổi nhưng
luôn đi qua hai điểm A và D. (L) cắt hai đường thẳng AB, AC ở giao điểm
thứ hai là M, N (có thể trùng với A).
a) Chứng minh rằng: BM = CN.
b) Tìm quỹ tích trung điểm K
của MN.

Hướng dẫn:
a) góc BAD = góc DAN => DB
= DC; DM = DN
lại có góc MBD = góc NCD;
góc BMD = góc NCD => góc
BDM = góc CDN
K
N
M
D
C
B
A
L
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
15

vy tam giỏc BDM = tam giỏc CDN => BM = CN.
b) Tng t cõu c bi 2


Bi 13: Cho gúc vuụng xOy. Mt chic ờke ABC trt trong mt phng
ca gúc xOy sao cho nh B di chuyn trờn cnh Ox, nh C di chuyn trờn
cnh Oy v nh gúc vuụng A di chuyn trong gúc xOy. Tỡm qu tớch im
A.


Hng dn:

T giỏc OBAC ni tip => gúc
yOA = gúc CBA =


Vy A thuc tia to vi tia Oy mt gúc

( phn nm trong gúc xOy )

Bi 14: Cho ng trũn tõm O bỏn kớnh R v mt im P c nh
ngoi ng trũn. V tip tuyn PA v cỏt tuyn PBC bt kỡ (A, B, C trờn
(O; R)). Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC. Khi cỏt tuyn PBC quay
quanh P.
y
x
A
C
B

O
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
16

a) Tìm quỹ tích điểm đối xứng của O qua BC.
b) Tìm quỹ tích điểm H.
K
O'
H
B
A
P
O
C

Hướng dẫn:
a) ta có PO' = PO = hs; P cố định => O' thuộc đường tròn ( P; PO)
b) Tứ giác OO'HA là hình bình hành vẽ hình bình hành AOPK => K cố
định. => HO'PK cũng là hình bình hành => HK = O'P = OP = hs. Vậy H
thuộc đường tròn (K; OP).

Bài 15: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đường thẳng d quay quanh
O cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại E và F ( E và F không trùng với các
đỉnh của hình vuông). Từ E, F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với
DB, AC chúng cắt nhau tại I.
a) Tìm quỹ tích I.
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
17

b) Từ I vẽ đường thẳng vuông góc với EF tại H. Chứng tỏ H thuộc một
đường cố định và đường thẳng IH đi qua một điểm cố định.

Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên cạnh BC.
Vẽ PQ song song với AC ( Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB ( R thuộc
AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR.

Bài 17: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc tia Ox,
Oy sao cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A và cắt OB tại M nằm
giữa O và B. Từ B hạ đường thẳng vuông góc với AM cắt AM tại H và cắt
đường thẳng OA tại I.
a) Chứng minh rằng OI = OM và tứ giác OMHI nội tiếp.
b) Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh rằng OK = HK.
c) Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.

Bài 18: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M di động
trên cung BC.
a) Trên tia đối của tia CM, lấy đoạn CE = MB. Tìm tập hợp các điểm E
khi M di động.
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
18

b) Trên tia đối của tia MC, lấy đoạn MF = MB. Tìm tập hợp các điểm F
khi M di động.

Bài 19: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B.
Một cát tuyến (d) bất kì qua B cắt (O0 tại C và (O') tại C'. Tìm tập hợp trung
điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B.

Bài 20: Cho hai đường thẳng xx' và yy' vuông góc với nhau tại O và một
điểm P cố định. Một góc vuông đỉnh P quay quanh P. các cạnh của góc
vuông này cắt xx' tại A và yy' tại B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.

Bài 21: Trên mỗi bán kính OM của đường tròn (O) lấy đoạn OI bằng
khoảng cách từ M đến đường kính cố định AB. Tìm tập hợp các điểm I.

Bài 22: Cho đường tròn (O) cố định và một dây AB cố định. Trên cung
nhỏ AB, ta lấy điểm C di động. Tìm tập hợp tâm I của đường tròn nội tiếp
tam giác ABC.

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
19

Bi 23: Cho ng trũn (O) v mt dõy AB c nh. K mt dõy AC.
Trờn ng thng AC ly hai im M, M' sao cho CM = CM' = CB, M nm
ngoi ng trũn. Tỡm tp hp cỏc im M v M' khi C vch cung AB.

Bi 24: Cho ng trũn (O; R), 2 im B, C c nh trờn (O) v mt
im A di ng trờn (O). Tỡm tp hp cỏc trc tõm H ca tam giỏc ABC.

Bi 25: Cho tam giỏc ABC. Tỡm tp hp nhng im M trong mt phng
sao cho hỡnh chiu ca M trờn ba cnh ca tam giỏc l ba im thng hng.

Bi 26: Cho on thng AB v M l im tu ý trờn on AB. Dng trờn
cựng mt na mt phng b l ng thng AB cỏc hỡnh vuụng ANCD v
BMEF. Cỏc ng trũn ngoi tip chỳng tõm P v Q ct nhau ti M v N.
a) Chng minh rng: AE, BC i qua N.

b) Chng minh rng: MN i qua mt im c nh khi M di ng.
c) Tỡm tp hp trung im I ca PQ khi M di ng.

Bi 27: Cho ng trũn (O; R) v mt im P c nh trong ng trũn
khụng trựng vi O. Qua P dng dõy cung APB, cỏc tip tuyn ca (O) ti A
v B ct nhau ti M. Tỡm tp hp cỏc im M khi dõy AB quay quanh P.
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
20


Bài 32: Hai đường tròn (O) và (O') giao nhau tại A và B. Một cát tuyến
di động qua A cắt (O) tại C và (O') tại D. Tìm tập hợp tâm I của các đường
tròn nội tiếp tam giác BCD.

Bài 33: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = AC
=
2R

a) Tính độ dài BC theo R
b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường
thẳng BC tại D. Chứng minh rằng AM.AD luôn luôn là hằng số
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên
một đường cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.



Hướng dẫn:
a) BC là đường kính
của (O).

b) Tam giác AMC
đồng dạng với tam giác ACD =>
I
M
C
B
O
A
D
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
21

AM.AD = AC
2
= R
2
.
c) góc ACM = góc MDC = 1/2 sđ cung CM => AC là tiếp tuyến của ( I )
=> IC vuông góc với AC cố định => I thuộc đường thẳng qua C và vuông
góc với CA.

Bài 34: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đường thẳng (d) quay
quanh O cắt AD, BC tại E, F. Từ E, F lần lượt vẽ các đường thẳng song song
với DB, AC chúng cắt nhau tại I.
a) Chứng minh rằng I thuộc một đường thẳng cố định
b) Từ I kẻ IH vuông góc với EF tại H. Chứng minh H thuộc một đường
cố định và IH đi qua một điểm cố định.

K
H
I
F
O
B
A
D
C
E
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
22