TỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRIT

A. LÝ THUYẾT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ

x
1. Phương trình mũ cơ bản a b , ( a  0, a 1).




a x b  x log a b.
Nếu b  0 thì phương trình
x
Nếu b 0 thì phương trình a b vơ nghiệm.

2. Phương trình đưa về cùng cơ số
 Cách giải:
Sử dụng tính chất dụng tính chất ng tính chất t

f x
g x
a   a    f  x  g  x   0  a 1 .

3. Phương pháp đặt ẩn phụ:


t a g  x   0
g x


f a
0  



 f  t  0 .
với i 0  a 1 ,

Dạng 1: Phương trình có dạng:

2f x
f x
m.a    n.a    p 0  1



f  x
1
mt 2  nt  p 0
Đặt t a , t  0 đưa phương trình   về dạng phương trình bậc 2:
.
Giải phương trình tìm nghiệm t và kiểm tra điều kiện t  0 .



f  x
Sau đó thế vào phương trình t a tìm nghiệm x .



f x
f x
m.a    n.b    p 0

1
f x
b 
f  x
t

a
,
t

0
t.
, trong đó a.b 1 . Đặt .
. suy ra



Dạng 2:



 a
f  x
2 f  x
2 f  x
 
2
f
x



m.a
 n.  a.b 
 p.b
0
Dạng 3:
. Chia hai vế cho b
và đặt  b 

f  x

t  0

.

4. Phương pháp logarit hóa.



 f  x   0
g x
a    f  x  
 g  x  log a f  x  với 0  a 1 .
Dạng 1:



f  x
g x

f  x
g x
 f  x  g  x  .log a b
Dạng 2: a b  log a a log a b
.

5. Phương pháp hàm số
 Định nghĩa


u, v   a; b  ; u  v  f  u   f  v 
Hàm số f được gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi
.



Hàm

số

f

được

gọi

là

u, v   a; b  ; u  v  f  u   f  v 

nghịch

biến

trên

 a; b 

khi

và

chỉ

.

 Định lí, tính chất

Nếu u

Định lí. Giả sử hàm số





f  x  0 f  x  0 x   a; b 

biếu n (nghịch biến)ch biến)n) trên khoảng ng
1

y  f  x

và

 a; b  .

có đạo hàm trên khoảng

f  x  0

 a; b  .

tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng i một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng t số hữu hạn điểm thì hàm số đồng hữu hạn điểm thì hàm số đồng u hại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng n điểm thì hàm số đồng iểm thì hàm số đồng m thì hà m số hữu hạn điểm thì hàm số đồng điểm thì hàm số đồng ồng ng

khi


Tính chất 2. Nếu phương trình



f  x  0

f  x  0

có một nghiệm trên khoảng

có nhiều nhất hai nghiệm trên khoảng

 a; b 

thì phương trình

 a; b  .

a; b
Tính chất 3. Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng   thì



u, v   a; b  ; f  u   f  v   u v

.

a; b
Tính chất 4. Nếu hàm số f liên tục, đồng biến trên khoảng   và hàm số g liên tục,



nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên khoảng
nghiệm trên khoảng

 a; b 

phương trình

f  x  g  x 

có nhiều nhất một

 a; b  .

 Nhận xét



Khi bài toán u cầu giải phương trình  
, ta có thể chứng minh   đơn điệu bằng
cách khảo sát hàm số, sau đó tìm nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất.
Ta cũng có thể thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa về phương trình dạng
f x 0

f  u  f  v 



(trong điểm thì hàm số đồng ó

u u  x  , v v  x 

) hoặc c

f  x  g  x 

Khi bài tốn u cầu giải phương trình
giao điểm giữa đồ thị hàm số

y  f  x

f  x  m

f x

và sử dụng tính chất dụng tính chất ng các tính chất t điểm thì hàm số đồng ã nêu trên.
thì số nghiệm của phương trình sẽ là số

và đường thẳng y m .

6. Phương pháp đánh giá






Quy tắc 1. Giải phương trình

2

.



Bước 1: Xác định x x0 là một nghiệm của phương trình.



 x  x0


x  x0
Bước 2: Chứng minh với mọi 
thì phương trình vơ nghiệm.



Kết luận x x0 là nghiệm duy nhất.

Quy tắc 2. Giải phương trình

f  x  g  x 

.



 f  x  m , x  D
 f  x  m g  x  , x  D

g  x  m , x  D


Xét trên tập xác định D ta có
.



Phương trình thỏa mãn khi

f  x   g  x  m

.

 Áp dụng tương tự với bài toán bất phương trình
Quy tắc 3. Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.




f  x  g  x 

Ta có:

sin x    1;1 ;cos x    1;1

f  x  g  x 

.

.

2
2
2
 Điều kiện để hàm số lượng giác a cos x  b sin x c có nghiệm là a  b c .
 Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt.
Quy tắc 4. Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của
phương trình bậc 2 …

VÍ DỤ MINH HỌA
VÍ DỤ 1. Giảng i các phương trình sau:ng trình sau:
2

x
a) 3

 4 x 5

28
x4
3

c) 2

x

e) 2  2

x
b) 3

9.

2

 3 x 8

2

16
x 1

x2  1

.

d)

x

3  3

x 1

9 2 x  1 .
2

1 x

 

28  x .58 x 0,001. 10 5
x

x

f) 12.3  3.15  5

.

.

x 1

20 .

Lời giải
3x

2

 4 x 5

a) Ta có:

 x 1
9  x 2  4 x  5 2  x2  4 x  3 0  
 x 3 . Vậy S  1; 3 .
3x

2

 3 x8

9 2 x 1  3 x

2

 3 x 8

b) Ta có:
S  2; 5
Vậy
.

2

28
x 4
3

16 x

2

1

c)

 x 5
34 x 2  x 2  3 x  8 4 x  2  x2  7 x  10 0  
 x 2

 x  1  x 1

28

x  4 4 x 2  1    7 x  3 3 x 2  3
3

  7 x  3  3x 2  3






 x  1  x 1

 x 3
  x 3  x  2

 
7
3

x 

 7 

7
3

S   ; 3 
  x 0  x 
3
 3 .
 
. Vậy

 x  1
2
10  3.10 5  5 x  10 8 x 10 2  5 x  8  x 2 2  5 x  
 x 6 . Vậy S   1; 6 .
d)
x
3 

 3
3
3
x
x 1
x
x 1
x
x
S log 3 
2  2 3  3  3.2 4.3      x log 3
4 
4
4

 2
2
2
e)
. Vậy
.
x

x
x 1
x
x
x
12.3  3.15  5 20  3.3 5  4  5 5  4 0
f)

 2.5

8  x2



 



VÍ DỤ 2. Giảng i phương trình sau:ng trình sau
x
a) 3

2

 4 x 5

x
x 1
b) 4.4  9.2  8 0.

9.

x
2

 1 
9  9. 

 3
d)

x
x
c) 9  5.3  6 0 .

x

2

2

x x 1
 10.3 x  x  2  1 0.
e) 9
 5x  4 3x 1  5 0  x log 3 5  1







f)

2 x2

 4 0

7 4 3  2  3

.
x

6

 3 .
. Vậy
Lời giải
x
x
x
a) Đặt t 3 ( t  0 ), khi đó phương trình 9  5.3  6 0 tương đương với
 x log 3 2
 t 2
tt2  5  6 0  
 
S  log 3 2;1
 t 3
 x 1
. Vậy

.
x
x
x 1
b) Đặt tt2 ,  0 khi đó phương trình 4.4  9.2  8 0 tương đương với

3

S  log 5  1

.


 t 4
 x 2
4tt  18  8 0  
  1
1
t 
 x2  1
S  2;  1

2
. Vậy
.
2

x

9 x  5.3 x  6 0 

c)

x

3
 1
 1
 1
2     3.   2   
x
3
9
 3
 3

2x

x

 1
3tt2  tt2 
t  
 3  , t  0 . Phương trình trở thành
Đặt

2

 t 1
 3  2 0  

 t 2

x

 1
  1  x 0
t
1
Với
, ta được  3 
x

 1
  2  x log 1 2  log 3 2
t
2
3
Với
, ta được  3 
S   log 3 2; 0
Vậy
.
2 x2

x
2

 1 
 1
9  9. 

 4 0  3 x  9.  

 3
 3
d)
1
 3x  3. x  4 0
 32 x  4.3x  3 0
3

x 1

x

 1
 4 0  3 x  3.    4 0
 3

 t 1
tt2  4  3 0  
x
 t 3
Đặt tt3 ,  0 . Phương trình trở thành
x
Với t 1 , ta được 3 1  x 0
x
Với t 3 , ta được 3 3  x 1
Vậy phương trình có nghiệm x 0 , x 1 .
x x 1
x

e) Đặt t 3
( t  0 ), khi đó phương trình 9
2

2

x 1

 10.3 x

2

x 2

 1 0 tương đương với

 x  2
 3 x2  x  1 3
 t 3

x 1
2


3tt  10  3 0 


1
2
1

 3x x 1 
t 
 x 0



3
3
 x  1 . Vậy S   1;1;0; 2 .
f) Đặt





x

x

tt 2  3 ,  0

7  4 3  2  3
. Khi đó phương trình

 t 2
tt2   6 0  
t 2  2  3
 t  3  loai  . Với



Vậy



S  log 2 



3





x

x

2  x log 2 



6

3



tương đương với

2

.

2

VÍ DỤ 3. Giảng i các phương trình sau:ng trình sau:
x
x
x
a) 6.4  13.6  6.9 0.
2

33 x
 33 3 x  34  x  34  x 10 3.
b) 3

2

sin x
 9 cos x 6 .
c) 9

x
d) 2

Lời giải
4

2

4

2



  2 2 x  2   2 x

2 x 2 1

2

2

3

1 .


  3 x 3
  
2x
x
 x 1
2
 3
 3
 2

x
x
x
6.4  13.6  6.9 0  6    13    6 0     x
 
 2
 2
 x  1
  3  2
  2 
3
a)
27
81
33 3 x  33  3 x  34 x  34  x 10 3  27.33 x  3 x  81.3 x  x 10
3
3
b)

1
 27.  3 3 x  3 x
3



 x 1
1 Côsi
1
3
t  3 x  x  2 3 x . x 2

  81.  3  x  10  1
3



3
3
. Đặt
3


1
1
1
1
1
 tt  3x  x  33 x  3.32 x. x  3.3 x. 2 x  3 x  33 x  3 x t 3  3
3 
3
3
3
3

3
10
   2  N
 1  27 tt3  3tt  81 10t 3  3 10
27
3
Khi đó:

3



Với

t



10
1 10
 3x  x 
 2
3
3
3

 y 3  N 
1 10
2
 2   y  y  3  3y  10 y  3 0   1
y   N
y 3x  0

3
Đặt
. Khi đó
1
1

y   3x   x  1
x
S   1;1
y 3  3 3  x 1
3
3
Với
; Với
. Vậy
.
2
2
2
2
2
9
9sin x  9cos x 6  91 cos x  9cos x 6  cos2 x  9 cos x  6 0  1 
9
c)
9
cos2 x
1

 tt 6 0  tt2  6  9 0  3


tt9
,  1  9 
t
Đặt

. Khi đó:
2
2
 k
t 3  9 cos x 3  32cos x 31  2cos 2 x  1 0  cos 2 x 0  x  
,  k  
4 2
Với
x
d) 2

Đặt

2

4

2

tt2 x

2



2 x2 1

1



8tttt2  tt4

2

  2 2 x 2   2 x 3  1  8.2 x 1 2 2 x 1  4.2 2 x 1  4.2 x 1  1
2

2 

2

Từ đó suy ra

1

2

2

2

2

, phương trình trên tương đương với

 t4  1 

2x

2

2

 6  1 0  3  10 (vì t 2 ).

3  10
 x1  log 2
2
3  10  
 x  log 3  10
2
 2
2

VÍ DỤ 4. Giảng i các phương trình sau:ng trình sau:
x

5
3
a) 3 5

x

2

x x
b) 3 .2 1

x

c) 5 .8

x 1
x

x
d) 2

500

2

4

7 x  2

Lời giải
x

x

5
3
a) 3 5

x

  log  5 

 log 3 3

5x

3x

3

 5
   log 3 5  x log  5   log 3 5 
x
x
 
 5 3 log 3 5
 3
 3

x log  5   log 3 5 

Phương trình có một nghiệm
5

 
 3

.




 log 2 3 x.2 x

2

x x
b) 3 .2 1

2

 log 1  log 3
2

2

x

2

 log 2 2 x 0  x log 2 3  x 2 0

 x 0

 x  log 2 3  x  0
 x  log 2 3 . Phương trình có hai nghiệm: x 0 , x  log 2 3 .
 x  3 x x 3 
x 1
x 1
x 3

log
2

3
 5 .2  0
x
x
3 2
x 3
x
x
x


5
.8

500

5
.2

5
.2

5
.2

1
c)
 x 3
x 3
log 2 2 0   x  log 2

 log 2 5  log 2 2 0
5

x
Phương trình có hai nghiệm: x 3 , x  log 5 2 .
2
2
x2  4
x 2
 log 2 2 x  4 log 2 7 x  2  x  4 log 2 2  x  2  log 2 7
2

7
d)
 x 2

  x  2   x  2  log 2 7  0
 x log 2 7  2
x 3
x

x 3

  x  3  log 2 5 





VÍ DỤ 5. Giảng i các phương trình sau:ng trình sau:

x
x
x
a) Giải phương trình 3  4 5 .
x
b) Gọi S là tập hợp mọi nghiệm thực của phương trình 2

2

 3 x 2

 2x

2

 x 2

2 x  4 . Số phần tử

của S là.
6 x   3  m  .2 x  m 0
c) Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình
có nghiệm thuộc

khoảng   .
Phương trình có hai nghiệm: x 2 , x log 2 7  2 .
Lời giải
0;1

x

x

x

x

 3  4
 3  4
3  4 5       1        1 0  1
 5  5
 5  5
a)
x

x

x

x

x

 3  4
f  x        1
 5  5
Xét hàm số
, x  
x

x

 3
3 4
4
f  x    ln    ln  0, x  
5  5
5
 5
 hàm số f  x  nghịch biến trên 
Ta có:
 f  x  0

có tối đa một nghiệm trên tập số thực

1
phương trình   có nghiệm duy nhất x 2 .
2
2
2 x  3 x 2  2 x  x 2 2 x  4  1  2 x  3 x2  x2  3 x  2 2 x  x 2  x2  x  2
b)

Mà

f  2  0 

2

Xét hàm số
Ta có:

f  u  2 u  u

f  u  2u.ln 2  1  0, u   
f u 2 u  u
Hàm số  
đồng biến trên 
 1  f x 2  3 x  2  f x 2  x  2  x 2  3 x  2  x 2  x  2  x  2



Do đó
Vậy S có 1 phần tử.
c)

6

2





6 x   3  m  .2 x  m 0  m 



6 x  3.2 x
2x  1

f  x  
6 x  3.2 x
f  x  x
, x   0;1
2 1
Xét hàm số
có
f  x
 0;1


Hàm số

đồng biến trên

12 x.ln 3  6 x.ln 6  3.2 x.ln 2

2

x



1

2

 0, x   0;1

. Ta có bảng biến thiên:

VÍ DỤ 6. Giảng i các phương trình sau:ng trình sau:
x 1
x 1
2 x 1
2 x 1
a) Giải phương trình 3  4 3  4 .
x
b) Giải phương trình 2

2

1

2 

x.
ax 

a, b

c) Cho
là các số thực thỏa mãn a  0 và a 1 , biết phương trình
7 nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình:

1
2 cos  bx 
ax
có

a2 x  2 a x  cos bx  2   1 0

.
m   2; 4 
2

m

4
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi
. Vậy
.
Lời giải
a)

3x 1  4 x 1 32 x 1  4 2 x 1  3 x 1  3 2 x 1 4 2 x 1  4 x 1  1

1
Nhận xét x 0 là nghiệm của phương trình  
3x 1  32 x 1  3 x 1  32 x 1  0
x  1  2 x  1   x 1
2 x 1
 4 2 x 1  4 x 1  0
4  4
x

0
Với
, ta có:

do đó VT  0  VP nên

phương trình

 1

vơ nghiệm

x 1
2 x 1
 3 x  1  3 2 x 1  0
3  3
x  1  2 x  1   x 1
2 x 1
 4 2 x 1  4 x 1  0
4  4
Với x  0 , ta có:
do đó VT  0  VP nên
1
phương trình   vô nghiệm. Vậy x 0 là nghiệm duy nhất.
b) Điều kiện xác định: x 0
2
x 2 0  x 2  1 1  2 x 1 2 hay VT 2

x 0   x 0  2 

x 2 hay VP 2
VT 2



VP 2

Suy ra VT 2 VP , do đó phương trình có nghiệm khi
Vậy x 0 là nghiệm duy nhất.
1

bx

a2 x  2a x  cos bx  2   1 0  a x  2  x 2  cos 2  1 
2
a


c) Ta có

7

2 x2 1 2
 x 0

2

x

2



 x
1

  a2  x

a2


2


 x
 4 cos 2 bx   a 2  1
x


2
a2



 1






2

 2x 1
bx
 a  x 2cos

2

2
2 bx
a
4cos
  x
2
 a 2  1  2 cos bx
x

2

a2

 2

Nếu phương trình
và phương trình
có nghiệm chung là x0 thì
x
bx
bx
1
 cos 0 0  a 2  x 0  x0 0  cos 0 1
2
2
a2
(Vơ lí)

2cos

 1
 2
bx0
bx
 2cos 0
2
2

0

0

Do đó phương trình

 1

và phương trình

 2

khơng có nghiệm chung

Mặt khác theo giả thiết phương trình   và phương trình
Vậy phương trình đã cho có 14 nghiệm phân biệt.
1

8

 2  đều có 7

nghiệm phân biệt


PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

LÝ THUYẾT

1. Phương trình logarit có dạng


Nếu

log a x b  a  0, a 1 .

log a x b  x a b .

2. Phương trình đưa về cùng cơ số
 Cho 0  a 1 . Khi đó:




 f  x   0  g  x   0
log a f  x  log a g  x   
.

 f  x  g  x 



log a f  x  g  x   f  x  a

g x

(mũ hóa).

3. Phương pháp đặt ẩn phụ:


Phương trình có dạng

P  log a f  x   0

với 0  a 1

Đăt t log a f  x 
P  log a f  x   0     
  P  t  0
4. Phương pháp đánh giá






 .
Quy tắc 1. Giải phương trình  
 Bước 1: Xác định x x0 là một nghiệm của phương trình.

f x g x



 x  x0

x  x0
Bước 2: Chứng minh với mọi 
thì phương trình vơ nghiệm.



Kết luận x x0 là nghiệm duy nhất.

Quy tắc 2. Giải phương trình

.



 f  x  m , x  D
 f  x  m  g  x  , x  D

g
x

m
,

x


D



Xét trên tập xác định D ta có 
.



Phương trình thỏa mãn khi

f  x  g  x  m

.

 Áp dụng tương tự với bài tốn bất phương trình
Quy tắc 3. Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.




f  x  g  x 

Ta có:

sin x    1;1 ;cos x    1;1

f  x  g  x 

.

.

2
2
2
 Điều kiện để hàm số lượng giác a cos x  b sin x c có nghiệm là a  b c .
 Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt.
Quy tắc 4. Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của
phương trình bậc 2 …

 Ngồi ra, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hàm số như dạng bài tập phương trình mũ. Việc
sử dụng linh hoạt các phương pháp sẽ giúp các em tối ưu hơn trong việc giải tốn.

VÍ DỤ 1. Giảng i các phương trình sau:ng trình sau:
9
a)

ln  x 2  1 ln x

b)

log 2 x  log 4 x  log8 x 11 .
2


Lời giải
x  0
 x 1

 2
x

1

0
a) Điều kiện: 


1 5
x

x 1
x 1
2
ln  x 2  1 ln x  ln
0 
1  x 2  x  1 0  
x
x

1 5
 loai 
x

2
Với x  1 :
b) Điều kiện: x  0.
1
1

log 2 x  log 4 x  log8 x 11  log 2 x  log 2 x  log 2 x 11
2
3
11
 log 2 x 11  log 2 x 6  x 64.
6
c) Điều kiện: x  0.
1
3
log 3 x.log 3 x.log 9 x 8  2 log 3 x.log 3 x. log 3 x 8   log 3 x  8  log 3 x 2  x 9.
2
0

x

1.
d) Điều kiện:
 x 1  2
log 2  x 2  1 1  log 2 x  log 2  x 2  1 log 2 2 x  x 2  1 2 x  x 2  2 x  1 0  
 x 1  2
2

Vậy



S  1  2;1 

e) Điều kiện:

x

2

2

.

4
, x 0.
3

 x 3x  4
 x  2
2
log 2 x 2 2 log 2  3 x  4   x 2  3 x  4   

 x  3 x  4
 x  1
So sánh điều kiện ta có phương trình có một nghiệm x  1.
f) Điều kiện: x  1.
log 2  x  1  log 2  x  1 3  log 2  x 2  1 3  x 2  1 8  x 2 9  x 3.
Ta có:
Vậy

S  3

.

VÍ DỤ 2. Giảng i các phương trình sau:ng trình sau:

a)

log 32 x  2 log 3 x  7 0

c)

log 22  4 x   log

2

b)

2 log 2 x  3log x 2 7 .

 2 x  5 .

log 22  2 x   2m log 2  x   m  1 0
d) Tìm tất t cảng các giá trị của tham của tham a tham m điểm thì hàm số đồng ểm thì hàm số đồng phương trình sau:ng trình
có tích hai nghiệm của phương trình bằng m của tham a phương trình sau:ng trình bằng ng 16.
Lời giải

log 3 x t ,  t     x 3t
a) Điều kiện: x  0 . Đặt
 t 1  2 2
t 2  2t  7 0  
2
 t 1  2 2
Phương trình log3 x  2log3 x  7 0 trở thành
10

1 2 2
Với t 1  2 2  log 3 x 1  2 2  x 3
t 1  2 2  log 3 x 1  2 2  x 312 2
Với
x  0

log 2 x t , t   .
b) Điều kiện:  x 1 . Đặt

 t 3
1
2
2t  3. 7  2t  7t  3 0  
 t 1
t
2 log 2 x  3log x 2 7 trở thành:

2
Phương trình

Với

t 3  log 2 x 3  x 8

1
1
t   log 2 x   x  2
2
2

Với
2

log 22  4 x   log 2  2 x  5   1  log 2  2 x    2 log 2  2 x   5 0
x

0.
c) Điều kiện:
Ta có:

 log 2  2 x  2
 log  2 x  4  

 log 2  2 x   2
2
2

 x 2

 1
 x 1
S 2; 
8 . Vậy

 8 .

d) Điều kiện xác định: x  0
2

t log 2 x. Phương trình trở thành  1  t   2mt  m  1 0  t 2  2  1  m  t  m 0  1

x ;x
 1 có 2 nghiệm t1; t2 .
Phương trình đã cho có 2 nghiệm 1 2 khi phương trình
Đặt


3 5
m 
2 .
 '  0  m 2  3m  1  0  

3 5
m 

2
Khi đó
Theo giả thiết
2 1 m
x1 x2 16  log 2 x1 x2 log 2 16  t1  t2 4  
4  m 3  thoa man  .
1
VÍ DỤ 3. Giảng i các phương trình sau:ng trình sau:
a) Giải phương trình

log 3 x  log 4  x  1 2

b) Tìm số nghiệm của phương trình
c) Tìm số nghiệm của phương trình
d)



log 3 9 

log 2



.



x  1 log 2  x 2  2 x  5 

.

 1

x  2  4 log 3 
8
 x 1
.

Có tất cả bao nhiêu cặp số thực



 x; y 

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

3 x2  2 x  3  log3 5 5  y 4


2
 4 y  y  1   y  3 8

Lời giải
x

3
a) Nhận xét
là nghiệm của phương trình

log 3 x  1
 log 3 x  log 4  x  1  2

log
x

1

1



Với x  3 , ta có  4
hay VT  VP nên phương trình vô
nghiệm
11

log 3 x  1
 log 3 x  log 4  x  1  2

log
x

1

1



Với x  3 , ta có  4
hay VT  VP nên phương trình vơ
nghiệm. Vậy x 3 là nghiệm duy nhất.
 x  1 0

 x 1

 1  x  82
9  x  1  0
 x  82
 x 2  2 x  5  0 TM
 
b) Điều kiện xác định: 



VT log 3 9 



x  1 log 3 9 2

2
VP log 2  x 2  2 x  5  log 2   x  1  4  log 2 4 2



VT 2  x  1 0

 x 1

VP 2
x  1 0



VT

2

VP
Suy ra
. Do đó phương trình có nghiệm khi
x

1

Vậy
là nghiệm duy nhất.
 x  2 0
 x 2

VT log 2 x  2  4 log 2  4  2
x

1

0

c) Điều kiện xác định:
.



x 2  x  1 1 
Ta có

1
1 
x 1



1
 8 9
x 1

 1

VP log 3 
 8  log 3 9 2
 x 1


 x  2 0
 VT 2 
 1
 x 2

1
 VP 2

 x 1
Suy ra VT 2 VP . Do đó phương trình có nghiệm khi
Vậy x 2 là nghiệm duy nhất.
3 x2  2 x  3  log3 5 5  y 4
 1


2
 4 y  y  1   y  3 8
 2
d) Ta có:
1
Biến đổi phương trình  

Do

ta được 3

x 2  2 x  3 0, x    3

x2  2 x 3

x2  2 x  3

5 y  3

1, x    5 y  3 1   y  3 0  y  3
2

2   4 y  y  1   y  3 8  y 2  3 y 0  y  3
Với y  3 , ta có bất phương trình  

 x  1
 y  3  x 2  2 x  3 0  
 x 3 .

12


VÍ DỤ 4. Giảng i các phương trình sau:ng trình sau:
e) Tìm số nghiệm của phương trình
log5 x log 7  x  2 



log 3 9 



x  1 log 2  x 2  2 x  5 



. Biết phương trình



log5 7a 2
có nghiệm duy nhất x a , tính giá trị
.

log2 x
3 .
f) Tìm số nghiệm của phương trình biểu thức x  2.3

x3  3x  2  log 3 m 0 có hai nghiệm
g) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình
phân biệt?
log 22 x  log 2 x  3 m  log 2 x  3

h) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình
nghiệm thuộc

Vậy có hai cặp

 32;  .

 x; y 

thỏa mãn

 3;  3 ,   1;  3 .

Lời giải
t
t
 1
log 5 x t
 x 5
 x 5
log 5 x log 7  x  2   

 t
t
t
 x  2 7
5  2 7  2 
log 7  x  2  t
a)
t

t

t

t

5
1
 5
1
f  t     2.   , t  
 2      2.   1
 7
7
 7
 7
Ta có
. Xét hàm số
t
t
5
1
 5
1
f '  t    ln  2.   ln  0, t   
f t
7
7 7
7
Hàm số   nghịch biến trên 
f t 1  f  t   f  1
2
Mà  
nên t 1 là nghiệm duy nhất của phương trình  

1
Từ   ta có x 5
log 5  7 a 2  log 5 7  log 5 a 2 log 5 7  2log 5 a log 5 7  2log 5 5 2  log 5 7
Do đó
.
x

0
b) Điều kiện xác định:
log 2 x
log 2 x
3  2.3log2 x 3  x . Xét hàm số f  x  2.3 , x   0;  
Ta có: x  2.3
2
f  x   .3log2 x.log 2 3  0, x   0;   
f x
0;    1
x
Hàm số   đồng biến trên khoảng 
g x 3  x, x   0;  
Xét hàm số  
g  x   1  0, x   0;   
g x
0;    2 
Hàm số   nghịch biến trên khoảng 
1
2 
f x g  x 
Từ   và  
phương trình  

có nhiều nhất một nghiệm
f 1 g  1
Mà  
nên x 1 là nghiệm duy nhất.
c) Điều kiện xác định: m  0
x3  3x  2  log 3 m 0   x3  3x  2 log 3 m
Ta có:
 x  1
f  x   3x 2  3, f  x  0  
f x  x  3x  2
 x 1
Xét hàm số  
có
Ta có bảng biến thiên:
3

13

có


3
y log 3 m phải cắt
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì hai đồ thị y  x  3x  2 và
nhau tại 2 điểm.
1

 m 3 4
m
 log3 m  4



81
1 
 log m 0  
0

m   ;1
 3
 m 3
 m 1 . Vậy
 81  .
Dựa vào bảng biến thiên, ta có

d) Đặt

log 2 x t vì x 32  t 5

Ta có phương trình:

t 2  t  3 m  t  3  m 

t2  t  3
t 3

 5t  9
t2  t  3
f  t  
 0, t   5;  
2

f  t 
, t   5;  
2
2
t

3
t

t

3


t 3
Xét hàm số
có
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi 1  m  3 .

14


BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
5. LÝ
Phương
pháp hàm số, đánh giá
THUYẾT
1.

Định
nghĩa:
 Định nghĩa
x
a x b , a x  b , a x b
a  0, a 1.
 Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a  b (hoặc
) với
u, v   a; b  ; u  v  f  u   f  v 
f
 lí,
Hàm
.
2. Định
quysốtắc: được gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi
x
f
 b. là
số ng trình được
TaxétHàm
bất t phương trình sau:
dại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng ng a gọi

nghịch

biến

 a; b 

khi

và

 Nếu
thì bất
Địnhb 
lí,0quy
tắc:phương trình tương đương với . a  a . .
a  1 thì nghiệm của bất phương
f trình là x  log a b (Hình 1).  a; b 
Với chất
 Tính
1. Nếu hàm số
đồng biến trên khoảng
x  log a b
0  a 1
 f  Với
(hình 2).
u   f  v   uthì
 vnghiệm của bất phương trình là

thì

chỉ

khi

Nếu
ub, v0
 thì

a; bbất
 v  f trình
v
 ; u phương
 u  vôf  nghiệm.



log a b

x




Nếu hàm số

f

 a ; b 



nghịch biến trên khoảng

Tính chất 2. Nếu hàm số
max f  x   fb



trên

Nếu hàm số
Nhận xét

f

f

 a; b 

thì

u, v   a; b  ;

u, v   a; b  ; f  u   f  v   u  v

 a; b 
đồng biến trên đoạn  

thì

.

min f  x   f  a 
 a ; b


min f  x   fb
 a; b 

nghịch biến trên đoạn   thì  a ; b

Hình 1.



và

max f  x   f  a 
 a ; b 

.

Hình 2.

m  f  x
m  f  x
m đểtrình
a x  b được
bàiTập
tốnnghiệm
u tìmcủa
tham
bất phương
trình cho bởi bảng
(hoặc
) có nghiệm
 KếtKhi
luận:
bất số

phương
sau:
Tập nghiệmp nghiệm của phương trình bằng m
x
f  x
m min f  x 
a

b m max
x
D
D
a 1
D
đúng với mọi
thì
(hoặc
) . 0  a 1


b 0
m  f  x
m  f  x
 Khi bài tốn ub tìm
trình
(hoặc
) có nghiệm
b
;




;
log
b
 0 tham số m để bất
 logphương


a
a 
m max
m min f  x 
3. Phương pháp đưa
về cùng
cơ sốf  x 
D
D
với mọi x  D thì
(hoặc
) .
f  x
g x
 Nếu gặp bất phương trình a  a
thì xét hai trường hợp:



f x
g x

a    a    f  x  g  x .
Trường hợp 1: Nếu a  1 thì bất phương trình

f x
g x
a    a    f  x  g  x .
 Trường hợp 2: Nếu 0  a  1 thì bất phương trình
4. Phương pháp đặt ẩn phụ



2 f  x
f x
 n.a    p  0,(1)
Ta thường gặp các dạng: m.a
.







f  x
 1 về dạng phương trình bậc 2: mt 2  nt  p  0 .
Đặt t a , t  0 đưa pt
Giải bất phương trình tìm nghiệm t và kiểm tra điều kiện t  0 sau đó tìm nghiệm x .
f x
f x
m.a    n.b    p  0

2f x
m.a    n.  a.b 

VÍ DỤ MINH HỌA
15

f  x

, trong đó a.b 1 . Đặt t a

2f x
 p.b    0

. Chia hai vế cho

f  x

1
f x
b 
, t  0 , suy ra
t.
 a
 
và đặt  b 

f  x

t  0

.

và


VÍ DỤ 1. Giảng i các bất t phương trình sau:ng trình sau:
x

x

 1
 2   32.
a)  

2x
 1
x 1

3
.
 9


b)

x
x 1
x
x 1

d) 2  2 3  3 .

3x
 3.
x
3

2
e)

 5
 
7
c)  
f) 11

x 2  x 1

x 6

 5
 
7

2x  1

.

11x .

Lời giải
x

x

 1
 1
 1
 2   32   2    2 
 
 
a) Ta có:  

5

 x5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
b) Điều kiện: x  1

S   ;  5 

.

x

2x
2x
 1
2x

2x
 1

 2x
x 1
x 1

 2x  0  2x
 1  0
   3  3  3   2x 
x 1
x 1
9
 x 1 
2x  x  2 
x   2

0 
x 1
 1 x 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
 5
 
c) Ta có:  7 

x 2  x 1

 5
 

7

S   ;  2     1;0 

.

2x  1

 x2  x  1  2x  1  x 2  3 x  2  0  1  x  2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

S  1; 2 

.
x

 3
9
4
 3.2  .3x    
x
x 1
4  x 2
 2
3  3
3
x

d) Ta có:

2 x  2 x 1

S  1; 2 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.
x
3  3
x 1
3x
3x  3

3

0  x
 
x
x
3 2
3 2
 x  log 3 2
 3  2
e)
S   ;log 3 2    1;  
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.
 x  0

  x  6 0
x 6

x
11
11  x  6 x  

 x 0

  x  6 x 2
x 6
x
11
f) Ta có: 11
S   6; 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.

16

  6 x  0

  6  x 3
  x 0

  2 x 3



VÍ DỤ 2. Giảng i các bất t phương trình sau:ng trình sau:
x

x

x

a) 16  4  6 0.

1
1
 x 1
c) 3  5 3  1

x

x

b) 4  3.2  2  0

x
x
x
d) 2  4.5  4  10 .

x
1
e) 2  2

x

1

9 x   m  1 .3 x  m  0

f) Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình:
nghiệm đúng
x  1 .

Lời giải
x

a) Đặt t 4 ( t  0 ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
tt2  tt 6 0  x2  3  0  3  log 4 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

S   ;log 4 3 

.

.

 2x  2
x 1
4  3.2  2  0   x
 
 2  1
x 0
b) Ta có:
x

x

S   ;0    1;  
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

.
x
c) Đặt t 3 ( t  0 ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
3t  1  0
1
1
1


  t 3   1  x 1.
tt 5 3  1
3
3tt 1   5

S   1;1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.
x
x
x
x
x
x
2  4.5  4  10  2  10  4.5  4  0  2 x 1  5x  4 1  5x  0
d) Ta có:
 1  5x  0
 5x  1
 x
 x
2


4

0
x 2

 2  4


 1  5x 2 x  4  0  




x
x
x 0
 1  5  0
 5  1


 2 x  4  0
 2 x  4









 





S   ;0    2; 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.
x
0
e) Điều kiện:
2
2 x  21 x  1  2 x  x  1  2 
x
2
Ta có:
. Đặt t 2 . Do x 0  t 1
t 1
t 1
 2   t  2  1  tt2   2  0  1 t  2  1 2 x  2  0 x 1

 t

S  0;1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.
 log 3 x  0

0  x 1
1
log x 3  log x 3  0 
0 
 
log 3 x.  log 3 x  1
x 3
 log 3 x  1
3
f) Đặt
bất phương trình
2
tt 

m
t 2   m  1 .t  m  0
t 1
đã cho thành:
nghiệm đúng t 3
nghiệm đúng t  3
2
2
g  tt t  2 g tt ,   3, '   1 
 0,   3
2
t 1
t

1
 

Xét hàm số
.

17


3
g  3 
 3;  
2 . Yêu cầu bài tốn tương đương
và

Hàm số đồng biến trên
VÍ DỤ 3.

x
x
x
a) Giải bất phương trình 3.2  7.5  49.10  2
x
x 2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình m.4  ( m  1).2  m  1  0 nghiệm đúng với
mọi x   .

x
x 1
c) Cho bất phương trình 4  2018 m.2  3  1009m 0 . Tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của
tham số m để bất phương trình đã cho có nghiệm là?

3

3
 m   m 
2
2.

Lời giải
x

3.2 x  7.5x  49.10 x  2 

a) Ta có
x

x

x

x

3.2 x  7.5 x  2
 1
 1
 1 
 49  3.    7.    2.    49
x
10
 5
 2
 10 

x

 1
 1
 1 
f  x  3.    7.    2.  , x  
 5
 2
 10 
Xét hàm số
x

x

x

 1
 1
 1
 1
 1 
 1 
f  x  3.   .ln    7.   .ln    2.   .ln    0, x   
 5
 5
2
 2
 10 
 10 
Mặt khác:

Hàm số

f  t

nghịch biến trên 
f   1 49  f  x   f   1  x   1

Mặt khác
Vậy nghiệm của bất phương trình là x   1 .

4.2 x  1
m.4  ( m  1).2  m  1  0  m  x
 1
4  4.2 x  1
b) Ta có:
4t  1
1  m  2

x
tt  4  1
Đặt 2 tt,  0  Bất phương trình
x

x 2

 4tt2  2
f '(tt) 
4t  1
f (tt)  2
,    0;  

tt2  4  1
tt  4  1
Xét hàm số
có
f  t
(0;  )
nghịch biến trên khoảng
. Ta có bảng biến thiên





2

 0,   (0; ) 

Hàm số

0  f  tt  1,    0;  
Từ đó ta có
Để (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc tập  thì m 1 .
x  t  0
c) Đặt t 2
Khi đó bất phương trình trở thành
18

t 2  1009mt  3  1009 m 0  1009m 

t2  3

t 1


tt2  2  3
f  t  
t2  3
2
f  tt 
,    0;  
 t  1 ,
t 1
Xét hàm số
có
 t 1
f  tt 0  t 2  2  3 0  
 t  3  0  L 
Giải phương trình:

Ta có bảng biến thiên:

1009 m min f  t  2  m 

2
1009

 0; 
Bất phương trình có nghiệm khi
Vậy m 1 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài toán.

19

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

THUYẾT
1. LÝ
Định
nghĩa:
với

 Bất phương trình lơgarit đơn giản có dạng log a x  b (hoặc log a x b , log a x  b , log a x b )
a  0, a 1.

2. Định lí, quy tắc:


Ta xét bất phương trình dạng log a x  b.


log a x  b  x  a b
Nếu a  1 thì
(Hình 1).



log a x  b  0  x  a b
Nếu 0  a  1 thì
(Hình 2).

Hình 1.

Hình 2.

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình log a x  b được cho bởi bảng sau:
Tập nghiệmp nghiệm của phương trình bằng m
log a x  b
a 1
0  a 1
b
xa
0  x  ab
3. Phương pháp đưa về cùng cơ số




Nếu gặp bất phương trình

log a f  x   log a g  x 

thì xét hai trường hợp:



 g  x   0

.
f
x


g
x






Trường hợp 1. Nếu a  1 thì bất phương trình



 f  x   0

.
f
x

g
x






Trường hợp 2. Nếu 0  a  1 thì bất phương trình

4. Phương pháp đặt ẩn phụ


Nếu gặp bất phương trình


Đặt

t log a f  x 

m.log 2a f  x   n log a f  x   p  0,  1

, đưa

 1

về dạng

mt 2  nt  p  0

; giải tìm t từ đó tìm nghiệm x .

5. Ngồi ra, chúng ta cịn có thể sử dụng linh hoạt các quy tắc về hàm số, phương pháp đánh giá đã
nêu ở bài phương trình mũ, phương trình logarit và bất phương trình mũ. Việc sử dụng đa dạng các
phương pháp sẽ giúp các em tối ưu hóa các bài tốn trở nên đơn giản và dễ dàng hơn.

20