ÁP DỤNG KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

ĐỀTÀISÁNGKIẾNKINHNGHIỆM.

GV:PHẠMTHANHTƯỜNG

MỤCLỤC
MỞĐẦU............................................................................................Trang2
I. Lídochọnđềtàinghiêncứu…....................................................Trang2
II. Mụcđíchnghiêncứu................................................................Trang2
III. Kháchthểvàđốitượngnghiêncứu…........................................Trang2
IV. Nhiệmvụnghiêncứu…...........................................................Trang5
V. Phươngphápnghiêncứu….......................................................Trang5
VI. Phạmvinghiêncứu…............................................................Trang5
NỘIDUNGNGHIÊNCỨU…..............................................................Trang6
I. Bàitốnxuấtphát.......................................................................Trang6
II. Sai lầm trongđ á n h g i á t ừ t r u n g b ì n h c ộ n g s a n g
t r u n g b ì n h nhân….............................................................Trang6
III. Sailầmtrongđ á n h g i á t ừ t r u n g b ì n h n h â n s a n g t r u n g b ì
n h cộng…...........................................................................................Trang 15
KẾTLUẬNVÀKIẾNNGHỊ…............................................................Trang18
Cácphụlục…...................................................................................Trang19-22.

1


ĐỀTÀISÁNGKIẾNKINHNGHIỆM.
TÊN ĐỀ TÀI:ÁP DỤNG KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TÌM GIÁ
TRỊLỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN
BẤTĐẲNG THỨC.

A.

CHƯƠNG1.MỞĐẦU.

I/LÍDOCHỌNVẤNĐỀNGHIÊNCỨU,TRIỂNKHAIỨNGDỤNG.
Bất đẳng thức là một nội dung khó đối với học sinh nhưng lại là một
trongnhững nội dung quan trọng trong các kiến thức thi Đại Học. Trong quá
trình họcvà ứng dụng lí thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó
khăn,
lúngtúng,d ễ m ắ c s a i l ầ m . C ó n h ữ n g b à i t o á n t ì m G T L N , G T N N n ế u k h
ô n g n ắ m đượccáchlàmthìdễdẫnđếnsailầmtrongquátrìnhsuyluận.
Để giúp các em hạn chế và giảm những sai sót này trong q trình
giảinhững bài tốn bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN chúng tơi áp dụng một
kỹthuậtnhỏgọilà“Kỹthuậtchọnđiểmrơi”.Đólàlídotơichọnđềtàinày.
II/MỤCĐÍCHNGHIÊNCỨU:
Thơng thường đứng trước bàit o á n b ấ t đ ẳ n g t h ứ c đ ể t ì m
G T L N , G T N N học sinh nghĩ ngay đến dạng mẫu đã học, áp dụng ngay các
bất

đẳng

thức

đã

họcnhưngthựctếquacácbàitốnbấtđẳngthứcdùngchohọcsinhkhá,giỏiho
ặcđềthiđạihọc,caođẳnghọcsinhcịngặpnhữngdạngphứctạpmàđểgiảinóđịihỏiphảic ó n h ữ n g n h ậ n
xét đặc biệt. Mộttrong những nhận xét đặc biệt đó
l à dựatrên“Kỹthuậtchọnđiểmrơi”đểgiảibàitốn.
III/KHÁCHTHỂVÀĐỐITƯỢNGNGHIÊNCỨU:
1/Kháchthểnghiêncứu:
+ Thực tế việc giải bất đẳng thức các em đã làm từ cấp 2, chủ yếu là

dạngcó sẳn. Lên lớp10 các em được trang bị kiến thức về bất đẳng thức kĩ lưỡng
hơn,đa dạng hơn nhưng cách giải cũng chủ yếu là dùng phương pháp biến đổi,
bấtđẳngthứcCô-Si.
2/Đốitượngcầnnghiêncứu:


Làhọcsinhlớp10A8và10D4,lớp12trongqtrìnhhọcchươngbấtđẳng
thứcvàhọcsinhluyệnthivàođạihọc,caođẳng.
Tơilựa chọn2lớpcủatrườngTHPTPhanBộiChâucónhữngđiềukiện
thuậnlợichoviệcnghiêncứuứngdụng.
* Họcsinh:
Chọn lớp 10A8 là nhóm thực nghiệm và 10D4 là nhóm đối chứng và
tiếnhành kiểm tra cáckiến thứccơ bản đểđánh giávà sosánh mứcđộcủa2
l ớ p trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp
khơng cósự khác nhau, do đó tơi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng
sự chênhlệchgiữađiểmsốtrungbìnhcủa2lớptrướckhitácđộng.
Kếtquả:
Bảng1.Kiểmchứngđểxácđịnhcácnhómtươngđương
Đốichứng(ĐC)

Thựcnghiệm(TN)

5,5

5,5

TBC
p

0,44

P0,440,05,từđókếtluậnsựchênhlệchđiểmsốtrungbìnhcủahainhóm
TNvàĐClàkhơngcóýnghĩa,hainhómđượccoilàtươngđương.
Bảng2.Thiếtkếnghiêncứu
Nhóm

KiểmtratrướcTĐ

Thựcnghiệm

O1

Đốichứng

O2

Tácđộng(TĐ)

KTsauTĐ

Dạyhọctheohệthống
bàitậpliênquan
Dạyhọctheohệthống
bàitậpcónhiềuloại

ởthiếtkếnàychúngtơisửdụngphépkiểmchứngT-Testđộclập.3/
Quytrìnhnghiêncứu
*Chuẩnbịbàicủagiáoviên:
ThiếtkếbàydạylớpthựcnghiệmtheohệthốngbàitậpliênquanThiếtkế
bàydạylớpđốichứngtheohệthốngbàitậpcónhiềuloại.

O3
O4


Tiếnhànhdạythựcnghiệm:
Chọn2lớpđểkhảosátvớinộidungđánhgiáđiểmvàkiểmchứngTTestđểchọnđúng2lớptươngđương.
Thờig i a n t i ế n h à n h t h ự c n g h i ệ m : T ổ c h ứ c c á c t i ế t d ạ y h ọ c t h e o n h ư k ế
hoạch
4/Đolường
Đánhgiáhọcsinhsautácđộngthơngquabàikiểmtrasauđódùngphépkiểmchứ
ng
t-testphụthuộcvàtínhmứcđộảnhhưởngđốivớinhómthựcnghiệm.
PHÂNTÍCHDỮLIỆUVÀKẾTQUẢ
Bảng3.Sosánhđiểmtrungbìnhbàikiểmtrasautácđộng
Đốichứng

Thựcnghiệm

ĐTB

6,1

7,4

Độlệchchuẩn

0,97

1,45

GiátrịPcủaT-test

0,0001

ChênhlệchgiátrịTBchuẩn

1,34

(SMD)

Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là
tươngđương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết
quảp=0,0001, cho thấy sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm
đốichứngrất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao
hơnĐTBnhómđốichứnglàkhơngngẫunhiênmàdokếtquảcủatácđộng.
7,46,1
ChênhlệchgiátrịtrungbìnhchuẩnSMD=
1,34.Điềuđócho
0,97
thấymứcđộảnhhưởngcủanhómthựcnghiệmlàlớn.BÀNLUẬ
N
Kết

quả

của

bài

kiểm

tra

sau

tác

động

của

nhóm

thực

nghiệmlàTBC7,4 ,kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đốichứng


làTBC6,1

.Độ

lệchđiểmsốgiữahainhómlà1,3;ĐiềuđóchothấyđiểmTBCcủahailớpđốichứngvà

chênh


thựcnghiệmđãcósựkhácbiệtrõrệt,lớpđượctácđộngcóđiểmTBCcaohơnlớpđốichứng.
ChênhlệchgiátrịtrungbìnhchuẩncủahaibàikiểmtralàĐiề SMD 1,34.

unàycónghĩamứcđộảnhhưởngcủatácđộnglàlớn.
Phépk i ể m c h ứ n g T t e s t Đ T B s a u t á c đ ộ n g c ủ a h a i l ớ p l à p0,00010,001. Kết quả này khẳng
định sự chênh lệch ĐTB của hai nhómkhơngphảilàdongẫunhiênmàlàdotácđộng.
IV/NHIỆMVỤNGHIÊNCỨU:
1/Cơsởlýluậnvà thựctiễn:
1.1.Cơsởlýluận:Sáchgiáokhoalớp10,cáctàiliệutthamkhảo.
2.1.Cơsởthựctiễn:Họcsinhlớp10và12trườngTHPTPhanBộiChâutro
ngcácnăm họcvừaqua.
2/Nhữngđịnhhướngđổimới:
- Chohọcsinhlàmmộtsốdạngtốnliênquanđếnđềtàinày.
- Khuyếnkhíchcácemtìmtịimộtsốbàitốnliênquanđếnđềtàinày.
3/Đá nhgiá thựctrạng:Họcsinhnhiềuemchưabiế tứngdụng“Kỹthuật
chọnđiểm rơi”đểgiảimộtsốbàitốnbấtđẳngthức.
4/ Đề xuất biện pháp: Trong tiết dạy tự chọn 10 và 12, Giáo viên nên
chomộtvàibài tốn dạngnàyđểkhíchlệsựtìm tịi,sángtạochohọcsinh.
V/PHƯƠNGPHÁPNGHIÊNCỨU:
- Thamkhảotàiliệu,sáchgiáokhoa.BáoTốnhọcvàtuổitrẻ.
- Thựchànhthơngquaqtrìnhgiảngdạy.
- Điều

tra

kết

qủa

học

tập

của

đượcmứcđộv à h i ệ u quả đạt được của HSk h i
Qua

đó

rút

kinh

học

sinh

thực

nghiệm

từ

đó

thấy

hiện

đề

tài.

và

thực

h i ệ n tốthơntrongqtrìnhxâydựngđềtài.
VI/PHẠMVINGHIÊNCỨU:
1/Phạmvikhoahọc:KiếnthứcTốncủachươngtrìnhphổthơng
2/Địabànnghiêncứu:TrườngTHPTPhanBộiChâu,CamRanh,KhánhHịa.3/
Thờigiannghiêncứu:Từnămhọc2011–2013


B. CHƯƠNG2.NỘIDUNGNGHIÊNCỨU.
I.BÀITỐNXUẤTPHÁT.
1. Bài tốn xuất phát: Cho a,b  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a  b
ba
Giải.
ÁpdụngbấtđẳngthứcCơsi,tacó:

a b
P 
b a

 2 a . b 2.
b a

MinA2ab
*N h ậ n x é t : T ừ b à i t o á n n à y c ó t h ể t h a y đ ổ i m i ề n x á c đ ị n h đ ể c ó c á c b à i toánsa
u:
II/

SAIL Ầ M T R O N G Đ Á N H G I Á T Ừ T R U N G B Ì N H C Ộ N G S
ANG
TRUNGBÌNHNHÂN.
A)BấtđẳngthứcCơsi:Cho a1 ;a2;...;anlà cácsốkhơngâm.
Tacó

a1a2...annna1a2...an.

Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi

a1 a2 ....an.

Bài 1: Cho a  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  1 .
a
1. Nhậnxétvàlờigiải:
1.1. Sailầmmàhọcsinhthườnggặp:

1.2. Ngunnhânsailầm:
a3)
1.3. Phântíchvàtìmlờigiải:

Pa

MinP2a

1

1

a

2

a. 1
2MinP 2
a

a1(mâuthuẫnvớigiảthiết
a


1 và
Xétbảngbiếnthiêncủaa ;
PđểdựđoánMinP
a


a

3

4

5

6

7

8

9

10

1
a

1
3

1
4

1
5

1
6

1
7

1
8

1
9

P

1
33

414

515

616

717

1
88

919

1
10
1
10
10

…….

100

1
100
1

…….. 100
100
…….

Tat h ấ y khi a t ă n g t h ì P c à n g l ớ n v à t ừ đ ó d ẫ n đ ế n d ự đ o á n l à k h i nh a3 thìP
ậngiátrịnhỏnhất.
Đểd ễ h i ể u v à t ạ o s ự ấ n t ư ợ n g t a s ẽ n ó i
rằng

MinP

10
3

đạtt ạ i

«Điểm

rơi:a3»
Dobấtđẳngthứcxảyradấubằngtạiđiềukiệncácsốthamgiaphảibằngnhau,nênt
ạ i « Điểmrơi: a3» ta k h ô n g t h ể s ử dụ ng b ấ t đ ẳ n g t h ứ c C ô s i t r ự c t i ế p
cho2số a v à
chocặpsố

1

1.

vì3  L úc nàytasẽgiả định sửd ụ n g bấtđẳ ng thứcCơsi

a
a;1
sao



ma

3

chotại«điểmrơi: a3» thì

a  1.

Khiđóta cósơđồ
m



a

điểmrơisauđây:
Sơđồ:a 3

m

a

 3m1


 1 1
a 3
3

3
m

m9.

Vậym 9làhệsốđiểmrơi.

TừđótabiếnđổiPtheosơđồ«Điểmrơi»nhưnêuởtrên.
1.4. Lờigiảiđúng:
1  a 1 8a
Pa
2
a
9
a . 1  a
a 
a 9
89 23 8 
9 2 8.3
3 910 3


9 a
10
MinP

3 tạia 3
Bài 2: Cho a  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  1 .
a2

1. Nhậnxétvàlờigiải:


1.1. Sailầmmàhọcsinhthườnggặp:
1  a
Pa
2
2
1
a
a
a
8
a
.
1
2
2

78 8a 78 8.2 7.2
a
a 7 8 2
8  94


8 a2

9
MinP
4 khi a2
1.2. Nguyênnhânsailầm.
MặcdùtađãbiếnđổiPtheođiểmrơi

a2và MinP

9
4

làđápsốđúngnhưng

cáchg i ả i t r ê n đ ã m ắ c s a i l ầ m t r o n g v i ệ c đ á n h g i á m ẫ
usố:‘nếu

a2 thì

2

2
2l à


đánhgiásai’
8.2
8a
4

ĐểđiềuchỉnhlờigiảisaithànhlờigiảiđúngtacầnphảibiếnđổiPsaochokhi

sửdụngbất đẳngthứcCơ-sisẽkhửhếtbiếnsốaởmẫusố.
1.3. Sơđồđiểmrơi:
a2

1 2
ma m
2
m8.
 4m
1
1
 2
a 4

1.4. Lờigiảiđúng:
1
Pa
a
 a
 a  1 26  383
2 
a 8 8 a 

VậyM i n P 
khia 2.
9

Vậym 8 làhệsốđiểmrơi.

a

2
.a.1
88
a

a 43 8 6.2
6 8  
94

4
Bài 3: Cho 0  a  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2a  1 .
2

1. Nhậnxétvàlờigiải:
1.1. Sailầmmàhọcsinhthườnggặp:
MinP3

a2

1.2. Nguyênnhân sailầm:


P2a
MinP3aa

1

aa

1

a2

1
a2

1
mâuthuẫnvớigiảthiết0 a

1
3 3 a .a. 3
a2

a2

2

1.3. Phântíchvàtìmlờigiải:XétbảngbiếnthiêncủaMinP a;2a;

1

vàPđểdựđốn

a

1
10

1
9

1
8

1
7

1
6

1
5

1
4

a 1
3

1
2

2.a

1
5

2
9

1
4

2
7

1
3

2
5

1
2

2
3

1

100

81

64

49

36

25

16

9

4

923

5

1
a2
P

1

100

2

5

81

9

1

64

2

49

4

7

1

36

2

25

3

5

2

1

16

2

Từbảngbiến thiêntathấykhia c à ng tăngthìPcà ng nhỏvàtừđó dẫnđếndự
đốnlàkhia 

1
2 thìPnhậngiátrịnhỏnhất.

1.3.1. Sơđồđiểmrơi1:
a1
1 
1 4
2
a  
m8.
2 1
4 2  m 
ma2 m
1.3.2Lờigiảiđúng1:
1
P2a
a
 a 1


a2 
8a2 
1.
Vậy MinP5khi a
2

7

2

8a

1.4.1. Sơđồđiểmrơi2:
mam
1 
1 4
2
a 

m8.

2 m 
2 
4
a2
1.4.2Lờigiảiđúng2:

3 3 a .a.

Vậym 8 làhệsốđiểmrơi.

1
8a

2



7  3
2

8a

2

72
8a 3
2 7.4
85

Vậym 8 làhệsốđiểmrơi.


P2a

1  8
a2

a8a



1 
1
1
14a3 38 a.8a. 14a1214a1214. 5

a2 

a2

2

1.
Vậy MinP5k h i a
2
Bài 4: Cho a; b  0 và a  b  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  ab  1 .
ab

1. Nhậnxétvàlờigiải:
1.1. Sailầmmàhọcsinhthườnggặp:
1
2 ab. 1 2MinP2
Pab
ab
ab
1.2. Ngunnhânsailầm:
MinP2ab

1
ab

ab11

ab 

a b 1 
2

1 (Vơ
1
lý)
2
2

1.3. Phântíchvàtìmlờigiải:BiểuthứccủaPchứa2biếnsốa,bnhưngnếuđặt
tab

1
1
hoặc t a thì Pt
làb i ể u t h ứ c c h ứ a m ộ t b i ế n s ố . d o đ ó k h i đ ổ i
t
b

biếnsốtacầnphảitìmmiềnxácđịnhchobiếnsốmới,cụthểlà:
Đặtt  1

ab

ab

1

vàt 

1
ab

t



1
1
4
ab2
12


 2 


 2

*k h i đ ó b à i t o á n t r ở t h Chot 4.Tìmg i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a b i ể u t h ứ c
ành

1
P t .
t
 Sơđồđiểm rơi:
t

4


t4

m
m14 
 
t m
11
t 4

m16

:Hệsốđiểmrơi

* Lờigiảitổnghợp:
1t  115t
Pt
2.
16


t
t
16



t
t .1  t
 2 15.4
15
17 4

16 2415 16
4 16
16 t
1th
17
Vớit 4 haya b ìM i n P =
2
4
1
* Lờigiảithugọn:Dot 4ab
2 nênbiếnđổitrựctiếpPnhưsau:
1  ab
Pab

1 
15
2.ab.1 16ab

 ab2 17
4
ab
16ab 15
16ab


16

1th
17
Vớia b ìM i n P=

2
4

 2 

Bài 5. Cho a,b  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  b  ab
ab
ab
1. Nhậnxétvàlờigiải:
1.1. Sailầm thườnggặp:

P


ab
ab
ab
ab

2.

a  b .ab
ab a  b

2MinP2

1.2. Nguyênnhânsailầm:
MinP2 a  b
ab


ab
1 ab ab2 ab 12:Vơlý.
ab

1.3. Phântíchvàtìmtịilờigiải:DoPlàmộtbiểuthứcđốixứngvớia,bnêndựđốnMi

nPđạttạia b0
 Sơđồđiểm rơi:

ab

a b
a
mab
2ma 2m

2
1  

2 m
a b  
ab a 2a1 2

m4

:Hệsốđiểmrơi.


1.4. Lờigiảiđúng:

ab a b
 4 
ab
a b


P a  b

ab
P2

ab
ab)
 3(
4 ab
ab


a  b .ab
ab)

3(
4 ab 13 25. 2
4 ab a  b

Vớia b0

5
MinP


thì
2

Bài 6. Cho a,b, c  0; a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
Pabc111.
abc
1. Nhậnxétvàlờigiải:
1.1.

Sailầmthườnggặp:

Pabc

1  1  1 66a b c .11.. 1
a b c
ab c

6MinP=6

1.2. Nguyênnhânsai nhầm:
1  1  1
3
MinP=6 abc
1abc3
a

b

c

2

tráivớigiảthiết.

1.3. Phântíchvàtìm tịilờigiải:
DoPlàmộtbiểuthứcđốixứngvớia,b,cnêndựđốnMinPđạttạia bc

1
2

1.4. Sơđồđiểmrơi1:
abc1

2
2
a  b  c  1  1
1
1
2 12 
m




2

ma
mb mc m

1.4.1 Cách1:
1  11 a
1
Pabc
bc
a b c  4c
4a 4b

1
3 3.
P6 6 a b c .
 3
.1. 1



1

:Hệsốđiểmrơi.

m4

1a 1

4c 3  11













11 1 
39

1
4a4 b4 c

..

ab c 


4

3

4 3 abc
9
1
4a bc
3

Vớia bc

1th
2

ìMinP=

1.4.2. Sơđồdiểmrơi2:

15.
2

327.1 15
4 3 2
2


abc1
2
1.4.3C á c h
2:



 mambmc 2m

2
1
1 1
2
2

a b c

m4

:Hệsốđiểmrơi.


1  11 4
1  1 1
3(a
a b ac4b 4c
a bbc)c


3 15
1 1 1 3(abc)123
P6 6 4a.4b.4c..
.
2 2
a b c
1th
15.
Vớia bc ìMinP=
2
2
Pabc

a,b, c  0
Bài 7. Cho 
1.Nhậnxétvàlờigiải:

3
1.2. Sailầmthườnggặp:
a  b  c 2
2

Pa

11
1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a2  b2  c2 .
abc

1

2a 1 2b

 2 2
b c

2b

1
2c 1

1  1
2c

2a
9.9a b c
2

9
MinP
3

.1

2 2

1 a .12b2
.1
2a2.1.
b21.c2
c 9

4

4

1.3. Nguyênnhânsailầm:

MinP

9
3

abc

3

1
abc
3 2

a
4

2

 2 2 1
b c

2a 1  12c1

2b
3

4

3
(tráivớigiảthiết)

3 2 32

1.4. Phântíchvàtìmlờigiải:
DoSlàmộtbiểuthứcđốixứngvớia,b,cnêndựđốnMinSđạttạia bc
1.4.1. Sơđồđiểmrơi:

1
2

abc1
2

a2 b2 c2 1

4
2
 1
1
1
2 14 
m




ma mb mc m

Hệsốđiểm rơi.
m 8 :

1.4.2. Lờigiải đúng:
 2 2 1  11
2
Pa b c
1
a2 2 2 1 a b c


b c

1 1 a


 1 8a 8b 8c3 4 11b
8a 18b 1 8c





3
22 2 1
P 9a bc.
. 1 . 1 . 1 . 1 . 1 3 3 11 1 
.. 9 9 . 1

 9
8a8 b8 c 8a8 b8 c
4
ab c 
4 4
99.
9  9.2 27
1



4 4 abc

4 4
4
3
1
27.
thìMinP=
Với abc
4
2



3


c




abc

Bài 8. Cho a,b, c  0
1

222
a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a  b  c  abc .
1.Nhậnxétvàlờigiải:
1.1. Sailầmthườnggặp:
1 44a.b.c. 1

4MinP4
abc

abc

abc
1.2. Nguyênnhânsailầm:
MinP=4abc

1
abc1mâuthuẫnvớigiảthiết.
ab
c

1.3. Phântíchvàtìmtịilờigiải:
DựđốnđiểmrơicủaMinPlàa bc
1.4. Sơđồđiểmrơi:

abc

1
3

abc
31

 
3

1

1 ,khiđó
3 3
3
abc


1
mabc 3 m


1.5. Lờigiảiđúng:
1
8
3
1
abc

 13 
 3 
 4.4 a.b.c.
9abc
m

m 9

:Hệsốđiểmrơi.

8
9abc

9abc



 a2  b2  c2 
9

3



4 8 
3

4

3

3

III/
SAILẦMTRONGĐÁNHGIÁTRUNGBÌNHNHÂNSANGTRUN
G BÌNHCỘNG:
3

Bài 1. Cho a,b,c  0
. Tìm GTLN của P 

a  b  c  1

ab

3

b  c  3 c  a.



1. Nhậnxétvàlờigiải:
1.1. Sailầmthườnggặp:
3a b
ab)113
3 (a  b).1.1


(

bc)11
3b
  c 3 (b  c).1.1 (
3

ca)11
3c


a

(
3

(c

a).1.1

3

3 a  b
3 b  c
3 c  a
P
2  a bc  6



 8 MaxS=8
3
3

3

1.2. Nguyênnhânsailầm:
8
 ab1
MaxP    c12  a bc  323Vơ lý.
b

3
ca1
1.3. DựđốnđiểmrơicủaMaxP:DoPlàmộtbiểuthứcđốixứngvớia,b,cnên
MaxPthườngxảyravớiđiềukiện:

ab2
abc
abc


abc1

3


1
3

1.4. Trìnhbày lờigiảiđúng:



a

3

 b


 b
3 c



c
3
 a


3

P

3

3

3






23
c
 b


23

 ca

(

ab)

2 2

9
2 2 9
3 3
. 3 (a  b). . 3 .
4
3
4
3 3
2 2
(
bc)
9
9
2 2
.3 (b  c). .  3
3 3
.
4
3 3
3
4(
2 2
ca)
9
9

2 2
.3 (c  a). .  3
3 3
.
4
3 3
3
4

6
9 2  a bc  4
9 . 

3 b  c
3 c  a
3 .
 3
3 18
3
3
4
4
18
2
1n
Vớia bbcca
abc ênM a x P = 3 .
3
3

ab

Bài 2. Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãna  b  c  d  1. Tìm giá trị lớn nhất của:
P  3 2a  b  3 2b  c  3 2c  d  3 2d  a
1. Nhậnxétvàlờigiải:
1.1. Sailầm thườnggặp:SửdụngbấtđẳngthứcCơsitacó:
32 ab

2
3 bc

2
3 cd

2
3 d a



3

3

3

3

(2a  b).1.1  ab)113
(2
bc)11

3
(2b  c).1.1 (2
(2cd)11
(2c  d ).1.1 
(2d  a).1.1

3
(2d a)113