SKKN môn Toán lớp 10: Áp dụng kỹ thuật chọn điểm rơi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong một số bài toán bất đẳng thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (394.22 KB, 22 trang )
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
1
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ………………………………………………………….Trang 2
I. Lí do ch
ọn đề tài nghiên cứu…………………………………Trang 2
II. M
ục đích nghiên cứu ……………………………………… Trang 2
III. Khách th
ể và đối tượng nghiên cứu… …………………… Trang 2
IV. Nhi
ệm vụ nghiên cứu… ………………………………… Trang 5
V. Phương pháp nghiên cứu…………………………………… Trang 5
VI. Ph
ạm vi nghiên cứu………………………….….………….Trang 5
N
ỘI DUNG NGHIÊN CỨU……………………………….……… Trang 6
I. Bài toán xu
ất phát………………….…………… ………… Trang 6
II. Sai l
ầm trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình
nhân………………………………….……………………….Trang 6
III. Sai l
ầm trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình
c
ộng……………………………………………………….………….Trang 15
K
ẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………….…Trang 18
Các ph
ụ lục……………………………………………… ………Trang 19- 22.
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
2
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
TÊN ĐỀ T
ÀI: ÁP DỤNG KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT
ĐẲNG THỨC.
A. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU.
I/ LÍ DO CHỌN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU, TRIỂN KHAI ỨNG DỤNG.
Bất đẳng thức là một nội dung khó đối với học sinh nhưng lại là một trong
những nội dung quan trọng trong các kiến thức thi Đại Học. Trong quá trình học
và ứng dụng lí thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng
túng, d
ễ mắc sai lầm. Có những bài toán tìm GTLN, GTNN nếu không nắm
được
cách làm thì dễ dẫn đến sai lầm trong quá trình suy luận.
Để giúp các em hạn chế và giảm những sai sót này trong quá trình giải
những bài toán bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN chúng tôi áp dụng một kỹ
thuật nhỏ gọi là “ Kỹ thuật chọn điểm rơi”. Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
II/
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Thông th
ường đứng trước bài toán bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN
h
ọc sinh nghĩ ngay đến dạng mẫu đã học, áp dụng ngay các bất đẳng thức đã học
nhưng thực tế qua các
bài toán bất đẳng thức dùng cho học sinh khá, giỏi hoặc
đề thi đại học
, cao đẳng học sinh còn gặp những dạng phức tạp mà để giải nó đòi
h
ỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là
d
ựa trên “ Kỹ thuật chọn điểm rơi” để giải bài toán.
III/
KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
1/
Khách thể nghiên cứu:
+ Th
ực tế việc giải bất đẳng thức các em đã làm từ cấp 2, chủ yếu là dạng
có sẳn. Lên lớp10 các em được trang bị kiến thức về bất đẳng thức kĩ lưỡng hơn,
đa dạng hơn nhưng cách giải cũng chủ yếu là dùng phương pháp biến đổi, bất
đẳng thức Cô
-Si.
2/
Đối tượng cần nghiên cứu:
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
3
Là học sinh lớp 10A8và 10D4, lớp 12 trong quá trình học chương bất đẳng
thức và học sinh luyện thi vào đại học, cao đẳng.
Tôi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Phan Bội Châu có những điều kiện
thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng.
* Học sinh:
Chọn lớp 10A8 là nhóm thực nghiệm và 10D4 là nhóm đối chứng và tiến
hành kiểm tra các kiến thức cơ bản để đánh giá và so sánh mức độ của 2 lớp
trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp không có
s
ự khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh
l
ệch giữa điểm số trung bình của 2 lớp trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đối chứng (ĐC)
Thực nghiệm (TN)
TBC 5,5 5,5
p
0,44
0,44 0,05
P
, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm
TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu
Nhóm Kiểm tra trước TĐ Tác động (TĐ) KT sau TĐ
Thực nghiệm O1
Dạy học theo hệ thống
bài tập liên quan
O3
Đối chứng O2
Dạy học theo hệ thống
bài tập có nhiều loại
O4
ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3/ Quy trình nghiên c
ứu
* Chuẩn bị bài của giáo viên:
Thi
ết kế bày dạy lớp thực nghiệm theo hệ thống bài tập liên quan
Thi
ết kế bày dạy lớp đối chứng theo hệ thống bài tập có nhiều loại.
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
4
Tiến hành dạy thực nghiệm:
Chọn 2 lớp để khảo sát với nội dung đánh giá điểm và kiểm chứng T-Test
để chọn đúng 2 lớp tương đương.
Thời gian tiến hành thực nghiệm: Tổ chức các tiết dạy học theo như kế
hoạ
ch
4/
Đo lường
Đ
ánh giá học sinh sau tác động thông qua bài kiểm tra sau đó dùng phép
ki
ểm chứng
t-test
phụ thuộc và tính mức độ ảnh hưởng đối với nhóm thực nghiệm.
PHÂN TÍCH D
Ữ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Đối chứng
Thực nghiệm
ĐTB 6,1 7,4
Độ lệch chuẩn 0,97 1,45
Giá trị P của T- test 0,0001
Chênh lệch giá trị TB chuẩn
(SMD)
1,34
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương
đương. Sau tác động kiểm c
hứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả
p=0,0001, cho thấy sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối
chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn
ĐTB nhóm đối chứng l
à không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
Chênh l
ệch giá trị trung bình chuẩn SMD =
7,4 6,1
1,34
0,97
. Điều đó cho
thấy mức độ ảnh hưởng của nhóm thực nghiệm là lớn.
BÀN LU
ẬN
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là
7,4
TBC
,
k
ết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là
6,1
TBC
. Độ chênh lệch
điểm số giữa hai nhóm l
à
1,3
; Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
5
thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp
đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là
1,34
SMD
.
Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn.
Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là
0,0001 0,001
p
. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm
không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động.
IV/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1/
Cơ sở lý luận và thực tiễn:
1.1.
Cơ sở lý luận: Sách giáo khoa lớp 10, các tài liệu ttham khảo.
2.1. Cơ sở thực tiễn: Học sinh lớp10 và 12 trường THPT Phan Bội
Châu trong
các năm học vừa qua.
2/ Nh
ững định hướng đổi mới:
- Cho
học sinh làm một số dạng toán liên quan đến đề tài này.
- Khuy
ến khích các em tìm tòi một số bài toán liên quan đến đề tài này.
3/
Đánh giá thực trạng: Học sinh nhiều em chưa biết ứng dụng “ Kỹ thuật
chọn điểm rơi” để giải một số bài toán bất đẳng thức.
4/ Đề xuất biện pháp: Trong tiết dạy tự chọn 10 và 12, Giáo viên nên cho
m
ột vài bài toán dạng này để khích lệ sự tìm tòi, sáng tạo cho học sinh.
V/
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Tham kh
ảo tài liệu, sách giáo khoa. Báo Toán học và tuổi trẻ.
- Thực hành thông qua quá trình giảng dạy.
- Điều tra kết qủa học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu
quả đạt được của HS khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện
tốt hơn trong quá trình xây dựng đề tài.
VI/
PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1/
Phạm vi khoa học: Kiến thức Toán của chương trình phổ thông
2/ Địa bàn nghiên cứu: Trường THPT Phan Bội Châu, Cam Ranh, Khánh Hòa.
3/ Th
ời gian nghiên cứu: Từ năm học 2011 – 2013
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
6
B. CHƯƠNG 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
I. BÀI TOÁN XUẤT PHÁT.
Giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
2 . 2
a b a b
P
b a b a
.
2
MinA a b
* Nhận xét: Từ bài toán này có thể thay đổi miền xác định để có các bài
toán sau:
II/ SAI L
ẦM TRONG ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG
TRUNG BÌNH NHÂN.
A) B
ất đẳng thức Cô si:
1 2
; ; ;
n
Cho a a a
là các số không âm.
Ta có
1 2 1 2
n
n n
a a a n a a a
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
n
a a a
.
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai l
ầm mà học sinh thường gặp:
1 1
2 . 2 2
P a a MinP
a a
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
1
2 1
MinP a a
a
(mâu thuẫn với giả thiết
3
a
)
1.3. Phân tích và tìm lời giải:
Xét b
ảng biến thiên của
1
;
a
a
và P để dự đoán MinP
Bài 1: Cho
3
a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P a
a
.
1. Bài toán xuất phát:
, 0.
Cho a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của
a b
P
b a
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
7
a 3 4 5 6 7 8 9 10 ……. 100
1
a
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
…….
1
100
P
1
3
3
1
4
4
1
5
5
1
6
6
1
7
7
1
8
8
1
9
9
1
10
10
……
1
100
100
Ta thấy khi a tăng thì P càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán là khi
3
a
thì P
nh
ận giá trị nhỏ nhất.
Để dễ hiểu v
à tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng
10
3
MinP đạt tại « Điểm
rơi
:
3
a
»
Do b
ất đẳng thức xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,
nên t
ại « Điểm rơi:
3
a
» ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cô si trực tiếp
cho 2 số
a
và
1
a
vì
1
3
3
. Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Cô si
cho cặp số
1
;
a
m a
sao cho tại « điểm rơi:
3
a
» thì
1
a
m a
. Khi đó ta có sơ đồ
điểm rơi sau đây:
Sơ đồ:
3
1 3
3 9
1 1
3
3
a
m m
a m
m
a
. Vậy
9
m
là hệ số điểm rơi.
Từ đó ta biến đổi P theo sơ đồ « Điểm rơi » như nêu ở trên.
1.4. L
ời giải đúng:
1 1 8 1 8 2 8 2 8.3 10
2 .
9 9 9 9 3 9 3 9 3
a a a a a
P a
a a a
10
3
MinP
tại
3
a
1. Nhận xét và lời giải:
Bài 2: Cho
2
a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1
P a
a
.
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
8
1.1. Sai lầm mà học sinh thường gặp:
2 2 2
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 9
2 .
8 8 8 8 8 8 4
8 8.2
a a a a a
P a
a a a
a
9
4
MinP
khi
2
a
1.2. Nguyên nhân sai lầm.
Mặc dù ta đã biến đổi P theo điểm rơi
2
a
và
9
4
MinP
là đáp số đúng nhưng
cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: ‘nếu
2
a
thì
2 2 2
4
8 8.2
a
là đánh giá sai’
Để điều chỉnh lời giải sai th
ành lời giải đúng ta cần phải biến đổi P sao cho khi
sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
1.3. Sơ đồ điểm rơi:
2
2
1 2
2 8
1 1
4
4
a
m m
a m
m
a
. Vậy
8
m
là hệ số điểm rơi.
1.4. Lời giải đúng:
3
2 2 2
1 1 6 1 6 3 6.2 9
3 . .
8 8 8 8 8 8 4 8 4
a a a a a a
P a
a a a
Vậy
9
4
MinP
khi
2
a
.
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai l
ầm mà học sinh thường gặp:
3
2 2 2
1 1 1
2 3 . . 3
P a a a a a
a a a
3
MinP
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
2
1
3MinP a a
a
mâu thuẫn với giả thiết
1
0
2
a
Bài 3: Cho
1
0
2
a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1
2P a
a
.
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
9
1.3. Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của
2
1
; 2 ;
a a
a
và P để dự đoán
MinP
a
1
10
1
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
2.a
1
5
2
9
1
4
2
7
1
3
2
5
1
2
2
3
1
2
1
a
100
81
64
49
36
25
16
9
4
P
1
100
5
2
81
9
1
64
4
2
49
7
1
36
3
2
25
5
1
16
2
2
9
3
5
Từ bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì P càng nhỏ và từ đó dẫn đến dự
đoán là khi
1
2
a
thì P nhận giá trị nhỏ nhất.
1.3.1. Sơ đồ điểm rơi 1:
2
1
1 1 4
2
8
1 4
2 2
a
a m
m
ma m
. Vậy
8
m
là hệ số điểm rơi.
1.3.2 Lời giải đúng 1:
3
2 2 2 2 2 2
1 1 7 1 7 3 7 3 7.4
2 3 . . 5
8 8 8 8 2 8 2 8
P a a a a a
a a a a a a
Vậy
5
MinP
khi
1
2
a
.
1.4.1. Sơ đồ điểm rơi 2:
2
1 1 4
2
8
1
2 2
4
m
ma
a m
m
a
. Vậy
8
m
là hệ số điểm rơi.
1.4.2 Lời giải đúng 2:
3
2 2 2
1 1 1 1
2 8 8 14 3 8 .8 . 14 12 14 12 14. 5
2
P a a a a a a a a
a a a
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
10
Vậy
5
MinP
khi
1
2
a
.
1. Nh
ận xét và lời giải:
1.1. Sai l
ầm mà học sinh thường gặp:
1 1
2 . 2 2
P ab ab MinP
ab ab
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
1 1 1
2 1 1 1
2 2 2
a b
MinP ab ab ab
ab
(Vô lý)
1.3. Phân tích và tìm lời giải: Biểu thức của P chứa 2 biến số a, b nhưng nếu đặt
t ab
hoặc
1
t
ab
thì
1
P t
t
là biểu thức chứa một biến số. do đó khi đổi
biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới, cụ thể là:
Đặt
1 1
t ab
ab t
và
2 2
1 1 1
4
1
2 2
t
ab
a b
* khi đó bài toán trở thành
4
Cho t
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P t
t
.
Sơ đồ điểm rơi:
4
1 4
1 1
4
t
m m
t m
t
:Hệ số điểm rơi
* Lời giải tổng hợp:
1 1 15 1 15 2 15 2 15.4 17
2. .
16 16 16 16 4 16 4 16 4
t t t t t
P t
t t t
Bài 4: Cho
; 0
a b
và
1
a b
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P ab
ab
.
4
t
16
m
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
11
Với
4
t
hay
1 17
ì MinP =
2 4
a b th
* Lời giải thu gọn: Do
4
t
1
2
a b nên biến đổi trực tiếp P như sau:
2
1 1 15 1 15 17
2. .
16 16 16 4
16
2
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b
Với
1 17
ì Min P =
2 4
a b th
Bài 5. Cho
, 0
a b
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a b ab
P
a b
ab
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
2. . 2 2
a b ab a b ab
P MinP
a b a b
ab ab
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
2 1 2 1 2
a b ab
MinP ab a b ab
a b
ab
: Vô lý.
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do P là một biểu thức đối xứng với a,b nên dự
đoán Min
P đạt tại
0
a b
Sơ đồ điểm rơi:
2 2
1 2
2
1
2 2
a b a
ma m
m ab
m
ab a
a b a
:Hệ số điểm rơi.
1.4. Lời giải đúng:
3( )
4 4
a b ab a b ab a b
P
a b a b
ab ab ab
3( ) 3 5
2 . 1 .
2 2
4 4
a b ab a b
P
a b
ab ab
a b
4
m
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
12
Với
0
a b
thì
5
2
MinP
Bài 6. Cho
3
, , 0;
2
a b c a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
.
P a b c
a b c
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
6
1 1 1 1 1 1
6 . . . 6 inP=6
P a b c abc M
a b c a b c
1.2. Nguyên nhân sai nhầm:
MinP = 6
1 1 1 3
1 3
2
a b c a b c
a b c
trái với giả thiết.
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do P là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán MinP đạt tại
1
2
a b c
1.4. Sơ đồ điểm rơi 1:
1
1 2
2
1 1 1 2
2
a b c
m
ma mb mc m
:Hệ số điểm rơi.
1.4.1 Cách 1:
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
4 4 4 4
P a b c a b c
a b c a b c a b c
6 3
3
1 1 1 3 1 1 1 9 1
6 . . . 3. . . 3
4 4 4 4 4
P abc
a b c a b c
abc
9 1 27 1 15
3 3 .
3
4 4 2
3 2
a b c
Với
1 15
ì MinP =
2 2
a b c th .
1.4.2. Sơ đồ diểm rơi 2:
4
m
1
2
a b c
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
13
2
2
1 1 1
2
2
ma mb mc
m
a b c
:Hệ số điểm rơi.
1.4.3 Cách 2:
6
1 1 1 1 1 1
4 4 4 3( )
1 1 1 3 15
6 4 .4 .4 . . . 3( ) 12 3
2 2
P a b c a b c a b c
a b c a b c
P a b c a b c
a b c
Với
1 15
ì Min P=
2 2
a b c th .
Bài 7. Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2
1 1 1
.
P a b c
a b c
1. Nhận xét và lời giải:
1.2. Sai lầm thường gặp:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
P a b c
a b c a b c
2 2 2
9
3
1 1 1 1 1 1 9
9. . . . . . .
2 2 2 2 2 2
4
a b c
a b c a b c
3
9
4
MinP
1.3. Nguyên nhân sai lầm:
2 2 2
3 3
9 1 1 1 1
2 2 2
4 4
MinP a b c
a b c
3 3
1 3 3
2
2 2
a b c a b c (trái với giả thiết)
1.4. Phân tích và tìm lời giải:
Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại
1
2
a b c
1.4.1. Sơ đồ điểm rơi:
1
2
a b c
4
m
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
14
2 2 2
1
1 2
4
1 1 1 2
4
a b c
m
ma mb mc m
:Hệ số điểm rơi.
1.4.2. Lời giải đúng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
8 8 8 8 8 8 4
P a b c
a b c
a b c
a b c a b c a b c
2 2 2
9 3
3
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 9 9 1
9 . . . . . . 3 . . .
8 8 8 8 8 8 4 4 4
9 9 1 9 9 27
. .2
4 4 4 4 4
3
P a b c
a b c a b c a b c
abc
a b c
Với
1
2
a b c thì MinP =
27
4
.
Bài 8.
Cho
2 2 2
, , 0
1
a b c
a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
P a b c
abc
.
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
4
1 1
4 . . . 4 4
a b c a b c MinP
abc abc
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
MinP = 4
1
1
a b c a b c
abc
mâu thuẫn với giả thiết.
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải:
Dự đoán điểm rơi của MinP là
1
3
a b c , khi đó
1
3 3
abc
1.4. Sơ đồ điểm rơi:
1
2
a b c
8
m
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
15
1
3 3 3 1
3
1 3 3
a b c
m
mabc m
: Hệ số điểm rơi.
1.5. Lời giải đúng:
4
2 2 2
1 8 1 8 4 8
4. . . . 4 3
9 9 9
3 3
9
3
a b c a b c
abc abc abc
a b c
III/ SAI LẦM TRONG ĐÁNH GIÁ TRUNG BÌNH NHÂN SANG TRUNG
BÌNH C
ỘNG:
Bài 1. Cho
, , 0
1
a b c
a b c
. Tìm GTLN của
3 3 3
.
P a b b c c a
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
3
3
3
3
3
3
( ) 1 1
( ).1.1
3
( ) 1 1
( ).1.1
3
( ) 1 1
( ).1.1
3
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a
3 3 3
2 6
8 8
ax S=
3 3 3
a b c
P a b b c c a M
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
Max
1
8
1 2 3 2 3
3
1
a b
P b c a b c
c a
Vô lý.
1.3. Dự đoán điểm rơi của Max P: Do P là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên
MaxP
thường xảy ra với điều kiện:
1
3
a b c
9
m
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
16
2
3
1 2
1
3 3
2
3
a b
a b c
a b c b c
a b c
c a
1.4. Trình bày lời giải đúng:
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
2 2
( )
9 2 2 9
3 3
. ( ). . .
4 3 3 4 3
2 2
( )
9 2 2 9
3 3
. ( ). . .
4 3 3 4 3
2 2
( )
9 2 2 9
3 3
. ( ). . .
4 3 3 4 3
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a
3 3 3 3
3 3
2 4
9 9 6
. . 18
4 3 4 3
a b c
P a b b c c a
Với
3
2 1
ên MaxP= 18
3 3
a b b c c a a b c n .
Bài 2. Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn
1
a b c d
. Tìm giá trị lớn nhất của:
3 3 3 3
2 2 2 2
P a b b c c d d a
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
3
3
3
3
3
3
3
(2 ) 1 1
2 (2 ).1.1
3
(2 ) 1 1
2 (2 ).1.1
3
(2 ) 1 1
2 (2 ).1.1
3
(2 ) 1 1
2 (2 ).1.1
3
a b
a b a b
b c
b c b c
c d
c d c d
d a
d a d a
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
17
3 3 3 3
3( ) 8 11 11
2 2 2 2 ax P=
3 3 3
a b c d
a b b c c d d a M
1.2. Ngyên nhân sai lầm:
Max
2 1
2 1
11
3( ) 4 3 4
2 1
3
2 1
a b
b c
P a b c d
c d
d a
: Vô lý.
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do P là một biểu thức đối xứng với a,b,c,d nên dự đoán
MaxP
đạt tại điểm rơi.
1
1
4
a b c d
a b c d
a b c d
3
2 2 2 2
4
a b b c c d d a
Trình bày lời giải đúng:
3
3
3
3
3 3
(2 )
3 3
4 4
(2 ). .
4 4 3
3 3
(2 )
3 3
4 4
(2 ). .
4 4 3
3 3
(2 )
3 3
4 4
(2 ). .
4 4 3
3 3
(2 )
3 3
4 4
(2 ). .
4 4 3
a b
a b
b c
b c
c d
c d
d a
d a
3 3 3 3
3
9 3( ) 6
. 2 2 2 2 3
16 3
a b c d
a b b c c d d a
3 3
3
9
. 3 48 2. 6
16
P P
Với
3
3 1
2 2 2 2 ì MaxP=2 6
4 4
a b b c c d d a a b c d th
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
18
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
* Kết luận:
Đây
là một phương pháp giải toán vừa sức đối với học sinh, học sinh lĩnh
hội không khó khăn, cho nên các đề thi thỉnh thoảng ra với cách giải đơn giản là
á
p dụng phương pháp này. Đối với học sinh tham gia các kỳ thi đại học cao
đẳng thì đây là một phương pháp giải cần phải biết.
Điều khó khăn khi thực hiện đề tài này là chương trình học sinh khối 10
học nội dung bất đẳng thức rơi vào các tuần chuẩn bị thi học kì I, các em phải
tập trung học nhiều môn, bất đẳng thức lại là một nội dung khó nên quá nữa số
học sinh không theo kịp. Đối với lớp 12 thì có nhiều thuận lợi hơn về thời gian
trong quá trình ôn tập để thi Đại học, Cao đẳng.
* Kiến nghị
Qua thực tế khảo sát học sinh đa số học sinh học học chưa tốt nội dung
bất đẳng thức nên rất ngại học phân môn này, nhiệm vụ giáo viên của chúng ta
là cần hệ thống các bài tập và lựa chọn sao cho phù hợp với từng đối tượng học
sinh để giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kỹ năng giải toán, có
như vậy các em mới yêu thích môn toán và ngày càng đạt nhiều kết quả cao hơn.
Trong quá trình hoàn thành đề tài chúng tôi rất biết ơn các đồng nghiệp đã nhiệt
tình giúp đỡ, chúng tôi luôn mong muốn nhận được ý kiến đóng góp để sáng
kiến nhỏ mang lại nhiều lợi ích lớn cho các em học sinh. Trân trọng cám ơn!
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
19
Phụ lục 1. KIỂM TRA TÌM HIỂU THỰC TRẠNG.
Đề b
ài. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P x
x
. Biết
a)
0
x
b)
3
x
* Biểu điểm và đáp án:
) 0
a do x
áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có
1 1
2 . 2
P x x
x x
………………………… ……….… 2đ
2
MinP
tại
1
x
………………… …… ………….… 2đ
1 1 8
)
9 9
x x
b P x
x x
……………… ……………1,5đ
1 8
2 .
9 9
x x
x
… ………1,5đ
2 8
3 9
x
1đ
2 8.3 10
3 9 3
1đ
10
3
MinP
tại
3
x
………… ……… …………………. 1đ
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
20
Phụ lục 2. KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG.
Bài toán Cho x, y, z là 3 số dương thỏa điều kiện
1
x y z
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
1 1 1
2( )
P x y z
x y z
* Biểu điểm và đáp án:
1 1 1 2 2 2
2( ) (18 ) (18 ) (18 ) 17( )
P x y z x y z x y z
x y z x y z
4đ
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2
18 12,(1).
x
x
……………………………………………………………….1đ
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
3
x
………………………………………….1đ
Tương tự
, ta cũng có:
2
18 12,(2).
y
y
và
2
18 12,(3).
z
z
………………2đ
mà
17( ) 17, (4)
x y z
………………………………………………… 1đ
Cộng (1), (2), (3), (4) ta có
19
P
.
Giá tr
ị nhỏ nhất của P bằng 19 khi
1
3
x y z
…………………………….1đ
TI SNG KIN KINH NGHIM. GV: PHM THANH TNG
21
Ph lc 3. Bng im
LP THC NGHIM
Stt Hoù vaứ teõn KT trc taực ng KT sau taực ng
1
Trng Tụ Võn Anh
4 7
2
Nguyn Hong Bo Chõu 6 6
3
Nguyn H Lan Chi
5 7
4
Nguyn Ngc Din
6 9
5
Nguyn Th Thựy Dung
5 7
6
Phm Thnh ụ
6 8
7
Nguyn Th Thu H
6 7
8
Trn Th Gia Hõn
4 8
9
Trnh Th Thu Hnh
6 7
10
Nguyn Th M Hoa
7 9
11
Trn c Huy
6 8
12
Nguyn c Khỏnh
4 5
13
Lờ Hoi Bo Khiờm
7 6
14
Nguyn Ngc ng Khoa
7 6
15
Nguyn Th Thanh Kiu
4 6
16
ng Khỏnh Linh
5 6
17
Trn Thi M Linh
6 10
18
H Th Kim Luyn
2 5
19
Nguyn Hng Hi Mi
4 7
20
Lờ Hoi Dim My
2 5
21
Nguyn Trn Ninh 8 8
22
Dng Vn Phong
6 7
23
Nguyn Nh Phỳc
8 9
24
Nguyn Vn Phỳc
7 7
25
Phm Th M Phc
6 8
26
Lờ Quõn
2 5
27
Nguyn Thanh Sang
8 9
28
H Th L Sen
7 8
29
Trn Phỳ S
4 9
30
Lý Thỏi Ti
8 9
31
Lờ Tn Thnh
4 8
32
ng Vit Thi Th
7 10
33
Hong N Giỏng Tiờn
3 5
34
Hong Th oan Trang
4 10
35
Lng V H Trang
7 9
36
Lờ Th Tuyt Trm
4 6
37
Nguyn Ngc T Trinh
6 7
38
Trn Th c Trinh
6 6
39
Phm Kim Tuyn
6 8
40
Nghiờm Anh V 7 8
41
Nguyn Th Xuõn Xanh
5 8
42
Trn Th Yờn
6 8
TI SNG KIN KINH NGHIM. GV: PHM THANH TNG
22
LP I CHNG
Stt Hoù vaứ teõn KT trc taực ng KT sau taực ng
1
Lờ Th Kim Chõu
6 7
2
Bựi Doanh Doanh
8 8
3
Tụn N K Duyờn
4 5
4
Vừ Khỏnh H
7 7
5
Nguyn Th M Hnh
5 5
6
Nguyn Th Hng Hu
6 6
7
Nguyn K Lnh Huy
4 5
8
Dng Nguyn Khỏnh Huyn
5 5
9
Nguyn Phan An Khang
7 6
10
Nguyn Qu Lõm
6 5
11
Nguyn Hoi Phng Linh
6 7
12
Trn Khc Linh
6 8
13
Nguyn Th Thanh Nga
4 6
14
Hunh Kim Ngõn 4 5
15
Vừ Hu Ngha
6 7
16
Nguyn Th Thỏi Ngc
5 5
17
Cao Xuõn Nguyờn
7 6
18
Trn Th Trỳc Nhó
6 7
19
ng Hunh Huy Nht
5 6
20
Cao V Qunh Nhi
6 6
21
Nguyn Th Kim Oanh
5 6
22
Nguyn Th Trỳc Phng
6 7
23
Phm Th Trỳc Quyờn
5 6
24
Vừ Hong Kim Quyờn
6 5
25
Nguyn Th Ngc Tho
4 7
26
Nguyn Th Diu Thin
5 6
27
Nguyn Th M Tiờn
7 7
28
Phm Thu Tiờn
4 6
29
Dng Ngc Huyn Trõm
7 5
30
Nguyn Th Tuyt Trinh
5 5
31
Nguyn Th Thanh Trỳc
7 8
32
Lờ Dip Bớch Tuyn
4 6
33
Nguyn Hong Vit 4 7
34
Nguyn Huy Vit
6 5
35
Lờ Tng Vy
5 6
36
Lờ Nguyờn Hong V
6 5
37
Cao Nht Tng Yờn
5 5
38
Nguyn Phi Yn
5 7
