(Luận văn thạc sĩ) nghiên cứu hiện tượng định xứ anderson trong hệ giả một chiều biểu thức gần đúng độ dài định xứ trong giới hạn mất trật tự yếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ THỊ PHƢƠNG THẢO

NGHIÊN CỨU HIỆN TƢỢNG ĐỊNH XỨ ANDERSON
TRONG HỆ GIẢ MỘT CHIỀU: BIỂU THỨC GẦN
ĐÚNG ĐỐI VỚI ĐỘ DÀI ĐỊNH XỨ TRONG GIỚI
HẠN MẤT TRẬT TỰ YẾU

h
Chuyên ngành: Vật lý chất rắn
Mã số: 8440104

Ngƣời hƣớng dẫn: PGS.TS. NGUYỄN BÁ PHI


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong luận văn: “Nghiên cứu hiện
tƣợng định xứ Anderson trong hệ giả một chiều: Biểu thức gần đúng đối
với độ dài định xứ trong giới hạn mất trật tự yếu” là kết quả nghiên cứu
của riêng tôi với sự giúp đỡ và hƣớng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Bá Phi. Các
số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa đƣợc cơng bố trong
bất cứ một cơng trình nghiên cứu nào. Ngồi ra, trong bài luận văn có sử
dụng một số nguồn tài liệu tham khảo đã đƣợc trích dẫn nguồn và chú thích rõ
ràng
Học viên
Lê Thị Phƣơng Thảo

h

LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Bá Phi đã tận
tình hƣớng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo và động viên tơi hồn thành luận văn này.
Trong q trình thực hiện luận văn tơi đã nhận đƣợc rất nhiều sự quan
tâm và tạo điều kiện của các Thầy, Cô khoa Khoa học Tự nhiên - Trƣờng Đại
học Quy Nhơn. Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành tới quý Thầy, Cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn b và tập thể lớp Cao học Vật
lý chất rắn K22 đã luôn động viên, kh ch lệ tinh thần trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu khoa học.
Mặc dù đã rất cố gắng trong thời gian thực hiện luận văn nhƣng vì còn
hạn chế về kiến thức cũng nhƣ thời gian, kinh nghiệm nghiên cứu nên khơng
tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận đƣợc sự thơng cảm và những ý

h

kiến đóng góp q báu từ q Thầy, Cơ để luận văn đƣợc hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Học viên
Lê Thị Phƣơng Thảo


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC CÁC K HI U, CÁC CH

VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đ ch và nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu........................................................... 3
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................ 3
5. Cấu trúc của luận văn .............................................................................. 3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ HI N TƢỢNG ĐỊNH XỨ ANDERSON ... 4

h

1.1. Định xứ Anderson ................................................................................ 4
1.1.1. Tính mất trật tự - Định xứ Anderson ............................................ 4
1.1.2. Mơ hình định xứ Anderson một chiều .......................................... 5
1.1.3. Một số đại lƣợng đặc trƣng của hiện tƣợng định xứ .................... 6
1.2. Quan sát thực nghiệm về hiện tƣợng định xứ Anderson ..................... 8
1.2.1. Hệ một chiều ................................................................................. 9
1.2.2. Hệ hai chiều ................................................................................ 10
1.2.3. Hệ ba chiều ................................................................................. 11
1.3. Một vài ứng dụng dựa trên hiện tƣợng định xứ Anderson ................ 13
1.3.1. Laser ngẫu nhiên ......................................................................... 13
1.3.2. Truyền hình ảnh bằng sợi quang mất trật tự ............................... 15
CHƢƠNG 2. ĐỊNH XỨ BẤT THƢỜNG TRONG H MẤT TRẬT TỰ
THẤP CHIỀU ................................................................................................. 19
2.1. Hiện tƣợng định xứ bất thƣờng – Bất thƣờng Kappus-Wegner ........ 19


2.2. Phƣơng pháp lý thuyết nhiễu loạn ..................................................... 28
CHƢƠNG 3: ĐỊNH XỨ ANDERSON TRONG H GIẢ MỘT CHIỀU –
BIỂU THỨC GẦN ĐÚNG ĐỐI VỚI ĐỘ DÀI ĐỊNH XỨ TRONG GIỚI
HẠN MẤT TRẬT TỰ YẾU ........................................................................... 32

3.1. Mơ hình Anderson giả một chiều....................................................... 32
3.2. Biểu thức gần đúng đối với độ dài định xứ trong giới hạn mất trật tự
yếu ............................................................................................................. 35
3.3. Định xứ bất thƣờng loại Kappus- Wegner ......................................... 44
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ......................................................................... 45
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 45
KIẾN NGHỊ .................................................................................................... 45
DANH MỤC TÀI LI U THAM KHẢO ........................................................ 46
PHỤ LỤC

h


DANH MỤC CÁC

HIỆU CÁC CH

KW : Kappus-Wegner
DG : Derrida và Gardner

VIẾT TẮT

h


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mơ tả cách hành xử của sóng tán xạ khi lan truyền trong mơi
trƣờng. Nếu mơi trƣờng là có trật tự (tuần hồn) thì sóng là lan
truyền (a); nếu môi trƣờng là mất trật tự thì sóng định xứ theo
dạng hàm mũ với độ dài đặc trƣng, đƣợc gọi là độ dài định xứ (b). .... 6

Hình 1.2. Thể t ch định xứ

[đƣờng màu đỏ], số tham gia

xanh lá cây] và độ dài định xứ

[đƣờng màu

[đƣờng màu xanh da trời]

đƣợc lấy trung bình đối với các trạng thái riêng ứng với trị
riêng gần tâm vùng năng lƣợng. Các đƣờng nét đứt mô tả lời
giải tiệm cận với V

330 W 2 và

100 / W 2 . ................................ 8

Hình 1.3. Định xứ Anderson của ánh sáng trong mạng tinh thể ống dẫn
sóng mất trật tự một chiều. (a) Hình phát họa mẫu đƣợc sử

h

dụng trong thí nghiệm. Mũi tên màu đỏ cho biết vị trí của
chùm ánh sáng ở đầu vào. (b)-(d) Sự phân bố cƣờng độ ánh
sáng ở đầu ra lần lƣợt trong trƣờng hợp mạng tuần hoàn, mạng
mất trật tự yếu và mạng mất trật tự mạnh. (e) Sự phân bố
cƣờng độ ánh sáng trong các ống dẫn sóng đƣợc cho thấy giảm
dần theo hàm mũ khi ra xa ống dẫn sóng trung tâm đƣợc xem
nhƣ là dấu hiệu của định xứ Anderson. ......................................... 9

Hình 1.4. Định xứ ánh sáng trong mạng quang tử mất trật tự hai chiều. (a)
Thiết lập sơ đồ thí nghiệm: một chùm sáng đƣợc đƣa vào
mạng quang học hai chiều. Trong trƣờng hợp vắng mặt tính
mất trật tự, mạng là hồn tồn tuần hồn theo hai phƣơng

và

. Tính mất trật tự đƣợc đƣa vào thông qua chùm đốm. Sự
phân bố cƣờng độ của ánh sáng đƣợc đo ở đầu ra của mạng.
(b) Cho thấy phổ nhiễu xạ của ánh sáng trong mạng hoàn toàn


tuần hoàn. (c) Sự phân bố cƣờng độ sáng ở đầu ra trong sự có
mặt của mất trật tự. ...................................................................... 10
Hình 1.5. Định xứ sóng âm trong mạng đàn hồi ba chiều. Cƣờng độ truyền
qua tại hai tần số điển hình,

, trong vùng khuếch

, trong vùng định xứ (b). Số liệu thực

tán (a) và

nghiệm đƣợc khớp với lý thuyết tự hợp (đƣờng nét liền màu
đỏ). Nhằm mục đ ch so sánh, lời giải thời gian dài đƣợc dự
đoán bởi lý thuyết khuếch tán (đƣờng nét đứt màu xanh) cũng
đƣợc cho thấy. Phổ trƣờng gần đối với cƣờng độ sóng âm
đƣợc chuẩn hóa,

, đƣợc mơ tả trên hình (c) và (d). ........ 12

Hình 1.6. Sơ đồ phát họa nhằm mục đ ch so sánh laser thông thƣờng (a)
và (b) với laser ngẫu nhiên (c) và (d). .......................................... 14
Hình 1.7. (a) Ảnh SEM của một cụm hạt nano ZnO có k ch thƣớc cỡ

h

. (b) Phổ phát xạ của cụm hạt nano trên ngƣỡng laser
(

). (c) và (d) Sự phân bố cƣờng độ phát xạ ở các độ

sâu khác nhau bên trong cụm hạt ZnO. ....................................... 14
Hình 1.8. (a) Ảnh SEM của đầu sợi quang đƣợc mài nhẵn sau khi chế tạo.
(b) Ảnh SEM phóng đại một vùng của đầu sợi quang có kích
thƣớc khoảng

sau khi cho tiếp xúc với dung mơi. (c)

Cƣờng độ trƣờng gần đo đƣợc ở đầu ra của chùm tia sau khi
nó đi đƣợc một đoạn

bên trong sợi quang mất trật tự. ..... 16

Hình 1.9. (Trái) Các thành phần của một nhóm trên mục tiêu thử nghiệm của
Khơng quân Hoa Kỳ năm 1951. Hình ảnh đƣợc truyền tải của các
số khác nhau thông qua sợi quang học mất trật tự: (giữa) các hình
(a)-(d) có liên quan đến nhóm 3 trên mục tiêu thử nghiệm và
(phải) các hình (a)-(d) có liên quan đến nhóm 4 trên mục tiêu thử
nghiệm. ......................................................................................... 17

Hình 1.10. So sánh hình ảnh đƣợc truyền tải qua sợi quang mất trật tự và
các sợi quang chụp ảnh thƣơng mại. (a) Ảnh khi dùng sợi
quang mất trật tự; ảnh khi dùng sợi quang thƣơng mại (b) loại
FIGH-10-350S và (c) loại FIGH-10-500N. ................................. 18
Hình 2.1. Sự phụ thuộc vào năng lƣợng

của các tỉ số
theo đơn vị

Hình lồng ghép bên trong cho thấy

và

.
với

biểu thị mức độ thăng giáng của thế mất trật tự (đƣợc giả thiết
là khá nhỏ). Các điểm dữ liệu là kết quả của mô phỏng số đối
với mơ hình Anderson ứng với

. Các đƣờng cong là

kết quả của dự đốn giải tích dựa trên một số lý thuyết khác
nhau ứng với những khoảng năng lƣợng khác nhau. ................... 21
Hình 2.2. Độ dài định xứ
2

2 E (W

4) đối với các giá trị khác nhau của độ

h

mạnh mất trật tự

nhƣ là hàm của trị riêng năng lƣợng

ứng với các đƣờng có màu

sắc khác nhau (hoặc ứng với các đƣờng từ trên xuống dƣới)....... 22
Hình 2.3. Độ dài định xứ thu đƣợc từ tính tốn số thơng qua phƣơng pháp
ma trận chuyển (đƣờng nét liền) và tính tốn giải tích thông
qua phƣơng pháp lý thuyết nhiễu loạn (đƣờng nét đứt). Mũi
tên chỉ sự tồn tại của bất thƣờng KW và vị trí của nó (bị dịch
chuyển ra xa tâm vùng). ............................................................... 23
Hình 2.4. Nghịch đảo của độ dài định xứ

1

theo số sóng. Đƣờng nét

đứt (1) biểu diễn các giá trị thu đƣợc bằng phƣơng pháp t nh
số; đƣờng liền nét (2) tƣơng ứng với biểu thức tính giải tích;
biểu tƣợng (3) cho thấy một điểm đại diện đối với hiện tƣợng
định xứ bất thƣờng. Hình lồng ghép cho thấy độ phóng đại đối
với vùng định xứ bất thƣờng. ....................................................... 23

Hình 2.5. Sự phụ thuộc của số tham gia

(một đại lƣợng đặc trƣng cho

t nh định xứ) theo phần thực của trị riêng năng lƣợng
đối với các giá trị khác nhau của độ mạnh mất trật tự. Việc tồn
tại một vùng trũng sâu quanh

cho thấy rằng lời giải

định xứ bất thƣờng tồn tại trong hệ mất trật tự không Hermite.
Tuy nhiên, hệ quả vật lý hiện tƣợng bất thƣờng này hồn tồn
trái ngƣợc nhau trong hệ khơng Hermite so với hệ Hermite. ....... 25
Hình 2.6. Sự phụ thuộc của nghịch đảo độ dài định xứ

1

(hình trên)

và mật độ trạng thái (hình dƣới) vào năng lƣợng đƣợc cho
thấy. Ở đây,
(

là số nút mạng và cũng ch nh là k ch thƣớc hệ

và chọn hằng số mạng

kết giữa các nút mạng

), biểu thị độ mạnh liên

). ..................................................... 26

Hình 2.7. (a) Mơ hình hệ giả một chiều gồm 2 chuỗi mạng song song, liên

h

kết với nhau. (b) Số mũ Lyapunov (ch nh là nghịch đảo của độ
dài định xứ) là hàm của năng lƣợng sóng tới đối với các giá trị
khác nhau của độ mạnh mất trật tự. Kết quả tính số đƣợc đƣa
ra trong hình ứng với trƣờng hợp giữ nguyên độ mạnh mất trật
tự trên một chuỗi và thay đổi giá trị trên chuỗi cịn lại. ............... 27
Hình 3.1. Một hạt (giả hạt) có thể chuyển động trọng hệ đƣợc hình thành
bởi hai chuỗi mạng song song liên kết với nhau theo phƣơng
ngang.

lần lƣợt là các tham số mô tả độ mạnh liên kết

giữa các nút mạng theo phƣơng dọc và theo phƣơng ngang. ....... 32


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vào năm 1958, Philip Warren Anderson đã cơng bố một cơng trình
khoa học trong đó ơng cho thấy rằng đối với một số vật liệu nhất định có thể
trải qua một chuyển pha đột ngột, từ kim loại sang điện môi, dƣới một sự thay
đổi nhỏ về lƣợng mất trật tự trong vật liệu. Vào thời điểm đó, mọi nhà vật lý
đều hiểu rằng t nh mất trật tự đã cản trở sự di chuyển của điện tử và do đó làm

giảm độ dẫn điện của vật liệu. Nhƣng cho đến lúc đó, khơng ai có thể dự đốn
đƣợc một sự ngăn chặn hồn toàn mà ngày nay gọi là định xứ Anderson
(chuyển pha kim loại – điện môi Anderson), sẽ xảy ra khi lƣợng mất trật tự
trong vật liệu vƣợt quá một giá trị tới/giới hạn nào đó. Ngày nay, chúng ta đã
hiểu rõ rằng cơ chế vật lý dẫn đến hiện tƣợng định xứ Anderson là sự giao
thoa phá hủy theo hƣớng tới của các sóng thành phần bị tán xạ bởi các tâm tán

h

xạ đƣợc phân bố ngẫu nhiên trong hệ. Vì là một hiện tƣợng sóng tổng qt
nên định xứ Anderson có thể xảy ra đối với mọi loại sóng, chẳng hạn nhƣ
sóng điện từ, sóng âm, sóng spin… Lƣu ý rằng, hiện tƣợng định xứ này khác
với định xứ Mott, trong đó sự chuyển đổi từ pha kim loại sang pha điện môi
(chuyển pha kim loại – điện môi Mott) không phải do t nh mất trật tự, mà là
do lực tƣơng tác Coulomb giữa các điện tử.
Theo lý thuyết định xứ Anderson, độ dài định xứ là một trong những
đại lƣợng vật lý đặc trƣng quan trọng nhất trong hệ mất trật tự. Đối với hệ
một chiều, bằng cách sử dụng lý thuyết nhiễu loạn không suy biến, các nhà
nghiên cứu đã cho thấy rằng độ dài định xứ trong giới hạn mất trật tự yếu tuân
theo biểu thức:

(E)

W 2 (96V 2

24 E 2 ), trong đó W mô tả độ mạnh mất

trật tự và V đặc trƣng cho khả năng liên kết giữa các nút mạng lân cận gần
nhất. Tuy nhiên, sử dụng phƣơng pháp t nh số, các nhà nghiên cứu khác đã
chỉ ra rằng khai triển nhiễu loạn ở trên bị phá vỡ tại tâm vùng năng lƣợng,

2
điều này đƣợc cho thấy thông qua biểu thức: ( E

0)

W 2 (104 1)V 2 . Sự

không đồng nhất giữa kết quả t nh giải t ch và kết quả t nh số, sau này đƣợc
gọi là bất thƣờng Kappus-Wegner (KW), đã đƣợc giải quyết bởi KW khi họ
áp dụng lý thuyết nhiễu loạn có suy biến vào bài tốn. Khi đó, sự phụ thuộc
của độ dài định xứ vào năng lƣợng và độ mạnh mất trật tự đƣợc cho bởi:
(E)

V 2W

2

f (6 EV / W 2 ) với f (0)

105.045 và f (

)

96 . Một trong

những dấu hiệu cho thấy sự tồn tại bất thƣờng KW tại tâm vùng là việc xuất
hiện một đỉnh nhọn tại giá trị năng lƣợng này trên đồ thị mô tả sự phụ thuộc
của độ dài định xứ vào năng lƣợng.

Đối với hệ giả một chiều, một hệ đƣợc hình thành bởi các chuỗi mạng
liên kết với nhau, kết quả t nh số cho thấy rằng hiện tƣợng định xứ bất thƣờng
KW cũng tồn tại trong trƣờng hợp này. Tuy nhiên, không giống với hệ mất
trật tự một chiều, nơi mà kết luận đƣợc đƣa ra dựa trên cả phƣơng pháp t nh

h

toán giải t ch và phƣơng pháp t nh số thì kết luận đƣợc đƣa ra trong trƣờng
hợp này mới chỉ dựa trên phƣơng pháp t nh số. Do vậy, nhằm tăng thêm độ
tin cậy của kết luận cũng nhƣ giải th ch nguồn gốc của việc xuất hiện bất
thƣờng KW trong hệ giả một chiều, tôi đã chọn đề tài “Nghiên cứu định xứ
Anderson trong hệ giả một chiều: Biểu thức gần đúng đối với độ dài định
xứ trong giới hạn mất trật tự yếu” cho luận văn của mình.
2. Mục đ ch và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích
- Nhằm đƣa ra biểu thức giải t ch gần đúng trong giới hạn mất trật tự
yếu đối với độ dài định xứ trong trƣờng hợp hệ mất trật tự đƣợc tạo bởi hai
chuỗi mạng liên kết với nhau.
- Dựa trên biểu thức giải t ch gần đúng thu đƣợc ta có thể giải th ch một số
hiện tƣợng mang t nh phổ quát trong hệ mất trật tự, chẳng hạn nhƣ hiện tƣợng
định xứ bất thƣờng xảy ra tại một số giá trị đặc biệt trong vùng năng lƣợng.


3
2.2. Nhiệm vụ
- Đƣa ra mơ hình bài tốn.
- Vận dụng một số phép khai triển gần đúng cũng nhƣ một số phép biến
đổi toán học để đƣa ra biểu thức độ dài định xứ trong giới hạn mất trật tự yếu.
- Vận dụng kết quả thu đƣợc, biểu thức giải t ch gần đúng, để giải th ch
sự tồn tại của hiện tƣợng định xứ bất thƣờng loại KW xảy ra trong hệ mất trật

tự đƣợc tạo bởi hai chuỗi mạng liên kết với nhau.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Các trạng thái định xứ trong hệ mất trật tự giả
một chiều (gồm N chuỗi mạng liên kết với nhau) trong giới hạn mất trật tự yếu.
- Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu đối với trƣờng
hợp hệ mất trật tự với N = 2.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu

h

- Phƣơng pháp phân tích tổng hợp, phân t ch tài liệu.
- Phƣơng pháp t nh toán giải t ch.
5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, phụ lục và tài liệu tham
khảo, nội dung ch nh của luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Tổng quan về hiện tƣợng định xứ Anderson
Chƣơng 2. Định xứ bất thƣờng trong hệ mất trật tự thấp chiều
Chƣơng 3. Định xứ Anderson trong hệ giả một chiều – Biểu thức gần
đúng đối với độ dài định xứ trong giới hạn mất trật tự yếu


4

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ HIỆN TƢỢNG ĐỊNH XỨ
ANDERSON
1.1. Định xứ Anderson
1.1.1. Tính mất trật tự - Định xứ Anderson
Một trong những vấn đề cơ bản nhất của vật lý chất đậm đặc là nghiên
cứu độ dẫn điện trong chất rắn. Vì trong các tinh thể hồn tồn tuần hồn, các
điện tử có thể chuyển động tự do theo đƣờng đạn đạo, một câu hỏi tự nhiên đƣợc

nêu ra: Điều gì sẽ xảy khi trong tinh thể tồn tại mất trật tự do sự có mặt của tạp
chất hoặc các khiếm khuyết mạng? Câu hỏi tiếp theo: Sự gia tăng mức độ mất
trật tự có làm giảm độ dẫn điện hay không? Những câu hỏi này lần đầu tiên đƣợc
trả lời trong một bài báo có tầm ảnh hƣởng mạnh về sau bởi P. W. Anderson [1].
Trong nghiên cứu này, ông đã chỉ ra rằng khi tinh thể là tuần hoàn, trạng thái

h

riêng của điện tử là trạng thái Bloch, độ dẫn là đạn đạo. Nếu mất trật tự xuất hiện
trong tinh thể và ở mức độ yếu, độ dẫn trở thành khuếch tán do sự tán xạ. Tuy
nhiên, nếu mất trật tự đủ lớn, nó có thể bẫy các điện tử nhờ tán xạ nhiều lần, dẫn
tới khơng cịn sự dẫn điện nữa. Bằng cách nhƣ vậy, mất trật tự có thể tạo nên
chuyển pha kim loại - điện mơi, và nó đƣợc gọi là chuyển pha kim loại - điện
môi Anderson hay là định xứ Anderson. Lƣu ý rằng chuyển pha này hoàn toàn
khác với chuyển pha kim loại - điện môi Mott, loại chuyển pha đƣợc tạo nên bởi
tƣơng quan điện tử - điện tử.
Vì rằng các điện tử là các sóng lƣợng tử, sẽ thích hợp khi cho rằng định
xứ Anderson là một hiệu ứng giao thoa hơn là một sự va chạm nhiều lần giữa
các hạt. Chúng ta cũng có nhận xét thêm rằng cách thức bên trên có thể đƣợc
áp dụng khơng chỉ cho các điện tử mà còn cho bất kỳ một loại sóng khác, nhƣ
sóng ánh sáng, sóng điện từ, sóng âm, sóng spin… Và điều này đã đƣợc rất
nhiều thực nghiệm xác nhận.


5
1.1.2. Mơ hình định xứ Anderson một chiều
Các nghiên cứu giải t ch hoặc nghiên cứu số về hiện tƣợng định xứ
thƣờng đƣợc bắt đầu với mơ hình Anderson - một mơ hình liên kết chặt với
t nh mất trật tự đƣợc phân bố trên thế nút mạng. Trong phạm vi gần đúng lân
cận gần nhất, trong trƣờng hợp một chiều, mơ hình này đƣợc biểu diễn bởi

phƣơng trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian:
n

i

n n

t

J(

n 1

n 1

(1.1)

)

Ở đây { n } là năng lƣợng trên nút, có giá trị ngẫu nhiên tuân theo hàm phân
bố đồng nhất trên đoạn [

], trong đó

đặc trƣng cho độ mạnh

mất trật tự; và J mô tả độ mạnh các tƣơng tác lân cận gần nhất. Hàm sóng
phức

gắn với nút mạng thứ

có thể đƣợc viết dƣới dạng

. Khi đó, phƣơng trình (1.1) đƣợc viết thành:
n

n

n

J(

h

E

n 1

n 1

)

(1.2)

Để cho thuận tiện trong việc t nh toán, thông thƣờng chúng ta đặt
nhƣng vẫn không làm mất đi t nh tổng qt của bài tốn. Nghiệm của phƣơng
trình trị riêng (1.2) bao gồm một tập hợp các trạng thái riêng
điều kiện chuẩn hóa ∑ |
E [( W / 2)

2,(W / 2)

theo hàm mũ quanh tâm
2
n

A exp

|

thỏa mãn

, và một tập hợp các trị riêng

2]. Hàm sóng

của trạng thái riêng định xứ

đƣợc biểu diễn dƣới dạng:
n

n0

(1.3)

trong đó ( E ) là độ dài đặc trƣng phụ thuộc năng lƣợng, đƣợc gọi là độ dài
định xứ (xem hình 1.1b). Một cách rất tự nhiên, chúng ta có thể đốn nhận
rằng khi

, trạng thái riêng trở thành trạng thái lan truyền (khơng định

xứ) (xem hình 1.1a). Do vậy, dựa vào giá trị của độ dài định xứ

chúng ta có


6
thể nhận biết đƣợc một trạng thái riêng là định xứ hay lan truyền.

(a)

Sóng lan truyền

Sóng định xứ

(b)

Độ dài định xứ

Hình 1.1. Mơ tả cách hành xử của sóng tán xạ khi lan truyền trong môi trường. Nếu môi

h

trường là có trật tự (tuần hồn) thì sóng là lan truyền (a); nếu mơi trường là mất trật tự thì
sóng định xứ theo dạng hàm mũ với độ dài đặc trưng, được gọi là độ dài định xứ (b). [2]

1.1.3. Một số đại lượng đặc trưng của hiện tượng định xứ
Nhƣ đã đƣợc đề cập ở bên trên, độ dài định xứ

là một trong những đại

lƣợng đƣợc sử dụng phổ biến nhất để phân biệt trạng thái định xứ ( hữu hạn)
với trạng thái lan truyền (
giá

). Có nhiều phƣơng pháp khác nhau để đánh

bao gồm phƣơng pháp ma trận chuyển, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên và

các kỹ thuật khai triển gần đúng nhiễu loạn [3]. Đối với hệ một chiều mất trật
tự không tƣơng quan, trong giới hạn mất trật tự yếu (

và các trị riêng

gần với tâm vùng năng lƣợng thì biểu thức độ dài định xứ đƣợc cho bởi

(E)

96

24 E 2
W2

(1.4)

Biểu thức (1.4) cho thấy rằng độ dài định xứ đạt giá trị lớn nhất, tức là trạng


7
thái định xứ yếu nhất, tại tâm vùng năng lƣợng ứng với

(0)

96 / W 2 .

Ngƣợc lại, trong giới hạn mất trật tự mạnh, lý thuyết nhiễu loạn chỉ ra rằng độ
dài định xứ tại tâm vùng năng lƣợng có giá trị xấp xỉ bằng (0)

1

ln(W / 2e ) .

Một đại lƣợng đặc trƣng quan trọng khác mô tả chuyển pha định xứ và
đƣợc sử dụng một cách rộng rãi trong việc khảo sát bài tốn định xứ ngang đó
là số tham gia. Đối với một trạng thái riêng chuẩn hóa thì đại lƣợng này đƣợc
ký hiệu và định nghĩa nhƣ sau:
1

P

(1.5)

4
n
n

Giá trị

cho chúng ta biết số nút mạng đƣợc lấp đầy bởi hàm sóng của trạng

thái riêng đang khảo sát. Cụ thể, đối với trạng thái lan truyền thì P
trong khi P

N,

1 đối với trạng thái định xứ.

h

Ngoài hai đại lƣợng đƣợc sử dụng thƣờng xuyên nhƣ độ dài định xứ
và số tham gia P thì một đại lƣợng khác, có tên gọi là mơmen bậc hai, cũng
đƣợc sử dụng khá phổ biến trong việc phân biệt trạng thái định xứ với trạng
thái lan truyền. Đại lƣợng này đƣợc ký hiệu và định nghĩa nhƣ sau:
n2

m2

2
n

2

n

2

(1.6)

n

n

Trong một số công trình nghiên cứu, thay vì sử dụng trực tiếp đại lƣợng

,

các tác giả lại dùng một đại lƣợng tƣơng đƣơng khác đƣợc gọi là thể t ch định
xứ, V

12m2

1. Đại lƣợng này chính là khoảng cách hiệu dụng giữa 2 cái

đuôi của hàm mũ mô tả trạng thái định xứ, nghĩa là V
giới hạn mất trật tự yếu thì giá trị của số tham gia

đƣợc cho thấy là nhỏ hơn

giá trị của thể t ch định xứ . Khi độ mạnh mất trật tự
và P

P. Tuy nhiên, trong

đủ lớn thì cả V

1. Những điều này đƣợc minh họa trên hình 1.2 [4].

1

8

Hình 1.2. Thể t ch định xứ
và độ dài định xứ

[đƣờng màu đỏ], số tham gia

[đƣờng màu xanh lá cây]

[đƣờng màu xanh da trời] đƣợc lấy trung bình đối với các trạng

thái riêng ứng với trị riêng gần tâm vùng năng lƣợng. Các đƣờng nét đứt mô tả lời
giải tiệm cận với V

330 W 2 và

100 / W 2 . [4]

h
1.2. Quan sát thực nghiệm về hiện tƣợng định xứ Anderson
Việc quan sát thực nghiệm về hiện tƣợng định xứ Anderson khơng hề dễ
dàng từ sau khi dự đốn lý thuyết về sự tồn tại của hiện tƣợng này đƣợc P. W.
Anderson đƣa ra [1]. Điều này xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau,
chẳng hạn nhƣ do sự có mặt của tƣơng tác điện tử - điện tử trong các thí
nghiệm về định xứ đối với hệ điện tử, hoặc rất khó phân biệt sự suy giảm
cƣờng độ sóng trong q trình lan truyền trong mơi trƣờng là do định xứ hay
do sự hấp thụ photon trong các th nghiệm đối với hệ quang học. Những nỗ lực
bền bỉ nhằm mục đ ch quan sát trực tiếp định xứ Anderson đã đƣợc t ch lũy
trong hàng loạt các công trình thực nghiệm. Cho đến nay, việc quan sát hiện
tƣợng định xứ Anderson đã đƣợc thực hiện trong nhiều hệ vật lý cũng nhƣ

nhiều loại sóng khác nhau. Sau đây, chúng tơi sẽ trình bày một số kết quả


9
nghiên cứu nổi bật ứng với các trƣờng hợp hệ một chiều, hai chiều và ba chiều.
1.2.1. Hệ một chiều
Hiện tƣợng định xứ Anderson lần đầu tiên đƣợc quan sát trong hệ mất
trật tự một chiều bởi Lahini và các đồng nghiệp [5]. Cụ thể, nhóm nghiên cứu
đã tiến hành quan sát q trình mở rộng của bó sóng khi nó đƣợc đƣa vào
mạng một chiều đƣợc tạo bởi các ống dẫn sóng quang học liên kết với nhau
nhƣ đƣợc mơ tả trên hình 1.3(a). Ánh sáng đƣợc đƣa vào một hoặc một vài
ống dẫn sóng ở đầu vào (đƣợc chỉ bởi mũi tên màu đỏ) và nó có thể chui hầm
kết hợp giữa các ống dẫn sóng lân cận nhau khi nó lan truyền dọc theo trục .
Quan sát kết quả đƣợc cho trên các hình 1.3(b)-(d), chúng ta thấy rằng chùm
sáng mở rộng trên toàn bộ mạng ống dẫn sóng trong trƣờng hợp mạng là tuần
hồn. Sự mở rộng này sẽ giảm dần khi mất trật tự đƣợc đƣa vào mạng và tăng
dần cƣờng độ của nó. Cuối cùng, khi độ mạnh mất trật tự đủ lớn thì cƣờng độ

h

chùm sáng bị giam cầm trong một hoặc một vài ống dẫn sóng trong suốt q
trình lan truyền theo trục .

Hình 1.3. Định xứ Anderson của ánh sáng trong mạng tinh thể ống dẫn sóng mất trật
tự một chiều. (a) Hình phát họa mẫu đƣợc sử dụng trong th nghiệm. Mũi tên màu đỏ
cho biết vị tr của chùm ánh sáng ở đầu vào. (b)-(d) Sự phân bố cƣờng độ ánh sáng ở
đầu ra lần lƣợt trong trƣờng hợp mạng tuần hoàn mạng mất trật tự yếu và mạng
mất trật tự mạnh. (e) Sự phân bố cƣờng độ ánh sáng trong các ống dẫn sóng đƣợc
cho thấy giảm dần theo hàm mũ khi ra xa ống dẫn sóng trung tâm đƣợc xem nhƣ là
dấu hiệu của định xứ Anderson. [5]

10

Đây ch nh là dấu hiệu của định xứ Anderson. Bên cạnh đó, định xứ Anderson
cũng đã đƣợc quan sát trong các nghiên cứu về định xứ chất ngƣng tụ BoseEinstein trong thế quang học một chiều [6, 7].
1.2.2. Hệ hai chiều
Theo lý thuyết tỉ lệ về hiện tƣợng định xứ, định xứ Anderson luôn xảy
ra trong hệ mất trật tự hai chiều với lƣợng mất trật tự bé tùy ý. Tuy nhiên,
việc độ dài định xứ lớn theo hàm mũ, đã đặt ra một thách thức lớn cho việc
quan sát định xứ hai chiều. Trong cơng trình [8], Schwartz và các đồng
nghiệp đã công bố kết quả quan sát định xứ Anderson trong mạng quang tử
hai chiều mất trật tự. Để giải quyết khó khăn vừa đề cập đến, nhóm tác giả đã
bố tr sơ đồ th nghiệm nhằm quan sát định xứ theo phƣơng ngang nhƣ đƣợc
mô tả trên hình 1.4(a). Khi mạng quang học là hồn tồn tuần hồn thì chùm

h

sáng tới sẽ lan truyền theo kiểu đạn đạo, đƣợc thể hiện thơng qua phổ cƣờng

Hình 1.4. Định xứ ánh sáng trong mạng quang tử mất trật tự hai chiều. (a) Thiết lập
sơ đồ thí nghiệm: một chùm sáng đƣợc đƣa vào mạng quang học hai chiều. Trong
trƣờng hợp vắng mặt tính mất trật tự, mạng là hoàn toàn tuần hoàn theo hai phƣơng
và . T nh mất trật tự đƣợc đƣa vào thông qua chùm đốm. Sự phân bố cƣờng độ
của ánh sáng đƣợc đo ở đầu ra của mạng. (b) Cho thấy phổ nhiễu xạ của ánh sáng
trong mạng hoàn toàn tuần hoàn. (c) Sự phân bố cƣờng độ sáng ở đầu ra trong sự có
mặt của mất trật tự. [8]