bài 1 khảo sát dao động tắt dần của co lắc đơn

1/1
0
BÀI 1: KHẢO SÁT DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC ĐƠN
A. MỤC ĐÍCH
– Tính chu kỳ dao động tắt dần.
– Khảo sát sự giảm biên độ theo các chu kỳ. Từ đó, tính hệ số tắt của con lắc đơn, hệ
số cản của quả lắc đối với không khí, gia tốc trọng trường tại nơi làm thí nghiệm,
khoảng thời gian để biên độ giảm hai lần so với biên độ ban đầu và khoảng thời gian
để biên độ giảm e≈2,7 lần so với biên độ ban đầu.
B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
B.1. Dao động điều hòa
– Con lắc đơn gồm một vật nặng (quả lắc), còn gọi là “dao động tử”, treo ở một đầu
sợi dây mảnh có độ dãn nhỏ, đầu còn lại của dây được giữ cố đònh.
– Phương trình chuyển động (ptrcđ):

Hình 1a. Con lắc đơn. Kéo quả lắc từ vò trí cân bằng
(VTCB) ra vò trí biên một góc α
0
và vạch một cung s
0
,
chọn mốc thời gian (t
0
=0s) là lúc đầu thả từ trạng thái
đứng yên, quả lắc chuyển động trên quỹ đạo là một
cung tròn tâm tại nơi treo dây và bán kính gần bằng
độ dài dây treo l. Khi quả lắc qua VTCB, nó đạt tốc
độ lớn nhất và bằng không tại hai biên trên quỹ đạo.


Hình 1b. Chọn hoành độ cong trùng với quỹ đạo quả

lắc. Ở góc lệch α ứng với cung s, quả lắc chòu tác dụng
của hai lực: Trọng lực
P

, lực căng dây
T

và dẫn đến
xuất hiện lực kéo
TPF



+=
K
, còn gọi là “lực hồi
phục”, vì chính lực này luôn có khuynh hướng làm quả
lắc trở về VTCB
.
 Để viết ptrcđ của quả lắc, trước tiên, chọn gốc O tại VTCB, hướng dương được chỉ
ra trên hình 1b; và mốc thời gian t
0
=0s là lúc bắt đầu thả quả lắc từ vò trí biên, xem
hình 1a.
VTCB

Quỹ đạo
quả lắc
Vò trí
biên

α
0
s
0
l

t
0
=0s
t

VTCB
Tại thời
điểm t
α
PSin
−
T

P

K
F

Hoành độ
cong
α

2/1
0

 Theo đònh luật II của Newton:
amTP



=+
. Khi chiếu phương trình này lên phương
tiếp tuyến
t

, xem hình 1b, nhận được:
αα gSinamaPSin
tt
−=⇔=+− 0
(*)
Theo đònh nghóa gia tốc tiếp tuyến, nhận được:
"sa
t
=
(**)
Vì
radls

theo

tính


với

α
α
,
=
nên
"αla
t
=
(***)
 Kết hợp (*), (**), (***), nhận được kết quả:
⇔=+ 0" αα Sin
l
g

[ ]
srad
l
g
radSin /,0"
2
0
2
0
góc, tốc) vận (hay số tần là và theo tính với ==+⇔ ωααωα
.
Đây là phương trình chuyển động chính xác với α bất kỳ.
Nếu α nhỏ thì Sinα≈α (vì
1lim
0
=

→
α
α
α
Sin
). Khi đó, ptrcđ quả lắc nhận được như sau:
rad theo tính với ααωα ,0"
2
0
=+
hay
0"
2
0
=+ ss ω
. Đây là các phương trình vi phân bậc hai
có nghiệm tương ứng như sau:
(
)
(
)
sradtSin ;
00
ϕωαα +=
hay
(
)
(
)
sradmtSinss ;;

00
ϕω +=
.
Vậy ptrcđ của quả lắc là một hàm điều hòa với chu kỳ riêng là
( )
s
g
l
T π
ω
π
2
2
==
0
0
.
B.2. Dao động điều hòa tắt dần
– Dao động con lắc đơn vừa nêu ở trên là dao động điều hòa mà cơ năng được bảo
toàn vì không có lực cản nào làm tiêu hao cơ năng của hệ. Sau đây, đề cập đến một hệ
dao động thực, luôn có lực cản của môi trường làm giảm cơ lượng của hệ dẫn đến biên
độ hệ giảm dần theo thời gian, hệ như vậy gọi là “hệ dao động tắt dần”.
– Phương trình chuyển động:
 Để viết ptrcđ của quả lắc, trước tiên, chọn gốc O tại VTCB, hướng dương được chỉ
ra trên hình 1b; và mốc thời gian t
0
=0s là lúc bắt đầu thả quả lắc từ vò trí biên, xem
hình 1a.
s

-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
t

s
0
–s
0

0

Hình 2. Đường liền nét là đồ thò li độ s theo thời gian t của quả lắc dao động điều hòa. Đường đứt nét là
đồ thò của biên độ theo thời gian, song song với trục thời gian, nghóa là biên độ không đổi theo thời gian.
T
0
2T
0

3T
0

4T
0

5T
0

6T
0

7T
0

8T
0

9T
0

3/1
0
 Theo đònh luật II của Newton:
amFTP




=++
C
. Với vận tốc nhỏ, lực cản của môi
trường tỷ lệ bậc một với vận tốc:
vrF −=
C


, với r là “hệ số cản”, dấu trừ biểu thò chiều
lực cản luôn ngược chiều vận tốc. Theo đó, có:
(
)
amvrTP




=−++
. Khi chiếu phương
trình này lên phương tiếp tuyến
t

, xem hình 1b, nhận được:
( )
m
PSinrv
amarvPSin
tt
α
α
+
−=⇔=−++− 0
(1*)
Theo đònh nghóa vận tốc, nhận được:
'sv
=
(2*)
Theo đònh nghóa gia tốc tiếp tuyến, nhận được:

"
sa
t
=
(3*)
Vì
radls

theo

tính


với

α
α
,
=
nên
'
α
lv
=
và
"αla
t
=
(4*)
 Kết hợp (1*), (2*), (3*), (4*) nhận được kết quả:

⇔=++
0'"
ααα
Sin
l
g
m
r

radSin theo tính với ααωβαα ,0'2"
2
0
=++⇔
,
[ ]
s
m
r
/1 tắt, số là hệ 2 =β
,

l
g
=
2
0
ω
là tần số góc
hay vận tốc góc
[

]
srad /

.
Đây là phương trình chuyển động chính xác với α bất kỳ.
Nếu α nhỏ thì Sinα≈α (vì
1lim
0
=
→
α
α
α
Sin
). Khi đó, ptrcđ quả lắc nhận được như sau:
rad
theo tính với ααωβαα
,0'2"
2
0
=++
hay
0'2"
2
0
=++
sss
ωβ
. Đây là các phương trình vi
phân bậc hai, giải phương trình trong trường hợp lực cản môi trường nhỏ (β <ω

0
), có
nghiệm tương ứng như sau:
(
)
(
)
(
)
sradtSine
t
;
0
ϕωαα
β
+=
−
hay
(
)
(
)
);;(
0
sradmtSiness
t
ϕω
β
+=
−

, với
22
0
βωω −=
.
Vậy ptrcđ của quả lắc là một hàm điều hòa có biên độ giảm dần theo thời gian với chu
kỳ là
( )
)(2
2
0
0
22
0
s
g
l
TsT π
ω
π
βω
π
ω
π
==>
−
==
22
; điều này hợp với thực tế khi có lực
cản của môi trường tác dụng lên quả lắc, dao động của quả lắc diễn ra chậm hơn.

4/1
0

– Để đặc trưng cho hệ dao động tắt nhanh hay tắt chậm theo thời gian, thường dùng
khái niệm hệ số tắt β, được tính như sau: lập tỷ số giữa hai trò số của biên độ ứng với
hai thời điểm cách nhau một chu kỳ T:
T
e
Ts
β
=
)(
0
s
, gọi tỷ số này là “giảm lượng tắt
dần”, rồi lấy loganepe của nó gọi là “giảm lượng loga tắt dần”:
T
Ts
s
T βµ ==
)(
ln)(
0
. Từ
đó, nhận được:
T
Ts
s
T
T

)(
ln
)(
0
==
µ
β
. Tuy nhiên, nếu β nhỏ thì dẫn đến việc đo
(
)
Ts
gặp
khó khăn vì
(
)
Ts
gần với
0
s
. Do vậy, trong thực nghiệm, thường xét trong một khoảng
thời gian dài từ năm chu kỳ trở lên; khi đó, có hai cách tính β được trình bày dưới đây:
 Dễ nhận ra rằng: Sau một số nguyên lần chu kỳ kể từ mốc thời điểm ban đầu t
0
,
giảm lượng loga tắt dần tăng một lượng bằng nhau sau mỗi chu kỳ, nghóa là
kTkT
kT
kT
T
T

T
T
βµβ
µ
µ
µ
===⋅⋅⋅== )(
)(
2
)2()(
hay
, với k = 1, 2, 3,… là số chu kỳ kể từ mốc
thời điểm ban đầu. Dựa vào nhận đònh trên, tính

kT
kT)(
µ
β =
.
 Nếu đặt
kT
=
τ
và
βτ
τ
τ ==
)(
ln)(
s

s
f
0
, với k = 1, 2, 3,… thì đồ thò hàm số µ =f(τ) là
một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc đúng bằng hệ số tắt
β
.
– Bây giờ, có thể viết đònh luật về sự giảm biên độ của dao động tắt dần theo thời
gian như sau:
t
ests
β−
=
00
)(

-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
s

t

s
0

–s
0

0

Hình 3. Đường liền nét là đồ thò li độ s theo thời gian t của quả lắc dao động điều hòa tắt dần. Đường
đứt nét là đồ thò của biên độ theo thời gian, là đường giảm theo hàm số mũ với cơ số e, nghóa là sau
những khoảng thời gian bằng nhau, một chu kỳ chẳng hạn, tỷ số độ giảm biên độ trên biên độ bằng
nhau, chẳng hạn:
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
⋅⋅⋅=
−
=⋅⋅⋅=
−

=
−
−
=
Ts
TsTs
Ts
TsTs
Ts
TsTs
s
Tss
8
9822
0
0
. Dễ dàng nhận ra
rằng: Khi
0
→
β
thì
00
ses
t
→
− β
, đường đứt nét song song với trục thời gian và
0
TT →

.
–s
0
e
–
β
t

T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

9T

s
0
(T)

s
0
e
–
β
t

s
0
(2T)

s
0
(
3T
)

s
0
(4T)

s
0
(5T)

s
0
(6T)

s

0
(7T)

s
0
(8T)

s
0
(9T)

5/1
0
Đồ thò biên độ
)(
0
ts
theo thời gian t của con lắc đơn dao động điều hòa tắt dần, xem
hình 3, đường đứt nét.
 Ghi chú:
1 Nếu
e
tt
1
1
==
β
thì
e
s

ts
e
0
1
)( =
, nghóa là sau khoảng thời gian
e
t
1
kể từ mốc thời điểm
ban đầu t
0
thì biên độ giảm
7,2
=
e
lần so với biên độ ban đầu.

2 Nếu
2
1
2ln
tt ==
β
thì
2
)(
0
2
1

s
ts
=
, nghóa là sau khoảng thời gian
2
1
t
kể từ mốc thời điểm
ban đầu t
0
thì biên độ giảm hai lần so với biên độ ban đầu.
C. VẬT LIỆU VÀ THIẾT BỊ
C.1. Tổng quan
C.2. Mô tả chức năng
(1) Giá treo con lắc là một hình hộp chữ nhật mà xung quanh có gắn các tấm thủy tinh
hữu cơ để chắn các luồng gió tác động vào quả lắc trong khi dao động. Trên một thanh
bắt ngang của giá treo con lắc có khoan một lỗ nhỏ cỡ bằng đường kính sợi dây, dùng
(5) Dụng cụ
kéo hay thả quả lắc
(1) Giá treo quả lắc
(2) Thước thẳng
(4) Dây treo quả lắc
(3) Thước đo biên độ

0


88:88:88

(6) Đồng hồ đếm giây

Hình 4
.
Hệ thống đo chu kỳ và độ giảm biên độ, gồ
m: giá treo
,

dụng cụ kéo
thả quả lắc, thì kế tay
.

6/1
0
làm điểm treo và dây có thể trượt trong nó để thay đổi độ dài. Dọc dây treo có gắn một
thước thẳng (2).
(2) Thước dài 1000mm có độ chính xác khi đọc là 2mm được gắn trên một thanh bắt
ngang của giá treo con lắc, dùng để đo chiều dài sợi dây từ điểm treo đến tâm quả lắc.
(3) Thước ngang trượt dọc theo phương thẳng đứng mà hai đầu được giữ bởi sợi dây
không dãn nhằm đảm bảo tính song song khi trượt, nằm phía sau quả lắc để đo biên độ
sau mỗi chu kỳ (biên độ quả lắc giảm sau mỗi chu kỳ do lực cản không khí, sẽ đề cập
ở mục D.2), có độ chính xác khi đọc là 2mm.
(4) Quả lắc đường kính 22mm có khối lượng
(
)
kgm
2
101,08,1
−
⋅±=
và sợi dây treo có độ
dãn kém, có thể xem như dây không dãn.

(5) Dụng cụ kéo hay thả quả lắc, dùng kéo quả lắc ra khỏi vò trí cân bằng thông qua
một khe hẹp của giá treo con lắc.
(6) Đồng hồ đếm giây có độ chính xác khi đọc là 0,2s. Trên đồng hồ có ba nút: Nút trái
dùng để trả số đếm giây về 0, nút giữa dùng để chuyển giữa hai chế độ là hiện thò
ngày giờ hiện tại và đếm giây, nút phải dùng để khởi phát hay ngưng đếm giây.
D.
THỰC HÀNH

D.1. Xây dựng hệ thống

D.2. Kỹ thuật đo
– Chọn N=30÷50dđtp, ghi nhận N vào bảng báo cáo ở mục 1..
– Chọn l=300÷900mm, dùng thước (2) đo độ dài dây treo quả lắc, ghi nhận l vào
bảng báo cáo ở mục 1..
– Có thể phân công cho một người giữ (5) và (6) để đo t trong N dđtp, đồng thời phân
công cho một người khác đo biên độ quả lắc sau mỗi 5 dđtp, người thứ ba ghi nhận các
Chiều dài của sợi dây
–

l


Thời gian t
trong N dđtp
1dđtp

Biên độ

…

N

dđtp

0
s
0
(T)

s
0

s
0
(2
T
)

s
0
(3T)

2dđtp

3
dđtp

s
0
(NT)

Hình 5.
(a) Trình bày cách đo độ
dài
sợi dây: Đo
khoảng cách từ
điểm treo dây đến khối
tâm
quả lắc.
(b) Cách đo chu kỳ và li độ
:
Đếm thời gian t trong N
lần
dao động toàn phần (dđtp) và
đo biên độ sau mỗi chu kỳ.
(
a
)

(
b
)

7/1
0
số liệu vào bảng báo cáo. Cả ba người đo quy ước với nhau về thời điểm bắt đầu thả
quả lắc tại vò trí biên
0
s
là

st 00,0
0
=
. Cụ thể như sau:
 Người thứ 1: Dùng (5) kéo quả lắc ra khỏi vò trí cân bằng trong khi sợi dây treo vẫn
căng, tiếp tục giữ yên quả lắc cho đến khi thả. Sau đó, thả quả lắc từ trạng thái đứng
yên một cách nhẹ nhàng để tránh làm đảo quả lắc, đồng thời bấm nút bên phải của
đồng hồ để bắt đầu đếm thời gian t cho đến khi quả lắc đạt N dđtp đã chọn thì ngưng
đếm bằng cách ấn tiếp nút phải. Đọc trò số t cho người thứ 3 ghi vào bảng báo cáo ở
mục 1..
 Người thứ 2: Đọc biên độ tại thời điểm bắt đầu thả quả lắc (
st 00,0
0
=
) bằng thước
ngang (3), người thứ 3 nghe và ghi nhận
0
s
vào bảng báo cáo ở mục 1.; khi quả lắc đã
được người thứ 1 thả thì cứ sau 5, 10, 15, …, N dđtp thì người thứ 2 đọc cho người thứ 3
nghe để ghi nhận:
(
)
(
)
(
)
(
)
NTsTsTsTs

0000
; ;15;10;5

vào bảng báo cáo ở mục 1..
 Người thứ 3: Đếm số dao động toàn phần đồng thời ghi nhận các số liệu nghe được
từ người đọc thứ 1, thứ 2 vào bảng báo cáo.
– Tính:
N
t
T =
, rồi ghi vào bảng báo cáo ở mục 1.;
( )
( )
kTs
s
kT
0
0
ln=µ
, rồi ghi vào bảng báo cáo ở mục 1..
– Từ các số liệu trong bảng 1., vẽ đồ thò đường thẳng
(
)
τµ f=
với
kT
=
τ
, k= 5, 10,
15,…, N vào bảng báo cáo ở mục 2..

– Tính:
β
= hệ số góc của đường thẳng
(
)
τµ f=
;
mr
β
2
=
;
l
T
g








+=
2
2
2
4
β
π

;
β
2ln
2
1
=
t
;
β
1
1
=
e
t
, rồi ghi vào bảng báo cáo ở mục 2..
 Ghi chú:
 Người thứ 2 phải luôn hướng mắt trực diện vào thước (3) khi đo biên độ.
 Khi vẽ các điểm
(
)
ii
µτ
;
, phải vẽ ô sai số bao quanh chúng mà kích thước mỗi hình
chữ nhật (ngang
i
τ∆
2
và dọc
i

µ∆
2
) được tính từ bảng số liệu.
8/1
0


BÁO CÁO THÍ NGHIỆM VẬT LÝ

BÀI 1: KHẢO SÁT DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC ĐƠN

1. Tính chu kỳ và giảm lượng loga
 Tính chu kỳ
N

(
)
mmll
∆±

(
)
stt
∆±

(
)
sTT
∆±

 Tính giảm lượng loga
k

(
)
skTkT ∆±

(
)
(
)
(
)
mmkTskTs
00
∆±

(
)
(
)
kTkT µµ ∆±

0
00,000,0
±


00,000,0

±

5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Họ tên: Ngày/Tháng/Năm:
Điểm: Tổ/Nhóm/Lớp:
9/1
0
2. Vẽ đồ thò
(
)
τµ f=
và tính
e
ttgr
1
2
1
,,,,β

 Vẽ đồ thò
(

)
τµ f=
, với
kT
=
τ
, k = 5, 10, 15, …, N

 Tính:
β
=(_________±_________)_________
r
=(_________±_________)_________
g
=(_________±_________)_________
 Khoảng thời gian để biên độ giảm hai lần so với biên độ ban đầu:

2
1
t
=(_________±_________)_________
 Khoảng thời gian để biên độ giảm e=2,7 lần so với biên độ ban đầu:

e
t
1
=(_________±_________)_________
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
(
)

s
τ

(
)
τ
µ

10/1
0
??? Câu hỏi sau thí nghiệm
1. Cơ năng E của quả lắc có khối lượng m, độ dài dây treo l khi nó dao động tắt dần
trong không khí, nơi có độ lớn gia tốc trọng trường g, biên độ ban đầu s
0
và hệ số tắt β:
a.
t
es
l
g
mE
β2
0
2
1
=
b.
t
es
l

g
mE
β−
=
2
0
2
1

c.
t
es
l
g
mE
β22
0
2
1
=

d.
t
es
l
g
mE
β22
0
2

1
−
=

2. Quả lắc trong PTN Vật lý được treo bởi sợi dây kép thay vì dây đơn, là vì:
a. Tăng độ cứng (hay giảm độ dãn) của
dây treo quả lắc.
b. Giảm độ cứng (hay tăng độ dãn) của
dây treo quả lắc.
c. Giảm đảo cho quả lắc (nghóa là giữ cho
quả lắc dao động trong một mặt phẳng)
trong lúc dao động.
d. Câu (a) và (c) đều đúng.
3. Hệ số tắt của một hệ dao động điều hòa tắt dần là
(
)
s
/11,0=β
cho biết:
a. Sau khoảng thời gian
st
e
10
1
==
β
kể từ
mốc thời điểm ban đầu t
0
thì biên độ giảm

7,2
=
e
lần so với biên độ ban đầu.
b. Sau khoảng thời gian
st 9,6
2ln
2
1
==
β

kể từ mốc thời điểm ban đầu t
0
thì biên
độ giảm hai lần so với biên độ ban đầu.
c. Tỷ số biên độ ban đầu và biên độ sau

k=1, 2,3,… lần chu kỳ T bằng
kT
e
β−
.
d. Tất cả đều đúng.
4. Giảm lượng loga tại thời điểm sau một chu kỳ T là µ(T) = 0,69, có nghóa là
a. Biên độ tại thời điểm T giảm khoảng hai
lần so với biên độ ban đầu.
b. Tỷ số biên độ ban đầu và biên độ tại
thời điểm T khoảng bằng hai.
c. Tỷ số biên độ ban đầu và biên độ tại thời

điểm T khoảng bằng bốn.
d. Câu (a) và (b) đều đúng.