chương 1 giới hạn liên tục

1
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

1.1. Giới hạn hàm số
1.1.1. Bổ túc về hàm số
1. Định nghĩa. Cho

 D  R, mỗi ánh xạ f : D  R được gọi là một hàm số
một biến số thực.
f : D  R
x
 y = f(x)
 D : miền xác định



() | : ()
f
DyRxDyfx  : miền giá trị
 x: biến số hay đối số
 y = f(x) giá trị của hàm số f tại x
Ví dụ.

a. Cho hàm số : f: X  R
x
 y =
2
4
2
x
x




Tìm miền xác định của hàm số .
b. Tìm miền xác định và vẽ đồ thị của hàm số y =
2
2
x
x




Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số f : X  R là tập hợp :
C = M(x,f(x)) / x  X  . Nói
chung đây là một đường cong trong mặt phẳng Oxy.
2. Các loại hàm số với tính chất đặc biệt
a. Hàm bị chặn
Ta nói hàm số f:
 Bị chặn trên trên D, nếu
M

sao cho
() ,
f
xMxD


.

 Bị chặn dưới trên D, nếu
N

sao cho () ,
f
xNxD.
Ví dụ. Hàm số f(x) = sinx hay f(x) = cosx bị chặn trên R.
b. Hàm đơn điệu
Cho hàm số f(x) xác định trên D. Ta nói hàm số f(x) là:
 Đơn điệu tăng nếu
12 1 2
() ()
x
xfxfx

.
 Đơn điệu giảm nếu
12 1 2
() ()
x
xfxfx

.
Hàm đơn điệu tăng hay giảm gọi chung là hàm số đơn điệu.
2
c. Hàm số chẳn, lẽ
Tập con
DR
được gọi là đối xứng nếu
x

DxD

.
Cho hàm số f(x) có miền xác định D. Khi đó:
 f(x) là hàm chẳn nếu D đối xứng và f(-x) = f(x),
x
D .
 f(x) là hàm lẽ nếu D đối xứng và f(-x) = - f(x),
x
D .
Ví dụ:
Hàm f(x) = x
2
là hàm chẳn, hàm f(x) = x
3
là hàm lẽ.
3. Hàm hợp – Hàm ngược
a. Hàm hợp
Cho các tập
,,
X
YZ R và các hàm số : , g:Y ZfX Y. Khi đó hàm
số:
:hX Z

(): ( ())
x
hx g f x



Được gọi là hàm hợp của hai hàm f và g, kí hiệu:
hgf  .
Ví dụ:
Cho hai hàm số f(x) = x
2
và () 1gx x

 . Khi đó:
22
()()(())()1gfx gfx gx x


()()(())(1)1
f
gx fgx f x x


b. Hàm ngược
Cho hàm số
:
f
XY là một song ánh. Khi đó tồn tại hàm số
1
:
f
YX


Xác định như sau: với mỗi
y

Y

ta được duy nhất
x
X mà f(x) = y. Hàm
số
1
:
f
YX

 xác định như trên được gọi là hàm ngược của f và:
1
() ()
y
fx x f y


Ví dụ:
Xét hàm số y = sinx trên
-;
22









. Trên đoạn này hàm sinx đơn điệu tăng
thật sự từ -1 đến 1 nên tồn tại hàm ngược, kí hiệu là
arcsinyx

.
4. Hàm số sơ cấp:
 Hàm số sơ cấp cơ bản
:
a. Hàm lũy thừa : y =
x


y =
2
1
xx  , y = x , y = x
2
…
Miền xác định tùy thuộc

. Nếu N


thì MXĐ là R, nếu

vô tỷ thì
MXĐ là (0; +
 )
b. Hàm số mũ : y = a
x

( 0 < a  1 )
Miền xác định R, miền giá trị
(0; )


. Nếu a > 1 thì hàm mũ tăng, nếu a <
1 thì hàm giảm trên R.
c. Hàm logarit : y = log
a
x ( 0 < a  1 )
3
Hàm y = log
a
x là hàm ngược của hàm số y = a
x
, nó có MXĐ là (0; )

 và
miền giá trị là R. Tương tự hàm mũ hàm logarith tăng nếu a > 1, giảm nếu 0 < a < 1.
d. Hàm số lượng giác
y = sinx , y = cosx, y = tgx , y =cotgx
e. Hàm số lượng giác ngược
y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx
f. Hàm số hyperbolic
y = shx =
2
x
x
ee



, y = chx =
2
x
x
ee



y = thx =
shx
chx
=
x
x
x
x
ee
ee




, y = cothx =
chx
shx
=
x
x
x

x
ee
ee






 Hàm số sơ cấp :
Hàm số y = f(x) trong đó f(x) cho bởi một công thức lập thành từ các hàm
số sơ cấp cơ bản với các phép tính số học và phép lấy hàm hợp.
Ví dụ 1:
y =
2
arcsin
2)1ln(
2
x
exx
x


Ví dụ 2:
Các hàm không sơ cấp
 Hàm phần nguyên y = [x] ( n  n < n+1 )
 Hàm dấu : y = sgnx







1
0
1

1.1.2. Giới hạn của hàm số
Bổ sung :

 Khoảng
: (a,b) = x  R/ a < x < b
 Đoạn
: [a,b] = x  R / a  x  b
 Nửa khoảng
( hay nửa đoạn )
 (a,b] = x  R / a < x  b
 Lân cận
: Cho x
o
 R và

> 0, khoảng ( x
o
-

, x
o
+


) được gọi là một
lân cận của x
o
(lân cận tâm x
o
, bán kính

)
Vậy x thuộc lân cận của x
o


x
o
-

< x < x
o
+




-

< x –x
o
<



 x-x
o
 <


1. Định nghĩa
Khi x < 0
Khi x = 0
Khi x > 0
4
Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của x
o
. Số L được gọi là giới hạn
của hàm số f(x) khi x tiến đến x
o
nếu :


> 0 , 

>0 :  x-x
o
 <

 ()
f
xL


<



Ký hiệu:
Lxf
xx


)(lim
0

2. Ví dụ
a) Dùng định nghĩa để chứng minh
7)34(lim
1



x
x

b) Hàm số f : X  R
x
 y =
2
4
2



x
x

Tìm miền xác định của f và chứng minh rằng
4)(lim
2


xf
x

3. Các tính chất của giới hạn
 Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x  x
o
thì tổng, hiệu ,
tích,thương của chúng cũng có giới hạn khi x  x
o
và:
lim
o
x
x
[ f(x)  g(x) ] = lim
o
x
x
f(x)  lim
o
x
x

g(x)
lim
o
x
x
[ f(x) .g(x) ] = lim
o
x
x
f(x) . lim
o
x
x
g(x)
lim
o
x
x
)(
)(
xg
xf
=
lim ( )
lim ( )
o
o
xx
xx
f

x
gx


(
lim
o
x
x
g(x)  0)
 Nếu f(x)  g(x) với mọi x thuộc lân cận của x
o
thì lim
o
x
x
f(x)  lim
o
x
x
g(x)
 Nếu f(x)  g(x)  h(x) với mọi x thuộc lân cận của x
o
và
 Nếu
lim
o
x
x
f(x) = lim

o
x
x
h(x) = L thì lim
o
x
x
g(x) = L

1.1.3. Mở rộng khái niệm giới hạn
1. Giới hạn một bên
Bổ sung
: Ký hiệu
x  x
o
+
hiểu là x  x
o
và x > x
o

x  x
o
-
hiểu là x  x
o
và x < x
o

a. Định nghĩa

 Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến đến x
o
từ bên trái
(x  x
o
-
) nếu với mọi

>0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại

> 0sao cho:
0< x
o
– x <

 | f(x) – L | <


5
Ký hiệu Lxf
o
xx



)(lim
 Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x tiến đến x
o
từ bên
phải (x  x

o
, x > x
o
) nếu với mọi

>0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại

>
0 sao
cho
0< x

– x
o
<

 | f(x) – L | <


Ký hiệu
Lxf
o
xx



)(lim
b. Định Lý

lim
o
x
x
f(x) tồn tại

)(lim
0
xf
xx


= )(lim
0
xf
xx




Ví dụ Tìm giới hạn của hàm số f(x) =
x
x
khi x  0
Hàm số không xác định tại x = 0, ta thấy :
Vậy



)(lim xf

Ox
1)1(lim




Ox





)(lim xf
Ox



Ox
)1lim(
1
Do đó
)(lim xf
Ox
không tồn tại, chỉ có giới hạn một bên.

2. Giới hạn ở vô cực
a. Định nghĩa
Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến vô cực (x  )
nếu với mọi


>0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi
x mà x > M ta có
f(x) - L <

.
Ký hiệu
Lxf
x


)(lim
b. Ví dụ
Ví dụ 1
: Chứng minh rằng
x
x
1
lim

= 0
Ví dụ 2
:Tìm
243
12
lim
2
2





x
x
xx
x


3. Giới hạn vô cực
a. Định nghĩa: Hàm Số f(x) được gọi là tiến đến vô cực khi x tiến tới x
o
nếu
với mọi M >0 tùy ý, tồn tại  > 0 sao
cho với mọi x mà
0
xx

 thì ()
f
xM
6
Ký hiệu:



)(lim xf
x

b. Ví dụ.
Chứng minh rằng




2
5
lim
2
x
x

1.1.4. Dạng vô định của giới hạn hàm số
1. Dạng vô định
0
0

a) Định nghĩa. Nếu
0
lim ( ) 0
xx
fx


và
0
lim ( ) 0
xx
gx


thì:
0

()
lim
()
xx
f
x
gx

được gọi là có
dạng vô định
0
0
.
b) Ví dụ.
0
sin 2
lim
3
x
x
x

,
3
0
sinx
lim
x
tgx
x



,
3
8
92 5
lim
2
x
x
x




,
2
0
ln( os )
lim
ln(1 )
x
cx
x


.
Cách khử dạng vô dịnh
0
0

TH1. Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức hoặc căn thức thì ta áp dụng công thức sau:
00 0
0
1
01
()()
()
()
lim lim lim
() ( ) () ()
xx xx xx
xxfx
f
x
fx
gx x x g x g x
 





.
Ví dụ Tính các giới hạn
a.
4
12 3
lim
2

x
x
x




Bước 1
: Khử căn bằng cách nhân tử và mẫu với lượng liên hợp ta có:


44 4
12 3 (12 3)(12 3)( 2) (12 9)( 2)
lim lim lim
2 ( 2)( 1 2 3)( 2) ( 4)( 1 2 3)
xx x
xxxxxx
xxxxxx
 
     

     

Bước 2
: Áp dụng CT trên

444
(1 2 9)( 2) 2( 4)( 2) 2( 2) 4
lim lim lim
3

(4)(123) (4)(123) (123)
xxx
xx xx x
xx xx x

    

    
.
b.
3
8
92 5
lim
2
x
x
x




Làm tương tự câu a

32 32
33
3
88 8
( 9 2 5) (9 2 25)( 2 4) 2( 2 4) 12
lim lim lim

5
(2) (8)(925)(2) 925
xx x
x x xx xx
xxxx x
 
   

 

TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa các hàm lượng giác, mũ, logarith, hàm ngược. Áp
dụng các giới hạn cơ bản sau, trong đó nếu
0x  , thì
() 0ux

7
1.
0
sin ( )
lim 1
()
x
ux
ux


2.
0
()
lim 1

()
x
tgu x
ux


3.
0
ar sin ( )
lim 1
()
x
cux
ux


4.
0
ar ( )
lim 1
()
x
ctgu x
ux


5.
()
0
1

lim 1
()
ux
x
e
ux




6.
0
ln(1 ( ))
lim 1
()
x
ux
ux




Ví dụ Tính các giới hạn
a.
00
sin 2 2sin 2 2
lim lim
33.23
xx
xx

xx


(Áp dụng giới hạn cơ bản 1)
b.
33 2
00 0
sinx sinx(1 osx) 1 sinx 1 osx 1 1
lim lim lim . . 1.1.
.cos cos 2 2
xx x
tgx c c
xxxxxx
 
 
 
.
2. Dạng vô định



a. Định nghĩa. Nếu
0
lim ( )
xx
fx



và

0
lim ( )
xx
gx



thì:
0
()
lim
()
xx
f
x
gx

được gọi
là có dạng vô định


.
b. Ví dụ:
2
2
21
lim
321
x
xx

x
x





,
lim
1
x
x
x
x



.
Cách khử dạng vô dịnh



TH1:
Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức hoặc căn thức thì ta đặt x
k
với k là bậc
nhỏ hơn giữa đa thức ở tử và mẫu số làm thừa số chung rồi đơn giản đi.
Ví dụ Tính các giới hạn
a.
2

2
22
2
2
22
31 31
(1 ) 1
31 1
lim lim lim
52 52
352 3
(3 ) 3
xx x
x
xx
xx xx
xx
x
xx xx
  
 



 
.
b.
2
3
22

2
2
22
19 19
(4 ) 4
49
lim lim lim
22 22
22
(1 ) 1
xx x
xx x
xx
xx xx
xx
x
xx xx
  
 



 
.
c.
1
1
lim lim 1
11
.1

xx
x
x
xx
x
x
x
 









8
TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa hàm mũ thì ta đặt biểu thức mũ có cơ số lớn nhất làm
thừa số chung rồi đơn giản để tính giới hạn
Ví dụ Tính các giới hạn
a.
23
41
44
234 1
lim lim
232.4 2
23
42

44
xx
x
xx x
xx x
xx
xx
x
 

 


 
 






 


 
 


.
b.

3
51
53 1
5
lim lim
4
2.5 4 2
52
5
x
x
x
x
xx
x
x
 











.
3. Dạng vô định


a. Định nghĩa. Nếu
0
lim ( )
xx
fx



và
0
lim ( )
xx
gx



thì:
0
lim ( ) ( )
xx
f
xgx


được
gọi là có dạng vô định

.
b. Ví dụ.



22
lim 2 2
x
x
xx x

  ,
2
1
15
lim
11
x
xx







.
Cách khử dạng vô dịnh


TH1.
Nếu f(x), g(x) là các hàm hữu tỷ thì ta quy đồng mẫu số rồi đưa giới hạn về
dạng

0
0
.
Ví dụ:
Tính giới hạn
222
1111
12 12 1 11
lim lim lim lim
11 1 1 12
xxxx
xx
xx x x x

 

   

   

.

TH2.
Nếu f(x), g(x) có chứa hàm căn thức thì ta nhân lượng liên hợp rồi đưa giới
hạn về dạng



Ví dụ Tính các giới hạn
a.



22
22
1
lim 2 lim lim
2
21
22
11
xxx
xx
xxxx
xxxx
x
xx
  
   

 
 



.
b.





33 2 2 33 2 2
lim 4 lim 4
xx
x
xxx xxxxxx
 
 
9
=




2
3223322 2
3
4415
lim lim
326
(4) 4
xx
xx
xx xxxx xxx
 


 


4. Dạng vô định

1


a. Định nghĩa: Nếu
0
lim ( ) 1
xx
fx


và
0
lim ( )
xx
gx


 thì:


0
()
lim ( )
g
x
xx
fx

được gọi
là có dạng vô định

1

.
b. Ví dụ:

2
1
2
0
lim 1 sinx
x
x
 ,
4
2
lim
1
x
x
x
x






.
Cách khử dạng vô dịnh
1



Áp dụng giới hạn của số
1
()
0
lim(1 ( )) , 0
ux
x
euxx


 thì () 0ux .
Ví dụ Tính các giới hạn
a.
13
44 4
12
31
lim
12
1
23 3
lim lim 1 lim 1 .
111
x
x
xx x
x
x

x
xx x
x
ee
xxx




  

    
   
    

    
.

b.
 
2
0
22
sinx
11(sinx)1
lim

2
(sinx) 1
22

00
lim 1 sinx lim 1 ( sinx) 0
x
x
xx
xx
ee






 .

1.1.5. Vô cùng lớn, vô cùng bé – Khử dạng vô định:
1. Vô cùng bé
a. Định nghĩa
Hàm f(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  x
o
nếu
o
xx
lim f(x)= 0
Ví dụ:
Các hàm số x, x + 2x
2
, sinx, tgx, là các VCB khi 0x  .

b. Vô cùng bé tương đương

Hai vô cùng bé f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi
0
x
x , kí hiệu
() ()
f
xgx khi
0
x
x nếu
0
()
lim 1
()
xx
fx
gx


.
Ví dụ Vì
0
1
lim 1
x
x
e
x




nên 1
x
ex  khi
0x 
.
10
Vì
2
2
2
00
sin
1cos 1
2
lim lim
2
2
2
xx
x
x
x
x







nên
2
1
1cos
2
x
x  khi 0x  .
Theo định nghĩa ta có các VCB tương đương quan trọng sau khi
0x 

 sinx ~ x
 tgx ~x

2
1cos
2
x
x 

arcsin
x
x

arctgx x

1
x
ex 

ln(1 )

x
x 

1
111
nn
nn
ax a x ax ax



c. Ứng dụng vô cùng bé tính giới hạn
Nhận xét. Nếu các VCB
11
() (); () ()
f
xfxgxgx khi
0
x
x thì
00
1
1
()
()
lim lim
() ()
xx xx
f
x

fx
gx g x

 , do đó có thể dùng vô cùng bé để tính giới hạn.
Ví dụ Tính các giới hạn
a.
2
45
0
(1 cos )
lim
2
x
x
x
x




Vì
24
2
1cos (1cos)
24
x
x
xx
;
454

2 , khi 0xxx x

 nên
4
2
45 4
(1 cos ) 1
4
lim lim
24
xx
x
x
xx x
 



.

b.
2
23 3
0
ln(1 )
lim
2sin
x
tgx
x

xx




Vì
222
ln(1 )tgx tgx x ;
23 3 2332
2 sin 2 , khi 0xx xxxxx x

  nên
22
23 3 2
00
ln(1 )
lim lim 1
2sin
xx
tgx x
xx x x




.
2. Vô cùng lớn
a. Định nghĩa
Hàm f(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x  x
o

nếu
o
xx
lim |f(x)|= 
11
Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x
2
là các VCL khi
x

.

b. Vô cùng lớn tương đương
Hai vô cùng lớn f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi
0
x
x , kí hiệu
() ()
f
xgx khi
0
x
x nếu
0
()
lim 1
()
xx
fx
gx



.
Ví dụ:
Vì
2
2
21
lim 1
2
x
xx
x



nên
22
212
x
xx
khi
x
.
Vì
0
542
lim 1
5
xx

x
x



nên
5425
x
xx

khi
x
.
Theo định nghĩa ta có các VCL tương đương quan trọng sau khi
x


()
xx x
ab aab

1
110
nn n
nn n
ax a x ax a ax



c. Ứng dụng vô cùng lớn tính giới hạn

Nhận xét:
Nếu các VCL
11
() (); () ()
f
xfxgxgx khi
0
x
x thì
00
1
1
()()
lim lim
() ()
xx xx
f
xfx
gx g x

 ,
do đó có thể dùng vô cùng lớn để tính giới hạn.
Ví dụ Tính các giới hạn
a.
32 3
32 3
00
321 1
lim lim
2433 2 2

xx
xxx x
xxx x






b.
2.4 3 2 2.4
lim lim 2
421 4
xx x
xx x
xx 






1.2. Hàm số liên tục
1.2.1. Hàm số liên tục tại một điểm
a. Định nghĩa. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x
o
nếu
)()(lim
o
xx

xfxf
o



b. Ví dụ. Cho hàm số:
1
sin , khi 0
()
0 , khi 0
xx
fx
x
x









Xét tính liên tục của f(x) tại
0
0x


Giải
Ta có:

(0) 0f 
0
1
lim ( ) lim .sin 0
o
xx x
fx x
x


(vì
0
lim 0
x
x


và
1
sin
x
là hàm số bị chặn).
12
Do lim ( ) (0)
o
xx
f
xf

 nên f(x) liên tục tại x = 0.

1.2.2. Hàm số liên tục một phía tại một điểm
a. Định nghĩa
 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái tại x
o
nếu lim ( ) ( )
o
o
xx
f
xfx


 .
 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái phải x
o
nếu lim ( ) ( )
o
o
xx
f
xfx


 .
b. Ví dụ
Cho hàm số:
, khi 0
()
, khi 0
x

ex
fx
xa x








Tìm a để f(x) liên tục tại
0
0x

.
Giải
Ta có: (0)
f
a và
0
lim ( ) lim 1
o
x
xx
x
fx e






0
lim ( ) lim
o
xx
x
f
xxaa





Ta thấy hàm số liên tục phải tại
0
0x

. Để f(x) liên tục trái tại
0
0x  thì a = 1.
Vậy với a = 1 thì f(x) liên tục tại
0
0x

.
1.2.3. Hàm số liên tục trong một khoảng, đoạn
a. Định nghĩa
 f(x) liên tục trên khoảng (a,b)  f(x) liên tục tại mọi x  (a,b)
f(x) liên tục trên khoảng (a,b)

 f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

f(x) liên tục bên phải tại a
f(x) liên tục bên trái tại b
b. Định lý. Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong những khoảng mà hàm số
đó xác định
Ví dụ
a. Cho hàm số:
3
2
1
, khi 0
()
ln(1 )
0, khi 0
x
e
x
fx
x
x












Xét tính liên tục của f(x) trên R.
Giải
 Với
0x  ,
3
2
1
()
ln(1 )
x
e
fx
x



liên tục vì là hàm sơ cấp.
 Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại
0x


13
Ta có: (0) 0f  và
3
3
22
00
1

lim ( ) lim lim 0 (0)
ln(1 )
o
x
xx x x
ex
f
xf
xx
 





Do đó hàm số liên tục tại
0
0x  . Vậy f(x) liên tục trên R.
b. Cho hàm số:
3
2
2
242
, khi 2
()
4
ax +1, khi 2
x
x
fx

x
x











Tìm a để f(x) liên tục trên R.
Giải
 Với
2x  ,
3
2
242
()
4
x
fx
x




liên tục vì là hàm sơ cấp.

 Với
2x 
,
2
() ax 1fx

 liên tục vì là hàm sơ cấp.
 Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại
2x


Ta có:
(2) 4 1
f
a và
3
2
2
3
22
3
2
3
2
3
242 24
lim ( ) lim lim
4
(2)(2)((24)2244)
21

lim
24
(2)((24)2244)
o
xx x x
x
xx
fx
x
xx x x
xx x
 

 

 








0
2
2
lim ( ) lim ax 1 4 1
xx x
f

xa




Ta thấy hàm số liên tục trái tại x = 2. Để hàm số liên tục phải tại x = 2 thì

13
41
416
aa  
.
Vậy với
3
16
a 
thì f(x) liên tục tại x = 2, hay f(x) liên tục trên R.
1.2.4. Điểm gián đoạn
 Định nghĩa.
x
o
gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên
tục tại x
o
.
 Phân Loại .

Loại 1 :
)(lim
0

xf
xx


và )(lim
1
xf
xx


tồn tại hữu hạn
Loại 2 : Có ít nhất một giới hạn một bên không tồn tại hữu hạn.
Ví Dụ Hàm số
1
x
y
e gián đoạn tại x = 0. Ngoài ra,
0
lim ( )
x
fx




và
0
lim ( ) 0
x
fx




nên x
= 0 là điểm gián đoạn loại II của hàm số.
14
Ý nghĩa hình học
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì đồ thị của nó là một đường liền nối
từ điềm A(a,f(a)) đến B(b,f(b))


1.2.5. Định Lý
Nếu f(x) và g(x) liên tục tại x
o
thì các hàm f(x)  g(x) , f(x).g(x),
)(
)(
xg
xf

(g(x)0) cũng liên tục tại x
o
.
a) Nếu f(x) liên tục tại x
o
và g(y) liên tục tại y
o
= f(x
o
) thì hàm số hợp g[f(x)] liên

tục tại x
o
.
Một số kết quả
:
a) Đa thức P(x) = a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
o
liên tục trên R
b) Hàm hữu tỉ f(x) =
)(
)(
xQ
xP
liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x).
c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định.
d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.
1.2.6. Tính chất của hàm số liên tục
a. Định Lý. (giá trị trung gian)
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại c thuộc khoảng
(a,b) sao cho f(c) = 0 .

Cách khác
:
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có
ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (a,b) .
b. Hệ quả.
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và m f(x)  M với
 x  [a,b] thì f(x) đạt
mọi giá trị trung gian giữa m và M.
Phát biểu cách khác
:
B
O A
15
Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và m  f(x)  M với

x  [a,b] thì :





,, ,:()mM c ab f c


  
Ví Dụ Phương trình
3
x
ex có ít nhất một nghiệm thực. Thật vậy, xét hàm số
() 3

x
f
xex. Đây là hàm liên tục trên R và (0) 2 0; (1) 2 0ffe

    . Theo hệ quả
trên phương trình
() 0fx có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1).

BÀI TẬP CHƯƠNG I
Tính các giới hạn
1.1 a)
2
2
21
lim
3
x
x
x
x



b)
1
(2)(1)
lim
(1)(3)
x
xx

xx






c)
100
50
1
21
lim
21
x
x
x
xx



d)
210
320
2
(2)
lim
( 12 16)
x
xx

xx




1.2 a)
)6)(42(
53
lim
2
23
xx
xx
x



b)










3
1

1
3
1
1
lim
x
x
x

c)
416
11
lim
2
2
0



x
x
x
d)
1
1
lim
1




n
m
x
x
x

1.3 a)
tgnx
mx
x
sin
lim
0
b)
2
0
coscos
lim
x
nxmx
x



c)
xx
xx
x
cossin1
cossin1

lim
0




d)
2
0
(1)lncos2
lim
.sin3 .( 1 1)
x
x
ex
xxx





e)
sinx
0
sin
lim
1
x
x
x

e



f)
34
0
(1 )(1 cos )
lim
sin
x
x
ex
x
x




g)
1
1
(1)(1)
lim
(1)ln
x
x
etgx
x
x





h)
2
2
0
os2
lim
sin 5 ln(1 )
x
x
ecx
x
x





1.4 a)
sinx sin
lim
xa
a
xa




b)
3
0
11sin
lim
x
tgx x
x



c)










tgxx
x
1
sin
1
lim
0
d)

3
0
sinx
lim
x
tgx
x



1.5 a)
22
lim ( 2 2 3 )
x
x
xxx

  b)


xxx
x


323
1lim
1.6 a)
x
x
x

x









1
1
lim
b)
x
x
x
x
2
13
23
lim











c)
x
x
x
2
0
)sin1(lim 

d)
2
1
0
lim(cos )
x
x
x


16
e)

1
sin 2
0
lim 1
x
x
tgx


 f)
2
2
1
2
31
lim
31
x
x
x
xx
xx








g)

1
0
lim os
x
x
cx


h)

1
0
lim 1 2
x
x
tg x


1.7 Xét tính liên tục của các hàm số trên R
a) f(x) =
1
1
1
11
x
khi x
x
khi x









b) f(x) =











1
2
3
1
1
1
3
xkhi
xkhi
x
x

c) f(x) =
1
sin 0
0 0
xkhix
x

khi x








d) f(x) =
sin
0
10
x
khi x
x
khi x








1.8 Tìm các điểm gián đoạn :
a) f(x) =
1
4
2

2


x
x
b) f(x) =
3
12


x
x

c) f(x) = xtg3x d)f(x) =







01
0
sin
xkhi
xkhi
x
x

1.9 Tìm a để các hàm số sau đây liên tục trên R

a) f(x) =
2
2
16
4
54
4
x
khi x
xx
akhix










b) f(x) =
2
11
1
x
khi x
axkhix







c) f(x) =
1
(1 3 ) 0
=0
x
xkhix
akhix







d) f(x) =
0
0
x
ekhix
axkhix






17
e) f(x) =
2
ln(1 2 )
0
.sinx
0
x
khi x
x
ax khix









f) f(x) =
245
2
sin( ) arcsin 2
0
.x
2 0
xx xx
khi x
xtg

akhix










1.10 Chứng minh rằng các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm thực
a) x
3
– x - 1 = 0 b) x
5
+ x - 3 = 0