chương 1 ma trận định thức hệ phương trình tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (285.11 KB, 18 trang )
Chương 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT
1.1. MA TRẬN
1.1.1. Khái niệm về ma trận
Ma trận là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử được sắp thành m dòng , n cột
theo một thứ tự nhất định
a11
a
21
.
a m1
a12
a 22
.
am2
... a1n
... a 2 n
... .
... a mn
Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho ma trận: A, B, C, . . .. Ta
nói aij là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận. Đôi khi ta viết tắt ma trận trên là:
(aij ) mn .
Ma trận cấp n n được gọi là ma trận vuông cấp n. Các phần tử aii (i 1, , n)
lập nên đường chéo của nó.
Ma trận tam giác trên là ma trận có tất cả các phần tử phía dưới đường chéo
bằng 0.
a11
0
.
0
a12
a22
.
0
... a1n
... a2 n
... .
... amn
Ma trận tam giác dưới là ma trận có tất cả các phần tử phía trên đường chéo
bằng 0.
a11
a
21
.
am1
0
a22
.
am 2
0
... 0
... .
... amn
...
Ma trận chéo là ma trận vng có tất cả các phần tử ngoài đường chéo bằng 0
a11
0
.
0
0
a22
.
0
0
... 0
... .
... amn
...
Ma trận đơn vị là ma trận chéo có tất cả các phần tử trên đường chéo bằng 1
Trang 1
1 0 ... 0
0 1 ... 0
I
. . ... .
0 0 ... 1
Ma trận 0 là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0
Cho hai ma trận A = (aij )mn và B = (bij ) mn . Ta nói A = B nếu aij bij với mỗi cặp
i và j.
1.1.2. Phép toán về ma trận
1. Phép cộng. Tổng của 2 ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp có các phần
tử là tổng của các phần tử tương ứng.
1 0 2
3 2 1
4 2 1
+
=
2 1 3
1 4 2
1 5 5
2. Phép nhân với một số. Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận
cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận .
2 1 0 2
4 2 0 4
1 3 4 1 = 2 6 8 2
2.
3 0 1
6 0 2 10
5
3. Phép nhân hai ma trận
Điều kiện nhân được. Số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma
trận thứ hai .
Cách nhân hai ma trận. Nhân các phần tử trong dòng của ma trận thứ nhất
tương ứng với các phần tử trong cột của ma trận thứ hai rồi cộng lại .
Ví dụ 1
1 0 2
1 1 2
1.1 (1).3 2.1 1.0 (1).(2) 2.2 1.2 (1).1 2.0
2 0 3 . 3 2 1 =
2.1 0.3 3.1 2.0 0.(2) 3.2 2.2 0.1 3.0
1 2 0
0 6 1
5 6 4
=
1 2
3 4
Ví dụ 2 Nếu A
, B 4 5 thì khơng thể nhân A với B vì số cột của A khơng
1 2
3 6
bằng số dòng của B. Trong khi đó:
Trang 2
1 2
5 8
4 5 3 4 17 26 .
BA
1 2
3 6
15 24
3 4
0 2
Ví dụ 3 Nếu A
, B 0 6 thì:
0 0
3 4 0 2 0 30
0 2 3 4 0 0
AB
0 6 0 0 và BA 0 6 0 0 0 0 .
0 0
Nhận xét
Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn.
Nếu AB = 0 không suy ra A = 0 hoặc B = 0.
1.1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dịng
1. Phép biến đổi 1. Hốn vị 2 dịng
2 0 3
1 2 0 d1 d 2
3 1
2
1 2 0
2 0 3
3 1
2
2. Phép biến đổi 2. Nhân một dòng với một số khác không.
1 2 0
2 4 0
2 0 3 2 0 3
2d1 d1
3 1
3 1
2
2
3. Phép biến đổi 3. Cộng một dòng với một dịng khác đã nhân với một số khác
khơng.
1 2 0
2 0 3
d 2 ( 2) d1 d 2
3 1
2
1 2 0
0 4 3
3 1
2
Ghi chú. Nếu từ ma trận A , sau các biến đổi sơ cấp trên dòng ta được ma trận A’ thì
ta nói ma trận A’ tương đương ( theo dòng ) với ma trận A’ , ký hiệu : A~B
1.1.4. Ma trận dạng bậc thang
1. Định nghĩa
Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu thỏa mãn hai điều kiện:
Các dịng khác khơng ln ở trên các dịng khơng .
Với hai dịng khác khơng , phần tử khác khơng đầu tiên của dịng
dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác khơng đầu tiên của dịng trên .
2. Định lý
Mọi ma trận khác khơng đều có thể đưa về được về dạng bậc thang sau một
số phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
Trang 3
Ví dụ Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang
3
1 2 3
1 2
1 2 3
d3 ( 2) d 2 d3
4 5 6 0 3 6 0 3 6
d 2 ( 4) d1 d 2
A
d3 ( 7) d1 d2
7 8 9
0 6 12
0 0 0
1 3
2 6
B
2 5
1 4
2
9
2
8
0 5
1
d2 2 d1 d2 0
7 12 d3 2 d1 d3
4 5 d4 d1 d4 0
4 20
0
3
0
1
1
2
5
6
6
0 5
1
7 2 d 4 2 d3 d 4 0
d 2 d3
0
4 15
4 15
0
3
1
0
0
2
6
5
0
0 5
4 15
7 2
0 0
1.1.5. Ma trận đảo
1. Định nghĩa
Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại một ma trận B
vuông cấp n sao cho : A.B = B.A = I.
Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của ma trận A ,ký hiệu A-1
2. Cách tìm ma trận đảo
Lập ma trận mở rộng ( A | I )
Biến đổi ma trận ( A | I ) về dạng ( I | B )
Nếu biến đổi được về dạng ( I | B ) thì A là ma trận khả đảo và A-1 =B.
.Nếu không biến đổi được về dạng ( I | B ) ( nghĩa là ma trận bên trái có
xuất hiện dịng khơng ) thì ma trận A khơng khả đảo .
2 2 3
Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A 1 1 0
1 2 1
2 2 3 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
A 1 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
1 2 1 0 0 1 2 2 3 1 0 0 0 4 3 1 2 0
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 4 3
0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 5 3 0 1 0 1 5 3
0 0 1 0 6 4 0 0 1 1 6 4 0 0 1 1 6 4
1 4 3
Vậy A 1 5 3 .
1 6 4
1
Trang 4
1.2. ĐỊNH THỨC
1.2.1. Khái niệm về định thức
1. Định thức cấp 2
a
a
Cho ma trận vuông cấp 2 : A = 11 12 . Định thức của ma trận A là :
a 21 a 22
a11
a12
a 21
a 22
a11
Cho ma trận vuông cấp 3 : A = a 21
a31
a12
det(A) = A =
= a11a22 - a12a21
2. Định thức cấp 3
a 22
a32
a13
a 23 . Định thức của ma trận A là:
a33
a11
a12
a13
a 21
a31
a 22
a32
a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
a 33
Cách tính định thức cấp 3
a. Quy tắc tam giác
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
(+)
b. Quy tắc đường song song
+ +
o o
o o
o o
-
-
+
o o
o o
o o
(-)
o
o
o
-
Ví dụ. Tính định thức của các ma trận
1 2 1
a) 3 1 0
2 2 2
3 2 4
b) 0 1 3
0 0 5
3. Định thức cấp n
Trang 5
a11
a
Cho ma trận vuông cấp n : A = 21
.
a n1
a12
a 22
.
an2
... a1n
... a 2 n
.
... .
... a nn
a. Phần bù đại số
Phần bù đại số của phần tử aij , ký hiệu Aij , là một số xác định như sau:
Aij =
i+j
(-1)
M ij
trong đó Mij là ma trận suy từ A bằng cách bỏ dòng i và cột j.
b. Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n.
i, i 1, n :
A =
n
a
j 1
hoặc : j , j 1, m :
ij
Aij
n
a
A =
i 1
ij
Aij
1 2 1
Ví dụ: A = 3 1 0
2 2 2
A = a11A11 + a12A12 + a13A13
1.2.2.
Tính chất. Cho ma trận A vng
1) Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi : A t
= A
2) Hốn vị 2 dịng ,định thức đổi dấu : A ' = - A
3) Nếu nhân 1 dòng cho thì A ' = A
4) Nếu A có 2 dòng giống nhau hay tỷ lệ với nhau : A = 0 .
5) Nếu 1 dòng được viết thành tổng của 2 dịng thì định thức bằng tổng của 2
định thức có dịng tương ứng là các dịng thành phần .
...
...
a1 b1
...
a 2 b2
...
...
...
...
... a n bn a1
...
...
...
... ...
...
...
... ... ...
a 2 ... a n b1 b2 ... bn
... ... ... ... ... ... ...
6) Nếu thay 1 dịng bằng chính nó cộng với 1 dịng khác đã nhân với 1 số khơng
đổi thì định thức không đổi : A ' = A .
Ghi chú. Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức bằng tích các phần tử trên
đường chéo chính .
Trang 6
1
0
Ví dụ 1 Tính định thức của ma trận: A
3
0
2
0
4
0
3
4
1
3
4
3
2
2
Cách 1: Khai triển theo dòng 2
1
0
A
3
0
2
0
4
0
3
4
1
3
4
1 2 4
1 2 3
3
4 3 4 2 3 3 4 1 .
2
0 0 2
0 0 3
2
Khai triển tiếp theo dòng 3 các định thức trong VP ta được
A 4.(2)
1 2
1 2
3.3
4.2.(2) 3.3.(2) 2
3 4
3 4
Cách 2: Khai triển theo cột 1
1
0
A
3
0
2
0
4
0
3
4
1
3
4
0 4 3
2 3 4
3
4 1 2 3 0 4 3 .
2
0 3 2
0 3 2
2
Khai triển tiếp theo cột 1 các định thức trong VP ta được
A 4.
4 3
4 3
3.2
4.(1) 3.2.(1) 2
3 2
3 2
1
2
Ví dụ 2 Tính định thức của ma trận: A
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
Cộng dòng 1 với các dòng còn lại (tc 6) ta được:
7
2
A
2
2
7
1
2
2
7
2
1
2
7
1
2
2
7
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1 1 1 1
2 d d
d32 2 d11d32 0 1 0 0
2 d
7.(1)(1)(1) 7 .
7
2 d4 2 d1 d4 0 0 1 0
1
0 0 0 1
1
2
Ví dụ 3 Tính định thức của ma trận: A
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
Cộng dòng 1 với các dòng còn lại (tc 6) ta được:
Trang 7
10 10 10 10
1
2 3 4 1
10 2
A
3 4 1 2
3
4 1 2 3
4
1 2 1
1
10. 1 2 1 10. 0
3 2 1
0
1
1 1
2 d d
d32 3d11d32 0 1
1 d
10
2 d4 4 d1 d4 0 1
3
0 3
2 1
4 0 10.( 4)(4) 160
4 4
1
3
4
1
1
4
1
2
1.2.3. Cách tìm ma trận đảo bằng định thức
1. Điều kiện khả đảo
Ma trận A khả đảo A 0
2. Công thức ma trận đảo
A11
1 A21
1
A
A ...
An1
A12
A22
...
An 2
A1n
... A2 n
... ...
... Ann
...
t
1 2 1
Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A 0 1 1
1 2 3
1 2 1
Ta có: A 0 1 1 2 0, A1 .
1 2 3
A11
1 1
1;
2 3
A21
A31
2 1
4 ;
2 3
2 1
1;
1 1
A12
A22
0 1
1;
1 3
1 1
2;
1 3
A32
1 1
1 ;
0 1
t
A13
A23
A33
1 1 1
1 4 1
1
1 1 2 1
1
Do đó: A 4 2 0
2
2
1 1 1
1 0 1
1.2.4.
Hạng của ma trận
Trang 8
0 1
1
1 2
1 2
0
1 2
1 2
1
0 1
1 1
2 1
2 1
2 1
1. Định nghĩa. Cho ma trận A cấp mxn
Nếu chọn các phần tử nằm trên k dòng và k cột thì ta được một ma trận
vng cấp k . Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A.
Hạng của ma trận A , ký hiệu là r(A) , là cấp cao nhất trong các định thức
con khác không của A.
Ghi chú
r(A) = 0 A = 0
A = (aij)mxn r(A) min(m,n)
2. Cách tìm hạng của ma trận
Đưa ma trận về dạng bậc thang .
Hạng của ma trận là số dịng khác 0 .
Ví dụ1 Tìm hạng của ma trận
1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3
A = 2 2 8 10 0 0 4 4 0 0 4 4
3 3 10 13 0 0 4 4 0 0 0 0
Vậy r(A) = 2.
1 3
2 6
B
2 5
1 4
2
9
2
8
0 5
1
d2 2 d1 d2 0
7 12 d3 2 d1 d3
4 5 d4 d1 d4 0
4 20
0
3
0
1
1
2
5
6
6
0 5
1
7 2 d 4 2 d3 d 4 0
d 2 d3
0
4 15
4 15
0
3
1
0
0
2
6
5
0
0 5
4 15
7 2
0 0
Vậy r(B) = 3.
Ví dụ 2 Biện luận theo tham số m hạng của ma trận
2
1
A
3
5
1
0
4
5
3
1
2
5
1
0
d 4 5 d1 d 2
0
0
d 2 2 d1 d 2
d3 3 d1 d 2
4
1
4
8
2 8
1
0 0 d1 d2 2
3
1 1
3 m
5
0 1
1 1
4 1
5 0
1
2
1
3
0
1
4
5
1
3
2
5
1
4
4
8
0 0
1
d2 2 d1 d2 0
2 8 d3 3d1 d2
1 1 d4 5 d1 d2 0
3 m
0
0 0
1
2 8 d3 4 d 2 d3 0
1 1 d4 5 d2 d4 0
3 m
0
1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1.3.1 Khái niệm
Trang 9
0 1
1 1
4 1
5 0
0 1 1
0
0
1 1 2 2
8
0 5 7 7
33
0 5 7 7 m 40
1
2
1
3
0 0
2 8
1 1
3 m
1. Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình có m phương trình và n ẩn số :
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
(1)
aij : hệ số ; bij : hệ số tự do ; xj : ẩn số ( i = 1, m ; j = 1, n )
2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
a11
a
A = 21
.
a m1
a12
a 22
.
am2
... a1n
... a 2 n
, B=
... .
... a mn
b1
b
2
.
.
bm
x1
x
2
, X = .
.
xn
A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự do ; X : ma trận ẩn số
Ta có: (1) AX = B
3. Nghiệm của hê phương trình tuyến tính
Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một bộ số gồm n số (
c1,c2,…,cn) sao cho khi thay vào (x1,x2,…,xn) các phương trình được nghiệm
đúng.
4. Điều kiện tồn tại nghiệm - Định lý Kronecker-Capelli
Cho hệ phương trình (1) ,ta có :
: Hệ phương trình vơ nghiệm.
r(A) r(A|B)
r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
r(A) = r(A|B) = r
Ví dụ 1 Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình:
x1 x 2 x3 2 x 4 5
2 x 3x 3x x 3
1
2
3
4
4 x1 x 2 x3 5 x 4 1
4 x1 2 x 2 x3 3x 4 7
Ví dụ 2 Biện luận theo m sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
Trang 10
mx1 x 2 x3 1
x1 mx 2 x3 1
x x mx 1
2
3
1
1.3.2 Hệ phương trình Cramer
1. Định nghĩa
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương
trình bằng số ẩn số và định thức của ma trận hệ số khác khơng .
2. Cách giải hệ phương trình Cramer
a. Phương pháp Cramer
Cho hệ phương trình Cramer:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
............................................
a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn
Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất : (x1,x2,…,xn), với :
Ai
xi =
(i 1, n)
A
Trong đó, Ai là ma trận suy từ ma trận A bằng cách thay cột I bằng cột B.
Ví dụ Giải hệ phương trình
x1 2 x2 3 x3 6
2 x1 x2 x3 2
3 x x 2 x 2
3
1 2
1
2
Ta có: A 2 1
3
6
2
A1 2 1
2
1
1
3
3
1 30 0 , hệ có duy nhất nghiệm.
2
1 6
1 30 ; A2 2 2
2
3
1
2
1 30 ; A3 2 1 2 30
3 2 2
3
1
Vậy nghiệm là ( x1 , x2 , x3 ) (1;1;1) .
b. Phương pháp ma trận đảo
Cho hệ phương trình Cramer dạng ma trận : AX = B
Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là : X = A-1B
Ví dụ Giải hệ phương trình
Trang 11
6
2
2 x1 3 x2 2 x3 9
x1 2 x2 3 x3 14
3 x 4 x x 16
2
3
1
2 3
2
Do det( A) 1 2 3 6 0 nên hệ là hệ Gramer.
3 4 1
5 13
14
1
Với A1 10 4 8
6
2 1
1
5 13 9 2
14
1
nên X A B A 10 4 8 14 3
6
2 1
1 6 2
1
1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( x1 , x2 , x3 ) (2,3, 2) .
1.3.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
Cho hệ phương trình dạng ma trận : AX = B
(A|B) đưa về dạng bậc thang (A’|B’)
AX = B A’X = B’
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
x1 x2 x3 x4 10
x1 2 x2 x3 x4 6
2 x1 3 x2 3 x3 2 x4 0
3 x1 x2 x3 x4 0
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang
1 1 1 1 10
1 1 1 1 10
d2 d1 d2
d3 2 d1 d3
1 2 1 1 6 0 1 2 0 4
A
2 3 3 2 6 d4 3d1 d4 0 4 2 4 30
3 1 1 1 1
3 1 1 1 1
1
0
d3 d 2 d3
0
d4 4 d2 d4
0
1
0
d 4 5 d3 d3
0
0
1
1 1
1 10
1
1 2 0 4 3 d3 d3 0
0 3 0 9 1 d4 d4 0
2
0
0 10 4 46
1 1
1 2
0 1
0 0
1 10
0 4
03
28
Trang 12
1 1
1 2
0 1
0 5
1 10
0 4
03
2 23
Ta có r ( A) r ( A) 4 n nên hệ phương trình có duy nhất nghiệm.
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
x1 x2 x3 x4 10
x1 1
4
x2 2 x3
x2 2
x3
3
x3 3
x4 4
2 x4 8
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
x1 x2 x3 x4 1
x1 2 x2 x3 x4 2
2 x1 3 x2 2 x3 3 x4 3
3 x1 4 x2 3 x3 4 x4 4
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:
1
1
A
2
3
1
2
3
4
1
1
2
3
1
0
d3 d 2 d3
0
d4 d2 d4
0
1
11
d2 d1 d2
2 2 d3 2 d1 d3 0
3 3 d4 3d1 d4 0
0
4 4
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
11
11
11
11
11
11
0 0
0 0
Ta có, r ( A) r ( A) 2 4 n nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc
vào 2 tham số.
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
x1
x1 x2 x3 x4 1 x2 1
;( , R )
1
x2 x4
x3
x4
Ví dụ 3 Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình sau
mx1 x2 x3 1
x1 mx2 x3 1
x1 x2 mx3 1
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:
Trang 13
m 1 1 1
1 1 m 1
1
1
m 1
d1 d3
d2 d1 d2
A 1 m 1 1 1 m 1 1 0 m 1 1 m 0
d3 md1 d3
1 1 m 1
m 1 1 1
0 1 m 1 m2 1 m
1
1
m
1
1 m 0
0 m 1
2
0
0
2 m m 1 m
d 3 d 2 d3
Nếu 2 m m 2 0 , ta có hai trường hợp:
1 1 1 1
m 1 thì A 0 0 0 0 suy ra r ( A) r ( A) 1 3 n . Hệ phương
0 0 0 0
trình có vơ số nghiệm phụ thuộc 2 tham số.
Suy ra, Hệ phương trình đã cho tương đương với:
x1 1
x1 x2 x3 1 x2
;( , R)
x
3
1 1 2 1
m 2 thì A 0 3 3 0 suy ra r ( A) 2 r ( A) 3 . Hệ phương
0 0 0 3
trình vơ nghiệm.
Nếu 2 m m 2 0 m 1; m 2 , ta có r ( A) r ( A) 3 n . Hệ phương
trình có duy nhất nghiệm.
1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
1. Định nghĩa
Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu có các hệ số tự
do đều bằng 0 .
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n 0
a x a x ... a x 0
21 1
22 2
2n n
............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n 0
Dạng ma trận : AX = 0
2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Trang 14
a. Nghiệm tầm thường: Hệ pttt thuần nhất luôn luôn có nghiệm (0,0,…,0)
gọi là nghiệm tầm thường.
b. Nghiệm khơng tầm thường
Nghiệm của hệ phương trình có ít nhất một thành phần khác 0 gọi là
nghiệm không tầm thường.
Hệ có nghiệm khơng tầm thường r(A) < n ( số ẩn số )
Nếu A là ma trận vuông thì: Hệ có nghiệm khơng tầm thường
|A|=0
Nghiệm khơng tầm thường cịn gọi là nghiệm tổng qt , nó phụ
thuộc một số tham số .Nếu các tham số lấy các giá trị cố định thì ta được
nghiệm riêng .
Ví dụ Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
x1 x 2 2 x3 0
2 x1 x 2 x3 0
5 x x mx 0
2
3
1
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường .
b. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình .
3. Hệ nghiệm cơ bản
Nếu hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường thì các nghiệm này có thể biểu
diễn được qua một hệ nghiệm riêng cố định , gọi là hệ nghiệm cơ bản.
Ví dụ Giải và tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính
x1 2 x2 2 x3 x4 0
2 x 4 x 2 x x 0
1
2
3
4
x1 2 x2 4 x3 2 x4 0
4 x1 8 x2 2 x3 x4 0
Biến đổi ma trận hệ số về dạng bậc thang
1
2
A
1
4
2 2 1 1
4 2 1 0
2 4 2 0
8 2 1 0
2 2 1 1
0 6 3 0
0 6 3 0
0 6 3 0
2 2 1
0 6 3
0 0 0
0 0 0
Suy ra, r ( A) 2 4 . Hệ pt có vơ số nghiệm phụ thuộc hai tham số:
x1 2
x
x1 2 x2 2 x3 x4 0
2
6 x3 3 x4 0
x3
x4 2
Vậy hệ nghiệm cơ bản là: u1 (2;1;0;0) và u2 (0;0;1; 2) .
4. Liên hệ giữa nghiệm của hệ pttt và hệ pttt thuần nhất
Trang 15
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
(1)
............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n 0
a x a x ... a x 0
21 1
22 2
2n n
............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n 0
(2)
Nghiệm tổng quát của (1) = Nghiệm tổng quát của (2) + Nghiệm riêng của (1)
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1. Cho các ma trận
0 1
1 0 1 2
2 1
3 2 1 0 và B = 0 2 3 2
A=
1 2 3 1
1 3 2 1
t
t
t
Gọi C = 2A – 3B , D = 3A + B , E = A .B . Tìm c23, d31, e43 .
2. Cho các ma trận
2 1 0
A = 1 1 3 và B =
3 0 2
0 1 1
1 2 3
2 0 1
2
Gọi C= 3A + 4I - 5B , D = A , E = AI – B2 , F = AB – BA. Tìm c21, d33, e22, f13
2 1
1 2
3. Cho các ma trận : B =
và C = 4 1
3 0
Tìm ma trận A , biết rằng
b. AB = C
a. A = 2B + 3C
4. Đưa các ma trận sau đây về dạng bậc thang
1 2 0 3
a. 0 0
1 0
0 2 1 1
1 2 3 4
b. 2 4 6 8
3 6 9 12
5. Tìm ma trận đảo
Trang 16
3 2 1
1
2
5 2 1
c.
1
1
6 13
2 6 8 10
1 2
a.
3 7
5 4
b.
4 3
6
3 4
0
c.
1
1
2 3 4
6. Tìm hạng của các ma trận
3 1 4
4 2
a.
b. 0 2 1
3 5
0 4 2
2
4
0
1 4 5
e.
d. 3
1
7
5 10
0
2
3
0
2 4 6
d. 3 1 1
1 2 3
2 1 3 2 4
c. 4 2 5 1 7
2 1 1 8 2
3
0
1 7 1
1 7 1 2 2
2 14 2
7
0
6 42 3 13 3
7. Tìm ma trận đảo bằng định thức
2 3
a.
3 5
cos x sin x
b.
sin x cos x
1 1 1
c. 2 3 1
5 8 2
1 a a 2
d. 0 1 a
0 0 1
8. Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình
x1 x 2 2 x3 0
a) 3 x1 4 x 2 x3 2
2 x 2 x 4 x 1
2
3
1
3 x1 x 2 x3 2 x 4 1
x x 2x 4x 5
2
3
4
b) 1
x1 2 x 2 3 x3 6 x 4 9
12 x1 2 x 2 x3 2 x 4 10
2 x1 3 x 2 x3 16
c) x1 4 x 2 x3 11
x x 3x 7
2
3
1
9. Giải hệ phương trình Cramer
2 x1 x 2 x3 1
a) x1 2 x 2 x3 5
x x 2 x 14
2
3
1
x1 2 x 2 x3 3
d) x1 x 2 2 x3 0
2 x x 4 x 1
2
3
1
x1 3 x 2 x3 1
b) x1 2 x 2 x3 1
2x x x 2
2
3
1
x1 x 2 x3 4
e) 3 x1 2 x 2 3 x3 2
5 x x 3x 1
2
3
1
10. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
Trang 17
x1 2 x 2 3 x3 4 x 4 30
x 2 x 3 x 4 x 10
2
3
4
c) 1
x 2 x3 x 4 3
x1 x 2 x3 x 4 10
1
x1 2 x 2
f) 3 x1 2 x 2 x3 1
x 2 2 x3 1
x1 2 x 2 x3 2
a) x1 x 2 x3 5
x 3x 2 x 1
2
3
1
x1 2 x 2 x3 x 4 2
x1 2 x 2 x3 3
b) 3 x1 6 x 2 4 x3 2 x 4 4 c) 4 x1 x 2 2 x3 1
2 x 3 x 4 x 2
x1 2 x 2 2 x3 0
2
3
1
x1 2 x 2 x3 x 4 1
d) x1 2 x 2 x3 x 4 1 e)
x 2 x x 5x 5
2
3
4
1
x1 x 2 x3 3
x1 x 2 3 x3 1
2 x1 x 2 x3 x 4 x5 1
x x x x 2x 0
2
3
4
5
f) 1
2 x1 x 2 2 x3 1 3x1 3x 2 3 x3 3x 4 4 x5 2
x1 2 x 2 3x3 1 4 x1 5 x 2 5 x3 5 x 4 7 x5 3
11. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
x1 x 2 2 x3 0
a) 2 x1 4 x 2 x3 0
2x x 4x 0
2
3
1
x1 2 x 2 x3 0
b) x1 3 x 2 3 x3 0
2x 6x 6x 0
2
3
1
Trang 18
x1 x 2 2 x 4 0
c) 2 x1 x 2 x3 x 4 0
3x x 2 x 0
1
3
4
