chương 3 dạng toàn phương

Trang 1
Chương 3 : DẠNG TOÀN PHƯƠNG

3.1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:
3.1.1 Định nghĩa :

Ánh xạ
mn
R Rf →: được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả hai tính chất sau:
1) )()()( yfxf yxf +=+ ,
n
R, ∈∀ yx
2) f(x) x) f
α
α
=( ,
n
R,∈∀x ,
n
R∈∀
α

Ghi chú
: khi n = m ánh xạ tuyến tính
nn
R Rf →: còn được gọi là phép
biến đổi tuyến tính
3.1.2 Tính chất
: Nếu
f
là ánh xạ tuyến tính thì:

•
0)0( =f
•
)()()( yfxfyxf −=− ,
n
R, ∈∀ yx
•
)( )()() (
22112211 nnnn
xfxfxfxxxf
α
α
α
α
α
α
+
+
=
+++ ,
n
R∈∀
i
x , R
∈
∀
i
α

VD: Cho ánh xạ

23
: RRf → xác định bởi

),2(),,(
321321
xxxxxxf
−
=
Chứng tỏ
f là ánh xạ tuyến tính từ
3
R
vào
2
R
.
3.1.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính
:
1) Định nghĩa
: Cho ánh xạ tuyến tính
mn
RRf →:
Giả sử
n
R
và
m
R
lần lượt có cơ sở (u) =
{

}
i
u (i = n,1 ) và (v)=
{}
i
v (i = m,1 ) ta có
toạ độ :

)(21
), ,,(
)(
un
xxx
u
x
=

)(21
), ,,(
)(
)(
)(
vm
yyy
v
xf
v
y
==
Ma trận A cấp

nm × được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f nếu thoả :




2) Cách xác định ma trân A
:




3) Ma trận chính tắc
:
Nếu
{}
i
u (i = n,1 ) và
{}
i
v (i = m,1 ) là các cơ sở chính tắc thì ma trận A được
gọi là Ma trận chính tắc
và được xác định bởi :





⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)()(
)(
u
x
A
v
xf

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
)()(
)(
u
x
A
v
xf

A =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
)(
)(

)(
)(
)(
)(
21
v
uf
v
uf
v
uf
n

A =
[
]
[
]
[
]
[
]
)( )()(

21 n
efefef
Trang 2
VD: Cho ánh xạ tuyến tính
34
: RRf → xác định bởi

)33,2,(),,,(
432143143214321
xxxxxxxxxxxxxxxf
−
+
+
−
+
+
+
−=
a) Tìm ma trận chính tắc của
f

b) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính
f đối với cơ sở (u)=
{}
4321
,,, uuuu và cơ sở
chính tắc (e) trong
3
R
, biết rằng :

)0,0,0,1(
1
=u , )0,0,1,1(
2
=u , )0,1,1,1(
3
=
u , )1,1,1,1(
4
=
u
3.2 GIÁ TRỊ RIÊNG –VECTƠ RIÊNG:

3.2.1 Định nghĩa
:
Cho A là ma trận vuông cấp n, nếu tồn tại vectơ n chiều khác không
), ,,(
21 n
xxxx =
và số
R∈
λ
sao cho : A.
[]
x =
λ
.
[
]

x thì ta nói:
λ
là một giá trị riêng của A và
x
là vectơ
riêng của A ứng với giá trị riêng
λ
.
VD:
Cho ma trận A=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
23
21
với vectơ x = (2,3) ta có:
A.
[]
x =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
23
21

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
12
8
= 4
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
2
= 4.
[
]
x

Vậy
λ
=4 là một giá trị riêng của A và x = (2,3) là một vectơ riêng của A ứng với giá trị
riêng
λ
=4.
3.2.2 Cách tìm giá trị riêng:

Giá trị riêng λ của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng :
IA
λ
− = 0


λ
λ
λ
−
−
−
⇔
n nnn
n
n
aaa
aaa
aaa

11
22221
11211
= 0
VD: Tìm giá trị riêng của ma trận:
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
201
030
312


3.2.3 Cách tìm vectơ riêng
: Vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ là
nghiệm x khác 0 của phương trình ( A - λI ).[x] = 0
* Ghi chú:

Ứng với một giá trị riêng λ của ma trận A, có vô số vectơ riêng.Tập hợp các vectơ riêng
này cùng với vectơ 0 tạo thành một không gian con của R
n
và được gọi là không gian con
riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ, ký hiệu
λ
E

VD: Tìm giá trị riêng, vectơ riêng, không gian con riêng và cơ sở của không gian con
riêng của ma trận:
Trang 3
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
201
030
312

3.3 CHÉO HÓA MA TRẬN:
3.3.1: Định nghĩa
:
Một ma trận vuông A cấp n gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận vuông cấp n
khả đảo P sao cho
DPAP =
−
.
1
là một ma trận chéo. Lúc đó ta nói ma trận P làm chéo A
hay ma trận A được chéo hóa bởi ma trận P.

c
Định lý: Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được nếu A có n vectơ riêng độc
lập tuyến tính

d
Hệ quả:
• Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng phân biệt thì ma trận đó chéo hóa
được.
• Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng (có thể trùng nhau) và số vectơ
riêng độc lập tuyến tính ứng với mỗi trị riêng bằng số bội của trị riêng đó thì ma
trận đó chéo hóa được.
3.3.2 Thuật toán chéo hóa một ma trận vuông:

Bước 1
: Tìm giá trị riêng:
• Số GTR < n: không chéo hóa được
• Số GTR = n: có thể chéo hóa được,gọi {λ

1
, λ
2
, …, λ
n
}là các GTR , sang bước 2
Bước 2
: Tìm các vectơ riêng độc lập tuyến tính
• Số VTR đltt < n: không chéo hóa được
• Số VTR đltt = n: chéo hóa được, gọi {p
1
, p
2
, …, p
n
} là các VTR ,sang bước 3:
Bước 3
: SAS
1−
= C
•
Ma trận S làm chéo A : S = [ [p
1
][p
2
] …[p
n
] ]

•

Ma trận chéo C : C =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
o
λ
λ
λ
00

0 0
0
2
1


VD: Chéo hóa (nếu được) các ma trận sau đây :
A =
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
201
030
312
, B =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
500
032
023

3.4 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TÒAN PHƯƠNG
:
3.4.1 Định nghĩa :
Trang 4
1)Dạng song tuyến tính: Cho ma trận vuông A=
nij
a )(
và 2n biến
n
xxx , ,,
21
và

n
yyy , ,,
21
. Dạng song tuyến tính là biểu thức có dạng:


nnnnnnnn
nn
nn
yxayxayxa

yxayxayxa
yxayxayxa B




2211
2222221221
1121121111
+++
+
++++
+
+
+=

=
∑∑
==
n
i
n
j
jiij
yxa
11

nếu ký hiệu :
⎥
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
x
x
x
X

2
1
và
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
=
n
y
y
y
Y

2
1
thì dạng song tuyến tính B có thể viết : A
Y
X
B
t
=


Ma trận A được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính B.
VD: Dạng song tuyến tính :
B = 2
11
yx +
21
yx +
12
yx -3
22
yx +2

32
yx +4
13
yx +
33
yx
Có ma trận A=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
104
231
012

2)Dạng toàn phương
: Cho ma trận đối xứng A =
nij
a )( .
Dạng toàn phương Q của n biến
n
xxx , ,,
21

là biểu thức có dạng:

2
11
22
2
2221221
112112
2
111




nnnnn
nn
nn
xaxxa
xxaxaxxa
xxaxxaxaQ
+++
+
++++
+++=

=
∑∑
==
n
i

n
j
jiij
xxa
11
trong đó
jiij
aa =

nếu ký hiệu
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
x
x
x
X

2

1
thì dạng toàn phương Q có thể viết Q = XA
X
t




3.4.2 Ma trận của dạng toàn phương:
Ma trận đối xứng A được gọi là ma trận của dạng toàn phương Q.
Trang 5
Ghi chú :Do
jiij
aa = và
ijji
xxxx
=
nên dạng toàn phương Q còn có thể viết thành:
Q =
=++++
∑
≤≤≤ nji
jiij
2
nnn
yxaxaxaxa
1
2
222
2

111
2
∑
=
+
n
i
2
iii
xa
1
∑
≤≤≤ nji
jiij
yxa
1
2
VD : Cho dạng toàn phương
Q=
323121
2
3
2
2
2
1
4232 xxxxxxxxx +−+−+
Ma trận đối xứng của dạng toàn phương Q là : A=
⎥
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
3
2
1
2
2
1
21
211

3.4.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương :
Dạng toàn phương chỉ có các số hạng bình phương .(
j ioa
ij
≠
=
, )
Ma trận của dạng chính tắc là ma trận chéo: A=
⎥

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nn
a
a
a

12
11

VD: Dạng chính tắc Q =
2
3
2
2
2
1
432 xxx −+
có ma trận A=
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
400
030
002


3.5 ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
:
Phương pháp Lagrange
:
Cho dạng toàn phương Q =
∑
=
+
n
i
2
iii
xa
1
∑
≤≤≤ nji

jiij
yxa
1
2

Bước 1
: giả sử 0
11
≠a ,nhóm các số hạng có chứa
1
x , thêm bớt để có một bình phương đủ
Q =
1
2
111
)( Qx ++
βα
trong đó
1
Q không chứa
1
x
Bước 2
: Biến đổi
1
Q như trên ta có :

1
Q =
2

2
222
)( Qx ++
βα
trong đó
2
Q không chứa
2
x
Tiếp tục như trên ,nhiều nhất sau n bước ta được Q là tổng các bình phương :
Q =
2
111
)(
βα
+x +
2
222
)(
βα
+x +…+
2
)(
nnn
x
βα
+
Bước 3
: Đặt
iii

xx
β
+=
'
( ni ,1= ) ta có :
Q =
2'2'
22
2'
11

nn
xxx
ααα
+++ đây là dạng chính tắc của dạng toàn phương Q.
VD: Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc :
Q =
3121
2
3
2
2
2
1
6442 xxxxxxx +−++




3.6 XÁC ĐỊNH DẤU DẠNG TOÀN PHƯƠNG

:
3.6.1 Định nghĩa : Cho dạng toàn phương Q(x).
Trang 6
* Q(x) xác định dương (hoặc xác định âm ) nếu Q(x)>0 (hoặc Q
)(x
<0 ) , 0, ≠∈∀ xRx
n


* Q(x) nửa xác định dương (hoặc nửa xác định âm ) nếu Q(x)
≥ 0 (hoặc Q(x)≤ 0 ) ,

0)(0,,
000
=≠∈∃∈∀ xQ cho saoxRxRx
nn

3.6.2 Định lý 1: (tiêu chuẩn Sylvester)
Cho dạng toàn phương Q(x) có ma trận A.Gọi
i
Δ
( ni ,1= ) là các định thức con
chính của A
* Q(x) xác định dương
⇔
i
Δ
> 0 ( ni ,1= )
* Q(x) xác định âm
⇔

i
Δ
< 0 với i lẻ và
i
Δ
>0 với i chẵn
3.6.3 Định lý 2:
- Nếu Q(x) có dạng chính tắc : Q(x)=
2'2'
22
2'
11

nn
xxx
ααα
+++ thì :
* Q(x) xác định dương
⇔
i
Δ
> 0 ( ni ,1= )
* Q(x) xác định âm
⇔
i
Δ
<0 ( ni ,1= )
- Nếu Q(x) có dạng chính tắc : Q
)(x
= )(

2'2'
22
2'
11
nrxxx
rr
<+++
ααα
thì :
* Q(x) nửa xác định dương
⇔
i
Δ
> 0 ( ri ,1= )
* Q(x) nửa xác định âm
⇔
i
Δ
<0 ( ri ,1= )
VD: Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc, chỉ ra phép biến đổi toạ độ tương
ứng và xác định dấu của nó trong R
3

a)
Q =
323121
2
3
2
2

2
1
62432 xxxxxxxxx −+−++

b)
Q =
323121
2
3
2
2
2
1
1224126 xxxxxxxxx −−+++
c)
Q =
3121
2
3
2
2
2
1
422 xxxxxxx ++++
λ