Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán Phương trình và hệ lượng giác

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUN ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


Phơng trình
và hệ phơng trình lợng giác
Các phơng trình lợng giác rất đa dạng không thể có một công thức chung nào để
giải mọi phơng trình lợng giác, bởi vậy cần thiết sử dụng các phép biến đổi lợng giác
thông thờng để đa phơng trình ban đầu về các dạng cơ bản. Chúng ta đa ra một nguyên
tắc chung thờng dùng khi giải phơng trình lợng giác.
Thông thờng phải thực hiện các việc sau:
Nếu phơng trình chứa nhiều hàm lợng giác khác nhau thì biến đổi tơng đơng
về phơng trình chỉ chứa một hàm.
Nếu phơng trình chứa các hàm lợng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tơng
đơng về phơng trình chỉ chứa các hàm lợng giác của một cung.
Sau khi biến đổi nh trên nếu phơng trình nhận đợc không có dạng quen thuộc

thì có thể đi theo hai hớng:
Hớng thứ nhất:
Biến đổi phơng trình đà cho để đa về việc giải các phơng trình đơn giản quen
thuộc. Các phơng pháp biến đổi theo hớng này gồm có:
Phơng pháp đặt ẩn phụ
Để đa phơng trình về việc giải một phơng trình đại số.
Thí dụ: Giải phơng trình
2sin22x = 5cos2x + 5
Lời giải
Biến đổi phơng trình về dạng:
2cos22x + 5cos2x + 3 = 0.
Đặt t = cos2x, điều kiện t 1, ta đợc
t 1
2t2 + 5t + 3 = 0  
.
 t 3 / 2(loại)
Phơng pháp hạ bậc
Nếu phơng trình cần giải có bậc cao thì dùng công thực hạ bậc để biến đổi về
bậc thấp hơn.
5
Thí dụ: Giải phơng trình sin6x + cos6x = .
8
Lời giải
Biến đổi phơng trình về dạng:
5
(sin2x)3 + (cos2x)3 = cos4x = 0.
8
Phơng pháp biến đổi thành phơng trình tích.
Thí dụ: Giải phơng trình
sin2x + sin4x = 2cosx.

Lời giải
Biến đổi phơng trình về dạng:
cosx 0
2sin3x.cosx = 2cosx  2cosx(sin3x1) = 0  
.
 sin 3x 1
Phơng pháp tổng các số hạng không âm.
Thí dụ: Giải phơng trình

2


2sin2x2 2 sinx + 3tan22x2 3 tan2x + 2 = 0.
Lời giải
Biến đổi phơng trình về dạng:

2
sin x

2 .
( 2 sinx1)2 + ( 3 tan2x1)2 = 0  
tan 2x 1

3
Phơng pháp đánh giá dùng để giải các phơng trình không mẫu mực.
Thí dụ: Giải phơng trình
2
3x = cosx.
Lêi gi¶i
Ta cã x2  0  3x2  30 = 1 cosx.

Suy ra phơng trình đà cho tơng ®¬ng víi hƯ:
2
3x 1
x 2 0

 x = 0.

cosx 1 cosx 1
Vậy, phơng trình có nghiệm x = 0.
Phơng pháp hàm số: Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phơng trình.
Thí dụ: Giải phơng trình 2cosx2sinx = sinxcosx.
Lời giải
Biến đổi phơng trình về dạng:
2cosx + cosx = 2sinx + sinx.
XÐt hµm sè f(t) = 2t + t đồng biến trên R.
Vậy, phơng trình đợc viết dới dạng:

f(cosx) = f(sinx)  cosx = sinx  x =
+ k, k Z.
4
Hớng thứ hai:
Dùng lập luận khẳng định phơng trình cần giải là vô nghiệm.
Thí dụ: Giải phơng trình sinx + cosx = tanx + cotx.
(1)
Lời giải
Vế trái của (1) ta cã:


2 sin  x    2 .
4


VÕ ph¶i cđa (1) ta cã tanx + cotx  2.
Vậy, phơng trình (1) là vô nghiệm.

sinx + cosx =

Ví dụ 1:

Giải phơng trình:
(sin 2x cos 2x)cos x 2cos 2x sin x = 0.

Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình sẽ đợc giải bằng cách

chuyển về dạng tích, và với định hớng này chúng ta cần tạo ra đợc nh©n tư chung.
NhËn xÐt r»ng :
2cos 2x  sin x không thể có nhân tử chung với (sin 2x cos 2x)cos x.
Do đó, cần tổ hợp lại các toán tử trong phơng trình, cụ thể:
(cos 2x.cos x 2cos 2x) + (sin2x.cosx  sin x) = 0
3


 (cos 2x.cos x  2cos 2x) + (2cos2x.sinx  sin x) = 0
 (cosx + 2)cos2x + (2cos2x – 1)sinx = 0
Tới đây, ta đà có đợc nhân tử chung là cos2x bởi 2cos2x 1 = cos2x.
lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:
(cos 2x.cos x  2cos 2x) + (sin2x.cosx  sin x) = 0
 (cosx + 2)cos2x + (2cos2x – 1)sinx = 0
 (cosx + 2)cos2x + sinx.cos2x = 0  (cosx + sinx + 2)cos2x = 0
 cosx  sin x  2 0 (v« nghiƯm)


 cos2x = 0  2x   k
 
2
 cos2x 0


 x   k , k .
4
2
Vậy, phơng trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:

1 sin x cos2x sin x 1
4

cosx.
1 tan x
2
Giải



Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu này (chứa tanx và

chứa ẩn ở mẫu) ta thực hiện thông qua các bớc sau:
Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình, cụ thể:
cosx 0
cosx 0
(*)

.

1 tan x 0
tan x 1
Tới đây, các em học sinh có thể dừng lại hoặc giải tiếp hệ điều kiện
đó tuỳ thuộc vào biến đổi nháp của bớc 2.
Bớc 2: Lựa chọn phép biến đổi lợng giác phù hợp để chuyển phơng trình
ban đầu về dạng phơng trình lợng giác cơ bản, từ đó nhận đợc
nghiệm cho phơng trình theo k .
Cụ thể, với phơng trình này chúng ta cần khử mẫu số và công việc
sẽ đợc bắt đầu bằng các đánh giá sau:
Với phơng trình hỗn hợp chứa sin, cos và tan (hoặc cot) thì
thông thờng ta cần chuyển đổi tan (hoặc cot) về dạng sin và cos,
ta có:
si n x cosx si n x
1  tan x 1 

.
cosx
cosx
 Víi ph¬ng trình chứa các hàm lợng giác của nhiều cung khác
nhau thì biến đổi tơng đơng về phơng trình chỉ chứa các hàm lợng giác của một cung, ta có:
1

sin  x     sin x  cosx .
4
2

Nh vậy, chúng ta đà nhận đợc phơng trình dạng:

(1)
sin x co s2x 0.
Và tới đây, các em häc sinh cã thĨ tiÕp tơc theo mét trong hai híng
biÕn ®ỉi:
4


Hớng 1: Sử dụng công thức góc nhân đôi biến đổi (1) về dạng phơng trình bậc hai theo một hàm số lợng giác, cụ thể:
2sin 2 x sin x 1 0.

Hớng 2: Sử dụng phơng trình lợng giác cơ bản, cụ thể:


co s2x sin x co s2x cos  x   .
2

C¸c em häc sinh cần lựa chọn hớng biến đổi để tối u cho bíc 3.
Bíc 3: KiĨm tra ®iỊu kiƯn, tõ ®ã kết luận về nghiệm của phơng trình.
lời giải chi tiết: §iỊu kiƯn:
cosx 0
cosx 0
 
.

1  tan x 0
tan x 1
Biến đổi phơng trình về dạng:

(*)

2 sin x    1  sin x  co s2x 
4

cosx
si n x
1
cosx
 sin x  cosx   1  sin x  cos2x   1  sin x  cos2x 1

1
cosx  sin x
 sin x  co s2x 0
2

(1)

2

 sin x  1  2sin x 0  2sin x  sin x  1 0


 sin x 1 (lo¹i)
 x  6  k2 
 
 
, k  .
 sin x  1
7


x  k2

2

6
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.


Chú ý: Một vài các em học sinh biến đổi phơng trình (1) nh sau:


cos2x  sin x  co s2x cos  x  
2





 2x x  2  k2 
 x  2  k2 
 
 
.
 2x  x    k2
 x    k 2


2
6

3
Nh vậy, vô tình sẽ phải thực hiện thêm việc kiểm tra điều kiện (*)
cho các trờng hợp k = 0, k = 1, k = 2.
VÝ dô 3:

Giải phơng trình:
sin2x cos2x + 3sinx cosx 1 = 0.
5


Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình sẽ đợc giải bằng cách

chuyển về dạng tích, và với định hớng này chúng ta cần tạo ra đợc nhân tử chung.
Nhận thấy rằng phơng trình cha có nhân tử chung đơn nên cần sử dụng một vài
phép biến đỏi dựa trên kinh nghiệm:
"Nếu phơng trình chứa các hàm lợng giác của nhiều cung khác nhau thì
biến đổi tơng đơng về phơng trình chỉ chứa các hàm lợng giác của một
cung".
Ta có:
2sinx.cosx (2cos2x 1) + 3sinx  cosx  1 = 0
 2sinx.cosx  2cos2x + 3sinx cosx = 0 Không khả thi.
hoặc:
2sinx.cosx  (1  2sin2x) + 3sinx  cosx  1 = 0
 2sinx.cosx + 2sin2x + 3sinx  cosx  2 = 0
 (2sinx.cosx  cosx) + 2sin2x + 3sinx  2 = 0
 (2sinx  1)cosx + (2sinx  1)(sinx + 2) = 0
Tới đây, ta đà có đợc nhân tử chung là 2sinx 1.
lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:
2sinx.cosx (1 2sin2x) + 3sinx  cosx  1 = 0

 (2sinx.cosx  cosx) + 2sin2x + 3sinx  2 = 0
 (2sinx  1)cosx + (2sinx  1)(sinx + 2) = 0
 (2sinx  1)(cosx + sinx + 2) = 0


1

 x  6  k2 
sin
x

 
 
, k  .
2

5

x   k2
 cosx  sin x  2 0 (vô nghiệm)

6
Vậy, phơng trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
1 2sin x cosx 3.
 1  2sin x   1  sin x

Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Chúng ta có đánh giá rằng TS và MS không có

nhân tử chung, do đó hớng đi duy nhất là nhân chéo hai vế để nhận đợc:
1 2sin x  cosx  3  1  2sin x   1  sin x 



 cosx  2sin x.cosx  3 1  2sin 2 x  sin x



 cosx  sin 2x  3  cos2x  sin x
Tới đây, dễ dàng đánh giá đợc rằng cần chia hai cung x và 2x về hai vế để
nhận đợc phơng trình có dạng tổng quát:
a.sin(kx) + b.cos(kx) = c.sin(lx) + d.cos(lx), víi a 2 + b2 = c2 + d2
và phơng pháp giải nó tơng tự cách 1 để giải phơng trình a.sinx + b.cosx = c
Tham khảo định hớng trong câu II.1 của đề toán khối D 2007.
Nh vậy, khi trình bày bài toán này các em học sinh cần thực hiện theo các bớc:
a. Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình.
(*)

6


b. Sử dụng biến đổi trên để giải phơng trình.
c. Kết hợp với điều kiện (*) để đa ra kết luận về nghiệm của phơng trình.
lời giải chi tiết: Điều kiÖn:
1

sin x 
(*)
2.

 1  2sin x   1  sin x  0 
sin x 1
Víi ®iỊu kiƯn (*) biến đổi tơng đơng phơng trình về dạng:
1  2sin x  cosx  3  1  2sin x   1  sin x 



 cosx  2sin x.cosx  3 1  2sin 2 x  sin x



 cosx  sin 2x  3  cos2x  sin x 
 cosx 


3 sin x  3 cos 2x  sin 2x





1
3
3
1
cosx 
sin x  cos 2x  sin 2x  co s  x   co s  2x  
3
6



2
2
2
2


 2x 
 
 2x 






x   2k
x   2k

6
3
2
, k  .
 



2

 x   2k

x 
k

6
3
18
3

KÕt hỵp víi (*), ta đợc nghiệm của phơng trình là x
Ví dụ 5:


2
, k .
k
18
3

Giải phơng trình:
sin x cos x.sin 2x  3 cos3x 2(cos 4x  sin 3 x).

 Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình đợc cho dới dạng hỗn

tạp, tức chúng ta cần các phép biến đổi dần, với các định hớng là:
Chuyển phơng trình về dạng chỉ chứa sinx (bởi trong phơng trình có chứa
sin3x), hớng này không khả thi bởi sẽ rất phức tạp với cos4x.
Nh vậy, cần hạ bậc sin3x và vì chúng ta không đợc cung cấp công thức hậc
bậc bậc ba nên cần ghép nó với một toán tử tơng ứng, ta có:

sin x  2sin x   cosx.sin 2x  3 cos3x 2 cos 4x
  1  2sin x  sin x  cosx.sin 2x  3 cos3x 2 cos 4x
3

2



B»ng việc sử dụng công thức góc nhân đôi, ta biến ®ỉi ®ỵc:



cos2x.sin x  cosx.sin 2x  3 cos3x 2 cos 4x
TiÕp theo, b»ng viƯc sư dơng c«ng thøc céng, ta đợc:



sin 3x 3 cos3x 2 cos 4x
Tới đây, chúng ta gặp một dạng phơng trình cơ bản đợc tỉng qu¸t:
a.sin x  b cosx  a 2  b 2 cos kx

7


hc a.sin x  b cosx  a 2  b 2 sin kx
và phơng pháp giải nó tơng tự cách 1 để giải phơng trình a.sinx + b.cosx = c
Tham khảo định hớng trong câu II.1 của đề toán khối D 2007. Cụ thể, ta
biến đổi tiếp:

1
3
sin 3x 
cos3x cos 4x  co s  3x  co s 4x.
6

2
2
lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:
sin x 2sin3 x cosx.sin 2x  3 cos3x 2 cos 4x





 1  2sin 2 x sin x  cosx.sin 2x  3 cos3x 2 cos 4x
 cos2x.sin x  cosx.sin 2x  3 cos3x 2cos 4x
 sin3x  3 cos3x 2 cos 4x 

1
3
sin 3x 
cos3x cos 4x
2
2



 co s  3x   co s 4x
6






 4x 3x  6  2k
 x  6  2k
, k  .
 
 
 4x  3x    2k
 x  k 2


6
42
7
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.
Ví dụ 6: Giải phơng trình:
3 cos5x 2sin 3x.cos2x sin x 0.

Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình đợc cho dới dạng hỗn

tạp, tức chúng ta cần các phép biến đổi dần, với các định hớng là:
Có hai toán tử đơn là cos5x và sinx nhng vì không có cùng hệ số nên không
thể kết hợp chúng lại đợc. Từ đó, dẫn tới việc cần biến đổi tích 2sin3x.cos2x
thành tổng, cụ thể phơng trình đợc đổi phơng trình về dạng:
3 cos5x (sin 5x  sin x)  sin x 0 



3 cos5x sin 5x 2sin x.

Tới đây, chúng ta gặp một dạng phơng trình cơ bản đợc tổng quát:
a.sin x  b cosx  a 2  b 2 cos kx

hc a.sin x  b cosx  a 2  b 2 sin kx
và phơng pháp giải nó tơng tự cách 1 để giải phơng trình a.sinx + b.cosx = c
Tham khảo định hớng trong câu II.1 của đề toán khối D 2007. Cụ thể, ta
biến đổi tiếp:


3
1

cos5x  sin 5x sin x  sin   5x  sin x.
3

2
2
8


lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:

3 cos5x  (sin 5x  sin x)  sin x 0 


3 cos5x  sin 5x 2sin x



3
1
cos5x  sin 5x sin x  sin   5x  sin x
3


2
2





 3  5x x  2k
 x 18  k 3
, k  .
 
 
   5x   x  2k
 x    k
3

6
2
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.
Ví dụ 7:

Giải phơng trình:
1 sin 2x co s2x
2 sin x.sin 2x.
1 co t 2 x

Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu nµy (chøa tanx vµ

chøa Èn ë mÉu) ta thùc hiƯn thông qua các bớc sau:
Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình, cụ thể:
sin x 0
x k, k .
(*)

2
1 co t x 0
Tới đây, các em học sinh có thể dừng lại hoặc giải tiếp hệ điều kiện
đó tuỳ thuộc vào biến đổi nháp của bớc 2.
Bớc 2: Lựa chọn phép biến đổi lợng giác phù hợp để chuyển phơng trình
ban đầu về dạng phơng trình lợng giác cơ bản, từ đó nhận đợc
nghiệm cho phơng trình theo k .
Cụ thể, với phơng trình này chúng ta cần khử mẫu số và công việc
sẽ đợc bắt đầu bằng việc sử dụng công thức cơ bản:
1
1 cot 2 x 2 .
sin x
Khi đó, bằng việc sử dụng thêm công thức sin2x = 2sinx.cosx
cho VP ta nhận đợc phơng trình dạng:
1  sin 2x  cos2x  sin 2 x 2 2 sin 2 x.cosx
Và vì điều kiện sinx 0, chúng ta nhận đợc phơng trình dạng:

(1)
1 sin 2x cos2x 2 2cos x.
Tới đây, các em học sinh cã thĨ tiÕp tơc theo mét trong hai híng
biÕn đổi dựa theo công thức góc nhân đôi:
Hớng 1: Ta cã:
(sin x  cosx)2  cos2 x  sin 2 x 2 2cosx
 (sin x  cosx)(sin x  cosx  cosx  sin x) 2 2cosx
 2(sin x  cosx)cosx 2 2cosx

9




 cosx  sin x 



2 cosx 0

Híng 2: Ta cã:
2 cos2 x  2sin x.cosx 2 2cosx
 cosx  sin x  2 cosx 0
Bíc 3: KiĨm tra ®iỊu kiện, từ đó kết luận về nghiệm của phơng trình.
lời giải chi tiết: Điều kiện:
sin x 0
x k, k .

2
1 co t x 0

Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng:
1  sin 2x  co s2x
 2 sin x.sin 2x
1
sin 2 x





(*)

  1  cos2x  sin 2x  sin 2 x 2 2 sin 2 x.cosx



sin x 0

 2 cos2 x  2sin x.cosx 2 2cosx  cosx  sin x 

 cosx  sin x 
 
 cosx 0

2 0



2 cosx 0


 



2 sin  x    2
sin  x   1


 
  
4
4

 cosx 0
 cosx 0

 



 x  4  2  k2 
 x  4  k2 
 
 
, k  .
 x   k
x k

2
2
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.
Ví dụ 8:

Giải phơng trình:
sin 2x 2cosx sin x 1
tan x 3

0.

Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác dạng

u(x)
0 ta luôn
v(x)

thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình, cụ thể ở đây ta cÇn cã:
co sx 0
(*)

tan x  3 0
Bíc 2: Biến đổi phơng trình về dạng:
u(x) = 0 sin2x + 2cosx  sinx  1 = 0.

10

Phơng trình này đợc giải bằng việc sử dụng công thức góc nhân đôi
(sin2x = 2sinx.cosx) để chuyển nó về d¹ng tÝch. Cơ thĨ:
2sinx.cosx + 2cosx  sinx  1 = 0.
 2(sinx + 1)cosx  (sinx + 1) = 0
 (sinx + 1)(2cosx  1) = 0...
Bíc 3: KiĨm tra ®iỊu kiƯn (*) råi kÕt ln vỊ nghiƯm cđa phơng trình.
lời giải chi tiết: Điều kiện:


x 2 k
co sx 0
(*)
 
, k  .

tan x  3 0
x k

3
Biến đổi phơng trình về dạng:
sin2x + 2cosx  sinx  1 = 0  2sinx.cosx + 2cosx  sinx  1 = 0
 2(sinx + 1)cosx  (sinx + 1) = 0  (sinx + 1)(2cosx  1) = 0
 sin x  1 loai do (*)
 sin x  1 0

 
 
 x   k2 , k  .
1


cosx 
3
 2cosx  1 0

2

Két hợp với (*) suy ra nghiệm của phơng trình là x k2 , k .
3
Ví dụ 9: Giải phơng trình
sin2x.cosx + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx.
Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu này ta thực hiện

việc biến đổi nó về dạng phơng trình tích bằng phép thư dÇn, cơ thĨ:
sin2x.cosx = 2sinx.cosx.cosx = 2cos2x.sinx = (1 + cos2x)sinx
= sinx + cos2x.sinx.
Khi đó, sẽ đơn giản đợc sinx ở hai vế của phơng trình và ta đợc:
cos2x.sinx + sinx.cosx = cos2x + cosx
 (sinx  1)cos2x + (sinx  1)cosx = 0  (sinx  1)(cos2x + cosx) = 0.
lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng:
2sinx.cos2x + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx
 (1 + cos2x)sinx + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx
 (sinx  1)cos2x + (sinx  1)cosx = 0  (sinx  1)(cos2x + cosx) = 0
 sin x  1 0
 sin x 1
 
 
 cos2x  cosx 0
 cos2x  cosx cos(   x)

11






 x  2  k2 
x


k2





x   k2 
2



2
2
 
, k  .
  2x   x  k2    x   k

3
3

 x    k 2
 2x    x  k2 



3
3
 x    k2 


VÝ dô 10:

Giải phơng trình:
3 sin 2x cos 2x 2cosx 1.

Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu này ta định hớng

biến đổi nó về dạng tích. Và ở đây với hai cung góc 2x và x nên ta sẽ sử dụng công
thức góc nhân đôi để chuyển phơng trình về dạng chỉ chứa cung x, cơ thĨ:
sin2x = 2sinx.cosx;
cos2x = 2cos2x  1 = 1 2sin2x = cos2x sin2x
Từ đặc thù của phơng trình là VP có chứa 1 nên ta chän cos2x = 2cos2x  1,
suy ra:
2 3 sin x.cosx  2cos 2 x  1 2cosx  1
 2 3 sin x.cos x  2co s2 x  2cosx 0 



3 sin x  cosx  1 cosx 0





3 sin x  cosx  1 cosx 0

 3 sin x  co sx 1
 
.
 cosx 0
lêi gi¶i chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:

3 sin 2x  cos2x  1  2cosx 0
 2 3 sin x.cos x  2co s2 x  2cosx 0 



 3
1
1
 3 sin x  co sx 1
sin x  cosx 
 
  2
2
2

 cosx 0
 cosx 0

 

2

 x  3  3  k2 
 x  3  k2 





cos  x   cos



 
3
3   x    k2    x k2 
, k  .


3
3

 cosx 0


 x  k
x k
2

2
Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 11:

12

Giải phơng trình:






2 cosx  3 sin x cosx cosx 

3 sin x 1.

Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu này ta định hớng

biến đổi nó về dạng phơng trình tích, cụ thể với phơng pháp luận hệ số:
2 cos2 x 2 3 sin x.cosx cosx 

3 sin x  1

2

 2 cos x  cosx  1  2 3 sin x.cosx  3 sin x 0

 (cosx  1)(2cosx  1) 3(2 cosx 1)sin x 0
Ta có đợc nhân tư chung (2cosx + 1).

 Chó ý: Víi viƯc sư dụng công thức góc nhân đôi, ta biến đổi:
2 cos2 x  2 3 sin x.cosx cosx 

3 sin x  1

2

 2 cos x  1  2 3 sin x.cosx cosx 
 cos2x  3 sin 2x cosx 

3 sin x

3 sin x

1
3
1
3
cos2x 
sin 2x  cosx 
sin x.
2
2
2
2
Đó là dạng mở rộng của phơng trình a.sinx + b.cosx = c thành phơng trình:
a.sinu + b.cosu = c.sinv + d.cosv, víi ®iỊu kiƯn a 2 + b2 = c2 + d2.

lời giải chi tiết: Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng:


2 cos2 x  2 3 sin x.cosx cosx  3 sin x  1
 2 cos2 x  cosx  1  2 3 sin x.cosx  3 sin x 0
 (cosx  1)(2cosx  1)  3(2 cosx  1)sin x 0
 (cosx  3 sin x  1)(2 cosx  1) 0



1
3
1
sin x 
 co sx 
 cosx  3 sin x 1
2
2 
 
 2
2cosx

1

0

1

 cosx  2




 x k2 
 x  3 3  k2
 
 
, k  .
 x 2  k2
x 2 k2

3

3
Vậy, phơng trình có ba hä nghiƯm.
Chó ý: Cịng cã thĨ biÕn ®ỉi b»ng cách thêm bớt nh sau:





2 cosx 3 sin x cosx  2 cos x  cosx 





 2 cosx  3 sin x  1 cosx  cosx 



 1

 cos  x  3   2




1
 cosx 

2

3 sin x  1
3 sin x  1

13


 (cosx  3 sin x  1)(2cosx  1) 0.
Cách 2: Biến đổi phơng trình về dạng:
2 cos2 x  2 3 sin x.cosx cosx 

3 sin x  1

2

 2 cos x  1  2 3 sin x.cosx cosx 
 cos2x  3 sin 2x cosx 

3 sin x

3 sin x

1
3
1
3
cos2x 
sin 2x  cosx 
sin x
2
2
2
2




 cos  2x   cos  x  
3
3






2



 2x  3 x  3  k2
 x  3  k2 
 
 
, k  .
 2x    x    k2 
 x k 2


3
3
3
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.
Ví dụ 12:

Giải phơng trình:
1

sin x

1

7

4sin
x .
3

4

sin x

2


Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Chúng ta đi đánh giá lần lợt:


7







VP 4sin
x  4sin  2   x  4sin    x   4sin   x 
4
 4



 4

4


 2 2  sin x  cos x  ,
1



1
1
1
sin x  cos x


.
co s x  VT 
sin x co s x sin x.cos x

3 

sin x

2

Tức cả hai vế sẽ có nhân tử chung là (sinx + cosx), điều đó khẳng định rằng
phơng trình sẽ đợc chuyển về dạng tích để giải. Và cụ thể chúng ta sẽ thực
hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình.
(*)
Bớc 2: Sử dụng các phép biến đổi nh trên để chuyển phơng trình về dạng tích:
(sinx + cosx).f(x) = 0 Nghiệm.
Bớc 3: Kết hợp với (*) để đa ra kết luận về nghiệm cho phơng trình.
lời giải chi tiết: §iỊu kiƯn:

14


sin x 0
sin x 0

 
3 
 
cos x 0
sin  x  2  0

 
 sin2x  0  2x k  x k


, k  .
2

BiÕn ®ỉi phơng trình về dạng:
1
1
sin x cos x



4sin   x  
 2 2  sin x  cos x 
sin x co s x

sin x.cos x
 4

 2

  sin x  cos x  
 2 2  0
 sin 2x



 x  4  k
 sin x  cos x 0
 ta n x  1






  x   k , k   .
1
1
 sin 2x 
 sin 2x 

8




2
2
5

 x  k

8
Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 13: Giải phơng trình:
sin3x cos3x sin x cosx 2cos 2x.

Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu này ta định hớng

sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và dó đó có hai cách nhóm:
Ta có đợc nhân tử chung (2cosx + 1).


Cách 1: Với các công thức sin a cosa  2 sin  a   ta nhãm:
4

sin 3x  cos3x   sin x  cosx   2co s2x




2 sin  3x    2 sin  x    2cos 2x
4
4








 sin  3x    sin  x   cos2x
4
4





Tíi đây bằng việc sử dụng công thức sin a sin b 2cos
xuất hiện nhân tử chung cos2x cho phơng trình, cụ thể:


2cos2x.sin x co s2x.
4

Cách 2: Với các công thức:

a b
a b
sẽ thấy
.sin
2
2

15


sin a  sin b 2co s

ta nhãm:

ab
a b
ab
a b
.sin
& cosa  cos b 2cos
.cos
2
2
2
2

 sin 3x  sin x    cos3x  cosx  

2cos2x

 2 cos2x.sin x 2cos2x.cosx 2cos2x
Với nhân tử chung cos2x phơng trình đợc biến đổi về dạng tích, cụ thể:
2(sin x  cosx)  1 cos2x 0.


lêi gi¶i chi tiÕt: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi phơng trình về dạng:
sin 3x cos3x  sin x  cosx   2co s2x




2 sin  3x   
4




2 sin  x    2cos 2x
4






 sin  3x    sin  x   cos2x
4
4








 2cos 2x.sin  x   cos2x   2sin  x   
4
4





1 co s2x 0


 



 x  4  6  k2 
 x  12  k2 
 
 1


sin  x   
 5
7


  
4  2  x    k2   x   k2  , k  .



4 6
12
 cos2x 0


 2x    k
 x   k 


2
4
2
VËy, phơng trình có ba họ nghiệm.
Cách 2: Biến đổi phơng trình về dạng:

sin 3x sin x  cos3x  cosx  

2cos2x

 2 cos2x.sin x  2cos2x.cosx  2cos2x
 2(sin x  cosx)cos2x  2cos2x





 2 2 sin  x   .co s2x  2cos2x   2sin  x   
4
4





16


1 co s2x 0



 



 x  4  6  k2 
 x  12  k2 
 
 1


sin  x   
 5
7


  
4  2  x    k2   x   k2  , k  .


4 6

12


 cos2x 0

 2x  k
x k


2
4
2
Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 14:

Giải phơng trình:
sin 3 x

3 cos3 x sin x.cos 2 x 

3 sin 2 x.cos x.

Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Chúng ta có thể lựa chọn một trong hai hớng

đánh giá sau:
Hớng 1: Dựa vào phơng pháp luận hệ số, chúng ta sẽ chia các toán tử trong phơng
trình thành hai phần, cơ thĨ:





3 cos3 x  3 sin 2 x.cos x   sin x.cos 2 x  sin 3 x 0.
Tới đây, bằng việc đạt nhân tử chung cho mỗi nhóm, cụ thể:
3 cos x(cos 2 x sin 2 x)  sin x(cos 2 x  sin 2 x) 0,
chóng ta thÊy xt hiƯn nh©n tư chung cho cả phơng trình là (cos 2 x sin 2 x) = cos2x,
ta đợc:
3 cos x sin x cos 2x 0.
Cách đánh giá trên, khẳng định rằng phơng trình sẽ đợc chuyển về dạng tích
để giải.
Hớng 2: Dế thấy các toán tử trong phơng trình để có bậc ba đối với sinx và cosx,
do đó nó đợc tổng quát:
a.sin3x + b.sin2x.cosx + c.sinx.cos2x + d.cos3x = 0.
(1)
ta thùc hiÖn theo c¸c bíc:

Bíc 1:
Víi cosx = 0  x =
+ k, k Z.
2
Khi đó phơng trình (1) có dạng:
a = 0.

- NÕu a = 0, th× (1) nhËn x =
+ k làm nghiệm.
2

- Nếu a 0, thì (1) không nhận x =

+ k làm nghiệm.
2

Bớc 2:
Với cosx 0  x 
+ k, k  Z.
2
Chia hai vÕ của phơng trình (1) cho cos3x 0, ta đợc
a.tan3x + b.tan2x + c.tanx + d = 0
Đặt t = tanx, phơng trình có dạng:
a.t3 + b.t2 + c.t + d = 0
(2)
Bớc 3:
Giải phơng trình (2) theo t.





17


Mở rộng: Phơng pháp giải trên đợc mở rộng cho phơng trình đẳng cấp bậc n đối
với sin và cos, đó là phơng trình có dạng:
n

a

k

sin n k x.cos k x = 0.

k 0

Tuy nhiên để linh hoạt, các em học sinh cần nhớ rằng vì sin 2x + cos2x = 1 nên
với các nhân tử có bậc k cũng đợc coi là có bậc k + 2l, do vậy chúng ta có dạng
mở rộng của phơng trình thuần nhÊt bËc ba nh sau:
a.sin3x + b.sin2x.cosx + c.sinx.cos2x + d.cos3x + (e.sinx + f.cosx) = 0
và phơng trình thuần nhÊt bËc bèn:
a.sin4x + b.sin3x.cosx + c.sin2x.cos2x + d.sinx.cos3x + e.cos4x +
+ f1sin2x + f2cos2x + g = 0.
lêi gi¶i chi tiết: Ta có thể trính bày theo hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi phơng trình về dạng:
3 cos3 x  3 sin 2 x.cos x  sin x.cos 2 x  sin 3 x 0

3 cos x(cos 2 x  sin 2 x)  sin x(cos 2 x  sin 2 x) 0



 3 cos x  sin x 0
3 cos x  sin x cos 2x 0  
 co s 2x 0




 x  3  k
 x  3  k
 tan x  3
, k  .

 
 
 



co
s
2x

0



2x   k
x  k


2
4
2
VËy, phơng trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: Vì cosx = 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế của
phơng trình cho cos3x 0, ta đợc:

ta n 3 x 3 ta n x
Đặt t = tanx, ta đợc:
t 3 3t 2 t 

3ta n 2 x.

3 0





2
 t(t 2  1)  3(t 2  1) 0  (t  1) t  3 0



 x 4  k
 t 1
 tan x 1
, k  .
 
 
 

t

3
tan
x


3



x  k

3
Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 15: Giải phơng trình:
2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx.
Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Chúng ta đi đánh giá lần lợt:

18


VT = 4sinx.cos2x + sin2x = (2cosx + 1)sin2x = VP.sin2x
Từ đó, suy ra phơng trình đợc giải bằng cách chuyển về dạng tích.
lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:
4sinx.cos2x + sin2x = 1 + 2cosx 2cosx(2sinx.cosx  1) + sin2x  1 = 0
 2cosx(sin2x  1) + sin2x  1 = 0  (2cosx + 1)(sin2x  1) = 0

2
2


1
x   k
x   k




cos x 
3
3
, k  .
 
 
2  





x   2k
x   k
 si n 2x 1


2
4
Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 16: Giải phơng trình:
1 sin 2 x cos x   1  co s 2 x  sin x 1 sin 2x.

Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Chúng ta đi đánh giá lần lợt:

VP = sin2x + cos2x + 2sinx.cosx = (sinx + cosx)2,

VT = (sinx + cosx) + sinx.cosx.(sinx + cosx),
tøc c¶ hai vÕ sẽ có nhân tử chung là (sinx + cosx), điều đó khẳng định rằng
phơng trình sẽ đợc chuyển về dạng tích để giải.
lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng:
(sinx + cosx) + (sin2x.cosx + sinx.cos2x) = sin2x + cos2x + 2sinx.cosx
 (sinx + cosx) + sinx.cosx.(sinx + cosx) = (sinx + cosx) 2,
 (sinx + cosx)(1 + sinx.cosx  sinx  cosx) = 0
 (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) = 0


 x  4  k
 sin x  cos x 0
 ta n x  1



  1  sin x 0
  sin x 1   x   2k , k   .

2
 1  co s x 0
 co s x 1
x 2k


Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 17: Giải phơng trình:
2sin22x + sin7x 1 = sinx.
Giải
Đánh giá và định hớng thực hiện: Chúng ta đi đánh giá lần lợt:

1 2sin22x = cos4x,
sin7x sinx = 2cos4x.sin3x,
tức cả hai vế sẽ có nhân tử chung là cos4x, điều đó khẳng định rằng phơng trình
sẽ đợc chuyển về dạng tích để giải.
lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:
19


2sin22x  1 + sin7x  sinx = 0  cos4x + 2cos4x.sin3x
 cos4x(2sin3x  1) = 0
 k



 x 8  4
 4x  2  k


 cos 4x 0

 2k


, k  .

 3x   2k
 x  
1



 sin 3x 
6
18
3



2
 x  5  2k
 3x 2k
6
18
3


Vậy, phơng trình có ba hä nghiÖm.

20