chương 4 phương trình vi phân

Trang 1
CHƯƠNG 4 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y
(n)
)= 0 trong đó
x là biến số độc lập, y là hàm số theo x , y’,y’’,…,y
(n)
là các đạo hàm của y .
• Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm.
• Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình.
4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
:
4.1.1 Khái niệm
:
1. Phương trình vi phân cấp 1
:
Phương trình vi là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0 .
Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có dạng y’= f(x,y) .
2.Nghiệm tổng quát
:
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ (x,C) thỏa
phương trình .
3. Nghiệm riêng
:
Nghiệm y = ϕ(x,C
0
) nhận được từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) ứng với
một giá trị cụ thể C = C
o
gọi là nghiệm riêng.
4.Tích phân tổng quát

: Trong một số trường hợp , ta không tìm được
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = ϕ(x,C) mà
tìm được hệ thức dưới dạng ẩn φ(x,y,C) = 0. Ta gọi đó là tích phân tồng quát
của
phương trình vi phân .
* Đồ thị của mỗi nghiệm y = ϕ (x,C) của phương trình vi phân gọi là
đường cong tích phân
của phương trình nầy.
* Nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) tương ứng với 1 họ đường cong tích phân
phụ thuộc tham số C.
* Nghiệm kỳ dị:

Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ họ nghiệm tổng
quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị .

4.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly
:
Trang 2
1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có
dạng:
f(x)dx = g(y)dy (1)
2. Cách giải
:
Lấy tích phân 2 vế của (1)
∫
∫
= dyygdxxf )()(
F(x) = G(y) + C
Ví Dụ
1 : Giải phương trình vi phân : xy’ + y = 0

Ví Dụ
2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy
4.1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp
:
1. Định nghĩa
:
Phương trình vi phân được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình
có dạng : y’ = f (
x
y
).
2. Cách giải
:
Đặt u =
x
y
<=> y = ux => y’ = u’x + u
Suy ra : f(u) = u + x .
dx
du
<=> x
dx
du
= f (u) - u
Nếu f (u) - u ≠ 0 ta có :
x
dx
=
uuf
du

−)(

Đây là phương trình biến số phân ly.

Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân y’ =
22
yx
xy
−

Ví Dụ2
: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ =
x
y
+ sin
x
y

với điều kiện ban đầu y (1) =
2
π


4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 :
Trang 3
1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có
dạng y’ + p(x).y = q(x) (1)
trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục .
2. Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1)
Bước 1

: Giải phương trình thuần nhất tương ứng
y’ + p(x)y = 0 (2)
Đây là phương trình biến số phân ly ,giả sử y = ϕ(x,C) là nghiệm tổng quát
của phương trình (2)
Bước 2
: Xem C là một hàm theo x ,tìm y’ rồi thay vào (1).Từ đó tìm ra C .

Ví dụ 1
: Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe
-x2
(1)
ĐS : y =
2
2
2
x
eK
x
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+

Ví Dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x

2
+1)y’+xy = 1 thỏa điều
kiện ban đầu y (0) = 2.
ĐS :y =
2
2
1
2) x 1 (x ln
x+
+++

4.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li)

1. Định Nghĩa
: Phương trình có dạng : y’ + p(x)y = q(x).
α
y
trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục,
α
∈R.
2. Cách giải
: • Nếu
α
= 0 hoặc
α
=1, phương trình trở thành phương trình
tuyến tính.
• Giả sử
α
≠ 0 và

α
≠1
Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y
∝
y
-∝
. y’ + p(x).y
1-∝
= q(x)
Đặt u = y
1-

α
suy ra u ’= (1-
α
) y
-
α
.y’. Phương trình trên trở thành :
u’+ (1-

α
) p(x) u = (1-
α
)q(x)
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với u.
Ví Dụ
: Giải phương trình vi phân : y’ +
42
yx

x
y
= (1)
ĐS :

y =
3
3
ln
1
x
K
x

Trang 4

4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 :
4.2.1- Khái niệm :
Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0
Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác :y’’= f(x,y,y’)
Nghiệm tổng quát : y =
ϕ
(x,C
1
,C
2
)
Nghiệm riêng :y =
ϕ
(x,

0
2
0
1
,CC ) với
0
2
0
1
,CC là các giá trị xác định của C
1
, C
2

Tích phân tổng quát : φ(x,y,C
2
,C
2
) = 0
4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)
Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng :
y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số)
Bước 1
: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = 0 (2)
Giải phương trình đặc trưng :
k
2
+ pk + q = 0 (3)

Ta có 3 trường hợp xảy ra :
* ∆= p
2
-4 q > 0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thực khác nhau k
1
và k
2

Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :



* ∆ = p
2
-4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k


Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :

y =
kx
e
(C
1
+C
2
x)
* ∆ = p
2
-4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp :

k
1
=
α
+
β
i và k
2
=
α
-
β
i
Nghiệm tổng quát của pt (2) là :


Ví Dụ 1
: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện
ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1.
Ví Dụ 2
: Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0
Ví Dụ 3
: Giải phương trình vi phân : y’’ - 2y’ + 5y = 0
y = C
1
xk
e
1
+C
2

xk
e
1

y =
x
e
α
(C
1
cos
β
x + C
2
sin
β
x)
Trang 5

Bước 2
: Phương trình vi phân không thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = f(x) (1)
Phương pháp giải
:
* Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng :
y’’+py’ +qy = 0 (2)
* Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1).
* Nghiệm tổng quát của pt (1) = nghiệm tổng quát của pt (2) + nghiệm riêng của
pt (1).
Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt :

1) f(x) =
x
e
α
P
n
(x).
a)Nếu
α
không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =
x
e
α
Q
n
(x)
b)Nếu
α
trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x
x
e
α
Q
n
(x)
c)Nếu
α
trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm

nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x
2
x
e
α
Q
n
(x)
Ví Dụ
1: Giải phương trình y’’ +3y’ -4y = x.
ĐS : y = C
1
e
x
+ C
2
e
-4x
-
4
1
x -
16
3

Ví Dụ
2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
y’’ –y’ = e
x
(x+1)

ĐS : y =(C
1
+ C
2
)e
3x
+
x
e
x
3
3
6

2) f(x) = P
m
(x) cos
β
x + P
n
(x) sin
β
x :
Nghiệm riêng của phương trình có dạng :
• y = Q
l
(x) cos
β
x + R
l

(x) sin
β
x nếu ± i
β
không trùng với nghiệm của pt
đặc trưng.
• y = x [ Q
l
(x) cos
β
x + R
l
(x) sin
β
x ] nếu ± i
β
trùng với nghiệm của pt đặc
trưng . ( l = max (m,n) )

Ví Dụ
: Giải phương trình :
a)y’’ + y’ = sin 2x
Trang 6
b)y’’+ y = xsinx