Chương 6 phương trình vi phân

Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

Chƣơng 6
I.

2009

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

Khái niệm

Dạng tổng quát:
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦

𝑛

=0

Với x là biến số, 𝑦 = 𝑦(𝑥) là hàm số phải tìm, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛 ) là các đạo hàm các
cấp của 𝑦 = 𝑦(𝑥).
Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình đó.
Ví dụ :
𝑦 ′′ + 𝑦 = 0
Là phương trình vi phân cấp 2 có nghiệm là 𝑦 = sin⁡ hoặc 𝑦 = 𝐶. sin⁡
(𝑥)
(𝑥)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n:
𝑦 (𝑛) + 𝑎1 𝑥 𝑦

𝑛−1

+ ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 = 𝑏(𝑥)

Trong đó 𝑎1 𝑥 , 𝑎2 𝑥 , … , 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑏(𝑥) là những hàm cho trước.

II.

Phƣơng trình vi phân cấp 1

1. Khái niệm
a. Dạng: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ = 0 (1) hoặc 𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦

(2)

Nếu từ (1) ta tìm được hàm số 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶) với 𝐶 là hằng số tùy ý thì 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶)
gọi là nghiệm tổng quát của (1).
Đơi khi ta khơng tìm được nghiệm tổng qt của (1) mà tìm được một hệ thức
dạng: Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶 = 0 nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn thì hệ thức này
gọi là tích phân tổng quát của (1).
Nếu cho 𝐶 trong nghiệm tổng quát của (1) một giá trị xác định 𝐶0 thì ta được
nghiệm riêng của (1), tức là 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶0 ) là nghiệm riêng của (1).
Tương tự nếu cho 𝐶 trong tích phân tổng quát của (1) một giá trị xác định 𝐶0 thì
ta được tích phân riêng của (1), tức là Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶0 = 0 là tích phân riêng của (1).
Nếu khi giải (1) có những nghiệm khơng nằm trong họ nghiệm tổng quát thì giọ là
nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai)
Ví dụ : Xét phương trình 𝑦 ′ − 𝑦𝑥 = 0 ⟺ 𝑦 ′ = 𝑦𝑥

1


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

𝑥2

2009

𝑥2

Ta thấy 𝑦 = 𝐶𝑒 2 là nghiệm tổng quát của phương trình, 𝑦 = −𝑒 2 là nghiệm
riêng.
𝑥2

Nếu ta biểu diễn nghiệm tổng quát dưới dạng hệ thức 𝑦 − 𝐶𝑒 2 = 0 thì ta được
𝑥2

tích phân tổng qt, cho 𝐶 = −1 thì ta có 𝑦 + 𝑒 2 = 0 là tích phân riêng.
b. Bài tốn Cauchy
Tìm nghiệm 𝑦 = 𝑦(𝑥) của phương trình 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
𝑦 𝑥0 = 𝑦0 với 𝑥0 , 𝑦0 cho trước ( 𝑦 𝑥=𝑥 0 = 𝑦0 )
Định lý 1.1
Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại lân cận điển (𝑥0 , 𝑦0 ) thì bài tốn Cauchy ln có
nghiệm. Hơn nữa nếu 𝑓 ′ 𝑦 (𝑥, 𝑦) liên tục tại lân cận điển (𝑥0 , 𝑦0 ) thì bài tốn
Cauchy tồn tại duy nhất nghiệm.

2. Phƣơng trình vi phân cấp một biến số phân ly
Là phương trình có thể tách rời mỗi biến một vế
a. Dạng 1:
𝑦′ = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑦

(2.1)

Phƣơng pháp giải

Nếu 𝑔 𝑦 ≠ 0 thì ta có
𝑑𝑦
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑔(𝑦)
Suy ra tích phân tổng quát :
𝑑𝑦
=
𝑔(𝑦)

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

Nếu 𝑔 𝑦 = 0 có nghiệm 𝑦 = 𝑏 thì 𝑦 = 𝑏 là nghiệm của phương trình
Ví dụ : Giải phương trình
𝑦 ′ = 𝑥(1 + 𝑦 2 )
Giải:
Chia 2 vế cho 1 + 𝑦 2 ta có

2


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

𝑑𝑦
= 𝑥𝑑𝑥
1 + 𝑦2
Suy ra tích phân tổng quát
𝑑𝑦
=

1 + 𝑦2

𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

𝑥2
⇔ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 =
+ 𝐶
2
b. Dạng 2 :
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 0

(2.2)

Phƣơng pháp giải
Ta có tích phân tổng quát :
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +

𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶

Ví dụ : Giải phương trình
cos 𝑦 . 𝑦 ′ = 𝑥
Giải.
cos 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥
Ta có tích phân tổng qt :
cos 𝑦 𝑑𝑦 =
𝑠𝑖𝑛𝑦 =

𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

𝑥2

+ 𝐶
2

c. Dạng 3 :
𝑓1 𝑥 𝑔1 (𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓2 𝑥 𝑔2 (𝑦)𝑑𝑦 = 0

(2.3)

Phƣơng pháp giải
Nếu 𝑓2 𝑥 𝑔1 𝑦 ≠ 0 chia 2 vế cho 𝑓2 𝑥 𝑔1 𝑦 ≠ 0 thì ta có :
𝑓1 𝑥
𝑔2 𝑦
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 = 0
𝑓2 𝑥
𝑔1 (𝑦)
Suy ra tích phân tổng quát :

3


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
𝑓1 𝑥
𝑑𝑥 +
𝑓2 𝑥

2009

𝑔2 𝑦
𝑑𝑦 = 𝐶

𝑔1 (𝑦)

Nếu từ 𝑔1 𝑦 = 0 ta có nghiệm 𝑦 = 𝑏 thì đây là nghiệm riêng của phương trình
Nếu từ 𝑓2 𝑥 = 0 ta có nghiệm 𝑥 = 𝑎 thì đây là nghiệm riêng của phương trình
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
𝑥 1 + 𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑦 1 + 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0
Giái
Chia 2 vế cho 1 + 𝑦 2 (1 + 𝑥 2 ) phương trình đã cho tương đương với :
𝑥
𝑦
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 = 0
2
1+ 𝑥
1 + 𝑦2
Tích phân tổng quát :
𝑥
𝑑𝑥 +
1 + 𝑥2
⇔

𝑦
𝑑𝑦 = 𝐶
1 + 𝑦2

1
1
𝑙𝑛 1 + 𝑥 2 + 𝑙𝑛 1 + 𝑦 2 = 𝐶
2
2

d. Dạng 4 :
𝑦 ′ = 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐

(2.4)

Phƣơng pháp giải
Nếu 𝑏 = 0 hoặc 𝑎 = 0 ta có dạng (2.1)
Nếu 𝑎𝑏 ≠ 0, đặt 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ta có :
𝑧 ′ = 𝑏𝑓 𝑧 + 𝑎
Đây là dạng (2.1)
Ví dụ : Giải phương trình
𝑦 ′ = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 1
Giải
Phương trình đã cho viết lại thành
𝑦 ′ = (𝑥 + 𝑦)2 − 1
Đặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ⇒ 𝑧 ′ = 1 + 𝑦 ′ = 1 + 𝑧 2 − 1

4


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

⇔ 𝑧′ = 𝑧2
Nếu 𝑧 ≠ 0 chia 2 vế cho 𝑧 2 ta có :
𝑑𝑧
= 𝑑𝑥
𝑧2

⇔

1
= −𝑥 + 𝐶
𝑧

⇔ 𝑧=

1
𝐶− 𝑥

Nghiệm tổng quát
𝑦=

1
− 𝑥
𝐶− 𝑥

Nếu 𝑧 = 0 ⇔ 𝑦 = −𝑥, đây là nghiệm kỳ di của phương trình.
3. Phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp 1
Dạng :
𝑦
𝑥

𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜑

(3.1)

Phƣơng pháp giải
Đặt 𝑢 =

𝑦
𝑥

suy ra 𝑦 = 𝑢𝑥 nên 𝑦 ′ = 𝑢 + 𝑢′𝑥, thay vao ta có:
𝑢′ 𝑥 = 𝜑 𝑢 − 𝑢

Nếu 𝜑 𝑢 − 𝑢 ≠ 0, ta có :
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝜑 𝑢 − 𝑢
𝑥
Suy ra tích phân tổng quát :
𝑑𝑢
=
𝜑 𝑢 − 𝑢

𝑑𝑥
+ 𝐶
𝑥

Nếu 𝜑 𝑢 − 𝑢 = 0 có nghiệm 𝑢 = 𝑎 thì 𝑦 = 𝑎𝑥 là nghiệm
Nếu Nếu 𝜑 𝑢 − 𝑢 ≡ 0 thì phương trình trở thành
𝑦′ =

𝑦
𝑥

Có nghiệm 𝑦 = 𝐶𝑥

Chú ý 1: Muốn kiểm tra phương trình 𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 có phải đẳng cấp cấp 1 không
5


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
ta có thể kiểm tra 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , ∀𝑡 thì cho 𝑡 =
𝑓 1,

𝑦
𝑥

1
𝑥

2009

ta có 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =

𝑦

= 𝜑( 𝑥 )

Ví dụ : Giải phương trình
𝑦′ =

𝑦
𝑦
+ 𝑒𝑥
𝑥

Giải
Đặt 𝑢 =

𝑦
𝑥

ta có 𝑦 = 𝑢𝑥 và 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 = 𝑢 + 𝑒 𝑢

Suy ra :
𝑢′ 𝑥 = 𝑒 𝑢
hay
𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥
𝑥

Tích phân 2 vế ta có :
𝐶 − 𝑒 −𝑢 = 𝑙𝑛𝑥
𝑦

⇔ 𝐶 = 𝑒 − 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥
Chú ý 2:
Phương trình
𝑦 ′ = 𝑓(

𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1
)
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2

Có thê đưa về dạng biến số phân ly

Trường hợp 1 :Nếu

𝑎1
𝑎2

𝑏1
≠ 0 thì đặt
𝑏2
𝑥= 𝑡+ 𝛼
𝑦= 𝑧+ 𝛽

Với 𝛼, 𝛽 là nghiệm của hệ

𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0
, khi đó :
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0
𝑑𝑧
𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
=
𝑑𝑡
𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑑𝑥

Thay vào ta có :

6

Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
𝑧 ′ = 𝑓(

2009

𝑎1 𝑡 + 𝑏1 𝑧
)
𝑎12 𝑡 + 𝑏2 𝑧

Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1.
Trường hợp 2 :Nếu

𝑎1
𝑎2

𝑏1
= 0 thì
𝑏2

𝑎1
𝑎2

=

𝑏1
𝑏2

= 𝑘 ta đặt :

𝑧 = 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦

Ta có :
𝑧 ′ = 𝑎2 + 𝑏2 𝑓(

𝑘𝑧 + 𝑐1
)
𝑧 + 𝑐2

Đây là phương trình biến số phân ly.
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
𝑥 + 𝑦 − 2 𝑑𝑥 − 𝑥 − 𝑦 + 4 𝑑𝑦 = 0
Giải
Nếu 𝑥 − 𝑦 + 4 ≠ 0 phương trình đã cho tương đương với :
𝑦′ =
Do 𝐷 =

𝑥+ 𝑦−2
𝑥− 𝑦+4

1 1
= −2 ≠ 0 nên giải hệ :
1 −1
𝑥+ 𝑦−2=0
𝛼 = −1
⇒
𝛽=3
𝑥− 𝑦+4=0

Đặt:
𝑡+ 𝑧
𝑥 = 𝑡−1

⇒ 𝑧′ =
𝑦 = 𝑧+3
𝑡− 𝑧
𝑧

Đặt 𝑢 = 𝑡 ta có 𝑧 = 𝑢𝑡 và
𝑧 ′ = 𝑢′ 𝑡 + 𝑢 =
⇔ 𝑢′ 𝑡 =
⇔

1+ 𝑢
1− 𝑢

𝑢2 + 1
1− 𝑢

1− 𝑢
𝑑𝑡
𝑑𝑢 =
1 + 𝑢2
𝑡

Lấy tích phân 2 vế
7


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
1− 𝑢
𝑑𝑢 =
1 + 𝑢2

2009

𝑑𝑡
+ 𝑙𝑛𝐶
𝑡

⇔ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 − 𝑙𝑛 1 + 𝑢2 = 𝑙𝑛(𝐶𝑡)
⇔ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 = 𝑙𝑛(𝐶𝑡 1 + 𝑢2 )
⇔ 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 = 𝐶𝑡 1 + 𝑢2
𝑧

Thay 𝑢 = 𝑡 ta có
𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑧
𝑡

𝑧2 + 𝑡2

= 𝐶

Thay 𝑧 = 𝑦 − 3 và 𝑡 = 𝑥 + 1 ta được tích phân tổng quát
𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑦 −3
𝑥+1

= 𝐶 (𝑦 − 3)2 + (𝑥 + 1)2

4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1
a. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất
Dạng :
𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0

(4.1)

Với 𝑝(𝑥) là hàm cho trước.
Phƣơng pháp giải
Có nghiệm tổng quát là
𝑦 = 𝐶𝑒 −

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

b. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất
Dạng :
𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥

4.2

Với p x , q(x) là các hàm cho trước.
Phƣơng pháp giải
Có nghiệm tổng quát là
y = 𝑒−

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

(𝐶 +

𝑒

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑞 𝑥 𝑑𝑥)

8


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Chú ý : Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 khơng
thuần nhất có thể viết
y = 𝐶𝑒 −

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

+ 𝑒−

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑒

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑦1 + 𝑦2

Với 𝑦1 là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất
tương ứng và 𝑦2 là nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

khơng thuần nhất tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số đối vơi 𝑦1 .
Ví dụ :Giải phương trình
𝑦
= 𝑥2
𝑥

𝑦′ −
Giải
y= 𝑒

1
𝑑𝑥
𝑥 (𝐶

+

y= 𝑥 𝐶+

𝑒−

1
𝑑𝑥
𝑥

𝑥 2 𝑑𝑥)

𝑥
𝑥𝑑𝑥 = 𝑥(𝐶 + )
2

5. Phƣơng trình Becnuly
Dạng
𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑦 𝛼

5.1

Phƣơng pháp giải
Nếu 𝛼 = 0 hoặc 𝛼 = 1 thì đây là phương trình tuyến tính
Nếu 𝛼 ≠ 0 và 𝛼 ≠ 1 bằng cách chia cả 2 vế cho 𝑦 𝛼 và đặt 𝑧 = 𝑦1−𝛼 ta có :
𝑧 ′ + 1 − 𝛼 𝑝 𝑥 𝑧 = 1 − 𝛼 𝑞(𝑥)
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
𝑦′ +

𝑦
= 𝑥2 𝑦4
𝑥

Giải
Chia 2 vế cho 𝑦 4 ta có
𝑦 −4 𝑦 ′ +

1 −3
𝑦 = 𝑥2
𝑥

Đặt 𝑧 = 𝑦 −3 ta có 𝑧 ′ = −3𝑦 −4 𝑦′, thay vào phương trình ta có :
9

Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
𝑧′ −

2009

3
𝑧 = −3𝑥 2
𝑥

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo 𝑧 nên có nghiệm tổng quát :
𝑧= 𝑒

3
𝑑𝑥
𝑥 (𝐶

𝑒−

−3

3
𝑑𝑥
𝑥

𝑥 2 𝑑𝑥)

⇔ 𝑧 = 𝐶𝑥 3 − 3𝑥 3 𝑙𝑛𝑥
⇔

1

= 𝐶𝑥 3 − 3𝑥 3 𝑙𝑛𝑥
3
𝑦

6. Phƣơng trình vi phân toàn phần
Dạng :
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

(6.1)

Với 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄(𝑥, 𝑦) là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong
miền D và thỏa mãn điều kiện :
𝜕𝑃(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥

(6.2)

Phƣơng pháp giải
Khi đó tích phân tổng quát có dạng :
𝑦

𝑥

𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 +
𝑥0

𝑄 𝑥0 , 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶

𝑦0

Hoặc
𝑦

𝑥

𝑃 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥 +
𝑥0

𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶
𝑦0

Với (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷
Ví dụ: Giải phương trình:
4𝑥𝑦 2 + 𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑥 2 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0
Giải
𝑃 = 4𝑥𝑦 2 + 𝑦, 𝑄 = 4𝑥 2 𝑦 + 𝑥
Do

10


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
𝜕𝑃(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)
=
= 8𝑥𝑦 + 1,
𝜕𝑦
𝜕𝑥

2009

∀(𝑥, 𝑦)

Nên đây là phương trình vi phân toàn phần, chọn 𝑥0 = 𝑦0 = 0 ta có tích phân
tổng qt
𝑦

𝑥

(4𝑥𝑦 2 + 𝑦) 𝑑𝑥 +
0

4. 02 𝑦 + 0 𝑑𝑦 = 𝐶
0

2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 = 𝐶
Chú ý :
Nếu điều kiện (6.2) không thỏa mãn thì 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 khơng phải là
vi phân tồn phần. Khi đó ta có thể tìm được hàm 𝑕(𝑥, 𝑦) sao cho phương trình
𝑕 𝑥, 𝑦 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑕 𝑥, 𝑦 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

(6.3)

Là phương trình vi phân tồn phần. Khi đó nghiệm tổng qt của (6.1) và (6.3) là
như nhau.
Hàm số 𝑕(𝑥, 𝑦) gọi là thừa số tích phân được tìm dựa vào đẳng thức
𝜕(𝑕𝑃)
𝜕(𝑕𝑄)

=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Nói chung, khơng có phương pháp tổng qt nào để tìm thừa số tích phân, ta chỉ
xét hai trương hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu
𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)
−
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 𝑔(𝑥)
𝑄(𝑥, 𝑦)
Thì thừa số tích phân
𝑕 𝑥, 𝑦 = 𝑕 𝑥 = 𝑒

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Trường hợp 2: Nếu
𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)
−
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 𝑔(𝑦)
𝑃(𝑥, 𝑦)
Thì thừa số tích phân
𝑕 𝑥, 𝑦 = 𝑕 𝑦 = 𝑒 −

𝑔 𝑦 𝑑𝑦

11

Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Ví dụ: Giải phương trình:
𝑦𝑑𝑥 − 4𝑥 2 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0
Giải
𝑃 = 𝑦, 𝑄 = − 4𝑥 2 𝑦 + 𝑥 ⇒

𝜕𝑃(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)
=1≠
= −8𝑥𝑦 − 1
𝜕𝑦
𝜕𝑥

Do
𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)
−
2
𝜕𝑦
𝜕𝑥
=−
𝑄(𝑥, 𝑦)
𝑥
Nên

ta

𝑕 𝑥, 𝑦 = 𝑕 𝑥 =

tìm
2
𝑒 − 𝑥 𝑑𝑥

=

1
𝑥2

Phương trình đã cho có cùng nghiệm tổng qt với phương trình
𝑦
1
𝑑𝑥 − 4𝑦 +
𝑑𝑦 = 0
2
𝑥
𝑥
Đây là phươg trình toàn phần, lấy x0 = 1, y0 = 0 ta có tích phân tổng qt:
𝑥
1

0
𝑑𝑥 −
𝑥2

𝑦

4𝑦 +

0

2𝑦 2 +

1
𝑑𝑦 = 𝐶
𝑥

𝑦
= 𝐶
𝑥

7. Phƣơng trình Clairaut
Dạng :
𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 𝑓 𝑦 ′

(7.1)

Trong đó 𝑓 là một hàm khả vi
Phƣơng pháp giải
Đặt 𝑦 ′ = 𝑡 ta có 𝑦 = 𝑥𝑡 + 𝑓(𝑡). Lấy đạo hàm 2 vế đối với biến 𝑥 ta có :
𝑦′ = 𝑡 + 𝑥

𝜕𝑡
𝜕𝑡
+ 𝑓′ 𝑡
= 𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥

Hay
𝑥 + 𝑓′ 𝑡

𝜕𝑡
=0
𝜕𝑥
12


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Suy ra :
Nếu

𝜕𝑡
𝜕𝑥

= 0 thì 𝑡 = 𝐶 nên nghiêm tổng quát là
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝑓(𝐶)

Nếu 𝑥 = −𝑓 ′ (𝑡) thì 𝑦 = −𝑡𝑓 ′ 𝑡 + 𝑓(𝑡) ta có nghiệm kỳ dị cho dưới dạng tham số:
𝑥 = −𝑓 ′ (𝑡)
𝑦 = −𝑡𝑓 ′ 𝑡 + 𝑓(𝑡)
Ví dụ: Giải phương trình
1
𝑦 = 𝑥𝑦 ′ − (𝑦′)2
4
Giải

1

Đây là phương trình Clairaut với 𝑓 𝑦 ′ = 4 (𝑦 ′ )2 . Thực hiện như trên ta có nghiệm
tổng quát là
𝑦 = 𝐶𝑥 −

1 2
𝐶
4

Và nghiệm kỳ dị là :
𝑦 = 𝑡𝑥 −
𝑥=

1 2
𝑡
4

1
𝑡
2

8. Phƣơng trình Lagrange
Dạng:
𝑦 = 𝑥𝑔 𝑦 ′ + 𝑓 𝑦 ′

(8.1)

Trong đó 𝑔, 𝑓 là các hàm khả vi.
Phƣơng pháp giải

Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có𝑦 = 𝑥𝑔 𝑡 + 𝑓(𝑡), lấy đạo hàm 2 vế theo 𝑥 ta có:
𝑦 ′ = 𝑔 𝑡 + 𝑥𝑔′ 𝑡

𝜕𝑡
𝜕𝑡
+ 𝑓′ 𝑡
= 𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥

Suy ra:
𝑔 𝑡 − 𝑡

𝜕𝑥
+ 𝑥𝑔′ 𝑡 = −𝑓 ′ (𝑡)
𝜕𝑡
13


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1theo hàm 𝑥, giải phương trình trên
ta có
𝑥 = 𝜑(𝑡, 𝐶)
Suy ra nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số:
𝑥 = 𝜑(𝑡, 𝐶)
𝑦 = 𝜑(𝑡, 𝐶)𝑔 𝑡 + 𝑓(𝑡)
Ví dụ: Giải phương trình

𝑦 = 𝑥𝑦′2 + 𝑦′2
Giải
Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = 𝑥𝑡 2 + 𝑡 2 , lấy đạo hàm 2 vế ta có :
𝑦 ′ = 𝑡 2 + 2𝑥𝑡

𝜕𝑡
𝜕𝑡
+ 2𝑡
= 𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥

Hay
𝑡2 − 𝑡

𝜕𝑥
+ 2𝑥𝑡 = −2𝑡
𝜕𝑡

Nếu 𝑡 2 − 𝑡 ≠ 0, chia 2 vê cho 𝑡 2 − 𝑡 ta có :
𝜕𝑥
2
2
+
𝑥=
𝜕𝑡 𝑡 − 1
1− 𝑡
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 nên có nghiệm tổng quát :
𝑥 = 𝑒−

2
𝑑𝑡
𝑡−1 (𝐶

𝑥=

+

𝑒

2
𝑑𝑡
𝑡−1

2
𝑑𝑡)
1− 𝑡

𝐶
(𝑡 − 1)2

Suy ra nghiệm tổng quát dưới dạng tham số :
𝐶
(𝑡 − 1)2
𝐶
𝑦=
𝑡2 + 𝑡2
2
(𝑡 − 1)
𝑥=

9. Một số dạng khác
a. Dạng 𝑥 = 𝜑 𝑦 ′

(9.1)

Phƣơng pháp giải

14


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
Đặt 𝑡 = 𝑦 ′ =

𝑑𝑦
𝑑𝑥

2009

khi đó ta có 𝑥 = 𝜑(𝑡) nên 𝑑𝑥 = 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡

Suy ra 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 = 𝑡𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡
Nên 𝑦 =

𝑡𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶

Vậy nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số
𝑥= 𝜑 𝑡
𝑡𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶

𝑦=
Ví dụ: Giải phương trình:

𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦 ′ + 𝑐𝑜𝑠𝑦′
Giải
Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 nên 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡, suy ra
𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡
𝑦=

𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡

𝑦 = 𝑡 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑡 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝐶
Vậy nghiệm tổng quát là
𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝑡 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑡 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝐶
b. Dạng 𝑦 = 𝜑 𝑦 ′

(9.2)

Phƣơng pháp giải
Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = 𝜑(𝑡) nên 𝑑𝑦 = 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡. Mặt khác
𝑑𝑥 =

𝑑𝑦
𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡
=
𝑡
𝑡

𝑥=

𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡
+ 𝐶
𝑡

Suy ra

Vậy nghiêm tổng quát tìm được dưới dạng tham số
𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡
𝑥=
+ 𝐶
𝑡
𝑦 = 𝜑(𝑡)
15


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Ví dụ: Giải phương trình:
(𝑦 ′ )2
𝑦 = 𝑦′
𝑒
Giải
Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 =
Nên 𝑑𝑥 =

𝑑𝑦
𝑡

𝑡2
𝑒𝑡

suy ra 𝑑𝑦 = 2𝑡𝑒 −𝑡 − 𝑡 2 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡

= 2 − 𝑡 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡

Suy ra
𝑥=

2 − 𝑡 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑡 − 1 𝑒 −𝑡 + 𝐶

Vậy nghiệm tổng quát là
𝑥 = 𝑡 − 1 𝑒 −𝑡 + 𝐶
𝑡2
𝑦= 𝑡
𝑒

III.

Phƣơng trình vi phân cấp 2

1. Khái niệm
Dạng: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦′′ = 0 (3) hoặc 𝑦′′ = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦′

(4)

Nếu từ (3) ta tìm được hàm số 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 ) với 𝐶1 , 𝐶2 là hằng số tùy ý thì
𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 ) gọi là nghiệm tổng qt của (3).

Đơi khi ta khơng tìm được nghiệm tổng quát của (3) mà tìm được một hệ thức
dạng: Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶1 , 𝐶2 = 0 nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn thì hệ thức
này gọi là tích phân tổng quát của (3).
Nếu cho 𝐶1 , 𝐶2 trong nghiệm tổng quát của (3) một giá trị xác định 𝑎, 𝑏 thì ta được
nghiệm riêng của (3), tức là 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑎, 𝑏) là nghiệm riêng của (3).
Tương tự nếu cho 𝐶1 , 𝐶2 trong tích phân tổng quát của (3) một giá trị xác định 𝑎, 𝑏
thì ta được tích phân riêng của (3), tức là Φ 𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏 = 0 là tích phân riêng của
(3).
Nếu khi giải (3) có những nghiệm khơng nằm trong họ nghiệm tổng quát thì giọ là
nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai).
2. Các phƣơng trình vi phân cấp 2 giải đƣợc bằng phƣơng pháp hạ cấp
a. Dạng:
𝑦 ′′ = 𝑓 𝑥

(2.1)
16


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Phƣơng pháp giải
Lấy tích phân 2 lần liên tiếp ta có nghiệm tổng quát
𝑦=

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶1

𝑑𝑥 + 𝐶

Ví dụ: Giải phương trình:
𝑦 ′′ = 𝑥 2 + 𝑥𝑒 𝑥 + 1
Giải
(𝑥 2 + 𝑥𝑒 𝑥 + 1)𝑑𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 + 𝐶

𝑦=
𝑦=

𝑥4
𝑥2
+ + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2
12 2

b. Dạng
𝑦 ′′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 ′

(2.2)

Phƣơng pháp giải
Đặt 𝑧 = 𝑦′, phương trình đã cho được đưa về dạng:
𝑧 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑧)
Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình này ta tìm được 𝑧 rồi từ đó
tìm được 𝑦.
Ví dụ: Giải phương trình:
𝑦 ′′ = 𝑥 −

𝑦′
𝑥

𝑧′ = 𝑥 −

𝑧
𝑥

Giải
Đặt 𝑧 = 𝑦′ ta có:

⇔ 𝑧′ +

𝑧
= 𝑥
𝑥

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 nên có nghiệm tổng qt :
𝑧 = 𝑒−

1
𝑑𝑥
𝑥

𝐶1 +

𝑒

1
𝑑𝑥
𝑥

𝑥𝑑𝑥 =

𝑥2
𝐶1
+
3
𝑥

17


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Do đó :
𝑥2
𝐶1
𝑦 =
+
3
𝑥
′

Nên :
𝑦=

(

𝑥2
𝐶1
𝑥3

+ )𝑑𝑥 + 𝐶2 =
+ 𝐶1 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶2
3
𝑥
9

c. Dạng
𝑦 ′′ = 𝑓 𝑦, 𝑦 ′

(2.3)

Phƣơng pháp giải
Đặt 𝑦 ′ = 𝑡, coi 𝑦 là biến của hàm 𝑡, tức là 𝑡 = 𝑡(𝑦), ta có :
𝑑𝑦 ′
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑦
𝑦 =
=
=
= 𝑡 ′ . 𝑡 = 𝑓(𝑦, 𝑡)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
′′

Suy ra :
𝑡′ =

𝑓 𝑦, 𝑡
𝑡

Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải đươc ra 𝑡 rồi từ đó tìm được 𝑦
Ví dụ : Giải phương trình :
𝑦𝑦 ′′ − 𝑦′2 = 0
Giải
Đặt 𝑦 ′ = 𝑡 suy ra𝑦 ′′ = 𝑡 ′ 𝑡, thay vào ta có:
𝑦𝑡′𝑡 − 𝑡 2 = 0
⇔ 𝑦𝑡 ′ 𝑡 = 𝑡 2
Nếu 𝑡 = 0 ⇒ 𝑦 = 𝐶1
Nếu 𝑡 ≠ 0
𝑑𝑡
𝑑𝑦
=
𝑡
𝑦
Lấy tích phân 2 vế ta có:

18


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
𝑑𝑡
=
𝑡

2009

𝑑𝑦
𝑦

𝑡 = 𝐶1 𝑦
Ta có
𝑦 ′ = 𝐶1 𝑦
𝑑𝑦
= 𝐶1 𝑑𝑥
𝑦
Lấy tích phân ta có:
𝑑𝑦
= 𝐶1
𝑦

𝑑𝑥 + 𝑙𝑛𝐶2

𝑦 = 𝐶2 𝑒 𝐶1 𝑥
d. Phƣơng trình vi phân cấp 2 đẳng cấp đối với hàm phải tìm và các đạo
hàm của nó
Dạng :
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ = 0

(2.4)

Trong đó 𝐹 là hàm đẳng cấp cấp m đối với 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , tức là
𝐹 𝑥, 𝑡𝑦, 𝑡𝑦 ′ , 𝑡𝑦 ′′ = 𝑡

𝑚

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Phƣơng pháp giải
Đặt 𝑦 ′ = 𝑦𝑧 với 𝑧 là hàm của 𝑥, ta có :

𝑦 ′′ = 𝑦 ′ 𝑧 + 𝑦𝑧 ′ = 𝑦𝑧 2 + 𝑦𝑧 ′ = 𝑦(𝑧 2 + 𝑧 ′ )
Thay vào ta có :
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦𝑧, 𝑦 𝑧 2 + 𝑧 ′ )
⇔ 𝑦

𝑚

𝐹 𝑥, 1, 𝑧, 𝑧 2 + 𝑧 ′ = 0

⇔ 𝐹 𝑥, 1, 𝑧, 𝑧 2 + 𝑧 ′ = 0
Đây là phương trình vi phân cấp 1.
Ví dụ : Giải phương trình
3𝑦′2 = 4𝑦𝑦 ′′ + 𝑦 2
Giải
19


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Đặt 𝑦 ′ = 𝑦𝑧 với 𝑧 là hàm của 𝑥, ta có :
𝑦 ′′ = 𝑦 ′ 𝑧 + 𝑦𝑧 ′ = 𝑦𝑧 2 + 𝑦𝑧 ′ = 𝑦(𝑧 2 + 𝑧 ′ )
Thay vào ta có :
3𝑦 2 𝑧 2 = 4𝑦 2 (𝑧 2 + 𝑧 ′ + 1)
Nếu 𝑦 ≠ 0 ta có :
𝑧′ = −
⇔

𝑧2 + 1

4

𝑑𝑧
𝑑𝑥
=−
𝑧2 + 1
4

Lấy tích phân 2 vế ta có :
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 = −𝑥 + 𝐶1
⇒ 𝑧 = 𝑡𝑔(𝐶1 − 𝑥)
⇔
⇔

𝑑𝑦
=
𝑦

𝑦′
= 𝑡𝑔(𝐶1 − 𝑥)
𝑦
𝑡𝑔(𝐶1 − 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑙𝑛𝐶2

⇔ 𝑙𝑛𝑦 = 4𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠 𝐶1 − 𝑥 + 𝑙𝑛𝐶2
𝑦 = 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 4 𝐶1 − 𝑥
3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2
a. Định nghĩa
Dạng :
𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥

(5)

Trong đó 𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥), 𝑓(𝑥)là các hàm liên tục
Nếu 𝑓(𝑥) ≡ 0 thì phương trình
𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0

(6)

Là phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất, ngược lại gọi là phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
Nếu 𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥) là các hằng số thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
với hệ số hằng.

20


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

b. Các định lý về cấu trúc nghiệm
Định lý 1 :
Nếu 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 (𝑥) là 2 nghiệm của (6) thì 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 cũng là nghiệm của
(6), hơn nữa nếu 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 (𝑥) độc lập tuyến tính (𝑦1 𝑥 /𝑦2 (𝑥) ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) thì
𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 là nghiệm tổng quát của (6).
Định lý 2 :
Nếu đã biêt một nghiêm riêng 𝑦1 (𝑥) ≢ 0 của (6) thì nghiệm riêng 𝑦2 (𝑥) khác của
(6) tìm được bằng cách đặt 𝑦2 𝑥 = 𝑦1 𝑥 𝑢(𝑥)
Chú ý : Sử dung công thức Liouville ta có :
𝑦2 𝑥 = 𝑦1 (𝑥)

𝑒−

𝑎 1 𝑥 𝑑𝑥
2
𝑦1

𝑑𝑥

Định lý 3
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 khơng thuần nhất
(5) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cộng với nghiệm riêng của (5).
Định lý 4 (nguyên lý chồng chất nghiệm)
Nếu 𝑦𝑖 là nghiệm riêng của phương trình 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓𝑖 𝑥
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦 𝑚 là nghiệm riêng của phương trình :

thì

𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑚 𝑥
Định lý 5 (Phƣơng pháp biến thiên hàng số Lagrange)
Nếu 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 (𝑥) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (6) thì phương trình (4)
nghiệm riêng dạng 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 (𝑥), trong đó 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 (𝑥) là các hàm thỏa
mãn :
𝐶 ′ 1 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝐶 ′ 2 𝑥 𝑦2 𝑥 = 0
𝐶 ′ 1 𝑥 𝑦′1 𝑥 + 𝐶 ′ 2 𝑥 𝑦′2 𝑥 = 𝑓(𝑥)
Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
𝑥 2 + 1 𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = 0
Biết một nghiệm riêng 𝑦1 = 𝑥.
Giải
Theo cơng thức Liouville, ta tìm nghiệm riêng 𝑦2 độc lập tuyến tính với 𝑦1 bằng

cách đặt

21


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

𝑦2 𝑥 = 𝑥

2𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 +1

𝑒

𝑥2

2009

𝑥2 + 1
1
𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥 −
= 𝑥2 − 1
2
𝑥
𝑥

𝑑𝑥 = 𝑥

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (𝑥 2 − 1)
Ví dụ : Giải phương trình :
𝑥 2 𝑙𝑛𝑥 − 1 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 0
Biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng 𝑦1 = 𝑥 𝛼 .
Giải
Để tìm 𝛼 ta tính 𝑦′1 = 𝛼𝑥 𝛼 −1 , 𝑦′′1 = 𝛼(𝛼 − 1)𝑥 𝛼 −2 , thay vào phương trình đã cho
ta có :
𝑥 2 𝑙𝑛𝑥 − 1 𝛼(𝛼 − 1)𝑥 𝛼 −2 − 𝑥𝛼𝑥 𝛼 −1 + 𝑥 𝛼 = 0
𝑥 𝛼 𝛼 𝛼 − 1 𝑙𝑛𝑥 + 1 − 𝛼 2 = 0, ∀𝑥
𝛼 𝛼−1 = 0
⇒ 𝛼=1
1 − 𝛼2 = 0
Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho là 𝑦1 = 𝑥. Theo cơng thức Liouville ta
có nghiệm riêng thứ 2 :
𝑦2 = 𝑥

𝑒

𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 𝑙𝑛𝑥 −1

𝑥2
𝑦2 = −𝑥

𝑑𝑥 = 𝑥

𝑙𝑛𝑥 − 1
𝑑𝑥 = −𝑥
𝑥2

1
𝑙𝑛𝑥 − 1 + 𝑥
𝑥

1
𝑙𝑛𝑥 − 1 𝑑( )
𝑥

1
𝑑𝑥 = −𝑙𝑛𝑥
𝑥2

Vậy nghiệm tổng quát là
𝑦 = 𝐶1 𝑥 − 𝐶2 𝑙𝑛𝑥
Ví dụ : Giải phương trình :
𝑦 ′′ −

𝑦′
= 𝑥
𝑥

Giải
Xét phương trình thuần nhất tương ứng :
𝑦 ′′ −

𝑦′
=0
𝑥

22


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Ta thấy 𝑦1 = 1à một nghiệm riêng, theo công thức Liouville ta có nghiệm riêng
thứ 2 là :
𝑦2 =

𝑒

1
𝑑𝑥
𝑥

𝑑𝑥 = 𝑥 2

Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng qt là :
𝐶1 + 𝐶2 𝑥 2
Bây giờ ta tìm nghiệm riêng 𝑦 của phương trình
𝑦 ′′ −

𝑦′
= 𝑥
𝑥

Bằng cách đặt 𝑦 = 𝐶1 (𝑥) + 𝐶2 (𝑥)𝑥 2
Trong đó 𝐶1 , 𝐶2 thỏa mãn hệ :

𝐶′ 1 𝑥 1 + 𝐶′ 2 𝑥 𝑥2 = 0
⇒
𝐶 ′ 2 𝑥 2𝑥 = 𝑥
1

1

1 2
𝑥
2 ⇒
1
𝑥 =
2

𝐶′ 1 𝑥 = −
𝐶′ 2

1 3
𝑥
6
1
𝑥 = 𝑥
2

𝐶1 𝑥 = −
𝐶2

1

Nên 𝑦 = − 6 𝑥 3 + 2 𝑥𝑥 2 = 3 𝑥 3

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho bằng tổng nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng cộng với nghiệm riêng của nó:
𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 2 +

1 3
𝑥
3

c. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
Dạng tổng quát:
𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑓 𝑥

(3.1)

Với 𝑎1 , 𝑎0 là các hằng số.
Phƣơng pháp giải
Bƣớc 1: ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng
𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0

(3.2)

Bƣớc 2: ta tìm một nghiệm riêng của phương trình (3.1) đã cho.
Bƣớc 3: nghiệm tổng quát của phương trình đã cho bằng tổng của nghiệm tổng
quát của phương trình (3.2) với nghiệm riêng của nó.

23


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

Giải phƣơng trình tuyến tính thuần nhất (3.2)
Xét phƣơng trình đặc trƣng:
𝑘 2 + 𝑎1 𝑘 + 𝑎0 = 0

(3.3)

Nếu phƣơng trình có:


Hai nghiệm phân biệt 𝑘1 ≠ 𝑘2 thì nghiệm tổng quát của (3.2) là:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑘 1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑘 2 𝑥



Có nghiệm kép 𝑘0 thì nghiệm tổng quát của (3.2) là:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑘 0 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑘 0 𝑥



Có nghiệm phức: 𝛼 ± 𝑖𝛽 thì nghiệm tổng quát của (3.2) là:
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝛽𝑥 )

Ví dụ: Giải phương trình:
𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 0
Giải
Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng
nên có phương trình đặc trưng:
𝑘 2 − 3𝑘 + 2 = 0 ⇒

𝑘=1
𝑘=2

Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng qt là:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥
Ví dụ: Giải phương trình:
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0
Giải
Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng
nên có phương trình đặc trưng:
𝑘 2 − 2𝑘 + 1 = 0 ⇒ 𝑘 = 1
Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥
Ví dụ: Giải phương trình:
24


Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti

2009

𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0
Giải
Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng
nên có phương trình đặc trưng:
𝑘 2 + 2𝑘 + 5 = 0 ⇒

𝑘 = −1 − 2𝑖
𝑘 = −1 + 2𝑖

Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là:
𝑦 = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 )
Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình tuyến tính khơng thuần nhất (3.1)
- Phương pháp chung là dựa vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất tương ứng rồi sử dung phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để tìm
nghiệm riêng, tuy nhiên trong vài trường hợp đặc biệt của hàm 𝑓(𝑥) (ở vế phải) ta có
thể tìm nghiệm riêng một cách đơn giản hơn
Trƣờng hợp 𝒇 𝒙 = 𝒆 𝜶𝒙 𝑷(𝒙), với 𝑷(𝒙) là đa thức bậc n.


Nếu 𝛼 không là nghiệm của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng
của (3.1) dưới dạng:
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑄(𝑥)

Với 𝑄(𝑥) là đa thức bậc n chưa biết, để tìm 𝑄(𝑥) ta thay 𝑦 vào phương trình (3.1) rồi
đồng nhất hệ số sẽ tìm được các hệ số của 𝑄(𝑥).


Nếu 𝛼 là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng
của (3.1) dưới dạng:
𝑦 = 𝑥𝑒 𝛼𝑥 𝑄(𝑥)



Nếu 𝛼 là nghiệm kép của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng
của (3.1) dưới dạng:
𝑦 = 𝑥 2 𝑒 𝛼𝑥 𝑄(𝑥)

Ví dụ: Giải phương trình:

𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 1 + 𝑥
Giải
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình trình thuần nhất
Xét phương trình đặc trưng:

25