chương 5 phép tính tích phân hàm nhiều biến

1
CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

5.1.1. Tích phân kép
5.1.1. Khái niệm tích phân kép
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng, bị chặn D.
 Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ có diện tích
),1( niS
i

 Trong mỗi mảnh, lấy 1 điểm tùy ý M
i
(x
i
,y
i
) ),1( ni 
 Tổng I
n
=
i
n
i
ii
Syxf 


),(
1
được gọi là TỔNG TÍCH PHÂN của hàm số

f(x,y) trong miền D.
 Nếu
n
d
I
0
lim

tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy
điểm M
i
trong mỗi mảnh thì nó được gọi là TÍCH PHÂN KÉP của hàm số
f(x,y) trong miền D và ký hiệu:

I =

D
dSyxf ),(
o D : miền lấy tích phân
o f(x,y) : hàm dưới dấu tích phân
o dS : yếu tố diện tích
Ghi chú
:
 Tích phân kép tồn tại thì hàm số f(x,y) gọi là khả tích trên miền D.
 Nếu chia miền D bằng 2 họ đường thẳng song song với các trục tọa độ
thì dS = dxdy nên :



I =


D
dxdyyxf ),(


2. Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị đóng và bị chặn D thì f(x,y)
khả tích trên miền D
3. Tính chất:
(1)
  

DDD
dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()],(),([

(2)
 

DD
dxdyyxfkdxdyyxkf ),(),(
(3) Nếu D có thể chia thành 2 miền D
1
và D
2
thì :
2

 

12
),(),(),(

DDD
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf
(4) Nếu f(x,y)  g(x,y) ,
Dyx


),( thì
 

DD
dxdyyxgdxdyyxf ),(),(
(5) Nếu m  f(x,y)  M,
Dyx


),( , m và M là hằng số thì
mS




D
MSdxdyyxf ),( với S là diện tích của miền D.
(6) Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị chặn D thì trong D có ít nhất một
điểm

),( yx
sao cho
Syxfdxdyyxf
D

).,(),(


với S là diện tích của miền D.
5.1.2. Cách tính tích phân kép
1. Trong tọa độ ĐềCác
a. Miền lấy tích phân l hình chữ nhật có các cạnh song song với các
trục tọa độ
Tính I =

D
dxdyyxf ),(
với D =


dycbxaRyx  ,/),(
2

I=








d
c
b

a
b
a
d
c
b
a
d
c
dxyxfdydyyxfdxdxdyyxf ),(),(),(


b. Miền lấy tích phân là miền bất kỳ
 D=


)()(,/),(
21
2
xyyxybxaRyx  với y
1
(x) và y
2
(x) liên tục
trên [a,b]
I =

b
a
xy

xy
dyyxfdx
)(
)(
2
1
),(

Ví dụ 1:
2
D
I
xydxdy

, trong đó D giới hạn bởi parapol x = y
2
và đường
thẳng y = x.
 Tìm giao điểm:
22
0
0
x
xy yy
y
yx yx











hoặc
1
1
x
y





.
 Suy ra
11
2
00
22
x
x
x
D
x
I
xydxdy xydydx xy dx
   

1
11
34
22
00
0
1
()
34 12
x
x
xx
xy dx x x x dx





.
Ví dụ 2:

(1 2 )
D
I
xdxdy

, trong đó D giới hạn bởi parapol x = y
2

và
đường thẳng y = x - 2.
3
 Tìm giao điểm:
2
2
2
1
1
2
20
xy x
xy
y
yx
yy








 









hoặc
4
2
x
y





.
 Suy ra
14
012
(1 2 ) (1 2 )
xx
x
x
I
x dydx x dydx


 
 


11

2
00
(2) (2)
xx
xx
yxydx yxydx

 



11
2
00
14
13 1 3
2
22 2 2
01
(2) (2)
(2 4 ) (2 2 2 2 4 )
xx
xx
yxydx yxydx
x
xdx x x x x xdx

 
 





189
10

.

 D=


)()(,/),(
21
2
yxxyxdycRyx  với x
1
(y) và x
2
(y) liên tục
trên [c,d]
I =

b
a
xy
xy
dyyxfdx
)(
)(
2

1
),(


Ví dụ 3:
Tính tích phân ở VD2 theo miền nằm ngang đơn giản:
2
2
12
yxy
D
y



 

. Suy ra:
2
2
2
22
2
2
11
(1 2 ) ( )
y
y
y
y

I
xdxdy x x dy



 
 


22
224 4
11
2(2) 65
189
10
y
yy ydy yydy


 




Ví dụ 4:
Tính tích phân ở VD1 theo miền nằm ngang đơn giản
2
2
12
yxy

D
y



 

. Suy ra:
2
2
11
2
00
22
y
y
y
D
y
I
xydxdy xydxdy x y dy
   

4


11
24 35
00
1

()()
12
yy y dy y y dy

.
 D giới hạn trong hình chữ nhật có các cạnh xác định bởi a  x  b , c 
y  d .

PNM

: y = y
1
(x) , PQM

: y = y
2
(x)

QMN

: x= x
1
(y) , QPN

: x = x
2
(y)

I =


b
a
xy
xy
dyyxfdx
)(
)(
2
1
),( =

d
c
yx
yx
dxyxfdy
)(
)(
2
1
),(

Ghi chú
:
  

b
a
d
c

b
a
d
c
dyygdxxfdyygxfdx )()()().(
c. Đổi biến số trong tích phân kép

Cho tích phân kép

D
dxdyyxf .),(
Giả sử tồn tại hàm 2 biến x = x(u,v) và
y=y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trên miền D’ của mpO’uv sao cho
tương ứng (u,v)
 (x,y) là một song ánh từ D’ đến D và định thức Jacobi:
(, )
0
(,)
xx
Dxy
uv
J
yy
Duv
uv


 



.

Ta có công thức đổi biến số trong tích phân kép :


dudvJvuyvuxfdxdyyxf
DD
//)],(),,([),(
'
 


Ví dụ :

D
I
dxdy

, trong đó D giới hạn bởi các đường thẳng:
y = 1 – x, y = 2 – x, y = 2x – 1, y = 2x – 3.
Ta có các đường thẳng viết lại: x + y = 1, x + y = 2, 2x – y = 1, 2x – y = 3.
Đặt
2
uxy
vxy






thì: J =
1
3

và


(,):1 2;1 3
uv
Duvu v

 

Vậy:
23
11
12
dud
33
D
Idxdy v 
  
.



5
r

M

(x,y)
2. Trong tọa độ tọa độ cực:
 Tọa độ cực :

r = |
OM |


= ( Ox ,OM )




 Công thức liên hệ giữa tọa độ Đề-các và tọa độ cực







sin
cos
ry
rx

Xem x, y như hàm 2 biến theo r và  ta áp dụng công thức đổi biến số :
J =
0
cossin

sincos


r
r
r




I =
 

DD
rdrdrrfdxdyyxf
'
)sin,cos(),(



Nếu D’ được xác định bởi      và r
1
( )  r  r
2
( ), ta có:

I =
  

D

r
r
rdrrrfddxdyyxf





)(2
)(1
)sin,cos(),(


Ví dụ 1
22
xy
D
I
edxdy



, với D là hình tròn
22 2
x
yR

 .
Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta có:



(, ):0 ;0 2
r
Dr rR




Do đó:
22 2
2
00
drd (1 )
r
R
rr R
D
Iedrd e e



 

  
.
Chú ý: Nếu dùng phép đổi biến sang tọa độ cưc suy rộng:

os
sin
xarc

J abr
ybr









Khi đó:


(, ) (arcos, rsin)
f
x y dx dy f b abr dr d
R
R



 


6
Ví dụ 2 Tính
22
sin
3

I
x y dx dy
R



R là miền cho bởi:
222 2
4xy



Giải: Chuyển sang tọa độ cực

os 0 2
:
sin 2
xrc
RR
yr r














22 2 2
s inr dr d ( osr)
3
00
2
2
2( osr sinr) 6
Ir drdc
rc








  
  

Ví dụ 3 Tính
22
1
4
22
xy
I

dx dy
R
ab



D là miền cho bởi:
22
1( 0, 0)
22
xy
ab
ab


Giải: Chuyển sang tọa độ cực suy rộng

os 0 2
;:
sin 0 1
xarc
J abr R R
ybr r













1
21 1
222
2
1-r r a bdr (1 ) (1 )
00 0
1
3
22
2
(1 )
33
0
I
dabrdr
ab
ab r





 
  

Ví dụ 4 Tính diện tích miền giới hạn bởi Lemnixcat

222 222
()2()(0)xy axy a  

Giải: Ta có: Diện tích A
dxdy
R



Chuyển sang tọa độ cực phương trình của Lemnixcat là:

4222 2 22
2 (cos sin ) 2 cos 2rar ra



Do tính đối xứng của miền cần tìm diện tích nên.

2os2
2os2
444
222
4rdr2 22os2d2
0
00 0 0
ac
ac
Ad r d ac a







  

7

5.1.3. Ứng dụng của tích phân kép
1. Ứng dụng hình học
a. Tính thể tích của vật thể
Thể tích của vật thể hình trụ m mặt xung quanh l mặt trụ có đường sinh
song song với Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn
bởi mặt cong z =f(x,y) , f (x,y)
 0 và liên tục trên D cho bởi công thức :

V =

D
dxdyyxf ),(


Ví dụ 1
: Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt x
2
+ y
2
= 1

nằm trong mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
= 4.
Ví dụ 2
: Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt x
2
+ y
2
= 2x
nằm trong mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
= 4.

b. Tính diện tích hình phẳng

S =

D
dxdy

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x
2

và x +
y – 2 = 0
Ví dụ 2
: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
2
= 4x và y
= 2x


c. Tính diện tích của mặt
Phương trình của mặt là z = f(x,y)

D

=
dxdyqp
D


22
1

D: là hình chiếu của mặt lên mặt phẳng Oxy và p =
x
f


, q =
y
f





Ví dụ
: Tính diện tích phần của mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 nằm bên trên
mp Oxy .
2. Ứng dụng cơ học
a. Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất

m =

D
dxdyyx ),(


 (x,y ) : khối lượng riêng của bản phẳng tại M(x,y)
8

Ví dụ
: Tính khối lượng của bản phẳng choán miền D xác định bởi:
x
2
+ y

2
–R
2
 0, x 0, y 0 biết rằng khối lượng riêng là (x,y ) = xy.
b. Moment quán tính của bản phẳng
I
x
=
dxdyyxy
D
),(
2



I
y
= dxdyyxx
D
),(
2



I
o
= dxdyyxyx
D
),()(
22





Ví dụ
1 : Tính moment quán tính đối với gốc O của miền tròn D xác định
bởi x
2
+y
2
-2Rx  0, biết khối lượng riêng (x,y) =
22
yx 

Ví dụ
2: Tính moment quán tính đối với trục 0y của miền D xác định bởi
1
2
2
2
2

b
y
a
x
biết rằng (x,y)  1
c. Trọng tâm của bản phẳng
Nếu bản phẳng D có khối lượng riêng là hàm liên tục (x,y) thì tọa độ trọng
tâm :

x
G
=


dxdyyx
dxdyyxx
),(
),(


, y
G
=



dxdyyx
dxdyyxy
),(
),(




Nếu bản phẳng đồng chất thì  không đổi ,ta có :

x
G
=


D
xdxdy
S
1
, y
G
=

D
ydxdy
S
1


( S là diện tích của miền D ).
5.2. Tích phân bội ba
5.2.1. Khái niệm tích phân bội ba
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, giới nội V của không
gian Oxyz.
Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ có thể tích là V
i
(i =
n,1
)
Trong mỗi miền nhỏ  V
i
lấy một điểm tuỳ ý M
i

(x
i
, y
i
, z
i
)
9
Tổng I
n
=



n
i
iiii
Vzyxf
1
).,,( được gọi là tổng tích phân của hàm f(x,
y, z)
trên miền V.
Nếu
n
n
I

lim
tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách
lấy điểm M

i
thì nó được goi là TÍCH PHÂN BỘI BA của hàm f(x, y, z)
trên miền V.

Ký hiệu:

V
dVzyxf ),,(
Ghi chú :

Nếu tích phân bội ba tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích trên miền
V.
Nếu chia miền V bằng những họ mặt phẳng song song với các mặt
phẳng tọa độ thì dV = dxdydz nên ta có:

 

vV
dxdydzzyxfdVzyxf ),,(),,(

Tích phân bội ba cũng có các tính chất tương tự như tích phân kép.
2. Định lý. Nếu f(x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn V thì khả tích
trên miền đó .
5.2.2. Cách tính tích phân bội ba
1. Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề Các



V
dxdydzzyxf ),,(

 Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z
1
(x, y), z = z
2
(x, y) trong đó
z
1
, z
2
là

những hàm liên tục trong miền D, D là hình chiếu của miền V trên mặt
phẳng Oxy thì ta có:

 

D
yxz
yxz
dzzyxfdxdyI
),(
),(
),,(
2
1

 Nếu miền D được giới hạn bởi các đường y = y
1
(x), y = y

2
(x) trong đó
y
1
, y
2
là những hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có :

I =

)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
),,(
xy
xy
yxz
yxz
b
a
dzzyxfdydx

10

Ví dụ 1 Xác định cận của tích phân:

(, ,) ,
I
f x y z dxdydz



, với  giới
hạn bởi các mặt: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z = 0.
Chiếu
 xuống Oxy ta được miền


(, ):0 2;0 2Dxy x y x

  .
Giới hạn trên của
:1
22
x
y
z
, giới hạn dưới của :0z


Vậy:
1
22
22
00 0
(, ,)

xy
x
I
dx dy f x y z dz



 
.
Ví dụ 2 Tính tích phân:
,
I
xdxdydz



, với

giới hạn bởi các mặt:
z = x
2
+ y
2
, z = 4, x = 0, y = 0.
Hình chiếu
 xuống Oxy


2
(, ):0 2;0 4Dxy x y x.

Giới hạn trên của
:4z, giới hạn dưới của
22
: zx y


Vậy:

22
22
22
24 4 24
4
00 00
.
xx
z
zx y
xy
I dx dy xdz dx x z





  
.


2

24
32
00
64
4
15
x
dx x x xy dy



.

2. Đổi biến số trong tích bội ba
I =

V
dxdydzzyxf ),,(

trong đó
(,, )
(,, )
(,, )
x
xuvw
yyuvw
zzuvw









.

Giả sử :
Các hàm x, y, z theo 3 biến u, v, w là những hàm số liên tục cùng
với đạo hàm riêng cấp 1 của chúng trong miền đóng V’ của không gian
O’uvw.
Các công thức trên được xác định một song ánh từ miền V’ lên miền
V của không gian Oxyz.
Định thức Jacobi
11
I =
),,(
),,(
wyuD
zyxD
=
w
z
v
z
u
z
w
y
v

y
u
y
w
x
v
x
u
x


















 0 trong miền V’ trừ một số hữu hạn điểm.
Khi đó ta có công thức đổi biến số :

I =

'V
f [x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)] J dudvdw
3. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ
Toạ độ trụ của điểm M (x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba (r, , z).
Trong đó (r,) là tọa độ cực của hình chiếu vuông góc M’ của M trên mặt
phẳng Oxy, z là tọa độ M theo trục z.


x = r cos 
y = r sin 
z = z



Định thức Jacobi : J =
0
100
0cossin
0sincos


rr
r




Tích phân bội ba trong tọa độ trụ :

I =

'V
f(r cos , rsin , z) r drddz
Ví dụ 1 Tính tích phân:
22
(),
I
x y dxdydz



với

giới hạn bởi các mặt:
z = x
2
+ y
2
, z = 4.
Hình chiếu
 xuống Oxy là hình tròn:
22
4xy

 .
Chuyển sang tọa độ trụ:
cos , sin ,
x

ryrzz



.
 giới hạn bởi:
2
02,02, 4rrz

  .
x

r
M’
M (x, y, z)
z
y
12
Vậy:
2
22 4
3
00
64
3
r
Idrdrdz





 
.

Ví dụ 2 Tính I =

V
(x
2
+ y
2
)z dxdydz trong đó V giới hạn bởi mặt trụ
x
2
+ y
2
= 1 và 2 mặt phẳng z = 0 và z = 2.

4. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu
Tọa độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba số (r, , )
trong đó r = OM,  =
)',( OMOx
,  =
),( OMOz
, M’ l hình chiếu vuơng góc của M
lên mặt phẳng Oxy.
r  0, 0    2, 0    
Công thức liên hệ giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu :









cos
sinsin
cossin
r
r
r


Định thức Jacobi : J =
0sincos
cossinsincossinsin
sinsincoscoscossin



r
rr
rr


= r
2
sin 
Tích phân bội ba trong tọa độ cầu :

I =

V
f(r sin cos, r sin sin, r cos) r
2
sin drdd

Ví dụ 1 Tính tích phân:
222
(),
I
xyzdxdydz



với

giới hạn bởi các
mặt: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, x
2
+ y
2
+ z

2
= 4.
Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có:
Miền
 giới hạn bởi: 12,0 ,0 2r



.
Vậy:
22
4
00 1
124
sin
5
Id drdr




 
.
Ví dụ 2Tính tích phân:
222
,
I
xyzdxdydz




với

giới hạn bởi các
mặt:
222
x
yzz.
Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có:
Miền
 giới hạn bởi: 1os,0 ,02
2
rc



    .
13
Vậy:
2os
2
3
00 0
sin
10
c
Iddr dr




 


.

5.2.3. Ứng dụng của tích phân bội ba
1. Ứng dụng trong hình học
Thể tích V của vật thể :
V =

V
dxdydz

Ví dụ 1 Tính thể tích hình cầu tâm O bán kính R.
Ta có thể tích hình cầu :
()Vdxdydz



, với
222 2
:
x
yzR.
Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có:
Miền
 giới hạn bởi: 1,0 ,02rR




.
Vậy:
2
23
000
4
() sin
3
R
VddrdrR



 

.

Ví dụ 2 Tính thể tích của khối giới hạn bởi các mặt parabolôit z

= x
2

+ y
2
,z=0 ,z=2 và nằm trong góc phần tám thứ nhất của không gian tọa độ
Oxyz .

2. Ứng dụng cơ học
a. Khối lượng của vật thể V:
m =


V

(x,y,z)dxdydz
(x, y, z) là khối lượng riêng tại M(x, y, z)
b. Tọa độ trọng tâm G của vật thể :








V
G
V
G
V
G
dxdydzzyxz
m
z
dxdydzzyxy
m
y
dxdydzzyxx
m
x
),,(

1
),,(
1
),,(
1





14
Nếu vật thể đồng chất thì  không đổi, ta có :








V
G
V
G
V
G
zdxdydz
V
z
ydxdydz

V
y
xdxdydz
V
x
1
1
1


Ví Dụ
:Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón
z
2
– x
2
– y
2
= 0 (z>0) và mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 .


BÀI TẬP CHƯƠNG 5

5.1 Tính các tích phân kép sau

1.


D
ydxdyxI ln với miền D là hình chữ nhật :
40


x
,41 

y
2.



D
dxdyyxI )sincos(
22
với miền D là hình vuông :
4
0

 x
,
4
0

 y
.

3.




D
yx
ydxdyeI cos
sin
với miền D là hình chữ nhật :



x0
,
2
0

 y
.
4.



D
dxdyyxI )2( với miền D xác định bởi các đường : x = 1, x = 2 , y = x , y =
x
2
.
5.



D
xdxdyyI ln
với miền D xác định bởi các đường : xy = 1, y = x , x = 2 .
6.



D
dxdyyxI )( với miền D xác định bởi các đường : y = 2 - x
2
, y = 2x - 1 .
7.



D
dxdyyxI )3( với miền D xác định bởi các bất đẳng thức
15
x
2
+y
2


9 , y 
3
2

x + 3 .
8.



D
xdxdyI với miền D là tam giác có các đỉnh A(2,3) , B(7,2) và C(4,5) .
9.



D
dxdyyxI )sin2(cos với miền D xác định bởi các đường x = 0 , y = 0 và
4x+4y- = 0 .
10.



D
dxdyyxyxI
23
)()(
với miền D xác định bởi các đường : x+y = 1 , x+y
= 3 , x-y = 1 và x-y = -1 .
11.



D
dxdyyxI

22
với miền D xác định bởi các bất đẳng thức :
x
2
+y
2
 a
2
, x  0 ( a>0 ) .
12.



D
dxdyyxI )ln(
22
với miền D xác định bởi các đường : x
2
+y
2
= e
2
, x
2
+y
2
=
e
4
.

13.





D
dxdy
yx
yx
I
22
22
sin
với miền D xác định bởi các đường:
x
2
+y
2
=
9
2

, x
2
+y
2
=
2


14.



D
dxdyyxI
22
4
với miền D xác định bởi đường : x
2
+y
2
-2x  0 .
15.
2
()
D
I
x y dxdy

với D là miền giới hạn bởi các đường:
2
0, , 2yyxxy


16.
2
()
D

I
xxydxdy

với D là miền giới hạn bởi các đường:
2
,
y
xy x
17.
22
ln( )
D
I
x y dxdy

với D là miền giới hạn bởi các đường:
22 2
x
yR
18.
2
(12 3 4 )
D
I
x y dxdy

với D là miền giới hạn bởi elip:
2
2
1

4
x
y



5.2 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi (các) đường

16
1. Elip:
22
22
1
xy
ab

2.

22
1, 4, , 4
x
yxy yxy x  

5.3
Tính thể tích của khối giới hạn bởi các mặt y = 1+x
2
, z = 3x , y = 5 , z = 0 và nằm
trong góc phần tám thứ nhất .

5.4

Tính thể tích của khối giới hạn bởi hai mặt trụ x
2
+y
2
= a
2
và x
2
+z
2
= a
2
.

5.5
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 4y-y
2
, x+y = 6 .

5.6
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x
2
+y
2
= 2x

, x
2
+y
2

= 4x .


5.7
Tính diện tích của phần mặt nón z=
22
yx 
nằm bên trong hình trụ x
2
+y
2
= 2x .

5.8
Tính diện tích của phần mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
= 4

nằm bên trong hình trụ x
2
+y
2
= 2x .

5.9 Tính các tích phân bội ba sau

1. Tính

v
dxdydz với V là vật thể giới hạn bởi mặt x + y + z = 1 và các mặt
phẳng tọa độ .
2. Tính

v
xdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt z = x
2
+ y
2
, z = 4 , x =
0 , y = 0.
3. Tính

v
ydxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt y = x
2
, z + y = 1, z = 0
.
4. Tính

v
xdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt z = x + y , x + y = 1 ,
x = 0 , y = 0 , z = 0.
5. Tính


v

dxdydzyx )(
22
với V là vật thể giới hạn bởi các mặt
x
2
+ y
2
= 1, z = 0 , z = 1.
6. Tính

v
xyzdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt
x
2
+ y
2
+z
2
=1, x 0 , y 0,z  0.
7. Tính

v
zdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt x
2
+ y
2
+z
2
= 2,
z =

22
yx 
.
5.10 Tính thể tích của phần hình chỏm cầu x
2
+ y
2
+z
2
= 4 phía trên mặt phẳng
z = 1 .
17

5.11 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt parabolôit z

= x
2
+ y
2
và z = 1

5.12 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt nón z
2
-x
2
-y
2
=0 (z>0) và mặt cầu
x
2

+ y
2
+z
2
= 1

5.13 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi : a
2

x
2
+ y
2
+z
2

4a
2
và z 0.

5.14 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt nón z =
22
yx  và mặt z=x
2
+y
2
.