tổng hợp bộ lọc số fir và mô phỏng bằng matlab

MỤC LỤC
Chương 1. KHÁI NIỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR
1.1 Khái niệm tổng hợp bộ lọc số FIR
• Một hệ thống dùng làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của
một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho được gọi là bộ lọc số.
• Các thao tác của xử lý dùng để biến dạng sự phân bố tần số của các thành
phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho nhờ một hệ thống số được gọi
là sự lọc số.
Các giai đoạn của quá trình tổng hợp lọc số:
- Xác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra
- Lượng tử hóa các thông số bộ lọc
- Kiểm tra, chạy thử trên máy tính
• Trong chương trình Tổng hợp Lọc số chỉ xét đến giai đọan đầu, tức là xác
định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra, thông thường các chỉ tiêu
cho trước là các thông số của Đáp ứng tần số.
1.2. Các tính chất tổng quát của bộ lọc số FIR
Bộ lọc số FIR luôn ổn định
Do độ dài L[h(n)]=N:
Nếu h(n) không nhân quả, dịch h(n) sang phải n
0
đơn vị thành h(n-n
0
), nhưng
đáp ứng biên độ vẫn không đổi:
1.3 Các đặc trưng cơ bản của bộ lọc số FIR
Ta có khi bộ lọc số FIR có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn nghĩa là:
(1.1)
Nếu biểu diễn trong miền z ta có hàm truyền đạt của bộ lọc số pha tuyến tính theo
định nghĩa biến đổi z sẽ có dạng:
(1.2)
Nếu biểu diễn trong miền tần số ω theo biến đổi Fourier ta có đáp ứng tần số:

(1.3)
Mặt khác trong miền tần số ω khi biểu diễn đáp ứng tần số theo độ lớn và pha ta
có:
(1.4)
Do pha θ(ω) tuyến tính nên ta giả sử pha có dạng theo phương trình tuyến tính như
sau:
(1.5)
Bây giờ chúng ta sẽ đi tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính có nghĩa là xác
định đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc số và xét xem với đáp ứng biên độ tần số
tìm được có thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật bộ lọc số đặt ra hay không. Cần nhắc lại
là các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thực tế đã được đề ra trong chương 3 với 4
tham số chính
+ Tần số giới hạn dải thông ω
p
+ Độ gợn sóng dải thông δ
1

+ Tần số giới hạn dải thông ω
s
+ Độ gợn sóng dải thông δ
2
Đối với bộ lọc số FIR pha tuyến tính, căn cứ vào dạng pha đã cho ở (1.5) ta sẽ
nghiên cứu hai trường hợp:
1. Trường hợp 1. β=0 ⇒ θ(ω) =− αω − π ω π
2.Trường hợp 2. β ≠0 ⇒ θ(ω)= β − αω − π ω π
Trường hợp 1. β=0 ⇒ θ(ω) =− αω − π ω π
(1.6)
Mặt khác theo sự biểu diễn (1.4) và thay θ(ω) =− αω ta có:
(1.7)
Đồng nhất (1.6) và (1.7) ta thấy đây là 2 số phức, muốn bằng nhau thì phần thực

phải bằng phần thực và phần ảo phải bằng phần ảo:
(1.8)
Từ (1.8) ta chia hai biểu thức cho nhau khử rồi áp dụng các biến đổi lượng giác rút
ra được kết luận:
Trong trường hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính có pha ở dạng θ(ω) =− αω bộ lọc
sẽ có quan hệ sau:

- Ở đây được gọi là tâm đối xứng của bộ lọc FIR.
- Khi θ(ω) =− αω và N lẻ, ta có bộ lọc số FIR loại I, h(n) đối xứng.
- Khi θ(ω) =− αω và N chẵn, ta có bộ lọc số FIR loại II, h(n) đối xứng.
Trường hợp 2.
β ≠0 ⇒ θ(ω)= β − αω − π ω π
Tiến hành phân tích tương tự như trường hợp 1 ta rút ra được kết luận:
Trong trường hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính có pha ở dạng
θ(ω)= β − αω bộ lọc sẽ có quan hệ sau:
- Ở đây được gọi là tâm phản đối xứng của bộ lọc FIR
- Khi θ(ω)= β − αω và N lẻ, ta có bộ lọc số FIR loại III, h(n) phản đối xứng
- Khi θ(ω)= β − αω và N chẵn, ta có bộ lọc số FIR loại IV, h(n) phản đối xứng.
Tóm lại
Bộ lọc loại 1: h(n) đối xứng, N lẽ
Bộ lọc loại 2: h(n) đối xứng, N chẵn
Bộ lọc loại 3: h(n) phản đối xứng, N lẽ
Bộ lọc loại 4: h(n) phản đối xứng, N chẵn
Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP MẠCH LỌC
FIR
Các khái niệm về tâm đối xứng, tâm phản đối xứng, chiều dài bộ lọc số FIR
N chẵn hay lẻ sẽ hình thành nên các đặc điểm của bộ lọc số. Căn cứ vào các đặc
điểm của bộ lọc, chúng ta sẽ đitổng hợp các bộ lọc số FIR. Thông thường có 3
phương pháp chính như sau:
- Phương pháp cửa sổ: Dùng các cửa sổ để hạn chế chiều dài đáp ứng xung của bộ

lọc số lý tưởng và đưa về nhân quả.
- Phương pháp mẫu tần số: Trong vòng tròn tần số lấy các điểm khác nhau để tổng
hợp bộ lọc.
- Phương pháp lặp tối ưu (phương pháp tối ưu - MINIMAX): phương pháp gần
đúng Tchebyshef, tìm sai số cực đại Emax của bộ lọc thiết kế với bộ lọc lý tưởng,
rồi làm cực tiểu hoá đi sai số này: min|Emax|. Các bước cực tiểu sẽ được máy tính
lặp đi lặp lại.
2.1 Phương pháp cửa sổ
Phương pháp cửa sổ là một phương pháp đơn giản nhất. Mục tiêu chính của
phương pháp này là dùng các hàm cửa sổ cho sẵn để tổng hợp bộ lọc số FIR sao cho
thực hiện được về mặt vật lý, nghĩa là các đáp ứng xung phải có chiều dài hữu hạn
và nhân quả Các thủ tục thiết kế bộ lọc số FIR được thực hiện qua các bước sau:
- Đưa ra chỉ tiêu kỹ thuật δ
1
, δ
2
, ω
P
, ω
S
trong miền tần số ω .
- Chọn loại cửa sổ và chiều dài cửa sổ N, nghĩa là xác định w( n )
N
.
- Chọn loại bộ lọc số lý tưởng( thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải)
tức là chọn h(n).
- Để hạn chế chiều dài thì nhân cửa sổ với h(n): w(n)
N
. h (n) = h
d

(n)
Chiều dài L N , L , nên L N.
Sau bước này tìm được ( ) d h n tức là hệ số của bộ lọc số thực tế, nhưng hệ
số này có đáp ứng được các chỉ tiêu kỹ thuật đặt ra hay không thì phải thử lại.
- Thử lại xem có thỏa mãn δ
1
, δ
2
, ω
P
, ω
S
hay không bằng cách chuyển sang
miền tần số
H
d
= W
N
H = d

(2.11)
Nếu không thoả mãn ta sẽ tăng chiều dài N của cửa sổ.
Lưu ý:
- Trong miền tần số ω , cửa sổ và bộ lọc phải có pha trùng nhau, tâm đối xứng của
cửa sổ và bộ lọc cũng phải trùng nhau.
- Khi dùng cửa sổ thao tác vào bộ lọc số lý tưởng, do vậy đáp ứng xung h(n) bị cắt
bớt chiều dài cho nên ở miền tần số ω , đáp ứng của bộ lọc số FIR H () vừa thiết kế
sẽ có hiện tượng gợn sóng tức là hiện tượng Gibbs, làm cho chất lượng của bộ lọc
bị ảnh hưởng.
Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu các loại cửa sổ và các bước thiết kế.

2.1.2 Phương pháp cửa sổ chữ nhật
Cửa sổ chữ nhật là cửa sổ đơn giản nhất.
Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau:
W
R
(n)
N
= (2.12)
Nhận xét: w
R
(n)
N
= rect
N
(n)
Xét cửa sổ chữ nhật trong miền tần số ta có:
W
RN
= PT = = =
=

= A
R
()
Vì có dạng nên ta biến đổi tiếp:
A
R
() = = N (2.13)
Hình 2.1 Biểu diễn A
R

()
Có hai tham số đánh giá cửa sổ là:
- Bề rộng đỉnh trung tâm Δω .
- Tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên độ đỉnh trung tâm:
λ= 20 lg
Hai chỉ tiêu đánh giá chất lượng của cửa sổ.
Đối với cửa sổ chữ nhật ta có:
- Bề rộng đỉnh trung tâm Δω
R
=
- Tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên độ đỉnh trung tâm:
λ
R
= 20 lg (dB) - 13dB.
Các thông số được minh hoạ trên hình vẽ 5.1.
Lưu ý:
- Chất lượng của cửa sổ sẽ được đánh giá là tốt nếu 2 tham số bề rộng đỉnh
trung tâm Δω và tỷ số biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên đỉnh trung tâm λ cùng nhỏ.
- Bề rộng đỉnh trung tâm Δω nhỏ thì dải quá độ giữa dải thông và dải chắn
của bộ lọc sẽ nhỏ, nghĩa là tần số ω
p
và ω
s
gần nhau.
- Tỷ số biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên đỉnh trung tâm λ nhỏ dẫn đến độ gợn sóng
δ
1
, δ
2
nhỏ.

- Nhưng đây là 2 tham số nghịch nhau, bề rộng đỉnh trung tâm muốn nhỏ thì tỷ số λ
sẽ lớn và ngược lại. Do vậy tuỳ từng điều kiện bài toán chúng ta sẽ đưa ra các tiêu
chuẩn kỹ thuật riêng để chọn loại cửa sổ.
Để đánh giá cửa sổ có tính đến thông số chiều dài N của cửa sổ thì người ta
còn dùng tham số sau:
G ()

= 20 lg (dB)
Ví dụ về tham số này sẽ được thể hiện trong hình 2.5
Ví dụ 2.1 Vẽ cửa sổ chữ nhật với N = 7
Giải: Ta có w
7
(n)
7
=
Hình 2.2 cửa sổ hình chữ nhật
Ví dụ 2.2
Hãy thiết kế bộ lọc số thông thấp FIR pha tuyến tính dùng phương pháp cửa sổ chữ
nhật: = ; N=7
Giải: Trong chương 3, ta đã xác định đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thông thấp lý
tưởng pha ()=0 như sau:
h
LP
(n) = ( tâm đối xứng: n=0)
9
n
5
6
7
8

9
Nhưng trong ví dụ này ta có pha tuyến tính ()= -

, do vậy ta phải dịch chuyển h(n)
sang phải mẫu :
h
LP
(n) = ( tâm đối xứng: n=)
Thay = ; N=7 ta được :
Sau đó ta thực hiện nhân h(n) với cửa sổ chữ nhật N=7 như ở hình 2.2 để tìm h
d
(n)
Hình 2.3 Xác định w
R
(n)
N
.h(n) = h
d
(n) với N=7
h
d
(n) đối xứng tại tâm đối xứng n=3 nên ta có các giá trị sau:
h
d
(0)= = h
d
(6)
h
d
(1)= 0 = h

d
(5)
h
d
(2)= = h
d
(4)
h
d
(3)=
Hàm truyền đạt của bộ lọc:
H
d
(z) == + ++ -
Hay y(n) = x(n)+ ++ -
Kết quả được sơ đồ bộ lọc FIR như sau:
Hình 2.4 sơ đồ bộ lọc FIR thông thấp với N = 7 trong ví dụ 2.2
Sau đây chúng ta sẽ xem xét đồ thị biểu diễn G = 20lg (dB) của cửa
sổ chữ nhật với cácchiều dài N khác nhau:
Hình 2.5 Đồ thị với a)N=31; b)N=61, c) N=101
Nhận xét: Khi chiều dài cửa sổ N tăng lên thì tham số tỷ số giữa biên độ đỉnh
thứ cấp thứ nhất trên biên độ đỉnh trung tâm là không đổi đều bằng -13db, chỉ
có các búp là hẹp đi tức là bề rộng đỉnh trung tâm sẽ nhỏ đi khi ta tăng chiều dài N
của cửa sổ, điều này dẫn đến chất lượng của cửa sổ sẽ tăng lên.
2.1.2Phương pháp cửa sổ Bartlett (tam giác)
Định nghĩa: Trong miền n cửa sổ Bartlett được định nghĩa như sau:
= (5.13)

Ví dụ 2.3: Hãy vẽ cửa sổ Bartlelt với N = 7

Hình 2.6 Cửa sổ tam giác với N=7
Lưu ý:
Đối với cửa sổ tam giác thiết kế giống cửa sổ chữ nhật nhưng dạng hàm khác nhau:
+ ở miền n:
+ ở miền :
- Các tham số của cửa sổ tam giác:
+
+
Khi dùng cửa sổ tam giác hiện tượng Gibbs giảm rất nhiều so với dùng cửa sổ chữ
nhật vì
, nhưng dãi quá độ lại lớn hơn của sổ chữ nhật
Ví dụ 2.4: Hãy thiết kế bộ lọc thông cao FIR pha tuyến tính dùng phương pháp cửa
sổ Bartlett với ; N = 7
Giải: Ta xét bộ lọc thông cao pha 0 (pha 0, tâm đối xứng nằm tại 0)
Theo đầu bài, bộ lọc cần thiết kế có pha: , vậy ta dịch chuyển
như sau:
,
thay N = 7; ta có:
Nhân với cửa sổ tam giác vẽ trong hình 2.6 ta có cần tìm
Hình 2.7 xác định với N = 7
Cuối cùng tương tự như ví dụ 2.2 ta có bộ lọc thông cao cần thiết như sau:
Hình 2.8 Sơ đồ bộ lọc FIR thông cao với N=7 trong ví dụ 5.4
2.1.3 Cửa sổ Hanning và Hamming
Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Hanning và Hamming được định nghĩa như sau:
(5.13)
Phân loại khác nhau theo hệ số ta được:
: Cửa sổ Hanning
(5.14)
: Cửa sổ Hamming
(5.16)

Ta có các tham số bộ lọc Hanning:
+
+
Các tham số của bộ lọc Hamming:
+
+
Như vậy, ta thấy: , , vậy trong 3 cửa sổ bề
rộng đỉnh trung tâm là như nhau, nhưng biên độ của độ gợn sóng dải thông và dải
chắn sẽ nhỏ nhất khi thiết kế bằng cửa sổ Hamming.
2.1.4. Phương pháp cửa sổ Blackman
Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Blackman được định nghĩa như sau:
(5.17)
Với điều kiện:
Các tham số của cửa sổ:
+
+
Ví dụ 2.5:
Hãy tìm cửa sổ Blackman trong các trường hợp sau đây:
1. ; ;
2. ; ; ;
3. ; ; ; ;
Giải:
1. Với các hệ số trên đây chính là cửa sổ Hanning
2. Với các hệ số trên đây chính là cửa sổ Hamming
3. Ta có đây là bộ tham số thông dụng nhất của cửa sổ Blackman

2.1.5. Phương pháp cửa sổ Kaiser
Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Kaiser được định nghĩa như sau:
(5.18)
là hàm Besell biến dạng loại 1 bậc 0

Trong định nghĩa 5.18 tham số đặc trưng cho việc trao đổi năng lượng
giữa trung tâm và các đỉnh thứ cấp, để đạt hiệu quả cao khi thiết kế người ta thường
chọn
Trong cửa sổ Kaiser ta có thể thay đổi tham số để thay đổi tỷ lệ giữa
và
2.2 Phương pháp lấy mẫu tần số
Tư tưởng của phương pháp này là xây dựng một bộ lọc có đáp ứng xung
chiều dài N và có đáp ứng tần số xấp xỉ với đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng. Cụ
thể, ta có thể xét tại N mẫu rời rạc cách đều nhau trong khoảng từ 0 đến 2π, hàm
đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế bằng đúng với hàm đáp ứng xung của bộ lọc lý
tưởng.
Nếu như ta đã biết N mẫu rời rạc H(k) trên hàm đáp ứng tần số, tương đương
với N mẫu ảnh qua phép biến đổi Fourier rời rạc của dãy đáp ứng xung h(n), ta
hoàn toàn có thể xây dựng hàm đáp ứng tần số H(e
jω
) bằng phép nội suy theo công
thức:
H() =
Đương nhiên là các giá trị X(k) chính là các giá trị của H(e
jω
) tại các mẫu rời rạc:
H(k) = H , với k= 0,1,…,N-1
Do H(e
jω
) là đáp ứng tần số của một hệ thống đặc trưng bởi dãy đáp ứng
xung đơn vị thực nên H(e
jω
) có tính chất đối xứng Hermit, tâm đối xứng tại 0, đồng
thời H(e
jω

) tuần hoàn chu kỳ 2π hay H(k) tuần hoàn chu kỳ N. Do đó các mẫu rời
rạc X(k) phải có tính chất:
H(k) = H
*
(N-k) với k = 1,…,N-1
Riêng mẫu ứng với k=0 là một ngoại lệ bởi nó là tâm đối xứng nếu xét trong
chu kỳ tuần hoàn của H(e
jω
) là [-π,π].
Nếu đáp ứng tần số được viết dưới dạng độ lớn và pha:
H()= A() , với A(),() là các hàm thực
Ảnh của h(n) qua phép biến đổi Fourier rời rạc cũng được viết dưới dạng độ
lớn và pha:
H(k)= A(k) , với A(k),(k) là các dãy thực
thì độ lớn và pha của dãy H(k) sẽ được tính theo công thức:
A(k) = A () , với (k)= ()
Do H() và H(k) đều có tính chất đối xứng Hermit nên:
A(k) = A(N-k) với k = 1,…,N-1
và:
*Đối với bộ lọc FIR loại 1:
(k)=
*Đối với bộ lọc FIR loại 2:
(k)=
*Đối với bộ lọc FIR loại 3:
(k)=
*Đối với bộ lọc FIR loại 4:
(k)=
Nếu coi hàm sai số xấp xỉ được tính bằng độ sai lệch giữa đáp ứng tần số của
bộ lọc lý tưởng với đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế , ta có các nhận xét sau:
• Hàm sai số xấp xỉ bằng không tại các tần số được lấy mẫu

• Hàm sai số xấp xỉ tại các tần số khác phụ thuộc vào mức độ dốc hay độ
biến đổi đột ngột tại tần số đó. Tại tần số có đáp ứng càng dốc, ví dụ gần
biên của dải thông và dải chắn, thì có hàm sai số xấp xỉ càng lớn.
Dãy đáp ứng xung của bộ lọc được suy ra từ biến đổi Fourier rời rạc
ngược của dãy các mẫu X(k):
h(n)= IDFT
và hàm tìm biến đổi Fourier rời rạc ngược bằng thuật toán biến đổi Fourier
nhanh có thể được áp dụng trong trường hợp này. 60110000401269
Nếu như chúng ta áp dụng kỹ thuật thô, tức là các mẫu được nhận giá trị
bằng 1 tại dải thông và nhận giá trị bằng 0 tại dải chắn, hiện tượng gợn sóng, hay
hiện tượng Gibb, ở gần rìa các dải là tương đối lớn, độ suy giảm dải chắn rất nhiều
trường hợp là không đạt yêu cầu. Chúng ta lại có nhận xét là để đạt độ suy giảm dải
chắn tối thiểu càng nhiều ta luôn phải đánh đổi lấy đội rộng dải chuyển tiếp lớn
(giống như đã được phân tích ở phương pháp cửa sổ). Kỹ thuật của chúng ta có thể
áp dụng là tạo ra một số mẫu ở dải chuyển tiếp có thể nhận các giá trị trung gian
nằm giữa 0 và 1. Số mẫu ở dải chuyển tiếplà không lớn, chỉ cần từ 1 đến 2 mẫu là
đủ do trên thực tế dải chuyển tiếp là rất nhỏ so với dải thông và dải chắn.
Thay đổi các giá trị chuyển tiếp quá độ có thể dẫn đến kết quả tốt hơn, nói
một cách khác độ suy giảm dải chắn tối thiểu lớn hơn. Bài toán đặt ra ở đây là việc
phải tìm cách tối ưu hoá giá trị tại 1 hay 2 mẫu đó để đạt được độ suy giảm dải chắn
tối thiểu lớn nhất tương đương với việc tối thiểu hoá bướu bên lớn nhất. Trong tối
ưu hoá, bài toán này gọi là bài toán minimax, và MATLAB cũng cung cấp hàm này
trong bộ công cụ Optimization Toolbox. Tuy nhiên trong phần thực hành này, các
giá trị ở dải chuyển tiếp là cho trước.
2.3 Phương pháp lặp
Hai phương pháp đã được trình bày ở trên, phương pháp cửa sổ và phương
pháp lấy mẫu tần số, tồn tại một số bất cập. Thứ nhất ta không thể định được chính
xác các tần số cắt ω
p
và ω

s
. Thứ hai ta không thể ràng buộc điều kiện đồng thời
điều kiện về độ gợn sóng δ
1
và δ
2
ở cả dải thông và dải chắn. Thứ ba là hàm sai số
xấp xỉ phân bố không đều trên các dải và có xu hướng tăng lên khi đến gần dải
chuyển tiếp. Phương pháp lặp dựa trên thuật toán tối ưu có thể giải quyết được các
vấn đề trên.
Phương pháp này được các tài liệu đề cập đến với một số tên gọi khác nhau:
Optimal (Optimum) Equiriple, Remez Exchange. Bản chất của phương pháp này là
xuất phát từ một chiều dài dãy N cho trước, bằng thuật toán trao đổi Remez để tìm
ra dãy đáp ứng xung sao cho cực đại của hàm sai số giữa đáp ứng tần số của bộ lọc
lý tưởng và đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế là nhỏ nhất. Nếu như hàm đáp ứng tần
số ứng với dãy đáp ứng xung tìm được nói trên vẫn chưa thoả mãn điều kiện yêu
cầu của thiết kế, giá trị N cần phải tăng. Quá trình này được lặp đi lặp lại đến khi
tìm ra được bộ lọc thoả mãn các yêu cầu đã được đặt ra.
Dưới đây sẽ trình bày tóm tắt về mặt lý thuyết quá trình tối thiểu hoá sai số
cực đại giữa đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế và đáp ứng tần số củat bộ lọc lý
tưởng. Trước tiên, ta đưa hàm độ lớn của đáp ứng tần số của 4 loại bộ lọc FIR về
dạng sau:
A()= P() Q()
với P(ω) là hàm có dạng: P()=
Bảng sau đây đưa ra giá trị R, các hàm P(ω) và Q(ω) cho 4 loại bộ lọc:
Loại bộ lọc Q(ω) R P(ω)
FIR loại 1 1
FIR loại 1
FIR loại 1
-1

FIR loại 1
Hàm sai số giữa bộ lọc lý tưởng và bộ lọc thực tế được xây dựng như sau:
với
Hàm E(ω) có miền xác định chỉ là phần dải thông và dải chắn, mà không
xác định tại dải chuyển tiếp.
*Hàm W(ω) được gọi là hàm trọng số có tác dụng trải đều sai số giữa bộ
lọc thực tế và bộ lọc lý tưởng trên cả dải thông và dải chắn.
Nếu ta lựa chọn hàm trọng số trong trường hợp δ
1
> δ
2
, với δ
1
và δ
2
lần lượt
là độ độ gợn sóng của dải thông và dải chắn, là:

ở dải thông
ở dải chắn
thì hàm sai số ở cả dải thông và dải chắn đều không vượt quá δ
2
ở cả dải thông và
dải chắn. Điều này có nghĩa nếu như ta tối thiểu hoá cực đại của hàm sai số E(ω) là
δ
2
ta tự động có luôn cực đại của sai số giữa bộ lọc thực tể và bộ lọc lý tưởng ở dải
chắn là δ
2
và ở dải thông là δ

1
.
Chúng ta nhận thấy là hàm Q(ω) ở 4 loại bộ lọc là khác nhau, để triệt tiêu
hàm này, hàm sai số được biến đổi như sau:
Ở đây nếu như định nghĩa các hàm trọng số biến dạng và hàm độ lớn của đáp ứng
tần số bộ lọc lý tưởng biến dạng là:
(= W(Q( và (=
thì hàm sai số của cả 4 loại bộ lọc có cùng dạng chung:
E( = (
Bài toán Chebyshev đặt ra là: Tìm các hệ số (n), hoặc(n),(n), hoặc (n) nhằm
tối thiểu hoá cực đại của trị tuyệt đối hàm sai số trên dải thông và dải chắn, tức là
tìm ra:
min
Định lý xoay chiều: S là một khoảng đóng bất kỳ (còn gọi là đoạn vì nó chứa cả
biên) trên đoạn [0,π ], giả sửP (ω) có dạng:
P()=
Hàm sai số E(ω) được tính theo công thức:
trong tập các dãy số
E( = (
Điều kiện cần và đủ để P(ω) duy nhất và xấp xỉ theo kiểu cực đại là nhỏ nhất,
theo nghĩa gần đúng Chebyshev, so với trên S là: Hàm sai số E(ω) phải có tối
thiểu R+2 giá trị cực trị đổi dấu xen kẽ nhau trên S mà:
E(= - E(=
Với ω0< ω1< ω2<…< ωR+1
Định lý nói trên không chỉ ra cách thức để thu được hàm P(ω). Tuy nhiên nó
chỉ ra rằng nghiệm đó tồn tại, không những thế nghiệm là duy nhất và điều kiện để
biết đó là nghiệm khi hàm sai số E(ω)có ít nhất R+2 cực trị, các cực trị này có giá
trị tuyệt đối bằng nhau, hai cực trị liên tiếp có một là cực đại và một là cực tiểu. Để
tìm ra hàm P(ω), thuật toán trao đổi Remez được tiến hành như sau:
1. Chọn lấy R+2 điểm rời rạc, giả sử đó là các cực trị của hàm sai số

2. Trên cơ sở tại R+2 điểm rời rạc nói trên, hàm E (ω) luân phiên đổi dấu và
có trị tuyệt đối bằng một giá trị δ nào đó, tính nội suy lại giá trị δ và hàm
P (ω) từ đó tính ra hàm sai số E (ω), tính được giá trị cực trị thực của hàm
sai số đó
3. Xem xét xem các giá trị rời rạc được chọn ban đầu có thực sự là các điểm
mà hàm sai số E(ω) đạt cực trị và có trị tuyệt đối bằng nhau hay không.
Nếu không, tìm các điểm tại đó E(ω) đạt cực trị.
4. Trong các điểm cực trị đó của E(ω) lấy ra R+2 điểm và quay về lặp lại từ
bước 2.
5. Lặp lại các bước 2, 3, và 4 cho đến khi tập hợp các điểm rời rạc hội tụ
6. Từ tập các điểm rời rạc cuối cùng, tính ra hàmP (ω), từ đó tính ra các hệ
số α(n).
Vòng lặp tiếp theo bao giờ cũng thu được R+2 điểm rời rạc tiến gần tới
những cực trị của hàm P (ω)mà chúng ta mong muốn gần đúng với theo nghĩa
Chebyshev hơn, và cuối cùng nó sẽ hội tụ về các điểm cực trị thực. Một vấn đề
s