46 BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC

TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI DẠNG BÀI ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA
HÀM SỐ VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC
MỨC ĐỘ 1:
Câu 1. [DS12.C1.1.D04.a] Hàm số f  x  có đạo hàm trên  và f  x   0 , x   . Biết
f  1 2 , khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

A. f  2018   f  2019  .
C. f  2  1 .

B. f   1 4 .

D. f  2   f  3 6 .
Lời giải

Chọn D
Do hàm số f  x  có đạo hàm trên  và f  x   0 , x   suy ra hàm số f  x 
đồng biến
 f  2019   f  2018 

trên    f  1  f   1
lại có f  1 2 nên khơng thể xảy ra

 f  2   f  1
 f  2018   f  2019 

 f   1 4

 f  2  1

Khẳng định f  2   f  3 6 có thể xảy ra.

Câu 2. [DS12.C1.1.D04.a] (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Hàm số
y  x 3  3x 2  9 x  20 đồng biến trên khoảng
A.   3;1 .

B.  1; 2  .

C.   3;    .
Lời giải

D.    ;1 .

Chọn A
Tập xác định: D  .
Đạo hàm: y  3x 2  6 x  9 .
 x 1  y 25

2
Xét y 0   3x  6 x  9 0  
.
 x  3  y  7

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   3;1 .


MỨC ĐỘ 2:
Câu 1. [DS12.C1.1.D04.b] (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hàm số f  x 
có đạo hàm trên R sao cho f  x   0, x  0 . Biết e 2, 718 . Hỏi mệnh đề nào dưới
đây đúng ?

A. f  e   f     2 f  2  .
B. f  1  f  2  2 f  3 .
C. f  e   f    0 .

D. f  e   f     f  3  f  4  .
Lời giải

Chọn D
Ta có f  x   0, x  0 suy ra hàm số f  x  đồng biến trên khoảng  0;   .
+ 2  e   f  2  f  e   f     f  e   f     2 f  2 .
+ 1 2  3  f  1  f  2   f  3  f  1  f  2   2 f  3 .
+ e   f  e   f     f  e   f     0 .
+ e  3;   4  f  e   f  3 , f     f  4   f  e   f     f  3  f  4  .
Câu 2. [DS12.C1.1.D04.b] Cho hàm y  f  x  số có f  x   0 , x   . Tìm tất cả các giá
trị thực của

x

1

 
để f  x   f  2  .
 

1

1
1



B.   ; 0    2 ;   .C.   ; 2  .



A.  0; 2  .










1



D.   ;0    0; 2  .







Lời giải
Chọn D
Ta có: f  x   0, x   nên hàm số y  f  x  nghịch biến trên  .

1

1

1 2x

1

 


Do đó: f  x   f  2   x  2  x  0  x    ;0    2 ;   .
 


Câu 3. [DS12.C1.1.D04.b] Cho hàm y  f  x  số có f  x   0 , x   . Tìm tất cả các giá

trị thực của

x

1

 
để f  x   f  2 
 
1

1




A.  0; 2  .





B.   ;0    2 ;   .






1

D.   ;0    0; 2  .





1

C.   ; 2  .


Lời giải
Chọn D
Ta có: f  x   0, x   nên hàm số y  f  x  nghịch biến trên  .
1

1

1 2x

1

 


Do đó: f  x   f  2   x  2  x  0  x    ;0    2 ;   .
 


Câu 4: [DS12.C1.1.D04.b] (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hàm số

x 3
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x2
A. Hàm số đồng biến trên  .
y

B. Hàm số đồng biến trên   ;  2  và   2;   .
C. Hàm số nghịch biến trên  \   2 .
D. Hàm số nghịch biến trên   ;  2  và   2;   .
Lời giải

Chọn D
Tập xác định: D  \   2 .
1
Có y  x  2 2  0  x  D  .



Vậy hàm số nghịch biến trên   ;  2  và   2;   .
MỨC ĐỘ 3:
Câu 1 [DS12.C1.1.D04.c] (HKI-SGD Quảng Trị 2018-2019) Tập nghiệm của bất
phương trình  x  1  2 x  1  3 3 x  6  x  6 là  a; b . Tính a  b .
A. 1 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn D
Điều kiện: x 1 .
x 1 là nghiệm của bất phương trình.
Khi x  1 bất phương trình tương đương với
2 x  1  33 x  6 

x6
0 (*) .
x 1

Xét hàm số f ( x) 2 x  1  3 3 x  6 
f  x  

1

x 1

1
3

 x  6

2



7

 x  6

2

x 6
trên D  1;   . Ta có
x 1

 0 x   1;     f
đồng biến trên D .

Suy ra (*)  f  x   f  2   x 2 .

Vậy S  1; 2 .
Câu 2: [DS12.C1.1.D04.c] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình f  6sinx  8cosx   f  m  m  1 
có nghiệm x   ?


A. 6 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 5 .

y

1
-1

O

1

x

2

Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y  f ( x) đồng biến trên 

Do đó f  6sinx  8cosx   f  m  m 1 
 6sinx  8cosx m  m  1

 *

 * có nghiệm khi 62  82 m2  m  1 2
2
 m 2  m  1 100
  10 m 2  m 10
 1  41
 1  41

m 
2
2
m    m    3;  2;  1; 0;1; 2
Vậy có 6 giá trị m nguyên thỏa mãn.

Câu 3. [DS12.C1.1.D04.c] Hàm số f ( x) có đạo hàm trên  và f ( x)  0, x   1;   ,
biết f (2) 1 . Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
A. f  1 2 .
B. f  5  4 .
C. f  3  f  4  2 .
D. f  2018   f  2019  .
Lời giải
Chọn A
Có y  f  x  có đạo hàm trên  , nên y  f  x  liên tục trên  .
Vì f  x   0, x   1;    y  f  x  nghịch biến trên khoảng  1;  .
Suy ra f  1  f  2  .
Vậy phương án A có thể xảy ra.

Câu 4.[DS12.C1.1.D04.c] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x  1 m 2 x 2  1 có
hai nghiệm phân biệt.
A. m 
B.

6
.
6

2
6
m
.
2
2


C. m 
D. 

2
.
2

2
6
m
2
6

Lời giải
Chọn B
Phương trình  m 
2x2 1 
f ' x 

x 1
2x2 1

2 x  x  1
2

2 x 1
2
2 x 1



 f  x ,
1 2x

 2x

2

 1

3

1

6
. lim f  x   2 ; f    .
x  

2

 2

2

BBT.

Vậy

2
6
.
m
2
2

Câu 5. [DS12.C1.1.D04.c] Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f  x  có bảng biến thiên
như sau

Bất phương trình f  x   m  ln x đúng với mọi x   2; 4  khi và chỉ khi
A. m  f  4   2 ln 2.

B. m  f  2   ln 2.

C. m  f  4   2 ln 2.

D. m  f  2   ln 2.
Lời giải

Chọn B
Ta có: f ( x)  m  ln x , x   2; 4   f ( x)  ln x  m x   2; 4  (*) .
Xét hàm số g ( x)  f ( x)  ln x
Ta có: g ( x)  f ( x) 

1
.
x


Ta thấy với x   2; 4  thì f ( x)  0 , 

1
1
 0 nên g ( x)  f ( x)   0 , x   2; 4  .
x
x

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có m g (2)  m  f (2)  ln 2 .
Câu 6. [DS12.C1.1.D04.c] Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f  x  có bảng biến thiên
như sau

Bất phương trình f  x   m  ln x đúng với mọi x   2;3 khi và chỉ khi
A. m  f  2   ln 2.

B. m  f  3  ln 3.

C. m  f  3  ln 3.

D. m  f  2   ln 2.
Lời giải

Chọn C
Ta có: f ( x)  m  ln x , x   2;3  f ( x)  ln x  m x   2;3 (*) .
Xét hàm số g ( x)  f ( x)  ln x
1
x

Ta có: g ( x)  f ( x)  .
1
1
Ta thấy với x   2;3 thì f ( x)  0 ,  0 nên g ( x)  f ( x)   0 , x   2;3 .
x

Bảng biến thiên

x


Từ bảng biến thiên ta có m g (3)  m  f (3)  ln 3 .
Câu 7: [DS12.C1.1.D04.c] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương
3
2
trình 2 x  3 x  m 6 có nghiệm x   0; 2  .

A. 18.
B. 17.
C. 9.
Lời giải
Chọn A

D. Vô số.

2 x3  3 x 2  m 6   6  f  x  2 x 3  3x 2  m 6.
3
2
Xét hàm số f  x  2 x  3x  m trên khoảng  0; 2  .

 x 0

2
Ta có f  x  6 x  6 x ; f  x  0  
.
 x 1

Bảng biến thiên:

3
2
Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình 2 x  3x  m 6 có nghiệm x   0; 2 

  6 m  1 6


  6 m  4 6

  5 m 7
  10 m 2   10 m 7.


Vậy có 18 giá trị nguyên của m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 8. [DS12.C1.1.D04.c] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương
trình 3  x  6  x  18  3x  x 2 m 2  m  1 nghiệm đúng x    3, 6 ?
A.  1 m 0 .
C. m  1 .

B. m  1 hoặc m 2 .
D. 0 m 2 .
Lời giải

Chọn B
Với x    3, 6 ta có
2

Đặt t  3  x  6  x  0  t 2  3  x  6  x  9  2  3  x   6  x 
 9 t 2 9  2

 3  x   6  x  9   3  x    6  x  18

 18  3x  x 2 

 3  x   6  x   12  t 2  9  ; t   3;3

2 

2
f  t   f  3 3 .
Xét f  t   12 t  t  92 , f  t  1  t  0 , t   3;3 2   max
3;3 2 

m  1
f  t  3 m 2  m  1  m 2  m  2 0  
Yêu cầu bài toán  max
 m 2
3;3 2 


 





2
2
Câu 9. [DS12.C1.1.D04.c] Biết phương trình  2 x  1 2  4 x  4 x  4  3x 2  9 x  3 0

có nghiệm duy nhất là a . Khi đó:
A. 1  a  2 .
B. 0  a  1 .

C.  2  a   1 .
Lời giải

D.  1  a  0 .

Chọn D
Cách 1:

 





2
2
Đặt f  x   2 x 1 2  4 x  4 x  4  3x 2  9 x  3 .

Kiểm tra cả bốn đáp án ta có
f  1 f  2   0; f  0  f  1  0; f   2  f   1  0; f   1 f  0   0 .

Vậy phương trình có nghiệm a nằm trong khoảng   1; 0  .
Cách 2:

 2 x  1  2 

 



4 x 2  4 x  4  3 x 2  9 x 2  3 0



  2 x  1 2 



 2 x  1
2

2





 3   3 x  2 



  3x 

2
Xét f  t  t. 2  t  3 ; f  t  2  t  3 

2

3



t2

t2 3

 0 . Hàm số đồng biến.

1
5

Khi đó 2 x  1  3x  x  .
Câu 10.[DS12.C1.1.D04.c] (THI HK I THPT KIM LIÊN HÀ NỘI 2018) Cho hàm số
y  f  x  có f '  x   0, x   . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
f  sin x  cos2 x   f  m  có nghiệm với x  .
A. 6.
B. 4.
C. 5.
D. 2.
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết: f '  x   0, x   suy ra hàm số y  f  x  nghịch biến trên  .
Phương trình f  sin x  cos2 x   f  m  có nghiệm với x  .
 sin x  cos 2 x m có nghiệm với x  .
  2sin 2 x  sin x  1 m có nghiệm với x  .
Đặt t sin x, với t    1;1 .
Bài tốn trở thành tìm giá trị m nguyên để phương trình  2t 2  t  1 m có nghiệm t    1;1
.
Xét hàm số y  2t 2  t  1 , t    1;1  y '  4t  1  y ' 0  t  1 .
4


Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình  2t 2  t  1 m có nghiệm với t    1;1 .
9

  2 m 
8  m    2;  1; 0;1 .
Yêu cầu bài toán tương đương với 
 m  

Câu 11. [DS12.C1.1.D04.c] Tìm tất cả các giá trị tham số m để bất phương trình
6x 

 2  x   8  x  x 2  m  1 nghiệm đúng với mọi

A. m 16.

B. m 15.

x    2;8 .

C. m 8.

D.  2 m 16.

Lời giải
Chọn B
Bất phương trình: 6 x   2  x   8  x  x 2  m  1 1 xác định với mọi x    2;8 .
Đặt t   2  x   8  x  , t 0 . Mặt khác: t   2  x   8  x  

2  x 8  x
5 . Do đó

2

0 t 5 với x    2;8 . Ta có: t 2  x 2  6 x  16 .

Bất phương trình  1 trở thành: t 2  t  15 m .
Bất phương trình 6 x   2  x   8  x  x 2  m  1 nghiệm đúng với mọi x    2;8
 t 2  t  15 m với mọi t   0;5

Xét hàm số f (t ) t 2  t  15 trên đoạn  0;5 .
'
Ta có: f (t ) 2t  1  0t   0;5 , hàm đồng biến trên  0;5 , f (t ) liên tục trên đoạn

 0;5 ,
f (t ) f(5) 15
nên max
t 0;5
f (t ) m  m 15 .
Do đó, t 2  t  15 m với mọi t   0;5 x    2;8 . khi và chỉ khi max
t 0;5

Chọn đáp án

B.

Câu 12. [DS12.C1.1.D04.c] Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho pt

 x  1

3

 3  m 3 3 3x  m có đúng hai nghiệm thực:

A. 4.
Chọn C

B. 2.

C. 6.
Lời giải

D. 5


3

pt   x  1  m 3  3 3 x  m  1 . Đặt y  3 3x  m  1 . Ta có
 x  1 3 3 y  m
3
3
  x  1   y  1 3 y  3 x . Suy ra x=y hay x=

3
 y  1 3 x  m
 x 0
3
3x  m  1  m  x 3  3x 2  1  f  x  , f '(x) 0  
 x  2
 m  f  0
 m 1


Để thỏa mãn đề bài thì 
 m 5
 m  f   2 

.

MỨC ĐỘ 2 :
Câu 1. [DS12.C1.1.D04.b] (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hàm số f  x 
có đạo hàm trên R sao cho f  x   0, x  0 . Biết e 2, 718 . Hỏi mệnh đề nào dưới
đây đúng ?
A. f  e   f     2 f  2  .
B. f  1  f  2  2 f  3 .
C. f  e   f    0 .

D. f  e   f     f  3  f  4  .
Lời giải

Chọn D
Ta có f  x   0, x  0 suy ra hàm số f  x  đồng biến trên khoảng  0;   .
+ 2  e   f  2  f  e   f     f  e   f     2 f  2 .
+ 1 2  3  f  1  f  2   f  3  f  1  f  2   2 f  3 .
+ e   f  e   f     f  e   f     0 .
+ e  3;   4  f  e   f  3 , f     f  4   f  e   f     f  3  f  4  .
Câu 2. [DS12.C1.1.D04.b] Cho hàm y  f  x  số có f  x   0 , x   . Tìm tất cả các giá
trị thực của

x

1

 
để f  x   f  2  .
 

1

1



A.  0; 2  .


1





B.   ; 0    2 ;   .C.   ; 2  .














1

D.   ;0    0; 2  .


Lời giải
Chọn D
Ta có: f  x   0, x   nên hàm số y  f  x  nghịch biến trên  .
1

1

 
Do đó: f  x   f  2   x  2 
 

1 2x
1

 0  x    ;0    ;   .
x
2


Câu 3. [DS12.C1.1.D04.b] Cho hàm y  f  x  số có f  x   0 , x   . Tìm tất cả các giá
trị thực của

x

1

 
để f  x   f  2 
 


1

1




A.  0; 2  .


D.







B.   ;0    2 ;   .



1

C.   ; 2  .


1
  ;0    0;  .
 2

Lời giải
Chọn D
Ta có: f  x   0, x   nên hàm số y  f  x  nghịch biến trên  .
1

1

1 2x

1

 


Do đó: f  x   f  2   x  2  x  0  x    ;0    2 ;   .
 


Câu 4: [DS12.C1.1.D04.b] (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hàm số

x 3
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x2
A. Hàm số đồng biến trên  .
y

B. Hàm số đồng biến trên   ;  2  và   2;   .
C. Hàm số nghịch biến trên  \   2 .
D. Hàm số nghịch biến trên   ;  2  và   2;   .
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: D  \   2 .
1

Có y  x  2 2  0  x  D  .


Vậy hàm số nghịch biến trên   ;  2  và   2;   .

MỨC ĐỘ 3:
Câu 1. [DS12.C1.1.D04.c] (HKI-SGD Quảng Trị 2018-2019) Tập nghiệm của bất
phương trình  x  1  2 x  1  3 3 x  6  x  6 là  a; b . Tính a  b .
A. 1 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn D
Điều kiện: x 1 .
x 1 là nghiệm của bất phương trình.
Khi x  1 bất phương trình tương đương với
2 x  1  33 x  6 

x6
0 (*) .
x 1

Xét hàm số f ( x) 2 x  1  3 3 x  6 

x 6
trên D  1;   . Ta có
x 1


f  x  

1

x 1

1
3

 x  6

2



7

 x  6

2

 0 x   1;     f
đồng biến trên D .

Suy ra (*)  f  x   f  2   x 2 .
Vậy S  1; 2 .
Câu 2: [DS12.C1.1.D04.c] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f  6sinx  8cosx   f  m  m  1 
có nghiệm x   ?
A. 6 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 5 .
y

1
-1

O

1

x

2

Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y  f ( x) đồng biến trên 
Do đó f  6sinx  8cosx   f  m  m 1 
 6sinx  8cosx m  m  1

 *

 * có nghiệm khi 62  82 m2  m  1 2
2
 m 2  m  1 100
  10 m 2  m 10
 1  41
 1  41

m 
2
2
m    m    3;  2;  1; 0;1; 2
Vậy có 6 giá trị m nguyên thỏa mãn.

Câu 3. [DS12.C1.1.D04.c] Hàm số f ( x) có đạo hàm trên  và f ( x)  0, x   1;   ,
biết f (2) 1 . Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
A. f  1 2 .
B. f  5  4 .

C. f  3  f  4  2 .
D. f  2018   f  2019  .
Lời giải
Chọn A
Có y  f  x  có đạo hàm trên  , nên y  f  x  liên tục trên  .
Vì f  x   0, x   1;    y  f  x  nghịch biến trên khoảng  1;  .


Suy ra f  1  f  2  .
Vậy phương án A có thể xảy ra.
Câu 4.[DS12.C1.1.D04.c] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x  1 m 2 x 2  1 có
hai nghiệm phân biệt.
A. m 
B.

6
.
6

2
6
.
m
2
2

C. m 
D. 

2

.
2

2
6
m
2
6

Lời giải
Chọn B
Phương trình  m 
2x2 1 
f ' x 

x 1
2x2 1

2 x  x  1
2

2 x 1
2
2 x 1



 f  x ,
1 2x

1
6
. lim f  x   2 ; f    .
2
 2 x 1 x 
2
 2
2

3

BBT.

Vậy

2
6
.
m
2
2

Câu 5. [DS12.C1.1.D04.c] Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f  x  có bảng biến thiên
như sau

Bất phương trình f  x   m  ln x đúng với mọi x   2; 4  khi và chỉ khi
A. m  f  4   2 ln 2.

B. m  f  2   ln 2.

C. m  f  4   2 ln 2.

D. m  f  2   ln 2.


Lời giải
Chọn B
Ta có: f ( x)  m  ln x , x   2; 4   f ( x)  ln x  m x   2; 4  (*) .
Xét hàm số g ( x)  f ( x)  ln x
Ta có: g ( x)  f ( x) 

1
.
x

Ta thấy với x   2; 4  thì f ( x)  0 , 

1
1
 0 nên g ( x)  f ( x)   0 , x   2; 4  .
x
x

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có m g (2)  m  f (2)  ln 2 .
Câu 6. [DS12.C1.1.D04.c] Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f  x  có bảng biến thiên
như sau

Bất phương trình f  x   m  ln x đúng với mọi x   2;3 khi và chỉ khi

A. m  f  2   ln 2.

B. m  f  3  ln 3.

C. m  f  3  ln 3.

D. m  f  2   ln 2.
Lời giải

Chọn C
Ta có: f ( x)  m  ln x , x   2;3  f ( x)  ln x  m x   2;3 (*) .
Xét hàm số g ( x)  f ( x)  ln x
1
x

Ta có: g ( x)  f ( x)  .


Ta thấy với x   2;3 thì f ( x)  0 ,

1
1
 0 nên g ( x )  f ( x)   0 , x   2;3 .
x
x

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có m g (3)  m  f (3)  ln 3 .
Câu 7: [DS12.C1.1.D04.c] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương

3
2
trình 2 x  3 x  m 6 có nghiệm x   0; 2  .
A. 18.
B. 17.
C. 9.
Lời giải
Chọn A

D. Vô số.

2 x3  3 x 2  m 6   6  f  x  2 x 3  3x 2  m 6.
3
2
Xét hàm số f  x  2 x  3x  m trên khoảng  0; 2  .

 x 0

2
Ta có f  x  6 x  6 x ; f  x  0  
.
 x 1

Bảng biến thiên:

3
2
Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình 2 x  3x  m 6 có nghiệm x   0; 2 

  6 m  1 6



  6 m  4 6

  5 m 7
  10 m 2   10 m 7.


Vậy có 18 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 8. [DS12.C1.1.D04.c] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương
trình 3  x  6  x  18  3x  x 2 m 2  m  1 nghiệm đúng x    3, 6 ?
A.  1 m 0 .
C. m  1 .
Chọn B
Với x    3, 6 ta có

B. m  1 hoặc m 2 .
D. 0 m 2 .
Lời giải


2

Đặt t  3  x  6  x  0  t 2  3  x  6  x  9  2  3  x   6  x 
 9 t 2 9  2

 3  x   6  x  9   3  x    6  x  18

 18  3 x  x 2   3  x   6  x   1  t 2  9  ; t   3;3 2 
2

2
f  t   f  3 3 .
Xét f  t   12 t  t  92 , f  t  1  t  0 , t   3;3 2   max
3;3 2 
m  1
f  t  3 m 2  m  1  m 2  m  2 0  
Yêu cầu bài toán  max
 m 2
3;3 2 


 





2
2
Câu 9. [DS12.C1.1.D04.c] Biết phương trình  2 x  1 2  4 x  4 x  4  3x 2  9 x  3 0

có nghiệm duy nhất là a . Khi đó:
A. 1  a  2 .
B. 0  a  1 .

C.  2  a   1 .
Lời giải

D.  1  a  0 .

Chọn D
Cách 1:

 





2
2
Đặt f  x   2 x 1 2  4 x  4 x  4  3x 2  9 x  3 .

Kiểm tra cả bốn đáp án ta có
f  1 f  2   0; f  0  f  1  0; f   2  f   1  0; f   1 f  0   0 .

Vậy phương trình có nghiệm a nằm trong khoảng   1;0  .
Cách 2:

 2 x  1  2 

 



4 x 2  4 x  4  3 x 2  9 x 2  3 0



  2 x  1 2 



 2 x  1
2





2

 3   3 x  2 



2

  3x 

Xét f  t  t. 2  t  3 ; f  t  2  t  3 

2

3



t2
t2 3

 0 . Hàm số đồng biến.

1
5

Khi đó 2 x  1  3x  x  .
Câu 10.[DS12.C1.1.D04.c] (THI HK I THPT KIM LIÊN HÀ NỘI 2018) Cho hàm số
y  f  x  có f '  x   0, x   . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
f  sin x  cos2 x   f  m  có nghiệm với x  .
A. 6.
B. 4.
C. 5.
D. 2.
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết: f '  x   0, x   suy ra hàm số y  f  x  nghịch biến trên  .
Phương trình f  sin x  cos2 x   f  m  có nghiệm với x  .
 sin x  cos 2 x m có nghiệm với x  .
  2sin 2 x  sin x  1 m có nghiệm với x  .


Đặt t sin x, với t    1;1 .
Bài tốn trở thành tìm giá trị m ngun để phương trình  2t 2  t  1 m có nghiệm t    1;1
.
Xét hàm số y  2t 2  t  1 , t    1;1  y '  4t  1  y ' 0  t  1 .
4

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình  2t 2  t  1 m có nghiệm với t    1;1 .
9

  2 m 
8  m    2;  1; 0;1 .
Yêu cầu bài toán tương đương với 
 m  

Câu 11. [DS12.C1.1.D04.c] Tìm tất cả các giá trị tham số m để bất phương trình
6x 

 2  x   8  x  x 2  m  1 nghiệm đúng với mọi

A. m 16.

B. m 15.

x    2;8 .

C. m 8.

D.  2 m 16.

Lời giải
Chọn B
Bất phương trình: 6 x   2  x   8  x  x 2  m  1 1 xác định với mọi x    2;8 .
Đặt t   2  x   8  x  , t 0 . Mặt khác: t   2  x   8  x  

2  x 8  x
5 . Do đó

2

0 t 5 với x    2;8 . Ta có: t 2  x 2  6 x  16 .

Bất phương trình  1 trở thành: t 2  t  15 m .
Bất phương trình 6 x   2  x   8  x  x 2  m  1 nghiệm đúng với mọi x    2;8
 t 2  t  15 m với mọi t   0;5

Xét hàm số f (t ) t 2  t  15 trên đoạn  0;5 .
'
Ta có: f (t ) 2t  1  0t   0;5 , hàm đồng biến trên  0;5 , f (t ) liên tục trên đoạn

 0;5 ,
f (t ) f(5) 15
nên max
t 0;5
f (t ) m  m 15 .
Do đó, t 2  t  15 m với mọi t   0;5 x    2;8 . khi và chỉ khi max
t 0;5

Chọn đáp án

B.

Câu 12. [DS12.C1.1.D04.c] Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho pt

 x  1

3

 3  m 3 3 3x  m có đúng hai nghiệm thực:


A. 4.

B. 2.

C. 6.
Lời giải

D. 5

Chọn C
3

pt   x  1  m 3  3 3 x  m  1 . Đặt y  3 3x  m  1 . Ta có
 x  1 3 3 y  m
3
3
  x  1   y  1 3 y  3 x . Suy ra x=y hay x=

3
 y  1 3 x  m
 x 0
3
3x  m  1  m  x 3  3x 2  1  f  x  , f '(x) 0  
 x  2
 m  f  0
 m 1


Để thỏa mãn đề bài thì 
 m 5
 m  f   2 

.
MỨC ĐỘ 4 :
Câu 1. [DS12.C1.1.D04.d] Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương
x
x
trình f  e   m  3e  2019  có nghiệm x   0;1 khi và chỉ khi

4
.
1011
2
C. m  
.
1011

A. m  

B. m 
D. m 

4
.
3e  2019
f  e

3e  2019

.

Lời giải
Chọn C
Đặt t e x , 0  x  1  1  t  e .
Bất phương trình đã cho có nghiệm x   0;1 khi và chỉ khi bất phương trình
f  t
 m có nghiệm t   1; e  .
3t  2019

Ta lập bảng biến thiên của hàm số y 
y 

f  t   3t  2019   3 f  t 

 3t  2019 

2

.

Dựa vào đồ thị của hàm số f  x  ta có
f  t   0, f  t   0 t  D  y   0 t  D .

f t
trên D  1; e  .
3t  2019

Dưa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán thỏa khi và chỉ khi m 

2
.
1011

Câu 2. [DS12.C1.1.D04.d] Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ
y

O

Bất phương trình
f  1
.
36
f  0

C. m 
36

f  x
36

x 3  2
m
x 1



1

x

đúng với mọi x   0;1 khi và chỉ khi
f  1
.
36
f  0

D. m 
36

A. m 

B. m 
1
.
3 2

1
.
3 2

Lời giải
Chọn C
f  x
x  3  2 f  x
1




, x   0;1 .
36
x 1
36
x 3  2
f  x 
1
2 . Từ đồ thị hàm y  f  x  ta thấy
Có: g  x   36 
2 x 3 x 3  2

Đặt: g  x  





g  x   0, x   0;1

Suy ra: y g  x  là hàm đồng biến trên khoảng  0;1
Vậy bất phương trình

f  x
36



x 3  2
m

x 1

đúng với mọi x   0;1 khi và chỉ khi

m g  0 
 m

Câu3.

f  0

36

1
.
3 2

[DS12.C1.1.D04.d] Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới. Bất phương
x
x
trình f  e   m.  3e  2019  có nghiệm
x   0;1 khi và chỉ khi.


4
.
1011
2
C. m 
.

1011

A. m 

B. m 
D. m 

4
.
3e  2019
f  e

3e  2019

.

Lời giải
Chọn C
Đặt t e x có x   0;1  t   1; e 
f  t
3t  2019
f  t  .  3t  2019   3. f  t 

Bất phương trình trở thành f  t   m.  3t  2019   m 
Xét hàm số g  t  

f t
. Có g  t  
3t  2019

 1 vì

3t  2019  0

2

 3t  2019 
f  t  0; f  t   0 

Dựa vào đồ thị hàm số f  t  với t   1; e 
 g  t  đồng biến trên đoạn  1;e  ta có bảng biến thiên

g  t   0 t   1; e 

x
x
Bất phương trình f  e   m.  3e  2019  có nghiệm x   0;1  Bất phương trình  1 có

nghiệm t   1; e   m 

2
1011
3

2

Câu 4. [DS12.C1.1.D04.d] Cho hàm số f  x  x  3x  8 . Tính tổng các giá trị
nguyên của m để phương trình
f  x  1   m 2 có đúng ba nghiệm phân biệt
A.  2 .

B.  6 .
C. 8 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B
3
Đặt t x  1 phương trình trở thành f  t   2  m  t  3t 2  6  m  1
Phương trình f  x  1   m 2 có 3 nghiệm phân biệt  phương trình  1 có 3
nghiệm phân biệt.
3
2
Xét hàm số g  t  t  3t  6 có bảng biến thiên