Chuyen de gioi han va lien tuc

Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN
CHỦ ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vơ cực, nếu un có thể
nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí
hiệu: lim  un   0 hay u n  0 khi n  +.

n

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực
( n   ), nếu lim  un  a   0. Kí hiệu: lim  un   a hay u n  a khi n  +.
n

n

 Chú ý: lim  un   lim  un  .
n

2. Một vài giới hạn đặc biệt.

1
1
 0 , lim k  0 , n ¢ *
n
n
n

b) lim q  0 với q  1 .
a) lim

 

c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.
a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : vn  un  wn n  ¥ * và

lim  vn   lim  wn   a  lim  un   a .

b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

lim  un  vn   lim  un   lim  vn   a  b
lim  un .vn   lim un .lim vn  a.b

lim

un lim  un  a

 , vn  0 n  ¥ *; b  0
vn lim  vn  b





lim un  lim  un   a ,  un  0 ,a  0 
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có cơng bội q ,với q  1.

lim Sn  lim

u1
1 q

5. Dãy số dần tới vô cực:
a) Ta nói dãy số (un) dần tới vơ cực  un    khi n dần tới vơ cực  n    nếu un lớn
hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)=  hay un  
khi n   .

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 1


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi n   nếu lim  un    .Ký hiệu:
lim(un)=  hay un   khi n   .
c) Định lý:





o Nếu : lim  un   0 un  0 ,n ¥ * thì lim
o Nếu : lim  un    thì lim

1
0
un

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1. Giới hạn của dãy số (un) với un 

1

un

P  n
với P,Q là các đa thức:
Q  n

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số
và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : lim  un  

a0
.
b0

o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0.
o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=  .
2. Giới hạn của dãy số dạng: un 

f n
, f và g là các biển thức chứa căn.
gn

o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
C. CÁC VÍ DỤ.

3n2  2n  5
2 5
3  2
2
2
3n  2n  5
n
n n 3
1. lim
 lim
lim
2
2
1 8 7
7n  n  8
7n  n  8
7


n n2
n2
1
n2  1  4n
1 2  4
2
n  1  4n

1 4 5
n
n
 lim
 lim


2. lim
3n  2
2
3n  2
3
3
3
n
n
3. lim




n  2n  3  n   lim
2

n2  2n  3  n



n 2  2n  3  n

n2  2n  3  n

  lim n  2n  3  n
2

2

n 2  2n  3  n

3
2n  3
2n  3
2
n
 lim
 lim
 lim

1
11


2 3
2 3
n2  2n  3  n
1  2 1
n  1   2  1
n n
n
n



2

n2  2n  3  n là biểu thức liên hợp của

n2  2n  3  n

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 2


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

 1 1  1
 1
4. 1           ...    
 2 4  8
 2

 n1

 ... 

1
2
 . Tổng của cấp số nhân lùi vô

 1 3
1   
 2

1
và số hạng đầu u1=1.
2
n3  2n  1
2 1
1 2  3
3
3
n  2n  1
n
n   .
5. lim 2
 lim 2 n
 lim
1
1
3
2n  n  3
2n  n  3


n n 2 n3
n3
2
3
n  2  3 n  3  n  2   3 n  2. 3 n  3 n 2 



6. lim 3 n  2  3 n  lim
hạn có cơng bội q  









 lim
3

3

3

n2

 n  2

2



  n
3

3

 n  2

3

 n  2

2

 3 n  2. 3 n  3 n2

 n  2. n  n
3

3

 3 n  2. 3 n  3 n2

3

2

 lim

2

3

2

n2n

 lim
3

 n  2

2

 3 n  2. 3 n  3 n 2

0

D. BÀI TẬP
1. Tìm các giới hạn:

7n 2  n
5n2  2
2n  1
lim
n2
3n2  1
lim 2
n 4
6n3  3n  1
lim
7n 3  2 n
n 2  2n  4

lim 3
7n  2 n  9

n2  2

a) lim

f) lim

b)

8n3  1
g) lim
2n  5

c)
d)
e)

3

h) lim

1  2  3  4  ...  n
n2  3

3n2  1  n2  1
n

n 2  2n  3  n





b) lim

5sin  n   7cos  n 
2n  1

b) lim



3. Tìm các giới hạn sau:
a) lim



i) lim

2. Tìm các giới hạn sau:
a) lim

4n2  2

n 1  n

3



n3  2n 2  n



__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 3


Giải tích 11
c) lim



Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
n2  1  n2  2



h) lim

1  a  a  a  a  ...  a
d) lim
1  b  b2  b3  b 4  ...  b n
2

3

n2  3 1  n6

4

n

2 n3
e) lim 4
n  3n2  2
n
n   1
f) lim
 n1
2n2   1

n 4  1  n2

 2n

a  1, b  1
i) lim



1 
1 
1  
1 
1


1

...
1






22  32  42   n2 



1

2
 n 1

4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vơ hạn sau:

b) lim

2n3  11n  1
n2  2
1







k) lim 



n 3

 n  1 n  2 

j) lim  1 

g) lim 1  n2  n 4  3n  1

a) lim



n 1

c) lim  n





3



1
n2  2

 ... 



n2  n 
1



n3  n 2  n 


n2  2  n2  4

________________________________________________________________________________

CHỦ ĐỀ 2 :GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là
L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn  K và xn  a , n  ¥ * mà lim(xn)=a đều có
lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim  f  x   L .
x a

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim  f  x   L , lim  g  x   M thì:
x a

x a

lim  f  x   g  x   lim  f  x   lim  g  x   L  M
x a

x a

x a

lim  f  x  .g  x   lim  f  x  .lim  g  x   L.M
x a

lim
x a

x a

x a

 f  x   L
f  x  lim
 x a

,M0
g  x  lim  g  x   M
x a

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017

Trang 4


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
lim f  x   lim  f  x    L ; f  x   0, L  0
x a
x a

c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a),
g(x)  f(x)  h(x) x  K , x  a và lim  g  x   lim h  x   L  lim  f  x   L .
x a

x a

x a

3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có
lim[f(xn)]=  thì ta nói f(x) dần tới vơ cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim  f  x    .
x a

b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) =  đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L
khi x dần tới vơ cực, kí hiệu: lim  f  x   L .
x 

c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a n  ¥ * , thì ta
nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : lim  f  x   . Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số
x a

(xn), xn < a n  ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: lim  f  x  
x a
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
*

f x  0 
 
g x   0 

1. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x a

o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.

f  x   
 
x  g  x 


2. Giới hạn của hàm số dạng: lim

o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x   thì coi như x>0, nếu
x   thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng: lim  f  x  .g  x 
x 



 0.  . Ta biến đổi về dạng:   


4. Giới hạn của hàm số dạng: lim  f  x   g  x  
x 

o Đưa về dạng: lim
x 

C. CÁC VÍ DỤ



f  x  g x 





 - 

f  x   g x 

x 2  3x  2  2   3  2   2
12
1. lim

   3
x 2

x 2
4
 2   2
2. lim
x 2

2

 x  2  x  1  lim x  1  2  1  1 .Chia tử và mẫu cho (x-2).
x 2  3x  2
 lim
 
x 2
x 2
x 2
x2

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 5


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số



 x  1  2 3x  3  lim  x  1  4   3x  3
3x  3   x  1  2 

 3x  3 x  1  2 3x  3
 x  3  3 x  3
 3x  3   3.3  3  6  1
 lim
 lim
3  x  3  x  1  2 
3  x  1  2  3  3  1  2  12 2
x 1  2
 lim
x 3
3x  3

3. lim
x 3

x 1  2

2

x 3

x 3

x 3


x 2  3x  1
 
 xlim
3

x 2  3x  1
x 3
4. lim
  (vì tử dần về 1 cịn mẫu dần về 0).Cụ thể: 
2
x 3
x 3
 lim x  3 x  1  
 x 3 x  3
2x2  x  1
 x  1 2 x 2  x  1
2 x3  x2  1
5. lim 3
 lim
 lim
.
2
x 1 x  4 x 2  5 x  2
x 1
x 1  x  1 x  2 
 x  1  x  2 









2x2  x  3
1 3
2  2
2
2
2x  x  3
x
x x  2 2
6. lim
 lim
 lim
2
2
x 
x 
x 
1
x 1
x 1
1
1

2
x
x2
7. lim x  1  0
x 1

1
2

x 1
1
x
8. lim
 lim
 lim 1  2  1
x 
x 
x 
x
x
x
1
1
x 1 2
x 1  2
2
x 1
x  lim
x  lim   1  1   1 .
 lim
9. lim

2 

x 
x 
x 
x  
x

x
x
x


2
 x  x  3  x  1

10. Cho hàm số : f  x    x+a
. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và
 x>1

 x
2

x 1

tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có : lim  f  x    lim x  x  3  3 .
x 1

x 1



2



xa
 a 1
x 1
x 1
x
Vậy lim  f  x   3  a  1  3  a  2
lim  f  x    lim

x 1

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 6


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số





 x  2 x2  2x  4
x3  8
0
11. lim
 lim
 lim x 2  2 x  4  12 . Dạng   .
x 2 x  2

x 2
x 2
x 2
0
x3  2x  1
2
1
1


3
x  2x  1
x3
x 2 x 3  1 . Dạng    .
12. lim

lim

lim
 
x 
x 
x 
1
2x3  1
2x3  1
2

2 3
3

x
x
2  3 x 2  x  1
2  3 x 2  x  1


2
2
x2
13. lim 
3
x

x

1

lim

lim



3 3
x 
x 
x 
x. 3 x 3  1
x. 3 x 3  1
 x. x  1 

x2
1 1 

2 3   2 
x x  6
 lim 
 6
x 
1
1
3 1
x3
14. lim

x 



x2


 x  3  x   lim
x 

x3

 lim

x  x 3  x
2

x 

Dạng      .
D. BÀI TẬP.
1. Tìm các giới hạn sau:
a) lim x 3  4 x 2  10


lim  5x
x 0

b)

x 3

2

 7x



x2  5
c) lim
x 1 x  5
x 2  2 x  15
d) lim
x 3
x 3
2

2 x  3x  1
e) lim
x 1
x2  1



 lim

x 



x2  x  3  x





x2  x  3  x

x2  x  3  x

  lim x
x 

2

 x  3  x2

x2  x  3  x

x 3
3
1
1
x
x
 lim
 .
x 2  x  3  x x  1  1  3  1 2
x x2
x

x3  x2  x  1
f) lim
x 1
x 1
4
x  a4
g) lim
x a x  a
x 2  3x  3
h) lim
x 7
x2

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 7

Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

2. Tìm các giới hạn :
a)
b)
c)
d)
e)

2 x 2  3x  1
f) lim 3
x 1 x  x 2  x  1
x2  4x  3
g) lim
x 3
x 3
6
4 x  5x 5  x
h) lim
2
x 1
1  x 

x  1  x2  x  1
lim
x 0

x
x x2
lim
x 2
4x  1  3
1 3 x 1
lim
x 0
3x
3
x 1
lim
x 1
x2  3  2
x 2  3x  2
lim
2
x 2
 x  2

i) lim

3

x 2

3. Tìm các giới hạn sau:

3x 2  5x  1
a) lim

x 
x2  2
2
2
x  1 . 7 x  2 

b) lim
4
x 
 2 x  1

d) lim
x 



8 x  11  x  7
x 2  3x  2

x2  4x  x



sin  2 x   2 cos  x 
.
x 
x2  x  1

e) lim

 2 x  1  5x  3
lim
 2 x  1  x  1
2

c)

x 

3

4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem lim  f  x   có tồn
x  x0
tại không trong các trƣờng hợp sau:

 2x  1

a) f  x    x
5 x  3


 x2  x  2

b) f  x    x  1
x2  x  1

 4  x2

c) f  x    x  2
1  2 x



 x>1
 x  1

tại x0 = 1

 x>1
 x  1
 x<2 
 x  2

tại x0 = 1

tại x0 = 2

x 3  3x  2
d) f  x   2
tại x0 = 1
x  5x  4

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 8


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

5. Tìm các giới hạn:
a) lim  x
x 







x2  5  x 


b) lim

x 



x2  x  3  x



________________________________________________________________________________
HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0  (a;b)
nếu: lim  f  x    f  x0  .Điểm x0 tại đó f(x) khơng liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm
x  x0

số.
o f(x) xác định trên khoảng (a;b)
liên tục tại điểm x0  (a;b)  lim  f  x   lim  f  x   lim  f  x   f  x0  .
x  x0
x  x0
x  x0
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng ấy.
o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên

 lim  f  x    f  a 
 x a
khoảng (a;b) và 
 f  x    f  b 
 xlim
b 

2. Một số định lý về hàm số liên tục:
o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: f  x   g  x  , f  x  .g  x  ,

f  x
g x

 g  x   0

cũng liên tục tại x0 .
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của
chúng.
o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa

GTLN và GTNN trên đoạn đó.
 Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c (a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

 g  x 
a

1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f  x   
o

 x  x0 
 x=x 0 

Tìm lim  g  x   .Hàm số liên tục tại x0  lim  g  x    a .
x  x0
x  x0

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 9


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

g  x 
 x

2. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f  x   a
 x=x0 

 x>x0 
h  x 
 lim  f  x    lim  g  x  
x  x0
 x  x0

o Tìm :  lim  f  x    lim  g  x   . Hàm số liên tục tại x = x0
x  x0
 x  x0
 f  x0 

 lim  f  x   lim  f  x   f  x0   a .
x  x0

x  x0

3. Chứng minh phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
o Chứng tỏ f(a).f(b)<0
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có
hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có
nghiệm.
C. CÁC VÍ DỤ.

 x2  1


1. Cho hàm số: f  x    x  1
a


 x  1 a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số
 x=1

tại x0 = 1.

Giải

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(1) = a.

lim
x 1

 x  1 x  1  lim x  1  2
x2  1
 lim
 
x 1
x  1 x 1
x 1

Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.
Nếu a  2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.

 x 2  1
2. Cho hàm số: f  x   

x

x  0
. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.
x

0


Giải

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(0) = 0

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 10


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

lim  f  x   lim x  0

x 0 

x 0





lim  f  x   lim x 2  1  1  0= lim  f  x   lim x

x 0

x 0

x 0

Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.

ax  2
2
x +x-1

3. Cho hàm số: f  x   

.

x 0

 x  1
 x  1

. Xét tính liên tục của hàm số trên tồn

trục số.
Giải

x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.
x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục.
Khi x = 1:
Ta có f(1) = a+2

lim  f  x   lim  ax  2   a  2
x 1

x 1





lim  f  x   lim x  x  1  1
x 1

x 1

2

.

Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1.
Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a  -1.
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên  ;1  1;   nếu
a  -1.
D. BÀI TẬP
1. Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x khơng, nếu chúng khơng liên tục thì chỉ ra
các điểm gián đoạn.

a) f(x) = x3 – 2x2 + 3x + 1
 x 2  16

2x  1
2
x  3x  2
x 2  5x  6
c) f  x  
x2  2x

 ax 2
2. Cho hàm số: f  x   
3
3.
a)
b)
c)
d)
e)
4.



 x  4

8


 x=4 

d) f  x    x  4

b) f  x  

 x  2
 x>2 

a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại mọi x,

khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số.
Chứng minh rằng phƣơng trình:
3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm
4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).
x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt.
x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2).
2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2].
Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R:

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 11


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

 3 3x  2

a) f  x    x  2

ax  1

4

1
 x  a

 x>2 

b) f  x   

x  2

 x<0 
 x  0

5. Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trƣờng hợp sau:

1  2 x  3

a) f  x   
2x
1


x  2
 x  2

 x 3 -x2 +2x-2


b) f  x   
x 1
4


 x 2 -x-6
x x 3

 

c) f  x   a

b


 x  1
 x  1

x

2

 3x  0

 x  0
 x=3

tại x0 = 2

tại x0 = 1.


tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3.

MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG
GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11
Sở GD&ĐT Phú Yên
Trường THPT Trần Suyền

ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 11
( Chương IV: Giới hạn

Câu1:(5 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

6n 3  2n  1
2n 3  n

d) lim

x 



x xx
2

b) xlim
 4 



x7
2x  8

1  2 x  3 1  3x
e) lim
x 0
x

c) xlim
 1

x5 2
x 1

f) lim(3n 3  5n 2  7)

Câu 2:(3 điểm)
 x 2  5x  6
Cho f ( x)   x  2 , nêux  2 .Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo  2 .
mx  1, nêux  2


__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 12


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình :
x 4  5 x  3  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2;0).
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƢƠNG 4
MÔN: ĐẠI SỐ 11NC( Năm học : 2010-2011)
Câu 1: (6 điểm) Tìm các giới han sau:

4n  5
2n  3
3 x 2  11x  6
d) lim
x 3
x 3

b) lim  3 x 7  5 x 5  7 x  4 

a) lim

c) lim

x 

e) lim

x 

Câu 2: (3điểm) Cho hàm số:



x2  2x  x

x 3



f)

2x  1
3 x
lim
x 0

1  2 x  3 1  3x
x

 7 x  10  2
,x  2

f ( x)  
, Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.
x2
mx  3, x  2






Câu 3:( 1điểm) Cho phương trình: m4  m  1 x 2010  x 5  32  0 , m là tham số
CMR phương trình trên ln có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m
Đề 01

Bµi 1: TÝnh lim  2 x  5
x 2

Bµi 2: Tìm các gới hạn sau:
a) lim

3n 4n 2
2 n  3  5n

b) lim

d) lim

x x2
x 2  3x  2

e) lim 2 x  1  4 x 2  4 x  2

x2

x 

2n  3
n5

2 x  x2  x  1
x 
3x  2


sin  x  
6

f) lim
3  2cosx
x
6

c) lim





Bµi 3:XÐt tÝnh liên tục của hàm số sau trên tập xác định cña nã
 x 2  2 x, x  1

y = f(x) = 

 x  a, x  1

, với a là tham số.

Bài 4: Chứng minh rằng ph-ơng tr×nh x3 – 3x + 1 = 0 cã ba nghiệm phân biệt trong khoảng (-2 ;
2).

02
Cõu 1:Tớnh cỏc giới hạn sau:
a) lim

3n  5
4n  7

b) lim

2n 2  3n  7
n 3  9n  2

Câu 2:Tính các giới hạn sau

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 13


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
x2  5x  2
x 
2 x 1

x3  x 2  2 x  8
x 2
x 2  3x  2

a) lim( x3  5 x 2  10 x  8)

b) lim

x 5

x3  4 x  3  4 x

3

d) lim ( 3x 2  1  x 3)

e) lim

x 

c) lim

9 x2  5x  1  4 x

x 

Câu 3: a) Tìm số thực a sao cho hàm số
 1  x2 1
3

f ( x)   1  x  1
 1
a  2

víi x  0

Liên tục trên ¡
víi x  0

b) Chứng minh rằng phương trình: sin x  1  x  0 có nghiệm.
Đề 03
Câu 1: Tính giới hạn:
3n3  5n  7
a. lim
n 2  2

b. lim

Câu 2:Tính các giới hạn sau:

b) lim

x 

x 3

n 2  4n  5  n

2x 1
x 1 x  3 x  4

a) lim (3x 2  5 x  7)
d) lim



9  x2
2x2  7 x  3

c) lim ( 3 x  1  3 x )

2

e, lim

x 


x 

4 x 2  2 x  1  3x  1
3x  5

Câu 3:a) Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x  R
 3 3x  2  2

f ( x)   x  2
ax + 1

4

víi x  2
víi x  2

b) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
2 x3 10 x  7  0

Đề 04
C©u 1: TÝnh :
 n

a) lim  2  1
 n 1 

1
b) lim
n 1  n

x2  2
d) lim
x 1 x  1

e) lim

x 

2x  3
2x2  3

.

3x 2  5 x  2
c) lim
x 1

x 1
1  3 cos2x
x 0
sin 2 x

f) lim

C©u 2: Tìm số thực a sao cho hàm số:
x3 3x  2

f  x   x 1
1-a  x ;


;x 1

liªn tơc trªn R

x=1

__________________________________________________________________________
Thầy : Hồng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 14


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

C©u 3: Chøng minh rằng ph-ơng trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

1 m x
2

5

3x 1 0

1

u1 2
Câu 4: Tìm số hạng tổng quát của dÃy số
. Khi đó tính : limUn
u  1 u
 n 1 2 n

Đề 05
Câu 1: Tính giới hạn:
a) lim

9n3  5n  7
n 2  2

b) lim

Câu 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim (3x 2  5 x  7)

b) lim

x 1

x 

9  x2

d) lim

2 x2  7 x  3

x 3



2n 2  n  1  n  2



12 x  1
c) lim ( 4 x  1  4 x  5)
x 
x  3x  4
2
 2 x  1 .  5 x 2  2 
e) lim
3
x 
 3  2 x  ( x  1)
2

Câu 3:a) Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x  R
 3 3x  2  2

f ( x)   2  x
ax + 1

4

víi x  2
víi x  2

b) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m:
x6  mx5  x 4  mx3  (2  3m) x  m2 3m 7 0

06
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
2n
n 3 32 ... 3n

1. lim
4. lim

x 



x2  x  1  x

2. lim
x 1



1 
2 
x  2

x  1
x  1
3

5. lim

x 3

3. lim

x 

x . x4  1
1  x 2 . 3 x3  1

x53 4 x  x2
.
x3

 2 x 2  5 x  3
, x3

Bµi 2 . Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f(x) =

.
x 3
a 7
, x3


Bài 3. Chứng minh ph-ơng trình sau có Ýt nhÊt ba nghiƯm: x5 = 5x + 1.
Đề 07
Bµi 1. Tìm các giới hạn sau:

__________________________________________________________________________
Thy : Hong Thỏi Vit – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 15


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

1  n2
n  1  3  ...  (2 n  1)

1. lim



x





1 

3


2. lim  3

x 1 x  1
x  1

x5  1

3

3x  2  3 x  3  x  1
.
x2

 1
3. lim x 
4. lim 3
5. lim
x 1 x  1
x 
x 2
x 2

Bµi 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

3 x 2 2 x  16
, x2

f(x) = 
.
x  2
2
, x2


Bµi 3. Chøng minh ph-ơng trình sau có ba nghiệm phân biệt: 2x3 + 1 = 5x.
08
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:



1. lim n  n 2  3n
n 

x2  x  1 
4. lim
x 0
x
3

3



3x  2

2. lim

x 1

x2  2x  2  x

x 

x3  1

3. lim

x2  x  2  1  x
x4  x

x3  4 6  x
5. lim
.
x 2
x2

6
 1
 x  2  x  2 x 2  2 ; x 2


Bài 2 . Xét tính liên tục của hàm số f(x) =

tại điểm x = 2.

3
; x 2


Bài 3 . Chứng minh ph-ơng trình sau có nghiƯm: sin x + 1 = x2 – x.
Đề 09
Bµi 1. Tìm các giới hạn sau:
1. lim

n
3

4. lim
x 0



n 2  2n  2n

x2  x  1 
x

3



x3  1

2. lim

x

x 

x2  2x  2
2x  3

3. lim
x 1

x3  4 2  x
.
x 2
x2

x2  x  2 
x4  x

x 1

1  cosx
x  0 s inx.sin2x

5. lim

6) lim

6

 1
 x  2  x  2 x2  2 ; x  2


Bµi 2 . Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
tại điểm x = 2.

2
;x 2


Bài 3 . Chứng minh ph-ơng trình sau có nghiệm: cos x + 1 = x2 + x.
10
Câu 1. Tìm các giới hạn sau
a) lim

x 2

2 x
x  11  3

d) lim  5 x3  x 2  2 x  1
x 

x 2  3x  2
x 2
x2

b) lim

e) lim

x 



x2  x  3  x  2

c) lim
x 2





f) lim
x

3

3x  5
2x  4

2s inx- 3
2cosx-1

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 16

Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
1

Câu 2. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 +…+

n3

+ ….

3
Câu 3 Phương trình sau: x3  3x 2  4 x  7  0 có nghiệm hay khơng trong khoảng ( -4;0)

 x 2  x  2Nếu x  1

f ( x)   x  1
4
Nếu x= -1


Câu 4. Xét tính liên tục của hàm số sau trờn R

11
Câu 1. Tìm các giới hạn sau:
1 2x  1
x 2  3x  2
lim
a) x  0

b) lim
x 2
x2
x2
3

d) lim (3x3  2 x 2  x  1)

e) lim

x 

Câu 2.Tính tổng S =

x 

c) lim



x 3

x  2x 1  x
5x  1
3

2

d) lim
x

2

x4
3 x

s inx- 1+cos2 x
cos 2 x

1 1 1
1
   .....  n  ..
2 4 8
2

Câu 3. Chứng minh phương trình sau : x3 - 3x - 1 = 0 có 2 nghiệm
1  cos2x
;x  0

Câu 4.Xét tính liên tục của hàm số sau f ( x)   sin 2 x
cosx
;x<0


ĐỀ SỐ 12:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
n3  3n 2  1
a) lim
1  2n  2n 3

(n  1) 2 (2n  1) 4
b) lim
(2n  3)3 .n3

2n 1  3.4n  2  1
c) lim n
3  2.4n  2  2

Câu 2:Tính các giới hạn sau:
2 x2  5x  3
x 1
1  x2

a) lim

2 x2  x  1
x 3
x 3

b) lim

c) lim ( 4 x 2  2 x  1  2 x)
x 

Câu 3: a.Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập  0;3
 x 9

f ( x)   2 x  3

x  5





x2 x
x2 3  4 x  1

d) lim

nêu x  3
nêu x  3

b.Chứng minh rằng phương trình x3  3x  1  0 có ít nhất 2 nghiệm, trong đó có một nghiệm:
x0  5 3

ĐỀ SỐ 13:
Câu 1:Tính các giới hạn sau:
n 4  2n  1
a. lim
2  3n 2  2n 4

(2n  1)3 (n  1)3
b. lim
(1  2n) 4 .(n  2) 2

2  3.2n 1  3.4n  2
c. lim n 1
4  2.3n 1  1

Câu 2:Tính các giới hạn sau:

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 17


Giải tích 11
3x 2  4 x  7
x 1
1  x2

a) lim

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
b. lim


x 1

x2  x  2
x 1

c. lim ( x 2  x  1  x)
x 

d. lim
x 1

1  cosx

3x  1  2 x
e) lim
x 0
s in 2 x
1 x

 x  2  3 3x  2
;x  2

Câu 3:Định a để hàm số liên tục trên  2;   biết : f  x   
x2
ax+1
;x=2

a) Chứng minh rằng phương trình x3  3x  1  0 có ít nhất 2 nghiệm.

Trường THPT Nguyễn Du ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề A
Tổ : Tốn-Tin
Câu 1: Tính các giới hạn sau :
3x 2  2 x  7
x 1
x1
4
2x 1  5 x  2
lim
x 1
x 1

2 x2  5x  2

a) lim


b) lim 2
x2 x  x  6

 x 2  3x  2
khi x> 1

Câu 2: Cho f(x) =  x  1
3m 4  2m 2 khi x  1


c) lim
x 1

d)

Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1 .

Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong (-1;2) :
Trường THPT Nguyễn Du
Tổ : Toán-Tin

x3  2  x
x 1

3x5  2 x 2  mx  3  0

ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề B

Câu 1: Tính các giới hạn sau :
a) lim
x 2

x3  66  x
x2

3x 2  5 x  2

b) lim 2
x  x6
x2

 x  3x  4
khi x> 1

Câu 2: Cho f(x) =  x  1
 m 4  4m 2 khi x  1


3x 2  2 x  7
x 1
x1

c) lim

5

d) lim

x 1

4  5x  6 4 x  3
x 1

2

Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1
x5  2(m  1) x 2  mx  3  0

Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc (2;1) :
Trường THPT Nguyễn Du
Tổ : Toán-Tin

ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề C
x3  66  x
x2
x 2
5
cos x  6 cosx
d) lim
sin 2 x
x 0

Câu 1: Tính các giới hạn sau : a) lim
3x 2  2 x  7
c) lim
x 1
x1

3x 2  5 x  2

b) lim 2
x  x6
x2
e) lim
x 

sin(2013x)
sin(2012 x)

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 18


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

 x 2  3x  2
khi x> 1

Câu 2: Cho f(x) =  x  1
3m 4  2m 2 khi x  1


Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1

Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc (2;1) :

x5  2(m  1) x 2  mx  3  0

Đề 1:
Bài 1:Tìm giới hạn của hàm số:
3x 2  5 x  2
2
x  2 x  4 x  4

3 x 5
;
x  4 x 2  6 x  8

a) lim

b) lim

c) lim  3 x 7  5 x 5  7 x  4  ;

d) lim

x 

x 



x2  2x  x



Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên tập xác định
 6  x  x2

f ( x)   x  2
 2 x  m


với x  2
với x  2

Bài 3: Chứng minh phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: x5+6x4 -1=0
ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1 (3điểm):Tính giới hạn của các dãy số sau:
n 2  2n  n
(2n 2  3)(5n3  2)
a) lim
b)lim
1  3n 4  5n5
4 n 2  n  2n
c) lim( 3 n  1  3 n)
Câu 2(3điểm) :Tính giới hạn của các hàm số sau:
-6x 3 +7x 2  4x +3
a) lim 5
x  8x  5x 4  2x 2  1
b) lim ( x 2  x  4  x 2 )
x 

c) lim
x 0

1  2x  3 1  3x
x2

Câu 3(4điểm ):
a) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 2
 2x+5  3
nêu x >2

2

x
f ( x)  
- x
nêu x  2
 6

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 19


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

b) Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
2m( x  1)2 ( x  2)  2x-3=0

ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN. ĐỀ 01

Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau:
a) lim

3n  5
4n  7

b) lim

2n 2  3n  7
n 3  9n  2

Câu 2. (4 điểm). Tính các giới hạn sau:
x3  x 2  2 x  8
x 2
x 2  3x  2

a) lim( x3  5 x 2  10 x  8)

b) lim

x 5

x2  5x  2
x 
2 x 1

c) lim

d) lim

x 1

x2  x  2  1  x
x4  x

Câu 3. (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau trên R :

 x2  x  2
khi x  1

f (x)   x  1
4
khi x  1

Câu 4. (2 điểm). Phương trình sau: x3  3x 2  4 x  7  0 có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)
ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN. ĐỀ 02
Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau:
a) lim

2n  5
6n  1

b) lim

2n 2  n  1
n 4  3n  2

Câu 2. (4 điểm). Tính các giới hạn sau:
x3  x 2  2 x  8
x 2

x 2  3x  2

a) lim(5 x3  10 x 2  10 x  8)

b) lim

x 2

x2  5x  2
x 
2 x 1

c) lim

d) lim

x 1

x2  x  2  1  x
x4  x

Câu 3. (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau trên R :

 x2  x  2
khi x  2

f (x)   x  2
3
khi x  2


Câu 4. (2 điểm). Phương trình sau: x3  3x 2  4 x  7  0 có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)
Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau:
3n  5
a) lim
4n  7

2n 2  3n  7
b) lim 3
n  9n  2

Câu 2. (4 điểm). Tính các giới hạn sau:

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 20


Giải tích 11

Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

a) lim( x3  5 x 2  10 x  8)
x 5

x2  5x  2
c) lim
x 
2 x 1

x3  x 2  2 x  8

x 2
x 2  3x  2

b) lim
d) lim

x 1

x2  x  2  1  x
x4  x

Câu 3. (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau trên R :

 x2  x  2
khi x  1

f (x)   x  1
4
khi x  1

Câu 4. (2 điểm). Phương trình sau: x3  3x 2  4 x  7  0 có nghiệm hay khơng trong khoảng ( -4;0)

__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017
Trang 21