Giải tích 1Chương 1: Giới hạn và liên tục

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục


• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)


Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một
biến và phương trình vi phân.
Mục tiêu của môn học Toán 1
Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán,
biết vận dụng giải các bài toán cụ thể.
Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa
học kỹ thuật.
Giới hạn và liên tục
Đạo hàm và vi phân
Tích phân hàm một biến
Phương trình vi phân
Nhiệm vụ của sinh viên.
Đi học đầy đủ.
Làm tất cả các bài tập cho về nhà.
Đọc bài mới trước khi đến lớp.
Đánh giá, kiểm tra.
Thi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút
Thi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút.
Tài
liệu tham khảo

1
. Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,… Phép tính vi phân hàm một biến.
NXBGD,
2005
2
. Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1.
4
. James Stewart. Calculus, fifth edition, 2005.
5
.
3
. Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia
Nội dung

0.1 – Giới hạn của dãy số thực
0.2 – Giới hạn của hàm số
0.3 – Liên tục của hàm số
Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng.
Nguyên lý supremum.
Tập khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng.
Giá
trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp A
được
gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu là supA,
supremum
của A)
Định
nghĩa
Giá
trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp A

được
gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA,
(
infimum của A)
I. Giới hạn của dãy số thực

Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập
số thực R.
Định nghĩa
:
u N R
→
( )
n u n
a
Thường dùng ký hiệu: hay đơn giản
(
)
1
n
n
u
∞
=
(
)
n
u
được gọi là số hạng thứ n của dãy.
n

u
Ví dụ:
Dãy số là tập hợp vô hạn các số thực được đánh số
theo thứ tự:
{
}
1 2
, , , ,
n
u u u
( )
( 1)
1
n
n
u
n
 
−
=
 
 
+
 
( )
( )
1
1 1 1
, , , , ,
2 3 4 1

n
n
u
n
 
−
− −
 
=
 
+
 
 
Ghi ở dạng tường minh, ta có
Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi là
dãy hội tụ.
Số được gọi là giới hạn của dãy số , nếu
Định nghĩa
(
)
0 0
0,

n
n n n u a
ε ε
∀ > ∃ > ⇒ − <
Ký hiệu: hay
a
(

)
n
u
lim
n
n
u a
→+∞
=
n
n
u a
→+∞
→
Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ.

Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng
Ví

dụ
:

lim 1
1
n
n
n
→∞
=
+

0
ε
∀ >
1
1
n
n
ε
− <
+
1
1
n
ε
⇔ <
+
1
1
n
ε
⇔ > −
Chọn số tự nhiên
0
1
1
n
ε
> −
Khi đó
0

:| 1| 1
1
n
n
n n u
n
∀ > − = −
+
0
1 1
1 1n n
ε
= < <
+ +
lim 1
1
n
n
n
→∞
⇒ =
+
(theo định nghĩa)
Số không là giới hạn của dãy số , nếu
(
)
1
0 1 0
0, &
n

n N n n u a
ε ε
∃ > ∀ ∈ ∃ ≥ − ≥
a
(
)
n
u
Số a không là giới hạn của dãy , nếu tồn tại số
(
)
n
u
dương để với mọi số tự nhiên n tìm được số tự
0
ε
>
sao cho
1 0
n n
≥
1
.
n
u a
ε
− ≥
Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn
Ví

dụ
:

( )
1
1
1
n
n
n
∞
=
 
− +
 
 
a R
∀ ∈
1 1
,
2 2
a a
 
− +
 
 
Xét khoảng
Chứng tỏ:
1
| | 1

n n
u u
+
− >
2
1
1 1
2
k
u
k
= + >
Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với
chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ.
2 1
1
1 0
2 1
k
u
k
±
= − + <
±
1
| | 1
n n
u u
+
⇒ − >

Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng
này. Vậy không tồn tại giới hạn.
Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn)
khi và chỉ khi:

Định

nghĩa

(
)
0 0
0,
N
n
A n n n u A
∀ > ∃ ∈ > ⇒ >
Ký hiệu: hay
(
)
n
u
lim
n
n
u
→+∞
= +∞
n
n

u
→+∞
→+∞
+∞
+∞
Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn)
khi và chỉ khi:
(
)
0 0
0,
N
n
B n n n u B
∀ < ∃ ∈ >
⇒
<
Ký hiệu: hay
(
)
n
u
lim
n
n
u
→+∞
= −∞
n
n

u
→+∞
→−∞
−∞
−∞
Nếu dãy hội tụ đến hai số a và b, thì a = b.
Mệnh đề 1 (tính duy nhất của giới hạn)
(
)
n
u
(
)
( )
:
:
a a n
b b n
n n n u a
n n n u b
ε
ε

∃ ∀ > ⇒ − <

⇒

∃ ∀ > ⇒ − <



Giả sử và .
lim
lim
n
n
n
n
u a
u b
→+∞
→+∞
=



=


a b
≠
Đặt
3
a b
ε
−
=
Đặt
{
}
0

,
Max
a b
n n n
=
n n n n
a b a u u b u a u b
− = − + − ≤ − + −
2
2 | |
3
a b a b
ε ε ε
⇔ − < + = = −
Mâu thuẫn.

Tính

chất

của

giới

hạn

Ta có
đều hội tụ.
Nếu các dãy hội tụ và , thì
(

)
(
)
,
n n
u v
(
)
(
)
,
n n
u a v b
→ →
{
} { }
{ }
; ; ( 0 0); , &
n
n n n n n n
n
u
u v u v v b u
v
 
± ⋅ ≠ ≠
 
 
các dãy
(

)
1) lim
n n
n
u v a b
→∞
± = ±
(
)
2) lim
n n
n
u v a b
→∞
⋅ = ⋅
3) lim
n
n
n
u
a
v b
→∞
 
=
 
 
4) lim | |
n
n

u a
→∞
=
Ta nói dãy bị chặn trên, nếu

Định

nghĩa

(
)
n
u
: ,
n
A R n N u A
∃ ∈ ∀ ∈ ≤
Ta nói dãy bị chặn dưới, nếu
: ,
n
B R n N u B
∃ ∈ ∀ ∈ ≥
(
)
n
u
Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy
bị chặn.
Ta nói dãy là dãy tăng, nếu
Định nghĩa

(
)
n
u
1
,
n n
n N u u
+
∀ ∈ ≥
Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy
đơn điệu.
Ta nói dãy là dãy giảm, nếu
(
)
n
u
1
,
n n
n N u u
+
∀ ∈ ≤
(
)
0 0
: | | 1
n
n n n u a
⇒ ∃ ∀ > ⇒ − <

Giả sử
lim
n
n
u a
→+∞
=
n
u M
⇒ ≤
Nếu dãy hội tụ, thì bị chặn.
Mệnh đề 2
(
)
n
u
(
)
n
u
1 1
n
a u a
⇒ − < < +
Đặt:
{
}
0
1 2
, , , ,1 | |

Max
n
M u u u a
= +
Chú ý:
Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội tụ

Ví dụ.
(
)
1
( 1)
n
n
+∞
=
−
Cho 3 dãy sao cho
Mệnh đề 3 (định lý kẹp)
(
)
(
)
(
)
, ,
n n n
u v w
0 0
,

n n n
n n n u v w
∃ ∀ > ⇒ ≤ ≤
và cùng hội tụ đến a, khi đó
(
)
(
)
,
n n
u w
(
)
n
n
v a
→∞
→
Cho .
0
ε
>
Vì hội tụ đến a, nên
(
)
(
)
,
n n
u w

1 2
, :
n n N
∃ ∈
1
2
| |
| |
n
n
n n u a
n n w a
ε
ε
∀ > ⇒ − <


∀ > ⇒ − <

{
}
0 1 2
,
Max
n n n
=
Đặt
Khi đó , ta có
0
n n

∀ >
| |
| |
n
n n n
n
u a
u a v a w a
w a
ε
ε ε
ε
− <

⇒ − < − ≤ − ≤ − <

− <

| |
n
v a
ε
⇒ − <
(
)
n
n
v a
→+∞
→

Vậy
a
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy
( )
2
1
n
n
k
n
u
n k
=
 
=
∑
 
+
 
2
2 2
1
1
1
1
n
n
n
k
n n

u
n n
→∞
=
≤ = →
∑
+ +
2
1
1
1
n
n
n
k
n
n
n
u
n
n
→∞
=
≥ = →
∑
+
+
(
)
lim 1

n
n
u
→∞
⇒ =
(
)
n
u
(
)
n
w
(
)
n
v
≤
≤
Tìm
Ví dụ.
5
lim
n
n
n
n
→∞
Ta có
5 5

0 , 6
6
n
n
n
n
n
 
< < ∀ >
 
 
0
5
lim 0
n
n
n
n
→∞
⇒ =
Chứng tỏ
Ví

dụ
.

lim 1, 0.
n
n
a a

→∞
= ∀ >
0
n
a
n
α
⇒ < <
0
lim 0
n
n
α
→∞
⇒ =
Đặt
1 0
n
n
a
α
− = ≥
(
)
1
n
n n
a n
α α
⇔ = + ≥

TH1.
1
a
≥
lim 1
n
n
a
→∞
⇒ =
TH2.
0 1
a
< <
1 1
lim , 1
lim
n
n
n
n
a b
a
b
→∞
→∞
= = >
Sử dụng TH1,
lim 1.
n

n
b
→∞
=
Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Mệnh đề 4 (định lý Weierstrass)
Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Cho tăng và bị chặn trên.
(
)
n
u
Tập khác rỗng và bị chặn trên.
{
}
1 2
, ,
S u u
=
Theo nguyên lý Supremum, có supS = a.
Theo định nghĩa của supS:
(
)
0
0
0,
n
n a u a
ε ε
∀ > ∃ − ≤ ≤

Vì tăng nên
(
)
n
u
0
0
n n
n n u u
∀ >
⇒
≥
n
a u a a
ε ε
⇒ − ≤ ≤ < +
n
u a
ε
⇒ − <
lim
n
n
u a
→∞
⇒ =
Chứng tỏ dãy truy hồi
Ví

dụ

.

(
)
1 1
, 2; 2
n n n
u u u u
+
= = +
1
2 2 2 2
k k
u u
+
= + < + =
là dãy tăng và bị chặn trên.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.
Dùng qui nạp, chứng tỏ
2
n
u
<
Giả sử
: 2
n
n k u
∀ ≤ <
Khi đó với
1

n k
= +
Vậy dãy bị chặn trên.
2
1
2
n n n n n n
u u u u u u
+
= + > + > =
Vậy dãy tăng.
lim
n
u a
⇒ ∃ =
2
a a
= +
2
2 0
a a
⇒ − − =
2.
a
⇒ =