C01136 tkkdkt chuong6

Chương 6. Ước lượng
(Estimation)

18/01/2022

C01136 - Chương 6

1


Các nội dung
6.1. Lý thuyết mẫu

6.2. Ước lượng khoảng cho tham số trung bình
6.3. Ước lượng khoảng cho tham số tỷ lệ

6.4. Ước lượng khoảng cho tham số phương sai

18/01/2022

C01136 - Chương 6

2


6.1. Lý thuyết mẫu
 Xét X là một biến định lượng trên các đối tượng của

tổng thể. Ta xem X là một biến ngẫu nhiên, có một
phân phối xác suất nào đó.

 Ta thường quan tâm đến các tham số sau của X:
• Kỳ vọng E(X);

• Phương sai Var(X);
• P(X ϵ D) (xác suất để X lấy giá trị trong D).

18/01/2022

C01136 - Chương 6

3


6.1. Lý thuyết mẫu
 Từ tổng thể, ta chọn một mẫu có kích thước n. Sau

đó, ta tiến hành quan trắc về dấu hiệu X trên n phần
tử này thuộc mẫu này. Gọi x1, …, xn là các giá trị

nhận được. Khi đó, ta gọi bộ (x1, …, xn) là một mẫu
cụ thể về X.

18/01/2022

C01136 - Chương 6

4


6.1. Lý thuyết mẫu

 Nếu ta quan niệm rằng giá trị xi đơn thuần chỉ là giá

trị hiện thực của b.n.n Xi có cùng phân phối xác suất
với X, thì vector (X1, …, Xn) được gọi là một mẫu

ngẫu nhiên (random sample) kích thước n về X.
 Hàm T = T(X1, …, Xn) phụ thuộc vào (X1, …, Xn)

được gọi là một thống kê (statistic).

18/01/2022

C01136 - Chương 6

5


6.1. Lý thuyết mẫu
 Một vài thống kê đặc biệt:
• Trung bình mẫu:
X1    Xn
X
.
n

• Phương sai mẫu:
2
2
(X


X)



(X

X)
n
S2  1
.
n 1

• Độ lệch chuẩn mẫu: S  S2 .
18/01/2022

C01136 - Chương 6

6


6.1. Lý thuyết mẫu
 Định lý 1. Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, …, Xn) về dấu

hiệu X, với
E  Xk   , Var  Xk   2

k.

Khi đó,
2

E(X)  , Var(X) 
, E(S2 )  2.
n

18/01/2022

C01136 - Chương 6

7


6.1. Lý thuyết mẫu
 Định lý 2 (Định lý Lindeberg-Lévy).
Xét mẫu ngẫu nhiên (X1, …, Xn) về dấu hiệu X, trong





đó Xk ~ N , 2 k.

Khi đó,
 2 
a) X  N  ;  .
 n 
b) X và S2 là độc lập nhau.
(n  1)S2
2
c)



(n  1).
2

18/01/2022

C01136 - Chương 6

8


6.1. Lý thuyết mẫu
 Hệ quả

Xét mẫu ngẫu nhiên (X1, …, Xn) về dấu hiệu X, trong



2
X
~
N

,

đó
k



k.

Khi đó
X
~ N  0;1 ,
/ n

18/01/2022

X
~ t(n  1).
S/ n

C01136 - Chương 6

9


6.1. Lý thuyết mẫu
 Định lý 3 (Định lý giới hạn trung tâm).

Xét mẫu ngẫu nhiên (X1, …, Xn) về dấu hiệu X, với
E(Xk )  , Var(Xk )  2  

k.

Khi đó,
 X
 u 1  t2 /2
lim P 

 u  
e
dt
n
/ n
  2

u  .

Nói khác đi, khi n đủ lớn, ta có
 2 
X  N  ,  .
 n 
18/01/2022

C01136 - Chương 6

10


6.2. ULK cho tham số trung bình
 Giả sử X ~ N(μ; σ2) với μ chưa biết. Cho (X1, …, Xn)
là một mẫu ngẫu nhiên về X và cho 0<α<1.
 Nếu có hai thống kê ˆ L (X1,, Xn ) và ˆ U (X1,, Xn )
sao cho

P  ˆ L    ˆ U   1  ,

thì ta gọi [ˆ L ; ˆ U ] là một khoảng ước lượng cho μ ở
độ tin cậy 1 – α.

ˆ U  ˆ L
Số  
được gọi là độ chính xác của khoảng
2
ước lượng.
18/01/2022

C01136 - Chương 6

11


6.2. ULK cho tham số trung bình
 Ứng với mẫu cụ thể (x1,…, xn), ta đặt
a  ˆ L (x1,, xn ), b  ˆ U(x1,, xn ).

Ta gọi [a, b] là khoảng tin cậy 100(1 – α)% cho μ.
ba
Số  
được gọi là độ chính xác của khoảng tin
2
cậy [a, b].

Bài tốn: Tìm a và b như thế nào?

18/01/2022

C01136 - Chương 6

12

6.2. ULK cho tham số trung bình
 Các bước thực hiện
 TH1: n ≥ 30, biết σ
• Xác định n, x

• Xác định z/2 từ cơng thức (z /2 )  1 
2

• Xác định độ chính xác   z /2
n

• Khoảng tin cậy 100(1-α)% cho μ là [ x  ; x  ]
18/01/2022

C01136 - Chương 6

13


6.2. ULK cho tham số trung bình
 TH2: n ≥ 30, chưa biết σ
• Xác định n, x,s
• Xác định z/2
• Xác định độ chính xác   z /2

s
n

• Khoảng tin cậy 100(1-α)% cho μ là [ x  ; x  ]

18/01/2022

C01136 - Chương 6

14


6.2. ULK cho tham số trung bình
 TH3: n < 30, biết σ và X có phân phối chuẩn
Ta tiến hành các bước như trong TH1.

18/01/2022

C01136 - Chương 6

15


6.2. ULK cho tham số trung bình
 TH4: n < 30, chưa biết σ và X có phân phối chuẩn
• Xác định n, x,s
• Xác định t  /2;n1 (tra từ bảng phân phối student)
• Xác định độ chính xác   t  /2;n1

s
n

• Khoảng tin cậy 100(1-α)% cho μ là [ x  ; x  ]

18/01/2022

C01136 - Chương 6

16


6.2. ULK cho tham số trung bình
Ví dụ: Khảo sát thời gian tự học của một mẫu gồm 50
sinh viên được chọn ngẫu nhiên từ trường đại học K.
Kết quả: thời gian tự học trung bình là 18,36 giờ/tuần,
độ lệch chuẩn về thời gian tự học là 3,92 giờ/tuần.
Dựa vào các thơng tin trên, tìm khoảng tin cậy 95%
cho thời gian tự học trung bình của mỗi sinh viên

trường đại học K.

18/01/2022

C01136 - Chương 6

17


6.2. ULK cho tham số trung bình
Ví dụ: Sau khi thực hiện một chiến dịch khuyến mãi,
ban giám đốc công ty M chọn ngẫu nhiên 20 cửa hàng
trong chuỗi cửa hàng của công ty. Số liệu về doanh số
bán (triệu đồng/ngày) của những cửa hàng này được

ghi nhận như sau:
158 160 175 180 155 145 158 160 162 165
155 158 160 160 160 172 174 160 158 154
Cho biết doanh số bán của các cửa hàng có phân phối
chuẩn. Tìm khoảng tin cậy 90% cho doanh số bán bình
quân của mỗi cửa hàng.
18/01/2022

C01136 - Chương 6

18


6.3. ULK cho tham số tỷ lệ
 Trong một tổng thể với kích thước lớn, ta quan tâm

đến một nhóm phần tử có chung một đặc trưng A
nào đó, chiếm tỷ lệ 0
quá nhỏ và cũng không quá lớn.
 Từ tổng thể này, chọn ngẫu nhiên một mẫu với kích

thước n đủ lớn. Từ đó, hãy xác định khoảng tin cậy
100(1-α)% cho tỷ lệ p.

18/01/2022

C01136 - Chương 6

19


6.3. ULK cho tham số tỷ lệ
 Các bước thực hiện
• Xác định tỷ lệ y của các phần tử A trong mẫu
• Xác định z/2


từ cơng thức (z /2 )  1 
2

• Xác định độ chính xác   z /2

y(1  y)
n

• Khoảng tin cậy 100(1-α)% cho p là [ y  ; y  ]
18/01/2022

C01136 - Chương 6

20


6.3. ULK cho tham số tỷ lệ
Ví dụ: Khảo sát ngẫu nhiên 400 sinh viên (SV) trường
đại học M thì thấy có 85 SV trả lời có đi làm thêm.
Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ sinh viên trường này
có đi làm thêm.

18/01/2022

C01136 - Chương 6

21


6.3. ULK cho tham số tỷ lệ
Ví dụ: Người ta ni một lồi cá trong ao lớn. Bắt ngẫu
nhiên 1000 con, sau đó đánh dấu và thả lại xuống ao.

Một thời gian ngắn sau, người ta bắt ngẫu nhiên lên
800 con thì thấy có 302 con được đánh dấu.
a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ cá được đánh dấu
trong ao.
b) Tìm khoảng tin cậy 95% cho số lượng cá trong ao.

18/01/2022

C01136 - Chương 6

22


6.4. ULK cho tham số phương sai
 Xét X ~ N(μ; σ2), trong đó σ2 = Var(X) là tham số ẩn

được quan tâm.
 Dựa trên một mẫu cụ thể (x1,…, xn) về X, hãy xác

định khoảng tin cậy 100(1-α)% cho σ2.

18/01/2022

C01136 - Chương 6

23


6.4. ULK cho tham số phương sai
 Các bước thực hiện

18/01/2022

C01136 - Chương 6

24


6.4. ULK cho tham số phương sai
Ví dụ: Một người nông dân đã cân ngẫu nhiên 10 quả
dưa hấu từ nông trại của anh ấy. Khối lượng (kg) của

các quả dưa này như sau:
3,50

4,35

5,62

3,52

5,11

3,99

5,03

3,54

4,61

2,72

Giả sử khối lượng của các quả dưa hấu trong trang trại
của anh ấy tuân theo phân phối chuẩn với phương sai
σ2. Tìm khoảng tin cậy 95% cho σ2.
18/01/2022

C01136 - Chương 6

25