Các phương pháp số giải phương trình vi phân đạo hàm riêng và dứng dụng bài toán tĩnh và động của tấm sandwich

esđi
Z

Sea

oe

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐÀO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỤN

a

*
TRUONG

DAI HOC XAY DUNG

SX.

A

elie eae
ee ad a

:

KHOA DAO TAO 7
SAU ĐẠI HỌC⁄

aahBe aT

ad ihe

:

riya hass

_.-HỌ VÀ TÊN: N.C.S PHAM ĐỨC PHUNG

be Leh

š

-_ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VỊ PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ÚNG DỤNG

VÀO BÀI TOÁN TĨNH VÀ ĐỘNG

CỦA TẤM SANDWICH

TRUONG DHXD-HN

HỊNG TTTL-THƯ VIỆN

|Ì-

690.21
-PH-P
2003

_ Hà nội, 6 - 2003

no

ihn

SG

SEEE-E-.-————_—__.-

-

-


LS

6

at

EL

Ut

SY

BO GIAO DUC VA DAO DAO
TRUONG DAI HOC XAY DUNG

HO VA TEN: N.C.S PHAM DUC PHUNG

|

CHUYEN DE TIEN SY SO 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN
ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN
TINH VA DONG CUA TAM SANDWICH
Chuyén nganh: Sire bén - Két cau
Ma so 2.01.02

oF

CHUYÊN ĐỀ TIẾN SỸ

+ `»
_".

eo

om:

nd

Z

S6 don vi hoc trinh : 3

|

Can bộ hướng dân : TS. Nguyên Văn Phượng

PGS.TS Doãn Tam Hoề

<4

7
V

Ha noi 6 - 2003

!


CHUONG

|

PHƯƠNG TRÌNH CƠ BAN CUA TAM SANDWICH
1.1. SU CAN THIET CUA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU.
Tấm sandwich là một kết cấu được, sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực: xây dựng dân dụng, giao thông vận tải, hàng không... Đặc biệt tấm
sandwich đã và đang áp dụng trong các cơng trình xây dựng dân dụng và

công nghiệp. Một số quốc gia như Mỹ đã có các tiêu chuẩn về tấm sandwich
(hay còn gọi là 3D) trong xây dựng các nhà cao tầng. Ở Việt Nam, tại quận

Bình Chánh Thành phố Hồ Chí Minh đã sử dụng tấm 3D dùng làm sàn và
tường: đưa đến hiệu quả kinh tế cho sự phát triển nền kinh tế quốc dân. Tại
Hà Nội cũng được sử dụng rộng rãi và nghiên cứu tại trung tâm khoa học
(Công nghệ quốc gia...

Vấn đề các nhà khoa học đã quan tâm là: tính đàn hồi, lực ma sát giữa
các lớp, các loại vật liệu để thay thế cho lớp giữa, nhưng chưa xét đến tính
chất can cua vật liệu hay gọi là lực ma sát bên trong của từng loại vật liệu
được sử dụng làm lớp giữa. Vấn để hày cần được xem xét và giải quyết.

1.2. CÁC MƠ HÌNH TÍNH.
Dựa vào thực tế và các loại tấm sandwich đã được sử dụng, mơ hình

lớp giữa có thể phân ra:
- Theo quan điểm của được dua vé mô hình tính hình I.1.a [8, 9].
- Theo KEJIBBHHA
- Theo MAKCBIIIA

—

LUE

mơ hình I.I.c {[Š].

b)

7O

ĨC

C

Ny

DU

ATPL EEL
7

A)

mơ hình 1.1.b [8].

CELLET

Oo
Oo
oO
©
WLLL

LEE

Hình 1.1: M6 hinh lép giita tim sandwich

@


1.3. CAC GIA THUYET
Theo mơ hình tính I.1.b tác gia da dua ra 5 giả thuyết làm cơ sở cho q
trình nghiên cứu:
1.3.1. Giả thuyết 1: Hai lớp ngồi chịu lực chính có bề dầy nhỏ, lớp
giữa có bề dầy đáng kể làm bằng vật liệu nhẹ. Cấu tạo giữa lớp giữa với hai
lớp ngồi có đủ khả năng bám dính để chúng khơng tách rời nhau trong q
trình chịu lực.
1.3.2. Giả thuyết 2: Đối với hai lớp biên, mọi đoạn thẳng phân tố vng

góc với mặt trung bình của lớp biên thì sau biến dạng vẫn thẳng và vng góc

với mặt này, đồng thời chiều dài đoạn này khơng thay đổi. Còn đối với lớp

giữa, chỉ giả thiết đoạn thẳng phân tố vẫn thẳng, giả thiết về sự vuông góc bị

bác bỏ (theo giả thuyết Kiếc-khốp) .
—_

1.3.3. Giả thuyết 3: Biến dạng của vật liệu là nhỏ, vật liệu ở trạng thái

tự 'nhiên (ứng suất và biến đạng ban đầu bằng không) liên tục, đồng nhất và

làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tuân theo định luật Hooke.

1.3.4. Giả thuyết 4: Độ võng hai lớp biên khác nhau: W,zW,
1.3.5. Giả thuyết 5: Lực cản tỷ lệ bậc nhất với tốc độ biến dang

¬

;Q)

4 WEEE,

RMT

’

NTT

|m

Hình 1.2:

TEDL TTT

b)

|

vy,

J pf

AM

Vir

LM

ei

Ee
`

oe

a iter
*e

OES

7⁄2

yy.

m

a) Mặt cắt trước biến dạng
b) Mat cat tam sandwich sau bién dang

1.4. PHƯƠNG TRINH VI PHAN DAO DONG CHO TAM SANDWICH
Chọn mơ hình tính hình 1.1.b, với tải trọng tác dụng lên lớp biên trên

là một hàm điều hồ phức (hình 1.3)

ụ


on

—

Wy.
53

7⁄72
1411.

—

phd
ì

|

Bố

|

|

er

|

4

|

,

.*

ee

và

WZ⁄⁄//2//14//////1A///1/////////0//0//0/0/////
.

Hinh 1.3: M6 hinh tinh tam sandwich chiu tai trong q(x, y, 9)
Phương trình vi phân dao động viết cho lớp biên trên và lớp biên dưới là:
f

|

D

4

CN 4 op

Xị ax!

OW

0 Ox? dy?

+D

“Vy

y

—
oW
+m
dy"

2

1

ow
ar?

-+

+ K(W, - W,)
| + C(W,- W,) = q(x, y, t)

D,S> Ox2+2D,
`

trong đó:

4

as +D,, ` SP

> Ox“ Oy

+m, c2
ot =

(1.44. .1)

~K(W, — W,)- C(W,- W,) =0
K: là hệ số đàn hồi lớp giữa;

C: Hệ số cần nhớ;
m,, m,: khéi lượng đơn vị diện tích của lớp trên và lớp đưới có

kể đến một phần của lớp giữa;

Dx,, Dy,: độ cứng chống uốn của tấm thứ ï;
W;: độ võng của tấm thứ 1,1 =

1, 2;

Dạ,: Độ cứng chống xoắn, liên hệ với độ cứng chống uốn theo các
phương, xác định theo công thức của Gubera [Š];

Dy, = Dx,Dy, , voi i = 1, 2.


1.5. CAC TRUONG HOP DAC BIET.
1.5.1. Phương trình vi phân tấm đàn hồi một lớp.
Từ phương trình (1.4.1) ta cho lớp giữa có độ cứng D bằng vơ cùng:

K=0,C =0 thì bài tốn tấm 3 lớp trở về bài tốn tấm một lớp. Tấm chịu tải
trọng phân bố đều q(x, y) chỉ phụ thuộc vào toa dé x, y, ta trở về bài tốn
tĩnh, phương trình vị phân Sophie Germain - Lagrange:

W(x,
~~ y) 4 W(x
2uạyi y) | 8 W(x
~ y) _ a(x,= y)

(1.5.1)

1.5.2. Phương trình vị phân dao động của tấm 3 lớp, có xét tính chất
đàn hồi K của lớp giữa [5, 6, 8]
. __ Từ phương trình vi phân (1.4.1) ta không xét ảnh hưởng lực cản nghĩa
là cho C = 0, thi phương trình (1.4.1) có dạng là:

rỉ

p,

4

1 4 2p, 2

Ms4

D, Là,

4

%Ø4

4

2

oy"4

a2

+p, om
a W

KW,

— W2)=q0,y,Ð
TA

+2Dy eae +D,, OM
OW yy, Oe —K(W,- W,)=0

(1.5.2)

1.5.3. Phương trình vi phân đao động của tấm 3 lớp, chỉ xét đến tính
chất cản của lớp giữa, tương ứng với dao động tắt dần. Trường hợp này ta
thực hiện mặt cắt qua lớp giữa, đi qua phần tử can nhớt, cho hệ làm 2 phần
độc lập. Do đó phương trình vị phân dao động là:
AWW)

|

4

Dy. OW ~~ +2D, CN

ox4

''@y4

D, Tp 12D, 2

4

+D, Bàu

can4

+ Dị oF

"...

“

+m,

2

W,)=dq(x,y,t)

2 -C(W, = W,)=0

TN

(1.5.3)
CC


CHUONG

Il

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN BỜ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHẦN
2.1. BÀI TỐN BỜ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG.
Ta xét phương pháp sai phân để giải bài toán bờ phương trình vi phân
thường gặp trong kỹ thuật [I, 2, 3, 4|.

2.1.1. Cac bai toan bo.
Bài toán bờ thứ nhát đối với phương trình vi phân cấp hai là giải

phương trình:
|

Ỉ

(

(p(x) y’)’ - q(x) y = f(x) ,atrong dé p(x) >c > 0 (c là hằng số) ; q(x) > 0; r(x) > 0;

(2.1.1)

. y(a) = a, y(b) = ÿ.
Thi hat la Bai toan tri riéng: Tim X. va ham y(x) xac dinh trén [a, b]

không đồng nhất bằng không, mà

-:

aa

- (p(x) y’)’ + q(x) y = A.r(x).yj atrong đó p(x) > c > 0 (c là hằng số) ; q(x) = 0; r(x) > 0;

L y(a) = y(b) = 0.

(2.1.2)

2.1.2. Đưa bài toán bờ về bài toán sai phân.
Chia đoạn [a, b] thành n đoạn bằng nhau với bước chia h=
các điểm chia là Xx=a+th(1=0,l,2,...,

n).

Từ công thức Taylor viết cho hàm y(x):
h
h?
YOR AS) = yon) + Ly)
+Eh? y"OH) + Ey":

hỉ
yOu =) = ¥(x))- Sy) 4Sh? y")- Ey"),

—

n

a

`

va


(É, xen giữa x, và x, + h/2, É; xen giữa x, va x, - h/2) ta co:
i-

2

Ni—

h

ẤY ¡=Y i+—¡—Y

¡=ÿY(X,† 2)~yŒœ

h

~=2)=hyf%,)+0(h`)

Từ đó ta có cơng thức gần đúng:

yi=y(%)
ty!

x.)

2

AY. 4)

7

_ Ÿia/2

— Ÿi-/2

(2.1.3)

,

và sai phân hoá đạo hàm cấp hai được:
y

i

Vine Yin
h

_ (Vin -~YIJ-Oi

— Vi)

hˆ

›

tức là

(2.1.4)

—.-

1

|

Áp dụng vào hai bài toán bờ nói trên ta đưa về việc giải hệ n-! phương
trình tuyến tính để tìm y,, y›,..., Y„.„ tại các nút X;, X;,..., Xạ¡. Chú ý là:
(p(x) y’)’ - q(x) y được sai phân hoá thành:

[P(x ty
|

h

= 1zLPŒi +)

+2) — P(X; =2)

— YI — POG

h

FI). “VV

-2) ~q(Xi).y(X¡)=
IO) ¥-

13)

|

2.1.3. Giải bài tốn bờ thứ nhất.
Bài toán bờ thứ nhất đưa về giải hệ n - Ï phương trình sau
h

h

h

h

(x. -—)y.,
POX) +—)y..,
+ D)Vin -[p(x.
[p(x, +—)
2) + p(x.
p(x, -—2)+qœ/)hYh Vv.
ly, ++ p(x,
5 Yin =
=f(x,)h’

(i = 1, 2,..,

(2.1.6)

n-l)sy, =asy, = ÿ.

Hệ phương trình ấy có dạng AX = D, trong đó A là “ma trận 3 đường
chéo”. Áp dụng phương pháp Gauss ta giải trường hợp tổng quát: Hệ phương
trinh ma tran 6: AX = D, trong dé A Ja ma trận ơ có dạng “gần 3 đường
chéo” tức la


là

bị

0

Cc,

a,

b,

0

0

c,

a,

b,

..

O

0

0

0

0

0

..

a,

bộ,

0

O

0

Cy)

a, |

A=

0

|

me

;

(2.1.7)

VOL a,, a, ... , 4„ là các ma trận vuông;

D=ld

d,..

dị.

(2.1.8)

Nhân vào trái với a,`, đồng đầu của ma trận mở rộng biến thành

[E,

a,b,

0

0

0

a,d].

Để triệt tiêu c, ở đồng 2, ta lấy dòng 2 trừ đi

c,.[E,

ab

O

..

0

0

aj'd]

va dong 2 tro thanh:
[0

(a,-¢,a;'b,)

b,

0

0

(d,-c¿a; d)].

Dịng 2 mới này hợp với các dịng ở phía cuối tạo thành ma trận ơ
“gần ba đường chéo”, tiếp tục quá tình khử ta đưa về đạng ma trận ơ “gần
2 đường chéo”.

Thuật tốn vừa nêu có thể tóm gọn là:
* Dat

=

a, = a

d=ar'd;

tr

—-]

b = ab;

—

a,,= a, 14-1 —C,b,;
tl

d., = a(d,,,-cd,),

i= 1, 2,.., n—l.

(2.1.9)

Khi thay thế vào vị trí của a,, b,, c,, d,, twong ting boi E,, bị, 0, dj (E,
là ma trận đơn vị, 0, là ma trận 0 (không)), ma trận A trở thành ma trận “gần
2 đường chéo”.
* Giải tiếp tìm nghiệm:
X,= đụ

,X¡= dị —bị X,,

G=n-lI,n—2,...,1) .

(2.1.10)

Phương pháp vừa nêu trên dễ dàng giải trên máy tính và nó thường

được áp dụng để tìm nghịch đảo của ma trận “gần 3 đường chéo”.
H


Thi du: Giai phuong trinh:

Ù

"

>
XÃy
= 2

—

(-l
<

L)

y(-l) = y() = 0

Lấy h=0, 2 (chia đoạn [-l, ! ] thành 10 phần bằng nhau) .
Sai phân hoá bài toán trên đưa đến giải hệ phương trình 9 ấn:

- (2 + x2h?)y, + y,,, = 2k

bê
Yo

(i = 1, 2,..., 9)

= 0

= ở no

tức là giải hệ phương trình:

©

CC

CC

c

c

c‹-

`

CC

`

CC

*

CC

-

0
—2,0144
|
|
2,004
1
0

0
0
0
0
|

co

| 2.0256

MÃ

|

Ÿ?
T3
Ÿa

Ys
6
y7
3
Yo|

0
0
0
0
|
0

-20016 |
1
2
0
|
0
0
0
-Ð
0
0

0

0
0

0
0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

|

0

0

—2, 0064

|

0

|

—2,0144

0

|

0

-22256“-

0,08

0,08
0,08
0,08
= | 0,08 |.
0,08
0,08
0,08
0,08|

Dùng thuật tốn nói trên ta tìm được nghiệm là:

¥, = Yo = -0, 336194,

yạ=y;=-0, 79449,

y; = -0, 952088

Y¿ = yạ = -0, 600994,

V4 = Vo = -0, 912988;

(Yo = yịo= 0).

9

2.1.4. Giải bài toán giá trị riêng.
Sai phân hoá ta được bài toán trị riêng về giải nphiệm
thường của hệ phương trình tuyến tính n - l ẩn thuần nhất sau:
re

“Si.

,

+P

+

—[pŒ; t2+
Yi

= 0

không

tầm

p(x; -2) + h’q(x;) + Ah“r(x,)|y, +

(I=l,

2,..,

n-]);

(2.1.11)

Yo=y, =0.

|

Nghiệm không tầm thường tồn tại khi và chỉ khi định thức A(2) của hệ

phương trình đó bằng 0 (định thức đó là đa thức bậc n-l của ÀA). Ta coi
nghiệm À¿ của phương trình A() = 0 là giá trị gần đúng của trị riêng À của
phương trình vị phân. Thay À¿ vào hệ phương trình đại số tuyến tính thuần
nhất trên ta tìm được: y¡, yo, ..., yạ.¡ khơng đồng nhất bằng 0 va xem đó là giá
trị (gần đúng) của nghiệm y = y(x) ứng với trị riêng A = A, tai cdc ntit x,, Xa,
...y X nel,

Thi du: Giai phuong trinh
y"y=-^À(l+ x'y);

Vena yn
,_

-l
_

Lấyh =0, 5 sai phân hố bài tốn trên dẫn đến hệ phương trình:
(—-2,25+0,3125À)y,+y,

=0

y¡+(-2,25+0,25À)y;+y;=0.
{Yyạ+(-2,25+0,3125À1)y,

=0

Từ đó ta có
AX = 0, 3125 - 2, 25) (0, 07812527 - 1, 265625^ + 3, 0625)
và kết quả là:
yo)

yi

yi

yi

yi

|

À,

Ỉ

7,200;

0,0000[-

T1,00001

0,00001

-I1,0000-_

0,O0000

2

13,239}

0,0000-

1,0000|

-1, 8872}

1,0000}

0, 0000

3

2,961};

0,0000-

11,0000;

11,3247)

11,0000]

0, 0000


2.2. BÀI TỐN BỜ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.
Giải phương trình đạo hàm riêng khá phức tạp. ta chỉ xét ở một số
đạng phương trình hay gặp và đưa ra một số cách giải khá phổ biến.

2.2.1. Các bài toán bờ của phương trình đạo hàm riêng thường
gap.
2.2.1.1. Phương trình eliptic.
Đó là bài tốn bờ Dirichlet: Tìm hàm u(x, y) thoả mãn:
2

aeSe
"8x

trong đó:

2

OM

dy’

gM

Øx

oy

ơy

= f(x,y),

(2.2.1)

a, b,c, d, g la nhitng ham kha vi cua 2 biến x, y;
a> 0, b> 0 (eliptic);
g (x, y) €

G, voi G=G

Ur

(G la phan

trong cua

G, bién F 1a

đường cong trơn từng khúc);

u(x, y) =@(x, y), V(x, y)e Ï` (điều kiện biên).
Bài toán Dirichlet là bài toán bờ loại eliptic, với điều kiện trên nó có
nghiệm duy nhất và là hàm liên tục trênG.

Trường hợp riêng là: a`) Phương trình Laplace

Au =F

SEH 0.

Nếu hàm phải tìm u là hàm

(2.2.2)

3 biến, thi ta cé bai toan Dirichlet trong

không gian, và trong trường hợp riêng là phương trình Laplace 3 biến
2

2

Ox”

Oy

2

Au = 2b OU ou gy,
ở

(2.2.3)

2.2.1.2. Phuong trinh parabolic.
Đó là bài tốn tìm u(x, y, t) thoả mãn.
ou
ot

2

ory
Ox

2

pots ou tds eu)= f(x, y,t),
Oy’
“âx
10

(2.2.4)


a, b,c, d, g la nhttng ham vi cua 3 bién x, y, t;.
a>0,b>0;
g <0, í liên tục;

(x, y) e G (miền trong của G là G, biên T là đường cong trơn từng khúc);
t c{0; TỊ.

Các điều kiện:
- Điều kiện đầu:

u(x, y, 0) = 0(x, y), V(x,y) € G;

- Điều kiện biên:

u(x, y, t) = w(x, y,1), V(x,y) el,t e [O, TỊ.

Trường hợp riêng là: b°) Bài toán truyền nhiệt
ì

oO

ot

Ox?

:

Oy’

.

2.2.5

2.2.1.3. Phuong trinh hyperbolic.
Đó là bài tốn tìm hàm u (x, t) thoả mẫn.
Cru

®#u

du.

,ơu

a—>—b——+e+—+d—+pg.u=f(x,t);

oe?

att

chạy

cạp EU

510,0

`

2.2.6)

a, b, c, đ, ø là những hàm khả vị của 2 biến x, t;

a>0,b >0 (hyperbolic) ;
f liên tục;
x c€{0, r],t c [0, TÌ.
ts

ate

HẠ

Ou

Diéu kién dau u(x, 0) = p(x); —}|

Ot ho

=

w(x);

và điều kiện bién u(0, t) = (), uír, t) = E(t).
Truong hop riéng 1a: c’) Phuong trinh day rung (dao déng cua thanh):
Ø”?u

¬2

ot

=

Œ

;Ø“u
2)

(2.2.7)

Ox

và mở rộng ra là phương trình màng rung (dao động của tấm):
1


2

2

ot?

2.

.

x

(2.2.8)

2.2.2. Phương pháp sai phân giai bài toán bờ (của phương trình
đạo hàm riêng).
2.2.2.1. Lập lướt sai phán.
Với bài tốn Dirichlê (bài toán a) miễn G nằm trong mặt phẳng Oxy, ta
lập lưới chữ nhật x = x¿, y = y; với bước chia h (theo x), k (theo y). Ta xét
tập H những điểm nút của lưới: M,, = (x, y;)) nằm trong miền G và chia các

điểm đó thnh hai loi:
_â

`



â

6

13

112

&

19

H8|23
ơ

đX-X$-

+

+



vi

11

ơ

va

22.

Ke

Sg

fo

hs

|

$XX%$
`

`

ye





-#4

4

Hinh 2.1: Lurot sai phan

* M l im trong” của H nếu 4 điểm sau day thudc H: Mj, Mia.
M,¡, M,.¡ (đánh dấu gạch chéo trên hình vẽ 2-l).

* M, là “điểm biên” của H nếu nó khơng là “điểm trong của H.
Giá trị của hàm tu tại các “điểm biên” của H được tính một cách gần

đúng, lấy bằng giá trị của u tại điểm (x, y) € [ kha gần điểm biên đó.
Khi đã xác định giá trị u tại các “điểm biên” của H, bài tốn qui về tìm
giá trị u tại các “điểm trong” của H,
Nếu G là hình chữ nhật, thì chọn cách chia lưới sao cho có các “điềm

biên” H nằm trên biên [ của G.
Để đơn giản khi viết hệ phương trình tìm giá trịu tại các “điểm trong”
12


của H ta-cần chỉ số hoá các điểm của H bằng cách đánh chỉ số theo một thứ
tự nhất định, việc đó thường được làm theo 3 cách sau.

- Đánh số lần lượt từ cột bên trái sang cột bên phải, trong mỗi cột đánh
số từ dưới lên (hình 2.1.a);

- Đánh số lần lượt từ hàng phía dưới lên trên, trong mỗi hàng đánh số
số từ trái sang phải;

- Đánh số theo các đường chéo cách nhau (như hình 2.1.b) .
Với phương trình parabolic (phương trình b) miền khảo sát làG, |0, I],
trước hết ta sai phân hoá miền G như đã làm với phương trình (a), sau đó
chia đoạn [0, T] thành m đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia là Ï = T/m và

miền khảo sát phân thành các lớp.
Hx{t.}(s=0,

!,2,..., m).

Ì Các “điểm biên” được hiểu là điểm M,, mà Mu là “điểm biên” của H
(s=0, 1,2,..., m). Giá trị hàm u “điểm biên” M, được lấy bằng giá trị của
điểm nằm trên vỏ trụ G x{0, TỊ tức là trên Fx[0, TỊ khá gần điểm Mj, do.

Với phương trình hyperbolic (c) việc lập lưới có đơn giản hơn.
2.2.2.2. Sai phân hố bài tốn bờ của phương trình đạo hàm riêng.

Tương tự như sai phân hố phương trình vị phân thường, tại mỗi “điểm
trong” M; của H ta dùng các đẳng thức gần đúng sau:
ou

U(X

Ox’

Aru
ae

h?

3

U(X;,Y,,¡) + u(X,,Y,¡)— 20(X;,Y,)

oy _ U(Xi

Ox
ou

Yj) + UỆX; ¡,y¡)T— 20(X,, Vị)

Yi) a U(X}, ¥} 4)

2h

— U(X;;Y¡¡)—

oy

(2.2.9)

2k

U(X; Y;

dp

|

Đối với trường hợp 3 chiéu, voi méi “diém trong” (x;, y;, t,) ta cfing

tương tự, chẳng hạn:
13


ou

_

u(X;¡,Y¡,t;„¡) † WOK

ot

HẠ

Sa)

/

ấy

s 2u(%X;,,y¡,;)

(2.2.10)

Ou

Tuy nhiên với đạo hàm cấp | theo t: -=— ta thường dùng 1 trong 2 công thức:

ot

Ou

_ Ux,

i? Yj lyS s a u(x 9 Yj yt, 3),

Ou _ WOU Yt)

ot

— WOW Yt),

(2.2.11)

(2.2.12)

/

Sau khi sai phân hoá ta đưa về giải phương trình đại số tuyến tính và
tìm ra nghiệm gần đúng của phương trình đã cho. Các phương trình đại số

AX = B cua bài tốn bờ này có ma trận khá thưa (phần lớn các phần tử = 0)
và lthường là ma trận “gần 3 đường chéo”. Ngồi phương pháp đã nêu
trong giải bài tốn bờ phương trinh vi phân thường bằng phương pháp sai
phân, người ta cũng thường dùng phương pháp lặp (chẳng hạn phương

pháp Seide]) để giải.

Thí dụ: Giải bài tốn Cauchy đối với phương trinh parabolic:

ôu
ốu
mn Oe
xe

(p(x, t);

FR: t>0:

u(x, O) = f(x).

Sai phân hố đưa về giải hệ phương trình tuyến tính:
u(X;,t¡)— u(X,,f) - u(x¡¡,t2)— 2u(x,,t() + 0X;
¡; ,) =0(X,,t.);
hỗ
0(X;; t,)
u(x,, O) = Í(x,).

Người ta chứng minh rằng nếu lưới sai phân thoả mãn điều kiện /⁄h“< I/2

thi khih > 0, / > Ö nghiệm gần đúng u(x;,, t) nhận được từ hệ phương trình
đại số nói trên hội tụ về nghiệm đúng u(x,, t,) của phương trình vị phân da cho.
Điều kiên hội tụ:
14


SRT ER
Tite FCF

Với bài tốn parabolic nói trên, khi sai phân hố thành
u(x,,t,)

u(x,,0)

at

_

U(X;„¡;

, ) Zz

ey)

+

u(x,_,,t,)

—

q0(X;,t,)›

= Í(x,).

thì khơng bị hạn chế bởi tỷ lệ //h”, cho nên có thể chia / không bé lắm

(phương pháp này gọi là phương pháp ẩn).

Đối với phương trình parabolic nói chung thì điều kiện hội tụ là

Ih <1.

(2.2.13)

Với phương trình elipptic khơng có hạn ché ty s6 h/k.

2.3. TINH BAN DAN HOI THEO PHUONG PHAP SAI PHAN [6].

‘2.3.1, Cac phương trình và biểu thức vi phân.
i

Ta sẽ xem xét việc tính tốn bản chữ nhật có các điều kiện khác nhau

dưới tác dụng của các loại tải trọng khác nhau. Ở đây nội dung cơ bản là xác
định hàm w(x, y) như là tích phân của phương trình vi phân Sophic Germann
- Lagrange:

4

4w

„, A4

AM v2 gw ie W IY)

Ox

Ox"dy’

Oy

D

(2.3.1)

|

trong do:

3

[21—p")
h - Chiéu day ban;

E - Mơdun biến đạng tuyến tính;

Lu - Hé s6 Poisson;

q(x, y) - ham tai trong ngoat.

Moémen uén M, va M,, momen xoắn M,, va luc cat tương đương Q,*;

Q,* xác định từ các biểu thức:

15


Ow

M, = Doar

Xã

M.=-D.

th

Ow

Q.=-D.

Ø°w

Hy

ở

|

A

Ow

*C-Waaeh

Ow

O'w

Waal

+

=—D.
Qy==DTE

Ha)

+ {1 ——_);
Ow

M_ xy =-D.(1(

,

);

+(2-pu

2.3.3
(2.3.3)

.

- Các điều kiện biên ứng với các cách kê khác nhau của cạnh dọc theo
trục y là:

+ Khi là gối di động
w=Q0,M,

= 0

ô”w

hoặc

w=0U,——>=U;

(2.3.4)

Ox

|

+ Khi la ngam

\

w=

Ow
Ox

0,——

—- 0;

( 2.3.5 )

:

+ Khi để tự do
M,=0,Q*,=0.,

(2.3.6)

2.3.2. Các phương trình và biểu thức sai phân.

Chia bản thành mạng lưới chữ nhật với bước chia theo x, y tương ứng
la 6 và £,-số bước tương ứng là m, n. Phương trình vị phân (2.3.1) được sai

phân hố viết cho nút (x;, y,) là:
vơ,

—4Wji,j+0W,,—4Wji,

+
—-((W,_
2

—

2(Wi i

1,j—l —2W,I„

ă

2W,

jt

itty

+. W

12)

+

+ Wiad

W, ju)

(2.3.7)

+ (Wij. ] —

+o (w,,, —4w,
+ Ow, J - 4W,¡¡Vi
E

int

2Wjji, | +

Wist ju)

+ Wij) = 9, 4/D

(=2, 3,...,m - 2; J= 2,3,...,n- 2),

trong do f;, ky hiéu cho gia tri ham f(x, y) tat nuit (x;, y;).
Mỗi phương trình trên liên quan đến 13 nút:
16

+

Wi #42
Win

Wi jel

Wi. j

Wij

Wistj |

Wit jet

Wirl

Wi+tj-t

Wi.2,j

Wiad
ja

Wuaj

L1 —
Với các điều kiện đầu (2.3.4), (2.3.5), (2.3.6) được sai phân hoá như
sau:

Wj = 0 va 2wy | = Wo;

Wo,

=

(2.3.8)

Wi) jj =0;

(2.3.9)

Woj = Wij = Wo}:

(2.3.10)

Khi viét cac phuong trinh nay cho canh gét di déng hoac ngam ta có
thé sử dụng một hàng nút ngồi kết cấu, cịn cho cạnh tự do cần đến hai hàng
nút ngồi kết cấu. Khi đó các điều kiên

bién (2.3.8), (2.3.9), (2.3.10) được

viết lại là:

Wij= U Và 2Wo¡= WIj

(2.3.5)
|

W.1 5 = Wo; = Q;

W.) = Wy 5 = Woj-

(2.3.9)

(2.3.10°)

Với các biên cịn lại cũng được sai phân hố tương tự.

⁄a
__.

17

St

ree
pe Om


CHUONG

III

PHƯƠNG PHÁP RỜI RAC HOÁ TOÁN TỬ VI PHÂN
GIÁI BÀI TỐN BỜ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
3.1. RỜI RAC HỐ TỐN TƯ VI PHÂN.
Nội dung của phương pháp này [5, 10] là sử dụng hệ lưới trực giao chia
tấm chữ nhật thành các phần tử chữ nhật kích thước bằng nhau, có dang song
song với cạnh tấm. Thay vì xác định đọ võng w(x, y) tại các điểm mắt lưới,

hàm w(x, y) phân tích thành tích hai hàm, một theo phương x là hàm ((x) và

một theo phương y là (y).
Từ phương trình (1.5.2) ta có:
|

4

D. ch
4

4

+2D, OM

ox

Daa
Ox

trong đó:

9y

IW

2

+D, ow 7 +i OM
kí

Kw.

a

W,)=q(x,y,t)

2p, 22 +p, OY 4m, oe -K,(W,-W,)=0
? Ơx”ơy?

Oy .,

, (3.1.0)

ar’

K,: la hé s6 dan hồi lớp giữa;
m,, m,: khéi luong don vi dién tich cua lớp trên và lớp dưới có

kể đến một phần của lớp giữa;

Dx,, Dy;: độ cứng chống uốn của tấm thứ ¡ theo phương x và
phương y;
W,: độ võng của tấm thiti, 1 = 1, 2;

Dạ,: Độ cứng chống xoắn của tấm thứ i.
Ta xét bài toán một chiều theo phương x, dựa trên cơ sở đó giải quyết
bài tốn hai chiều và mở rộng cho bài tốn khơng gian.

3.1.1. Bài tốn một chiều.
Chia các đoạn khảo sát x e {0, a] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
Xa=ÔU,xị,X;,llxXx,= a4.

18


Giá trị sé tim duoc cla bai toan tai cdc diém chia tuong tg 1a: wo, w,, Í |,
w„ biểu diễn dưới dạng véc tơ cột W =[w,

w,

...

w„].. Nếu biết được

W thì w(x) được xác định theo cơng thức nội suy Laprange:

w(x) = > wiL,(x),

(3.1.1)

t=

trong đó:
L(x) =

(X~Xeạ)...(X—X¿_¡)(X—X¿.¡)..(X—Xa)

-

(312)

(X—Xạ)...(X;—X,_¡)(X;—X;„¡)...(X; —X„)

Đặc điểm hàm L;(x) là nó có giá trị tại x; bằng 1 va tai x, (# x,) bang 0.
Để xét đạo hàm tại xạ Alexandrov đã đưa ra công thức nội suy khác

sau đây [10]:
:

|

TT

W(X) = W’, —*(x) +Ð w,0,(x),

(3.1.3)

i=l
n

trong đó:

+ Ham

|

X

@”(x)= (x-Xa)]Ị

—X.

n

-=X]]

t=]

_—~

3.1.4
(3.1.4)

Hàm @*(x) có tính chất: có giá trị bằng O tai x, va có các đạo hàm
_0#Œq) =];

+ Hàm 0,(x) có tính chất: có giá trị bằng | tai x,, bang 0 tai x,
với ¡ # j và có các đạo hàm 0,(xạ) = 0, để tìm @,(x) có thể nhờ phép nội suy
Hermitte;

+ w’,: la dao ham cua w

theo x tai x = 0. Ky hiéu

(3.1.5)

Q(x) = Dwi9i(x)
i=
và (3.1.3) được viết lại là
W(X) = W'a.0“(x) + Q(X).

(3.1.6)

Voi hé thong nut chia: Xp, X,, | 1, x, c6 dinh thi cac dao ham w(x) phu

thuộc vào các véc to W vì các hàm *(x), 9,(x) (i = 0, 1, 2, ||, n) duoc xác
lập không phụ thuộc vào w và chỉ phụ thuộc vào cách chia miền xác định
19


(tức là chia đoạn [O, a]). Alexandrov da chttng minh rang:

OW —n

op HW;

dx

dx

2

2

dx

dx

dW ap So yO,
dx

SH ya

(3.1.7)

@esceeovreeceesrsaesenvneeeeeeetsbhoeseneseseeneve

trong đó:

k

k

dx

dx

k-]

dx

hlama tran cot;
H là ma trận vng góc cấp n + l xác định nhờ cách chia doan [0, a];
d!W

`

oT
X

,

Ì

-

,

d

j

W

dx

`

là đạo ham c4p j của hàm W (tại ° cácz đầu` mútZ x,);
,

8

9

`

- là đạo hàm cấp j của hàm w (tại đầu mút xạ).
`

`

z

°

”

`

+

`

2

Ma trận cột h và H được tính trước và nếu dùng phép thế (từ trên xuống)
thì (3.1.7) trở thành:

k

k

dx*

dx*

d Wọ

Moh

“|

1

dx*"!

2H

th,

50 2 HÉ W,

dx

(3.1.8)

Bang cách như vậy ta đưa bài tốn biên, phương trình vi phân cấp cao về
việc xác định véc tơ W và trên cơ sở đó xác định các yếu tố cần thiết khác

của các hàm xấp xi phải tìm w(x).
Với cách chia đoạn [O, a] thành 8 phần bằng nhau, lưới chia thành 64
tính được ma trận hạ và Hạ nhw sau:

h.=[Íl
ol

|

--~
8

|

—
28

|

-—
56

|

——
56

70

20

|

—
28

—

|

8

jf:

3.1.9
G1)

|


0
1041
2240
901
7240
2563

0
83
140
4
7
3

47040

831
H;=| 19600
_ B7
15680
244223
23520

8B

0
7
4

0

14 . 4

60

6
9
4
20
3
37

7

16

16
2
16
105 5
4415
5
55

28 12
6
12
3
4
35
4
#3
7 49
49

i | 22406
199
64
|

0
0
oO
35
77
48
20
60
54
1
8
15 l2
15
3]

70

10

I1
4
2
16
15
8
245

12

6
25
13
20
12
5
49

2
15
5
12
67
60
49

15

3

0

07

1]
42
448
4
245 672
3.
3

196

2240

16
|
735 560
55
98 1344
12
3
49 224
243

7

2 12 48 10 12 14064
5644848564199

7

3. 15

7

70|

(3.1.10)
aA

)

02

$

$2

Co Oh ece cece deneresverbeesevereresencaracesetere
ate

ee

even

ee”

Sovevevsvoveve’d

EERO he CADE OH ED DEED
eeeHH OHHH
eee eee
SCHOO H OR EE TEE

COT COE

senses

|

Foret

S9

ate

hs

eee
TOMTOM

ae

ee

Mo 8a

oo

an

ate

ate

ne

080

a

05

06

07 0//

y

1S.

ees eek‹4qoonenoo»oO®o+060090290890p00609
hee irene Serene eens

Me gg DP BEOOEFOTOFOH

COREE

“9 9Se°°6

:

03 04

f

page
e

seoeee

Coen ee ree Asweseorter-senesea
eees 090960666 ieia6 %6Sosesereseerons
6 s0 2 009600 6s2 660%
4đ92À(64409920424€6

06449

đe&Ẵeđ6đ6đ0660902026

HLL LLL

eo pee

92% ,ốo

hà

CH HREHH
`
HOT

ECE HE

sói Đêno sị đe e2) 9© 06

LE ELL LL.

Hình 3.1: Mơ hình lưới 64 phần tu
Tuỳ theo điều kiện biên và kích thước tấm ta có thể chia lưới theo ý

muốn.
21


3.1.2. Bài toán 2 chiều.
Gia sử kết quả bài toán là một hàm:
Z=2(x, y) voi (x, y) € D= [0, a] x [0, bI.

(3.2.1)

Ta chia miền D thanh luéi diém chit nhat (x,, yj với != l,2,lI,n,Jj=

l,2,

|1,m. Cac gia trị sẽ tìm được của bài tốn tại các điểm (x¡, yj) đó được viết
thành ma trận:
W=

[Wisin stemety:

(3.2.2)

Dựa trên kết quả xây dựng lời giải bài toán một chiều ta sẽ tìm hàm z

xấp xỉ có dạng:

z = W(x, y)=[œ¿.(p *#(x)+œa.0¿(x)+œ,.0,(x)+...+œ,„.0,(x)]x

.

x[Bo. *(y)+as(y)+,aU,(x)+...tB„aU„(y)]|

(3.2.3)

“Hay:

W(x, y)=Oy.By.9 *(x).y *(y) +05. * (x)Q(y)+ Bow *(y).P(x)+P(x).Q(y),
(3.2.4)
trong do:

xã

P()= Ð,0,40,(x); Q(y) = DB Wy)

j=l

œ”a,

(3.2.5)

”ạ là đạo hàm theo x, theo y tại các điểm (0, 0), xác định như sau:

=e Bi,= Woo

(3.2.6)

Oy

Trong phuong trinh (3.2.5) :
a) Số hạng thứ nhất:
a
œ,B„@*(x).w
oBot0
* (x)A
VỚI

OW

“(y)=#(y)=——®”.F*(x
2xơy
(x,y),

F*(x,y)= xyIIŠ-Š.I—;

z0

Xi

22

jẽ0

Yj

( 3.2.7)
(3.2.6)


Woo. 1 đạo hàm cấp hai tại (0, 0).
0xổy
b) Số hạng thứ hai:
m

OW

ag
* (x).Q(y)= » tay Ti
trong đó:

(3.2.9)

F¿¡ = p*(x).w(y) voi j = 0, 1, 2, | 1, m.

c) Số hạng thứ ba:

Ba.
trọng đó:

°

2 hao

*(y).P(x)= » ` ơ,——
Câu đụ,

(3.2.10)

F;¿;¡ = @,(x). W*#(y) với !=0, |, 2, 11, n.

đ) Số hạng thứ tư:

P(x)Q()=> "5W F(x,y),

(3.2.12)

Í=0 i~0

trong đó:

Wụ = GB, Fu(Xy) = 0), W¿(y).

Biểu diễn đưới dạng ma trận Bằng cách đặt:
O=[a,

oa,

a,

..
ị Woo

Ta co:

W = DY

W,,

a Wino

ơœ |];
Wo

W-=IP,
ee

W

Win

Won

W

...

đạo hàm riêng sau:

23

B,

..

BAI.

|

ny

Win

Vi coi W(x, y) là tích của hai hàm f(x) va p(y)

B,

(3.2.13)

a

nên ta có cơng thức tính