HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC PHẦN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ OXYZ pdf

HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC
PHẦN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ OXYZ
…………………………………….* * * ………………………………………
KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1- Hệ trục tọa độ : z
- Nếu :
kzjyixOM ++=
; thì tọa
độ điểm M là : M ( x;y;z)

O
x y
- Trục ox là trục hoành ; trên đó có véc tơ
)0;0;1(=i

- Trục oy là trục tung ; trên đó có véc tơ
)0;01;0(=j

- Trục oz là trục cao ; trên đó có véc tơ
)1;0;0(=k

-Điểm O là gốc tọa độ ; O ( 0;0;0)

2- Các công thức tọa độ điểm và vécto

a)Tọa độ điểm :
* Điểm nằm trên các trục tọa độ
-Nếu điểm M nằm trên trục hoành ox ; thì tọa độ M(x; 0;0)
-Nếu điểm M nằm trên trục tung oy ; thì tọa độ M(0; y;0)
-Nếu điểm M nằm trên trục cao oz ; thì tọa độ M(0; 0;z)
* Điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ

-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxy) ; thì tọa độ M(x; y;0)
-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oyz) ; thì tọa độ M(0; y;z)
-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxz) ; thì tọa độ M(x; 0;z)

b)Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng ; trong tâm của tam giác ; của tứ diện
*Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB ; với
);;(
111
zyxA
và
);;(
222
zyxB

Thì tọa độ trung điểm M là :






+++
2
;
2
;
2
212121
zzyyxx
M

* T
ọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ; với
);;(
111
zyxA
;
);;(
222
zyxB
;

);;(
333
zyxC
. Thì tọa độ trọng tâm G






++++++
3
;
3
;
3
321321321
zzzyyyxxx

G

* T
ọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD ; với
);;(
111
zyxA
;
);;(
222
zyxB
;

);;(
333
zyxC
;
);;(
444
zyxD
Thì tọa độ trung điểm G là :






+++++++++
4
;

4
;
4
432143214321
zzzzyyyyxxxx
G

c) Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng
Cho hai điểm :
);;(
111
zyxA
và
);;(
222
zyxB
thì ta có :
( ) ( ) ( )
2
12
2
12
2
12
zzyyxxAB −+−+−=

Chú ý : dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính chu vi của một tam giác ; tứ
giác ; khoảng cách từ một điểm đến một điểm

b) Tọa độ vécto

* Cho hai điểm
);;(
111
zyxA
và
);;(
222
zyxB
;
khi đó ta có công thức tính tọa

độ

của vecto
AB

là :

(
)
121212
;; zzyyxxAB −−−=



* Cho hai vecto:
(
)
321

;; aaaa =
và
(
)
321
;; bbbb =
; khi dó ta có các công thức tính
như sau :
Ct1: (Tọa độ vecto tổng và vecto hiệu của các vecto )
(
)
332211
;; babababa +++=+
và
(
)
332211
;; babababa −−−=−

Ct2: (Tọa độ vecto tích một số thực với một vecto )
(
)
321
;; kakakaka =
(với k là một số thực bất kỳ )
Ct3 : ( Tích vô hướng hai vecto)
332211
babababa ++=

Ct4 : ( Hai vecto cùng phương )

3
3
2
2
1
1
//
b
a
b
a
b
a
bkaba ==⇔=⇔

Chú ý : Vận dụng hai vecto cùng phương để chứng minh :
-Ba điểm thẳng hàng ( hay không thẳng hàng ; khi hai vecto không cùng phương )
-Hai đường thẳng song song

Ct5 : ( Hai vecto vuông góc )
0 0
332211
=++⇔=⇔⊥ bababababa

Chú ý : Vận dụng hai vecto vuông góc để chứng minh :
-Tam giác vuông
-Hai đường thẳng vuông góc

Ct6 : ( Hai vecto bằng nhau )






=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba
( Hai vecto bằng nhau )
Chú ý : Vận dụng hai vecto bằng nhau để :
-Tìm tọa độ điểm ; khi biết tứ giác đó là một hình bình hành

Ct7: ( Tính góc của hai vecto)
(
)
2
3
2
2
2
1
2
3

2
2
2
1
332211


.
;cos
bbbaaa
bababa
ba
ba
ba
++++
++
==



3) Tích có hướng hai vecto và áp dụng của nó :
a) Khái niệm : Tích có hướng hai vecto là một vecto ; mà vuông góc với hai vecto đó .
ký hiệu là :
[
]
ba;

b ) Công thức tọa độ của tích có hướng hai vecto :
*Cho hai vecto:
(

)
321
;; aaaa =
và
(
)
321
;; bbbb =
; khi dó ta có các công thức tính
như sau :
[
]
ba;
( )
212113133232
21
21
13
13
32
32
; ; ;; abbaabbaabba
bb
aa
bb
aa
bb
aa
−−−=









=


c) Áp dụng của tích có hướng hai vecto
-Ad1: ( Tính diện tích của tam giác ABC )

[
]
ACABS
ABC
;
2
1
=
∆

-Ad2 : ( Tính thể tích của tứ diện ABCD)

[
]
ADACABV
ABCD
.;

6
1
=
∆

-Ad3: ( Chúng minh bốn điểm A; B ; C ; D đồng phẳng )
Chúng minh bốn điểm A; B ; C ; D đồng phẳng
⇔
[
]
0.; =ADACAB

*Chú ý :
1) Vận dụng công thức tính diện tích tam giác ta có thể tính độ dài đường cao của tam
giác kẽ từ một đỉnh
2) Vận dụng công thức tính thể tích tứ diện ta có thể tính độ dài đường cao của tứ
diện kẽ từ một đỉnh
3) Vận dụng chứng minh 4 điểm đồng phẳng ; ta chứng minh 4 điểm đó lập thành một
tứ diện ( Nếu không đồng phẳng thì nó lập thành một tứ giác )



3) Phương trình mặt cầu:

a) Nếu mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b ; c ) và bán kính R thì phương trình mặt cầu là :

(
)
(
)

(
)
2
222
Rczbyax =−+−+−
( 1)
Chú ý : Để lập được phương trình mặt cầu ta phải tìm tọa độ tâm và tính bán kính sau
đó thay vào phương trình ( 1)
Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu ( S ) ; trong các trường hợp sau :
1)Khi biết mặt cầu có tâm I và đi qua một điểm M thì bán kính là : R = IM
2)Khi mặt cầu nhận MN làm đường kính thì tọa độ tâm I là trung điểm của MN ;
và bán kính R =
MN
2
1

3) Khi biết mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0
; thì bán kính là : R = khoảng cách từ tâm I đển mặt phẳng đó . Ta có :
222
CBA
DCzByAx
R
III
++
+++
=


b) Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S ) :

0222
222
=+−−−++ dczbyaxzyx
( 2 )
Trong đó : -Tọa độ tâm I ( a; b ; c )
-Bán kính R = dcba −++
222
( với :
0
222
>−++ dcba
)
Chú ý :
-Để lập được phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A; B ; C ; D cho trước ; ta thay
tọa độ bốn điểm đó vào phương trình ( 2) ; rồi giải hệ phương trình tìm : a; b ; c; d .
Từ đó ta viết được phương trình mặt cầu ( S )
-Từ phương trình ( 2) ta tìm được tọa độ tâm và tính bán kính
Ví dụ :
1)Viết phương trình mặt cầu ( S ) ; biết mặt cầu đi qua bốn điểm A ( 1; 0; 0 ) ;
B ( 0; 1; 0 ) ; C ( 0;0;1) và O ( 0;0; 0 )
2) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ( S ) :
a)
0128
222
=++−++ yxzyx

b)
0212816444
222
=−−+−++ zyxzyx

4) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Kiến thức 1 > Phương trình mặt phẳng :

Dạng của phương trình mặt phẳng :
-Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( trong đó : A; B ; C không đồng thời bằng 0)
-Phương trình các mặt phẳng tọa độ :
a) Phương trình mặt phẳng (Oxy ) là : z = 0
b) Phương trình mặt phẳng (Oyz ) là : x = 0
c) Phương trình mặt phẳng (Oz x) là : y= 0


Kiến thức 2 > Phương pháp viết phương trình mặt phẳng :

*Phương pháp chung :Muốn viết phương trình của mặt phẳng ta phải tìm
vecto pháp tuyến
(
)

CBAn ;;= và một điểm
(
)
000
;; zyxM
mà mặt phẳng đi qua
Khi đó phương trình mặt phẳng được viết :
(
)
(
)
(
)
0
000
=−+−+− zzCyyBxxA
.
Từ đó khai triển và rút gọn đưa về phương trình dạng trên
-Cách tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng :

Cách 1: Nếu thấy mặt phẳng đã có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì
Vecto pháp tuyến chính là vecto chứa đoạn thẳng đó
Cách này ở các bài tập :
Bài 1:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
HDG:
Bước 1: Theo đề bài Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là
AB

Bước 2: Mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB . Khi đó phương trình
mặt phẳng thành lập được

Bài 2: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với
đường thẳng AB
HDG:
Bước 1: Theo đề bài Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là
AB

Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập
được

Bài 3: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường
thẳng (d) có phương trình





+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
30
20
10

HDG:
Bước 1: Theo đề bài Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là vecto chỉ phương của

Phương của đường thẳng ta có :
(
)
321
;; aaan =

Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập
được


Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua một điểm M và song song với
mặt phẳng (Q ) : Ax + By + Cz + D = 0
HDG:
Bước 1: Theo đề bài mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ); nên vécto
Pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là :
(
)
CBAn ;;;=
Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập
được

Cách 2 : Nếu mặt phẳng đi qua các điểm
(
)
0;0;
0
xA
;

(
)
0;;0
0
yB
;
(
)
0
;0;0 zC

( Ba điểm này lần lượt nằm trên các trục tọa độ Ox ; Oy ; Oz)
thì phương trình mặt phẳng có dạng :
1
000
=++
z
z
y
y
x
x

Cách 3: Ngoài các dạng bài tập đã nêu trên ; thì còn lại ta giải như
Sau :
Bước 1: Gọi
n
là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ; theo đề bài ta có :
[
]

ban ;=
( vecto tích có hướng của hai vecto)
Bước 2: Chọn một điểm mặt phẳng đi qua . Khi đó phương trình mặt phẳng thành
Lập được


Kiến thức 3 > Các vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( Q ) : A’x+ B’ y + C’z + D’= 0
Bước 1 : Viết ra các Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng
Bước 2: (lập luận )
-Để hai mặt phẳng cắt nhau
'
'
'
C
C
B
B
A
A
≠≠⇔

-Để hai mặt phẳng song song
'
'
'
'
D
D
C

C
B
B
A
A
≠==⇔

-Để hai mặt phẳng trùng nhau
'
'
'
'
D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔

Chú ý : Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
0'.'.'.0.
)()()()(
=++⇔=⇔⊥⇔ CCBBAAnnnn
QPQP

Kiến thức 4 > Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :

Cho một điểm
(
)
0;00
;; zyxM
và một mặt phẳng (P): Ax +B y +Cz +D = 0
thì khoảng cách từ điểm
(
)
0;00
;; zyxM
đến mặt phẳng ( P) được tính bằng
công thức :
( )
222
000
)/(
CBA
DCzByAx
PMd
++
+++
=

CÁC DẠNG TOÁN ÁP DỤNG CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH

DẠNG 1
Tính khoảng cách từ giữa hai mặt phẳng( P ) và ( Q ) song song :
Ax +By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0
HDG
Thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 ) Lấy một điểm M nằm trong mặt phẳng ( P )
Bước 2 ) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Q)


DẠNG 2
Tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng ( P ) :Ax +By + Cz + D = 0 và
( Q ) : A’ x + B’ y +C’z + D’ = 0
HDG
Thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 ) Gọi điểm cần tìm là M (x ; y ; z )
Bước 2 ) Theo đề bài ta có
:
( ) ( )
222222
'''
''''
)/()/(
CBA
DzCyBxA
CBA
DCzByAx
QMdPMd
++

+++
=
++
+++
⇔=

B
ướ
c 3 ) Kh
ử
d
ấ
u giá tr
ị
tuy
ệ
t
đố
i ( theo công th
ứ
c :



−=
=
⇔=
BA
BA
BA

)t
ừ

đ
ó
K
ế
t lu
ậ
n các
đ
i
ể
m M



DẠNG 3
Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với một mặt phẳng


(P)

Ax+By+Cz+D= 0

HDG:
Th
ự
c hi
ệ

n theo các b
ướ
c :
B
ướ
c 1) Theo
đề
bài m
ặ
t c
ầ
u tâm I và ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng ( P) ;
nên bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u là :

(
)

RPId
=
)/(

B
ướ
c 2 ) V
ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u là : ………




DẠNG 4

Viết phương trình mặt phẳng song song với một mặt phẳng Ax+By+Cz+D= 0
và tiếp xúc với một mặt cầu ( S )
0222
222
=+−−−++
dczbyaxzyx

HDG:
Th

ự
c hi
ệ
n theo các b
ướ
c :
B
ướ
c 1 ) G
ọ
i ( P ) là m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ầ
n tìm , theo
đề
bài m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ầ
n
tìm song song v
ớ
i m
ặ
t ph

ẳ
ng Ax + By + Cz + D = 0 nên ph
ươ
ng trình
m
ặ
t ph
ẳ
ng ( P ) : Ax + B y + Cz + D’ = 0(1) ( v
ớ
i D khác D’)
B
ướ
c 2 ) Tìm t
ọ
a
độ
tâm I và tính bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S)
B
ướ
c 3 ) Theo
đề
bài m
ặ

t ph
ẳ
ng (P) ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t c
ầ
u ( S ) nên ta có :
Kho
ả
ng cách t
ừ
tâm I
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (P ) b
ằ
ng bán kính R

(
)
RPId
=
)/(

(2) ; gi
ả
i ( 2)( theo công th
ứ
c :



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
)t
ừ

đ
ó
tìm D’ thay D’ vào (1) ta có ph
ươ
ng trình ( P)




PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Kiến thức 1 > Cách viết phương trình đường thẳng :

Mu
ố
n vi
ế
t ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng ta tìm vecto ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
321
;; aaaa =
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và tìm m
ộ
t

đ
i
ể
m
(
)
0;00
;; zyxM
mà
đườ
ng
th
ẳ
ng
đ
i qua .
*
Có hai dạng


Dạng 1 : Phương trình tham số






+=
+=
+=

tazz
tayy
taxx
30
20
10


Dạng 2 : Phương trình chính tắc



3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx
−
=
−
=
−

Kiến thức 2 > Các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Mu
ố
n xét ( hay ch
ứ
ng minh ) các v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng(d) và m
ặ

t ph
ẳ
ng
( P )

Ta thực hiện theo các bước sau :
B
ướ
c 1:
Đườ
ng th
ẳ
ng ( d )
đ
i qua
đ
i
ể
m M và có vecto ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
321
;; aaaa =

M
ặ

t ph
ẳ
ng ( P ) có vecto pháp tuy
ế
n
(
)
CBAn ;;=
.
(
Đ
ây là b
ướ
c chung cho các tr
ươ
ng h
ợ
p )
B
ướ
c 2:
-
TH 1
:
Để chứng minh Đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Ta tính tích vô h
ướ
ng c
ủ

a
(
)
321
;; aaaa =
và
(
)
CBAn ;;=
là :

0
321
=++= aCBaAana
. ta suy ra
na ⊥
( 1)
b) Ta thay t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M vào ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph

ẳ
ng ( P ) ; mà không
đ
úng
ta k
ế
t lu
ậ
n
)(PM
∉
(2)
c) T
ừ
( 1 ) và (2) ta k
ế
t lu
ậ
n
đườ
ng th
ẳ
ng ( d) song song m
ặ
t ph
ẳ
ng ( P)


-

TH 2
:
Để chứng minh Đường thẳng nằm trong mặt phẳng

a) Ta tính tích vô h
ướ
ng c
ủ
a
(
)
321
;; aaaa =
và
(
)
CBAn ;;=
là :

0
321
=++= aCBaAana
. ta suy ra
na ⊥
( 1)
b) Ta thay t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M vào ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ( P ) ; mà
đ
úng
ta k
ế
t lu
ậ
n
)(PM
∈
(2)
c) T
ừ
( 1 ) và (2) ta k
ế
t lu
ậ
n
đườ
ng th
ẳ

ng ( d) n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng ( P) ( ho
ặ
ta
nói m
ặ
t ph
ẳ
ng ( P ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng ( d ) )
-
TH
3
:

Đ
ể chứng minh
Đư
ờng thẳng cắt

m
ặt phẳng

a) Ta tính tích vô h
ướ
ng c
ủ
a
(
)
321
;; aaaa =
và
(
)
CBAn ;;=
là :

0
321
≠++= aCBaAana
. ta suy ra hai vecto này không vuông góc
b ) K
ế
t lu
ậ
n
đườ
ng th
ẳ

ng ( d ) c
ắ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng ( P )


Chú ý : Để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Khi vecto ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
321
;; aaaa =
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và vecto pháp tuy
ế
n
C

ủ
a
(
)
CBAn ;;=
c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng ( P ) cùng ph
ươ
ng
[
]
0; =⇔ na


Hình vẽ tương ứng
:

Chú ý :
Mu
ốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ta giải hệ phương trình








+=
+=
+=
=+++
)4(
)3(
)2(
)1(0
30
20
10
tazz
tayy
taxx
DzCyBxA

( Giải hệ : bằng phương pháp thế : lấy (2); (3 ) ; (4) thay vào (1) )
-Nếu hệ có một nghiệm duy nhất thì đường thẳng cắt mặt phẳng

- Nếu hệ vô nghiệm thì đường thẳng song song với mặt phẳng
- Nếu hệ có vô số nghiệm thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( hoặc mặt
phẳng chứa đường thẳng )




Kiến thức 3 > Các vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Muốn xét ( hay chứng minh ) các vị trí tương đối của hai đường thẳng (d) và (d’)

Ta thực hiện theo các bước sau :
: Đường thẳng ( d ) đi qua điểm M và có vecto chỉ phương
(
)
321
;; aaaa =

Đường thẳng ( d’ ) đi qua điểm N và có vecto chỉ phương
(
)
321
;; bbbb =

( Đây là bước chung cho các trương hợp ) , Sau đó ta căn cứ vào đề cho mà ta
làm

TH1: Để Xét ( hay chứng minh ) Hai đường thẳng cắt nhau
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1:Ta tính
[

]
ba;
tích có hướng của hai vecto chỉ phương
(
)
321
;; aaaa =

và
(
)
321
;; bbbb =

Bước 2: Ta tính tọa đô vecto
MN
và sau đó tính
[
]
0.; =MNba
(1)
Từ ( 1) ta kết luận ( d ) cắt ( d’)

TH2: Để xét ( hay chứng minh ) Hai đường song song
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1:Ta tính
[
]
ba;
tích có hướng của hai vecto chỉ phương

(
)
321
;; aaaa =

và
(
)
321
;; bbbb =
; mà
[
]
0; =ba
( 1) khi đó hai vesto chỉ phương cùng phương
Bước 2: Ta thay tọa độ điểm M của đường thẳng ( d) vào phương trình của đường
Thẳng (d’) mà không thỏa mãn . Thì ta kết luận ( d) song song ( d’)


TH3: Để xét ( hay chứng minh ) Hai đường trùng nhau
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1:Ta tính
[
]
ba;
tích có hướng của hai vecto chỉ phương
(
)
321
;; aaaa =

và
(
)
321
;; bbbb =
; mà
[
]
0; =ba
( 1) khi đó hai vecto chỉ phương cùng phương
Bước 2: Ta thay tọa độ điểm M của đường thẳng ( d) vào phương trình của đường
Thẳng (d’) mà thỏa mãn . Thì ta kết luận ( d) trùng ( d’)
TH4: Để xét ( hay chứng minh ) Hai đường chéo nhau
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1:Ta tính
[
]
ba;
tích có hướng của hai vecto chỉ phương
(
)
321
;; aaaa =

và
(
)
321
;; bbbb =

; mà
[
]
0; ≠ba

Bước 2 Ta tính tọa độ vecto
MN
và sau đó tính
[
]
0.; ≠MNba
(1)
Từ ( 1) ta kết luận ( d ) chéo ( d’)



CÁC CHÚ Ý:
1)Hai đường thẳng vuông góc
0. =⇔⊥⇔ baba

2)Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng
[
]
0.; =⇔ MNba

3)Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng ta giải hệ phương trình tìm nghiệm ;
nếu:
-Hệ có một nghiệm duy nhất
⇔

hai đường thẳng cắt nhau
-Hệ có vô số nghiệm
⇔
hai đường thẳng trùng nhau
-Hệ có vô nghiệm và hai vecto chỉ phương cùng phương
⇔
hai đường thẳng
Song song
-Hệ có vô nghiệm và hai vecto chỉ phương không cùng phương
⇔
hai đường
thẳng chéo nhau
Các hình vẽ tương ứng : b
b

a a a a
b b
(h - 1) (h - 2) (h - 3) (h - 4)









7) CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM
a) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm
(

)
000
;; zyxM
trên các trục tọa độ
-Trên trục hoành Ox là điểm
(
)
0;0;
0
xA

-Trên trục hoành Oy là điểm
(
)
0;;0
0
yB

-Trên trục hoành Oz là điểm
(
)
0
;0;0 zC

b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm
(
)
000
;; zyxM
trên các mặt phẳng tọa độ

-Trên trục mp( Oxy) là điểm
(
)
0;;
00
yxA

-Trên trục mp(Oyz) là điểm
(
)
00
;;0 zyB

-Trên trục mp(Oz x) là điểm
(
)
00
;0; zxC

c) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm
(
)
000
;; zyxM
lên mặt phẳng (P)
Ax + By + C z + D = 0
HDG:
-Gọi H (x; y ;z) là hình chiếu của
(
)

000
;; zyxM
trên mặt phẳng Ax + By + Cz +D = 0.
-Gọi (d) là đường thẳng đi qua
(
)
000
;; zyxM
và vuông góc với mặt phẳng (P); nên
vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là
(
)
CBAa ;;=
; nên phương trình của (d)
là:





+=
+=
+=
Ctzz
Btyy
Atxx
0
0
0

- Ta có
)()( PdH
∩
=
. Do đó tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình








=+++
+=
+=
+=
)4(0
)3(
)2(
)1(
0
0
0
DCzByAx
Ctzz
Btyy
Atxx
( giải hệ bằng phép thế)
d) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm

(
)
000
;; zyxM
lên đường thẳng






+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
3)
20
10

HDG:
-Gọi H (x; y ;z) là hình chiếu của
(
)
000
;; zyxM
lên đường thẳng . Ta có :
(
)

000
;; zzyyxxMH −−−=
vuông góc với vecto chỉ phương
(
)
321
;; aaaa =
; nên :
(
)
(
)
(
)
00.
030201
=−+−+−⇔=⇔⊥ zzayyaxxaaMHaMH
(1)
Mặt khác H ( x;y;z ) nằm trên đường thẳng . Nên x;y;z là nghiệm của hệ phương trình
(1) và phương trình của đường thẳng



8) BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐIỂM QUA ;
MẶT PHẲNG ;ĐƯỜNG THẲNG

• Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua mặt phẳng (P)
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P)
Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( P) . Ta có H là trung

Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N

• Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua đường thẳng (d)
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng (d)
Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng (d) . Ta có H là trung
Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N


9)CÁC CÔNG THỨC VỀ KHOẢNG CÁCH:
Ct 1: Khoảng cách giữa hai điểm :
( ) ( ) ( )
222
ABABAB
zzyyxxAB −+−+−=

Vận dụng Ct1: Để giải các bài tập :
Bài 1 : Chứng minh tam giác cân ; tam giác đều ; tam giác vuông ;
tam giác vuông cân ( bằng cách tính độ dài ba cạnh của tam giác
: nếu có hai cạnh bằng nhau thì tam giác cân; ba cạnh bằng nhau thì tam
giác đều; nếu thỏa mãn định lý Pitago thì tam giác vuông )
Bài 2 : Tính chu vi tam giác (Bằng cách tính độ dài ba cạnh của tam giác
Rồi lấy ba cạnh cộng lại )
Ct 2: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

( )
222
000
)/(
CBA

DCzByAx
PMd
++
+++
=

Chú ý : Tính khoảng cách từ đường thẳng song song đến mặt phẳng bằng
Khoảng cách từ một điểm M trên đường thẳng đến mặt phẳng
Ct3: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng :
( )
[
]
a
MNa
dMd
;
/ =

Chú ý : khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song bằng khoảng cách
từ một điểm M trên đường thẳngnày đến đường thẳng kia

Ct4 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
( )
[
]
[ ]
ba
MNba
ddd
;

.;
'/ =




10)BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
CỦA ĐƯỜNG THẲNG LÊN MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng ( d ) :





+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
30
20
10
và mặt phẳng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0
Để viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) lên mặt phẳng
( P) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đường thẳng ( d) đi qua điểm
(
)

000
;; zyxM
và có vecto chỉ phương
(
)
321
;; aaaa =
. Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến
(
)
CBAn ;;=

Bước 2: Xét vị trí tương đối của (d ) và ( P ). Bằng cách tính
CaBaAana
321
++=

-TH1: Nếu
0
321
=++= CaBaAana
; thi ( d ) song song ( P). Trong trường
hợp này ta giải như sau:

d M



d’ H

a)

Ta tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P ). Đườn
b) Đường thẳng ( d’) đi qua H và song song với ( d) ; đó chính là đường
thẳng cần tìm
-TH2:Nếu
0
321
≠++= CaBaAana
; thi ( d ) cắt ( P). Trong trường hợp này ta
giải như sau :
a)Tìm tọa độ giao điểm N của ( d ) và ( P) ;
b)Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên ( P ) .
c) Đường thẳng đi qua hai điểm N và H là đường thẳng cần tìm
d
M


H N d’





PHẦN BÀI TẬP :
I ) CÁC BÀI TẬP VỀ TỌA ĐỘ
BÀI 1 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho :
kjiu 32 +−=
;

kjv 32 +=
;
jir 2−=

1) Tìm tọa độ các vecto đó
2) Tính các tích vô hướng :
vu.
;
ru.
;
vr.

3) Tính coossin của các góc :
(
)
vu;
;
(
)
ru;
;
(
)
vr;

4) Tính tọa độ các vecto:
rvua +−= 32
;
rvub 2+−=

5) Chứng minh rằng :
(
)
(
)
(
)
1;cos;cos;cos
222
=++ kujuiu

6) Tìm tọa độ vecto
c
; để sao cho :
rvuc +=+ 32


BÀI 2 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho điểm M ( 1;2 ;3)
1) Tìm tọa độ các hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ và các
mặt phẳng tọa độ
2) Tìm tọa độ các điểm đối xứng của điểm M qua các trục tọa độ
3) Tính các khoảng cách từ điểm M đến các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa
độ
BÀI 3 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho điểm các điểm: A ( -3;-2 ;0) ;
B (3;-3;1) ; C ( 5;0;2)
1) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành . Tìm tọa độ tâm I
của hình bình hành đó
2) Tính góc giữa hai vecto:
AC
và

BD

3) Tính diện tích của hình bình ABCD

BÀI 4 > Trong không gian tọa độ Oxyz . Tìm
1) Tọa độ điểm M thuộc trục Ox; sao cho M cách đều hai điểm A ( 1;2;-3) và
B ( 0;2;-1)
2) Tọa độ điểm N thuộc trục Oy; sao cho tam giác NOC vuông tại O; với
C(1;2;-3)


BÀI 5 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 1;0;0) ; B ( 0;0;1) ; C (2;1;1)
1) Chứng minh rằng ba điểm A; B ; C là ba đỉnh của một tam giác
2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
3) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẽ từ đỉnh A
4) Tính các góc của tam giác ABC
5) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và tính các khoảng cách từ G đến các
đỉnh A; B ; C của tam giác ABC
BÀI 6 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A( 1;0;0) ; B (0;1;0) ; C (0;0;1) ;
D ( -2;1;-2)
1) Chứng minh rằng bốn điểm A; B ; C ; D là bốn đỉnh của tứ diện
2)Tính các góc tạo bỡi các cạnh đối diện của tứ diện
3) Tính thể tích của tứ diện và độ dài đường cao của tứ diện kẽ từ đỉnh A

BÀI 7 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A( 5;3;-1) ; B (2;3;-4) ;
C (1;2;0) ; D ( 3;1;-2)
1) Chứng minh rằng bốn điểm A; B ; C ;D không đồng phẳng
2) Chúng minh các cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau
3) Chứng minh hình chóp D.ABC là hình chóp đều
4) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của hình chóp D.ABC

5) Tính thể tích hình chóp D.ABC

II ) CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU
BÀI 1 > Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1) Nhận MN làm đường kính ; với M ( 1;2;5) và N (3;0;1)
2) Có tâm I ( 1;2;0) và đi qua điểm A ( 1;0;-3 )
3) Có bán kính bằng 2 ; tiếp xúc mặt phẳng ( Oyz) và có tâm nằm trên trục Ox
4) Có tâm I ( 1;2;3) và tiếp xúc với mạt phẳng ( Oyz )
5) Đi qua ba điểm A ( 0;8;0 ) ; B ( 4;6;2) ; C ( 0;12;4) và có tâm nằm trên mặt
phẳng ( Oyz )
BÀI 2 > Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau :
1)
0128
222
=++−++
yxzyx

2)
021536333
222
=−+−+++
zyxzyx

III ) CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG
BÀI 1 > Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
1) Đi qua ba điểm : A ( 1;2;0) ; B ( -2;3;1) ; C (0;0;1)
2) Đi qua hai điểm A (1;-1;2) và B ( 0;1;0) và song song với trục Oz
3) Đi qua điểm A ( 3;2;-1) và song song với mặt phẳng ( P ) : x -5y +z = 0
4) Đi qua hai điểm A ( 0;1;1) và B (-1; 0; 2)và vuông góc với mặt phẳng
( P ):x –y + z+ 1 = 0

5) Đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của điểm M ( 1; 2; 3 )lên các trục tọa
độ
6) Song song với mặt phẳng ( Q ) : 4x + 3y -12z + 1 = 0vaf tiếp xúc với mặt cầu
( S ) :
02642
222
=−−−−++ zyxzyx


BÀI 2 >
1) Tìm điểm M trên trục Oz ; sao cho cách đều điểm A (2;3;4 ) và mặt phẳng ( R):
2x +3y +z - 17 = 0
2) M cách đều hai mặt phẳng x +y –z +1 = 0 và x-y+ z + 5 = 0