Thiết kế bộ điều khiển, lý thuyết điều khiển tự động

3.3. Thiết kế bộ điều khiển

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

1


Nội dung

• Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực
• Bộ quan sát trạng thái

• Bộ điều khiển phản hồi đầu ra

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

2


3.3.1. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực
+Đặt vấn đề:

▪ Xác định ma trận hàm truyền G(s) của hệ từ mơ hình trạng
thái thì các điểm cực của hệ chính là giá trị riêng của ma
trận A.

▪ Chất lượng hệ thống lại phụ thuộc nhiều vào vị trí của các
điểm cực trong mặt phẳng phức.
→ Vì vậy, để chất lượng hệ thống điều khiển như mong
muốn, ta tìm cách can thiệp (thiết kế bộ điều khiển) sao cho
các điểm cực của hệ kín ở vị trí tương ứng với chất lượng
điều khiển mong muốn.

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

3


+Các phương pháp thiết kế

o + Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái:

❑Phương pháp trực tiếp.
❑Phương pháp Ackermann.
o + Thiết kế theo nguyên tắc phản hồi tín hiệu ra

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

4

Tư tưởng thiết kế của hai phương pháp
• Giả sử các điểm cực mong muốn là s1, ……, sn

• Phản hồi trạng thái

Phản hồi tín hiệu đầu ra

dx
= Ax + Bu = Ax + B ( w − Rx ) = ( A − BR ) x + Bw
dt

Phải giải phương trình để có R
det ( sI − ( A − BR )) = ( s − s1 )( s − s2 )

( s − sn )

Điều kiện: Chỉ cần hệ điều khiển được
19/02/2020

(

)

dx
= Ax + Bu = Ax + B w − R y = ( A − BRC ) x + Bw
dt

Tìm ma trận R thỏa mãn
det ( sI − ( A − BRC ) ) = ( s − s1 )( s − s2 )

( s − sn )

Tính điều khiển được chưa đủ

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

5


1. Phương pháp trực tiếp
=

Đơn giản , xét hệ một vào một ra
dx
= Ax + Bu ; A  R nxn , B R n
dt

(1)

Tìm bộ điều khiển R = [r1,……., rn] trực tiếp từ phương
trình
det ( sI − ( A − BR )) = ( s − s1 )( s − s2 )
( s − sn )
(2)
Cách làm:
Khai triển hai vế của phương trình (2) thành các đa thức
bậc n.
Cân bằng hệ số các đa thức.

Giải hệ n phương trình thu được tìm r1,........., rn.

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

6


Ví dụ 1
Cho đối tượng có mơ hình trạng thái
trong đó
dx  0 1   0 
=
 x +   u ; y = x1
−
1
2
dt 
 1

x 
x = 1 
 x2 

Hãy xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái R để hệ kín
nhận các giá trị cho trước s1=-1; s2=-2 làm điểm cực.
Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái R = (r1 , r2) sao cho
det(sI-A+BR) = (s+1)(s+2) = s2+3s+2

Ta co

  s −1   0 

−1 
 s
det( sI − A + BR ) = det  
+
r
r
=
det

 = s ( s − 2 + r2 ) + r1 + 1
 1 s − 2   1  ( 1 2 ) 
r
+
1
s
−
2
+
r
2
  
1



Cân bằng hệ số ta có hệ

Vậy bộ điều khiển R=(1 5)
19/02/2020

 r2 − 2 = 3
r = 5
 2

 r1 + 1 = 2
 r1 = 1

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

7


Ví dụ 2
• Xét đối tượng SISO có mơ hình trạng thái:
 0 1 0
0
dx 

 
=  0 0 1 x +  0u
dt 

1
 −1 2 3 
 

• Hãy thiết kế bộ điều khiển để hệ kín nhận được chọn ứng điểm
cực s0 = −3, s1 = −4 và s3 = −5
Giải:
Bộ điều khiển R=(r1,r2,r3), khi đó hệ kín có đa thức đặc tính
 s 0 0  0 1 0 0

 
  
det( sI − A + BR) = det   0 s 0  −  0 0 1  +  0  ( r1 r2
  0 0 s   −1 2 3   1 
 
  




r3 ) 



−1
0
 s



= det  0
s
−1  = s ( s ( s − 3 + r3 ) + r2 − 2 ) + r1 + 1 = s 3 + ( r3 − 3) s 2 + ( r2 − 2 ) s + r1 + 1
r +1 r − 2 s − 3 + r 

2
3
1

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

(1)

8


• Với các điểm cực mong muốn ta có:
( s − s1 )( s − s2 )( s − s3 ) = ( s + 3)( s + 4)( s + 5) = 60 + 47 s + 12 s 2 + s 3

(2)

Cân bằng hệ số của (1) và (2) ta có hệ phương trình
 r1 + 1 = 60
 r1 = 59


r2 − 2 = 47 −  r2 = 49
 r − 3 = 12
 r = 15
 3
3

Vậy bộ điều khiển phản hồi trạng thái cần tìm là:
R = (59 , 49 , 15)

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

9


Ví dụ 3
Cho đối tượng có mơ hình trạng thái
 1 2 −1  1 
trong đó
dx 
  
= 0 1
dt 
 1 −4

0
3

 x +1u
 0
  

 x1 
 

x =  x2 
x 
 3

y=x 1

Hãy xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái R để hệ kín
nhận các giá trị cho trước s1=s2=-1 và s3=-2 làm điểm cực.
Giải:
• Tìm bộ điều khiển R = 𝑟1 𝑟2 𝑟3 sao cho

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

10


Ta có

 s 0 0   1 2 −1  1 
( sI − A + BR ) =  0 s 0  −  0 1 0  +  1  ( r1 r2
 0 0 s   1 −4 3   0 

 
  

1   r1 r2
 s − 1 −2


( sI − A + BR ) =  0 s − 1 0  +  r1 r2
 0
4
s − 3   0 0


r3 )

r3   s − 1 + r1
r2 − 2
 
r3  =  r1
s − 1 + r2
0   0
4

r3 

r3 
s − 3 

Suy ra: det ( sI − A + BR ) = (s − 1 + r )(s − 1 + r )(s − 3) − 4r (s − 1 + r ) − (r − 2)r (s − 3) + 4r r
1
2
3
1
2
1
31

( s − 1 + r1 )( s − 1 + r2 )( s − 3) − 4r3 ( s − 1 + r1) − (r2 − 2)r1( s − 3) + 4r3r1= ( s + 1)( s + 1)( s + 2)

Khai triển rồi đồng nhất hệ số -> q dài
Nhược điểm của phương pháp:
• Khơng chỉ ra cách tìm R một cách tổng qt.
• Khơng phải lúc nào cũng giải được dễ dàng hệ n phương trình
thu được
19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

11


2. Phương pháp Ackermann
=

+ Mơ hình trạng thái dạng chuẩn điều khiển
Chỉ áp dụng cho đối tượng một tín hiệu vào.
Xét đối tượng chỉ có một đầu vào u được mơ tả bởi mơ hình
trạng thái dạng chuẩn điều khiển
 0

dx  0
=
dt 

 − a0

1
0

0
1

− a1 − a2
A

0 
0

 
0 
x +  u

0

 
− an −1 
1
b

(3)

Như vậy, đối tượng có đa thức đặc tính theo cơng thức là:
det ( sI − A ) = a0 + a1s +

+ an −1sn −1 + sn

(4)

với nghiệm là các điểm cực của đối tượng.
Bộ điều khiển phản hồi trạng thái R phải tìm là: R = (r 1 , r 2 ,  , r n )

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

12


.

Khi đó hệ kín sẽ có mơ hình:
dx
= ( A − bR ) x + bw
dt
(5)
 0

1
0
0 
0


 0



0
1
0   
 0

 





−
= 
( r1, r2 , , r2 )  x +  0 w

0



0
0
1   
 0

 
 1
 1
 − a − a − a



− an −1 
1
2
 0

0
1
0
0


 0


0
0
1
0
 


 x+ w
=
 0


0
0
0

1
 


 1
 −( a + r ) −( a + r ) −( a + r )

−
(
a
+
r
)
0
1
1
2
2
3
n −1
n

với đa thức đặc tính:

det ( sI − ( A − bR) = ( a0 + r1 ) + ( a1 + r2 )s +

+ ( an −1 + rn )sn −1 + sn

(6)

Để hệ kín nhận các điểm s1, s2, …, sn là các điểm cực thì
det ( sI − ( A − bR ) = ( s − s1 )( s − s2 )......( s − sn )

Suy ra

19/02/2020

~

~

~

(a0 + r1 ) + (a1 + r2 ) s +
+ ( an −1 + rn ) s n −1 + s n = a o + a1 s + ...... a n −1 s n −1 + s n
~
ri = a i −1 − ai −1 , i = 1, 2,
,n
Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

13


Ví dụ 4
• Xét đối tượng SISO có mơ hình trạng thái:
 0 1 0
0
dx 


 
=  0 0 1 x +  0u
dt 

1
 −1 2 3 
 

• Hãy thiết kế bộ điều khiển để hệ kín nhận được chọn ứng điểm
s3 = −5
s0 = −3,và
s1 = −4
cực
Giải:
• Hệ này ở dạng chuẩn điều khiển nên từ mơ hình ta có
ngay:
a0 = 1, a1 = −2, a2 = −3
det( sI − A) = a0 + a1s + a2 s 2 + s 3 với

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

14


• Với các điểm cực mong muốn ta có:
( s − s1 )( s − s2 )( s − s3 ) = ( s + 3)( s + 4)( s + 5) = 60 + 47 s + 12 s 2 + s 3

Ta có:

~

~

~

a o = 60; a1 = 47; a 2 = 12

Vậy bộ điều khiển phản hồi trạng thái cần tìm là:
R = (60−1 , 47+2 , 12+3) = (59 , 49 , 15)

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

15


+Mơ hình khơng ở dạng chuẩn điều khiển

dx
= Ax + Bu
dt

• Tìm một phép đổi biến z = S x x = S −1 z sao cho với nó, đối tượng
ban đầu được chuyển về dạng chuẩn điều khiển.
 Định lý 3.13. Nếu hệ là điều khiển được thì phép đổi biến

z = Sx

với:

 sT 


 sT A 
S =



 T n −1 
s A 

trong đó s T là vector hàng cuối cùng của ma trận:
(B , AB ,  , A n−1 B) −1
sẽ chuyển nó về dạng chuẩn điều khiển
19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

16


 0

 0
dz

= SAS −1 z + Sbu = 

dt
 0

 − a0

• với

a0 , a1,

, an −1

1
0

0 
0

0 
 
 z +  u
0

 
1 
1

− an −1 

0
1

0
0
− a1 − a2

là các hệ số của đa thức đặc tính:
+ an −1s n −1 + s n

det( sI − A) = a0 + a1s +

áp dụng được thuật toán đã biết để thiết kế bộ điều khiển R z phản
hồi trạng thái z cho nó, ~tức là: ~
~
Rz = (a 0 − a0 , a1 − a1 ,......, a n −1 − an −1 )
với các hệ số

~

a i được xác định từ:
~

~

~

( s − s1 )( s − s2 )......( s − sn ) = a o + a1 s + ...... a n −1 s n −1 + s n

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

17


• Cuối cùng bộ điều khiển phản hồi trạng thái là
 s

s A
R = R S = (a − a , a − a ,......, a − a ) 


s A
T

T

~

~

0

z

~

1

0

n −1

1

n −1

T

n −1

(

~

)

n −1 ~

n −1

=  a − a s A = a s A − a s A
i =0

i

n −1 ~

i

T

i

i

i

i =0

= a s A + s A
T

T

T

i

i =0

T

n −1









i

i

n

i

i =0

Vì:

n −1

A = − a A

19/02/2020

n

i =0

i

i

(Cayley−Hamilton)

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

18


Ví dụ 5
Cho đối tượng

0 1 0  0
dx 
  
=  0 −1 1  x +  0  u
dt 
  
 0 0 −2   1 

Thiết kế bộ điều khiển để hệ kín nhận được các điểm cực

s1 = s2 = s3 = −1

Giải
Trước hết phải chuyển về mơ hình điều khiển chuẩn
Đối tượng này có
 0 1 0  0   0 
 0 1 0  0   1 

   


   
AB =  0 −1 1  0  =  1  ;
A2 B =  0 −1 1  1  =  −3 
 0 0 −2  1   −2 
 0 0 −2  −2   4 

   

   

(B
Vậy
19/02/2020

AB

0 0 1 
−1 

A2 B =  0 1 −3 
 1 −2 4 



)

sT = (1 0 0 )

−1

2 2 1


=  3 1 0
1 0 0



Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

19


0 1

sT A = (1 0 0 )  0 −1
0 0

0

sT A3 = ( 0 −1 1 )  0
0


0

1  = (0 1 0) ;
−2 

0 1 0 


sT A2 = ( 0 1 0 )  0 −1 1  = ( 0 −1 1 )
 0 0 −2 



1 0

−1 1  = ( 0 1 −3)
0 −2 

 Để gán các điểm cực

s1 = s2 = s3 = −1

( s − s1 )( s − s2 )( s − s3 ) = ( s + 1) = 1 + 3s + 3s + s
3

2

3

~

~

~

a 0 = 1, a1 = a 2 = 3

Ta sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái R tìm theo
n −1 ~

R = a s A + s A
T

i

T

n

i

i =0

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

20


~

a 0 sT = (1 0 0 ) ;

~

a1 sT A = 3 ( 0 1 0 ) = ( 0 3 0 ) ;
~

a 2 sT A2 = 3 ( 0 −1 1 ) = ( 0 −3 3)
sT A3 = ( 0 1 −3)

Vậy bộ điều khiển R là
~

~

~

R = a 0 s + a1 s A + a 2 sT A2 + sT A3 = (1 0 0 ) + ( 0 3 0 ) + ( 0 −3 3) + ( 0 1 −3) ;
T

T

R = ( 1 1 0)

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

21

Ví dụ 6
Cho đối tượng có mơ hình trạng thái
 1 2 −1  1 
dx 
  
= 0 1 0  x +1u
dt 
  
 1 −4 3   0 

y=x 1

trong đó

 x1 
 
x =  x2 
x 
 3

a) Hãy xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái R để hệ
kín nhận các giá trị cho trước s1=s2=-1 và s3=-2 làm
điểm cực.
b) Hãy viết hàm truyền đạt của hệ kín bao gồm đối tượng
đã cho và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tìm được ở
câu a. Từ đó chỉ ra rằng bộ điều khiển phản hồi trạng
thái đó đã khơng làm thay đổi được bậc tương đối của
đối tượng.
19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

22


Giải
a. Trước hết phải chuyển về mơ hình điều khiển chuẩn
Đối tượng này có
 1 2 −1 1   3 

   
AB =  0 1 0  1  =  1  ;
 1 −4 3  0   −3 

   

(B
Vậy

AB

8 
1 3
−1 

A2 B =  1 1
1 
 0 −3 −10 




)

 0 1 0  3   8 

  

A2 B =  0 −1 1  1  =  1 
 0 0 −2  −3   −10 

  

−1

 7 −6 5 


=  −10 10 −7 
 3 −3 2 



sT = ( 3 −3 2 )

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

23


 1 2 −1


sT A = ( 3 −3 2 )  0 1 0  = ( 5 −5 3) ;
 1 −4 3 


 1 2 −1


sT A3 = ( 8 −7 4 )  0 1 0  = ( 12 −7 4 )
 1 −4 3 



 1 2 −1


sT A2 = ( 5 −5 3)  0 1 0  = (8 −7 4 )
 1 −4 3 



 Để gán các điểm cực s1 = s2 = −1; s3 = −2
( s − s1 )( s − s2 )( s − s3 ) = ( s + 1) ( s + 2) = 2 + 5s + 4 s + s
2

2

3

~

~

~

a 0 = 2, a1 = 5; a 2 = 4

Ta sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái R tìm theo
n −1 ~

R = a s A + s A
T

i

T

n

i

i =0

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

24


~

a 0 sT = 2 ( 3 −3 2 ) = ( 6 −6 4 ) ;
~

a1 sT A = 5 ( 5 −5 3) = ( 25 −25 15 ) ;
~

a 2 sT A2 = 4 ( 8 −7 4 ) = ( 32 −28 16 )
sT A3 = ( 12 −7 4 )

Vậy bộ điều khiển R là
~

~

~

R = a 0 s + a1 s A + a 2 sT A2 + sT A3
T

T

= ( 6 −6 4 ) + ( 25 −25 15 ) + ( 32 −28 16 ) + ( 12 −7 4 ) ;

→ R = ( 75 -66 39 )

19/02/2020

Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển
tự động

25