Giáo trình tối ưu tuyến tính và ứng dụng

,
˜,U ÐIÊN
˜ HU
NGUYÊN

´ TRINH
`
GIAO

,
´
´ TINH
´
TÔI UU TUYÊN
,
´
`
VA UNG DUNG
.

,
Nha` xuâ´t ban Ðai
. hoc
. Quô´c gia Ha` Nôi
.


,
˜,U ÐIÊN
˜ HU
NGUYÊN

´ TRINH
`
GIAO

,
´
´ TINH
´
TÔI UU TUYÊN
,
´
`
VA UNG DUNG
.

,
Nha` xuâ´t ban Ðai
. hoc
. Quô´c gia Ha` Nôi
.


,
`
` I NOI
´ ÐÂU
LO
´ phu,o,ng phap
´ tô´i u,u la` môt

`
´ hoc
Ly´ thuyê´t cac
toan
. nganh
. c´o râ´,t
,
,
,
,
˜ ng kê´t qua
˜
nhiê`u u´ ng dung
trong thu. c tê´ cung
nhu ly´ thuyê´t. Nhu
.
,,
,
,
´
dÅat
Å o. c vê` nghiên cu´ u tô´i uu râ´t c´o y´ ngh˜ıa trong ly´ thuyê´t toan
. du
,
`
´
´ nghanh
`
˘
công cu. dÅai

hoc
trong cac
kinh tê. Bang
. sô´
. va` u´ ng dung
.,
,,
,
` va` co so toan
´ hoc
´ ly´ thuyê´t tô´i u,u
tuyê´n t´ınh, giai t´ıch ham
khac,
.
,
,
,
,
´ triên dê
´ kê´t qua râ´t dÅep
˜
dÅa˜ phat
nhu thu. c
Å ´n cac
. vê` ly´ thuyê´t cung
, ,
´˘ liê`n vo´,i su., phat
´ triên cua công
`
` nay ly´ thuyê´t tô´i u,u gan

hanh.
Ngay
´ trong ly´ thuyê´t tô´i u,u hâ`u nhu, dÅa˜
nghê. thông tin. Moi
thuât
toan
.
.
,
,
`
´ thuât
´ va` chu,o,ng tr`ınh u´,ng dung
triên khai thanh
cac
thu. c tê´.
. toan
.
,
´ hoc
Nhiê`u phâ`n mê`m công cu. cho toan
dê
tô´i uu va`
Å `u c´o g´oi lênh
.
.
,
,
diê
Å `u khiên tô´i uu.

,
,
` giang tôi dÅa˜ day
Ðây la` bai
. tai
. ÐHKHTN Ha` Nôi,
., vo´ i môt
. hoc
. k`ı
,,
,
˜ ng chu dê
trong v`ong 45 dê
Å ´n 60 tiê´t. Tôi dÅa˜ chon
Å ` khoi dâ
Å `u vê`
. loc
. nhu
,
˜
` toan
´ quy hoach
` toan
´ dô
ly´ thuyê´t tô´i uu bai
Å ´i ngâu,
. tuyê´n t´ınh, bai
,
` toan
´ giao thông vân

` toan
´ quy hoach
bai
nguyên va` môt
. tai, bai
.
. sô´
,
,
,
,
,
˜ chu dê
` do
` toan
´ da
´ kê´t
bai
Å muc
Å ` dê
Å `u di
Å tu
Å n gian to´ i cac
. tiêu,.... Môi
,
,
˜ chu dê
`
´ thuât
´ Môi

qua c´o y´ ngh˜ıa va` cuô´i cung
la` cac
Å ` c`on nhiê`u
. toan.
, ,
,,
,
,
vâ´n dê
v`ı tho` i gian c´o han
Å ` mo rông,
.
. nên tôi chı gio´ i thiêu
. trên lo´ p va`
˜,ng ngu,o`,i sau nay
`
` chuyên nghiên cu´,u vê` cac
´ bai
` toan
´
danh
cho nhu
,
,
´ tai
` liêu
tô´i uu. Tôi dÅa˜ tham khao va` lâ´y phâ`n ch´ınh trong cac
. [2],
[3], [4],...
,

,
˜,ng bai
˜
` tâp
Tôi cung
tuyên chon
Å n h`ınh va` cho sinh viên
. nhu
. diê
,
, `
,,
˜,ng bai
´ bai
` tâp
` tâp
thu. c hanh
trên cac
Åo, nhu
Å o. c kiêm tra trên
. d´
. dÅa˜ du
`˘
´ t´ınh va` không qua´ phu´,c tap
` bang
tay.
may
. khi lam
,
,

´
Lâ`n dâ
khoi sai s´ot va` nhâ`m
Å `u tiên biên soan
. không thê tranh
˜ mong ban
lân
. dÅoc
. cho y´ kiê´n.
´
˘ 2018
Ha` Nôi,
01 nam
. thang
,
´ gia
Tac


,
˜
NHUNG K´I HIÊU
.

, ´ ´
˜,ng k´ı hiêu
´ nay
` ta dung
`
´

Trong cuô´n sach
nhu
y ngh˜ıa xac
. vo´ i cac
,
, ´,
dÅinh
trong bang duoi dây:
Å
.
N
N∗
Z
Q
R
C
≡
∞
−∞
;
f ( x) → max / min
¡ m¢
k

dv
Å
dÅ

a/ b
[m]

(n)
QHTT
BTVT

,
,
tâp
. ho. p sô´ tu. nhiên
,
,
´ 0
tâp
. ho. p sô´ tu. nhiên khac
,
tâp
. ho. p sô´ nguyên
,
,
˜,u ty
tâp
. ho. p sô´ hu
,
,
tâp
. ho. p sô´ thu. c
,
,
tâp
. ho. p sô´ phu´ c
,

dâ´u dô
Å `ng du
,,
,,
,,
,
`
duong vô cung
(tuong du
Å ong vo´ i +∞)
`
âm vô cung
, ˜
tâp
h
o
p
.
. rông
` sô´ f ( x) dÅat
˘. min
ham
. , max hoac
, ,
,,
tô ho. p châp
. k cua m phâ`n tu
,
do
Å n vi.

dô
Å `ng
a
phân sô´ a trên b (≡ )
,b ,
,,
,
m la` phâ`n tu tru. cua bang do
Å n h`ınh
,
,
,,
,
n la` phâ`n tu chon
Å n h`ınh
. côt
. cua bang do
quy hoach
. tuyê,´n t´ınh
` toan
´ vân
bai
. tai


MUC
. LUC
.

`,i noi

´ dâ
Lo
Å `u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
˜,ng k´ı hiêu.
Nhu
. ................................................ 4
Muc
. luc
. ........................................................ 4
,
,,
,
` toan
´ tô´i uu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chuong 1. Gio´ i thiêu
. bai
´ hoc
` toan
´ thu.,c tê´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Mô h`ınh toan
. bai
1.1.1. V´ı du. lâp
. mô h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,
´ buo´,c xây du.,ng va` giai mô h`ınh toan
´ hoc
1.1.2. Cac
. .......
,

` toan
´ tô´i uu va` cac
´ thanh
`
phâ`n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Bai

11

` toan
´ ................................
ngh˜ıa bai
1.2.1. Ðinh
.

20

´ bai
` toan
´ ..............................
1.2.2. Phân loai
. cac
,
1.2.3. Nôi
. dung nghiên cu´ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,
1.3. Kiê´n thu´ c dÅai
. sô´ va` giai t´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Không gian tuyê´n t´ınh n chiê`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

n
1.3.2. T´ınh châ´t h`ınh hoc
. trong không gian R . . . . . . . . . . .
,
,
,,
˘
˘ ........................
1.3.3. Ðuo` ng thang
va` siêu phang
,
,
` sô´ do
1.3.4. Môt
Å n gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. sô´ loai
. ham
,
´ niêm
1.4. Môt
. sô´ khai
. giai t´ıch lô`i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18
20

24

25
25
26
27
28
29

´ loai
1.4.1. Cac
. tâp
. hôp
. lô`i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.4.2. N´on lô`i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
1.4.3. Tâp
Å diên
. ho. p lô`i da
. .................................
,
` lô`i va` t´ınh châ´t cua ham
` lô`i. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4. Ham

31

` tâp
1.5. Bai

. ..................................................

39

` tâp
` toan
´ .......................
1.5.1. Bai
. lâp
. mô h`ınh bai
,
,
` tâp
´ co, so, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Bai
. kiê´n thu´ c toan
,,
Chuong 2. Quy hoach
tuyê´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.

39

´ dang
` toan
´ qui hoach
bai
2.1. Cac
.
. tuyê´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . .

,
` toan
´ tuyê´n t´ınh tông quat
´ ......................
2.1.1. Bai
,
´˘ . . . . . . . . . . . . . . . . .
´˘ va` dang
2.1.2. Dang
chuân tac
ch´ınh tac
.
.

32
34

41
44
44
44
47


´ tr`ınh Quy hoach
Giao
. tuyê´n t´ınh

6

,
,
` toan
´ QHTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Chuyên dô
bai
Å i dang
.
,
,,
´ h`ınh hoc
2.2. Phuong phap
. giai QHTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
` toan
´ qui hoach
2.3. T´ınh châ´t bai
. tuyê´n t´ınh. . . . . . . . . . . . . . . .
,, ´
,
2.4. Phuong an
cu. c biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
` tâp
2.5. Bai
. ..................................................
,,
,,
,
´ do
Chuong 3. Phuong phap
Å n h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,
,,
´ tu,o,,ng chung cua
´ .......................
3.1. Y
phuong phap
,,
, ,, ,
´ .................................
3.2. Co so cua phuong phap
,
´ do
3.3. Thuât
Å n h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. toan
,
,
3.4. Bang do
Å n h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,
,
3.5. Thu tuc
Å n h`ınh trên bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. do
,
` toan
´ duy nhâ´t hoac
˘. nhiê`u nghiêm
3.6. Bai

. tô´i uu . . . . . . . . . . .
,,
,
, `
´ do
´ max . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Phuong phap
toan
Å n h`ınh vo´ i bai
,,
´ hai pha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Phuong phap
,,
´ dÅanh
´
3.9. Phuong phap
thuê´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,,
,
´ do
dÅai
3.10. Dang
Å n h`ınh . . . . . . . . . . . . . .
.
. sô´ cua phuong phap
,
´ do
3.10.1. Thuât
ma trân

Å n h`ınh dang
. toan
.
. ..............
,
,
´ do
ma trân.
3.10.2. Cai tiê´n thuât
Å n h`ınh dang
. toan
.
. .....
´˘ phuc.
3.11. Xoay v`ong va` khac
. .............................
` toan
´ phân sô´ tuyê´n t´ınh ham
` muc
3.12. Bai
. tiêu . . . . . . . . . .
,
` toan
´ c´o chu´ a tham sô´ trên ham
` muc
3.13. Bai
. tiêu . . . . . . . .
` tâp
3.14. Bai
. ...............................................

,,
˜ ................
` toan
´ quy hoach
dô
Chuong 4. Bai
Å ´i ngâu
.
˜ .......
´ hoc
` toan
´ QHTT dô
˘. bai
4.1. Mô h`ınh toan
Å ´i ngâu
. cap
˜ .....................
` toan
´ gô´c va` bai
` toan
´ dô
4.2. Bai
Å ´i ngâu
,
,
, `
˜ dô
´˘ . . . . . . . . .
´ chuân tac
toan

4.2.1. Ðô´i ngâu
Å ´i xu´ ng vo´ i bai
,
˜ cua bai
´˘ . . . . . . . . . . . . .
` toan
´ dang
4.2.2. Ðô´i ngâu
ch´ınh tac
.
,
,
˜ cua bai
` toan
´ QHTT tông quat
´ ...........
4.2.3. Ðô´i ngâu
,
˜ ...............
´ t´ınh châ´t cua cap
` toan
´ dô
˘. bai
4.3. Cac
Å ´i ngâu
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

50
54

61
65
74
79
79
80
87
88
90
97
101
103
109
117
117
121
123
126
130
134
138
138
140
140
142
144
147

/>

7

Muc
. luc
.
,, ´
, ˘
˜ ...................
4.4. T`ım phuong an
tô´i uu cap
Å ´i ngâu
. dô
,
,,
´ tông quat
´ ...
dÅinh
ly´ dÅô. lêch
4.4.1. Su dung
.
.
. bu` môt
. cach
,, ´
,
` toan
´ gô´c . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Biê´t phuong an
tô´i uu bai
,

,
,, ´
,
,
tô´i uu . . . . . . . . . .
4.4.3. C´o bang do
Å n h`ınh cua phuong an
` tâp
4.5. Bai
. ................................................
,,
,,
,
˜ ............
´ do
Chuong 5. Phuong phap
Å n h`ınh dô
Å ´i ngâu
,,
, ,,
˜ ........................
5.1. Co so châ´p nhân
Å o. c dô
Å ´i ngâu
. du
,
˜ .........................
´ do
5.2. Thuât
Å n h`ınh dô

Å ´i ngâu
. toan
,
˜ chu,a c´o co, so,, châ´p nhân
´ do
5.3. Thuât
Å n h`ınh dô
Å ´i ngâu
. toan
.
,
` toan
´ QHTT tham sô´ vê´ phai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Bai
` toan
´ QHTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Phân t´ıch kê´t luân
. bai
,
,
,
5.5.1. Thay dô
Å i nguô`n lu. c gio´ i han
. dÅa˜ cho . . . . . . . . . . . . . . .

155
155
160
164
167

174
175
180
185
192
196
197

`
5.5.2. Thêm rang
buôc
. cho mô h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
` toan
´ QHTT va` hê. phu,o,ng tr`ınh tuyê´n t´ınh . . . . . . .
5.6. Bai
,
´ ngh˜ıa cua
˜ .........................
` toan
´ dô
bai
5.7. Y
Å ´i ngâu

199

` tâp
5.8. Bai
. ................................................
,

,,
` toan
´ vân
Chuong 6. Bai
. tai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
` toan
´ vân
6.1. Mô h`ınh bai
. tai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,
` toan
´ vân
6.2. T´ınh châ´t cua bai
. tai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,
,
6.3. Bang vân
. tai va` t´ınh châ´t cua n´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,
,
6.4. Xây du. ng v`ong trong bang vân
. tai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,, ´
´ .............................
6.5. T`ım phuong an
xuâ´t phat

,
,,
´ cu,o´,c ph´ı nho nhâ´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1. Phuong phap
,,
´˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ g´oc tây bac
6.5.2. Phuong phap
,,
´ Vogel (Fogel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3. Phuong phap
,
,
´ phu,o,ng phap
´ giai bai
` toan
´ vân
6.6. Cac
. tai . . . . . . . . . . . . . . . .
´ quy không cu,o´,c ph´ı cac
´ ô chon
6.6.1. Thuât
. toan
. ........

210

´ thê´ vi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2. Thuât
. toan

˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

203
207

214
214
217
220
226
231
232
234
236
238
239
246

/>

´ tr`ınh Quy hoach
Giao
. tuyê´n t´ınh

8

,
`˘
´ ............

` toan
´ vân
thu phat
6.7. Bai
. tai không cân bang
,
,`,
,
,
´ nhiê`u hon thu . . . . . . . . . . . . .
6.7.1. Truong ho. p tông phat
,
,,
,
,
´ .............
6.7.2. Truo` ng ho. p tông thu nhiê`u hon phat
,
` toan
´ vân
6.8. Bai
. tai suy biê´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
` tâp
6.9. Bai
. ................................................
,
,,
´ bai
` toan
´ dang

Chuong 7. Cac
vân
.
. tai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
` toan
´ phân phô´i ham
` muc
7.1. Bai
. tiêu cu. c dÅai
. .............
,,
´ gian
´ tiê´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. Phuong phap
,
,,
´ giai tru.,c tiê´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2. Phuong phap
,
` toan
´ vân
7.2. Bai
. tai c´o ô bi. câ´m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
` toan
´ bô nhiêm
7.3. Bai
. .....................................
,

,
` toan
´ bô nhiêm
7.3.1. Gio´ i thiêu
. bai
. ......................

254
255
259
260
264
267
267
268
269
273
280
280

´ Hungary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.3.2. Thuât
. toan
,
` toan
´ vân
7.4. Bai
. tai thông qua han
. chê´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
,

` toan
´ san xuâ´t dô
7.5. Bai
Å `ng bô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
,
,
` toan
´ san xuâ´t dô
7.5.1. Gio´ i thiêu
Å `ng bô. . . . . . . . . . . . . . . 293
. bai
,
,
,
,
` toan
´ san xuâ´t dô
7.5.2. T´ınh châ´t co ban cua bai
Å `ng bô. . . 297
,
,, ,
,,
´ nhân tu giai bai
` toan
´ san xuâ´t dô
7.5.3. Phuong phap
Å `ng bô. . . .
301
` tâp
7.6. Bai

. ................................................
,,
` toan
´ quy hoach
nguyên. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chuong 8. Bai
.
` toan
´ quy hoach
8.1. Bai
. nguyên va` v´ı du. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
´ giai bai
` toan
´ QHTT nguyên . . . . . . . . . . .
8.2. Minh hoa
. cach
,,
`˘
´ Gomory bang
dô
8.2.1. Phuong phap
Å ` thi. . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,,
,
´ bang do
8.2.2. Phuong phap
Å n h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,

´˘ Gomory tông quat
´ cat
´ .....................
8.3. Thuât
. toan
,,
´ nhanh
´
8.4. Phuong phap
cân
. Land ± Doig . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1. V´ı du. minh hoa.
. ...................................

309
312
312
315
315
318
321
322
322

´ nhanh
´
` toan
´ QHTT nguyên 325
8.4.2. Thuât
cân

. toan
. cho bai
` tâp
8.5. Bai
. ................................................
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

331

/>

9

Muc
. luc
.

,,
,
` toan
´ tro` choi ma trân
Chuong 9. Bai
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
,,
´ niêm
9.1. Môt
Å `u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
. sô´ khai
. mo dâ

,
9.1.1. V´ı du. vê` tr`o choi ma trân
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
,
` toan
´ tr`o choi ma trân
9.1.2. Bai
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
,
` thu hoach
9.1.3. Ham
. cua P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
,
, `
,,
,
9.2. Ðiêm yên ngu. a va chiê´n luo. c tô´i uu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
,
,
9.2.1. Ðiêm yên ngu. a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
,,
,
9.2.2. Chiê´n luo. c tô´i uu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
, ´ ´,
9.2.3. Tr`o choi dô
Å i xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
,,
´ t`ım chiê´n lu,o.,c tô´i u,u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.3. Phuong phap
,

,
` toan
´ QHTT . . . . . . . . . . 340
9.3.1. Ðua tr`o choi ma trân
. vê` bai
,,
,
,
´ t`ım chiê´n luo. c tô´i u,u . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.3.2. Phuong phap
` tâp
9.4. Bai
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
,,
,
Chuong 10. Tô´i uu tuyê´n t´ınh nhiê`u muc
. tiêu . . . . . . . . . 346
,´
` toan
´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.1. Gioi thiêu
. bai
,
,
` phat
10.2. Tiê´p cân
. theo muc
. tiêu cu. c tiêu ham
. . . . . . . . . . . . 349
,

10.2.1. Quy hoach
. nhiê`u muc
. tiêu không uu tiên. . . . . . . . 349
,
10.2.2. Quy hoach
. nhiê`u muc
. tiêu c´o uu tiên . . . . . . . . . . . . 352
,
´ tiê´p cân
10.3. Cach
. theo tô´i uu Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
,
,
˜,u hiêu
` toan
´ quy hoach
10.3.1. Ðiêm hu
Å muc
. cua bai
. da
. tiêu . . .
355
,
˜,u hiêu
´ t`ım diê
10.3.2. Thuât
Å m hu
. toan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
` tâp

10.4. Bai
. ...............................................
,
,,
`,i giai va` go.,i y´ bai
` tâp
Chuong 11. Lo
. .....................
,
,,
,
,
` tâp
11.1. Lo` i giai va` go. i y´ bai
. chuong 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,,
,
,
` tâp
11.2. Lo` i giai va` go. i y´ bai
. chuong 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,,
,
,
` tâp
11.3. Lo` i giai va` go. i y´ bai
. chuong 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,

,,
,
,
` tâp
11.4. Lo` i giai va` go. i y´ bai
. chuong 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,,
,
,
` tâp
11.5. Lo` i giai va` go. i y´ bai
. chuong 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,,
,
,
` tâp
11.6. Lo` i giai va` go. i y´ bai
. chuong 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

361
363
363
365
369
384
398

406

/>

10

´ tr`ınh Quy hoach
Giao
. tuyê´n t´ınh

,
,,
,
,
` tâp
11.7. Lo` i giai va` go. i y´ bai
. chuong 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,,
,
,
` tâp
11.8. Lo` i giai va` go. i y´ bai
. chuong 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,,
,
,
` tâp
11.9. Lo` i giai va` go. i y´ bai

. chuong 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
,,
,
,
` tâp
11.10. Lo` i giai va` go. i y´ bai
. chuong 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
` liêu
Tai
. tham khao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`, khoa
´ .........................................
Danh muc
. tu

˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

427
435
437
439
440
441

/>

, ,

CHUONG 1

,
,
´
´
`
´
GIOI THIÊU
. BAI TOAN TÔI UU
,
´ hoc
` toan
´ thu. c tê´
1.1. Mô h`ınh toan
. bai
1.1.1. V´ı du. lâp
. mô h`ınh

,
, ,, ,
` toan
´ san xuâ´t công nghiêp.
V´ı du. 1.1. Bai
Môt
co so san xuâ´t
.
.
,
,

,
,
,
` ghê´ va` tu. Ðinh
dô
san xuâ´t ba loai
Å ` gô˜ du. dÅinh
.
.,
. s,an phâm la` ban,
,
, ,,
˜
´
`
´
´
mu´ c su dung
lao
d
ông,
chi
ph´
ı
s
an
xuâ
t
v
a

gi
a
b
an
m
ôi
s
an
phâ
m
Å
.
.
,
,
,
˜ loai
môi
. uo´ c t´ınh trong bang sau
´ yê´u tô´
Cac
` công)
Lao dÅông
. ,(ngay
` dô
Chi ph´ı san xuâ´t (ngan
Å `ng)
´ (ngan
` dô
Gia´ ban

Å `ng)

`
Ban
2
100
260

Ghê´
1
40
120

,
Tu
3
250
600

,
,
,
˜
˜ lâp
´ hoc
` toan
´ xac
´ dÅinh
Hay
toan

cua bai
sô´ san phâm môi
.
. mô ,h`ınh
.
,
,
loai
câ`n phai san xuâ´t sao cho không bi. dÅông
trong san xuâ´t va`
.
,.
,,
,,
,
`
˘
co so c´o sô´ lao dÅông
tông doanh thu dÅat
Å o. c cao nhâ´t, biê´t rang
.
. du
,
,,
,,
,
` công, sô´ tiê`n danh
`
tuong du
cho chi ph´ı san xuâ´t

Å ong vo´ i 500 ngay
,
,
` ghê´ phai theo tı lê. 1/6.
la` 40 triêu
Å `ng va` sô´ ban,
. dô
´ hoc
Lâp
. mô h`ınh toan
.
,
, ,
,
,
` ghê´, tu câ`n phai san xuâ´t. Ta c´o
Goi
. x1 , x2 , x3 lâ`n luo. t la` sô´ ban,
´ diê
cac
Å `u kiên
. x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
,
, ,
` công va` chi ph´ı du., dÅinh
Tông ngay
dê
Å san xuâ´t la`
.
` công) va` 100 x1 + 40 x2 + 250 x3 (ngan

` dô
2 x1 + x2 + 3 x3 (ngay
Å `ng).
,
,
´ diê
Ðê không bi. dÅông
trong san xuâ´t ta c´o cac
Å `u kiên
.
. sau
2 x1 + x2 + 3 x3 ≤ 500 va` 100 x1 + 40 x2 + 250 x3 ≤ 40000.
,
˜,a sô´ ban
` va` sô´ ghê´ ta c´o diê
Theo tı lê. giu
Å `u kiên
. sau 6 x1 = x2 .
,
,
` dô
Tông doanh thu du. kiê´n la` 260 x1 + 120 x2 + 600 x3 (ngan
Å `ng).


,,
,
` toan
´ tô´i u,u
Chuong 1. Gio´ i thiêu

. bai

12

, ,
,,
Ðê tông doanh thu dÅat
Å o. c cao nhâ´t ta c´o diê
Å `u kiên
. du
.
260 x1 + 120 x2 + 600 x3 → max
,
,
´ hoc
` toan
´ la` t`ım x1 , x2 , x3 sao cho
Nhu vây,
. mô h`ınh toan
. cua bai
260 x1 + 120 x2 + 600 x3 → max


2 x1 + x2 + 3 x3 ≤ 500,



 100 x + 40 x + 250 x ≤ 40000,
1
2

3
,
Vo´ i diê
Å `u kiên
. 6 x = x ,
1
2



 x , x , x ≥ 0.
1 2 3
,
` toan
´ tông quat:
´
Bai
, ,,
,
,
,
Gia su môt
. x´ı nghiêp
. san xuâ´t n loai
. san phâm (v´ı du. trên n = 3)
,,
´ nhau (v´ı du. trên la` cac
´ yê´u tô´
m loai
va` su dung

. nguyên liêu
. khac
.
,
,
` k´ı hiêu
san xuâ´t m = 2). Ta du
Å a vao
. sau:
,
,
, ,
,,
,
• x j la` sơ´ luo. ng san phâm thu´ j ( j = 1, n) ma` x´ı nghiêp
c´o thê san
.
,
,
xuâ´t (dây
Å la` ân sô´ câ`n phai t`ım).
,
,
,
,
˜ cua 1 do
• c j la` tiê`n lai
Å n vi. san phâm j ( j = 1, n).
, ,
,

,
` nguyên loai
• C`on a i j chi ph´ı tai
Å san xuâ´t 1 loai
. i dê
. san phâm j
( i = 1, n).
,,
, ˜,
nguyên liêu
• b i la` sơ´ luo. ng du. tru
. loai
. i ( i = 1, m).
´ diê
˜ xac
´ dÅinh
´ gia´ tri. x j
Trong cac
dÅa˜ cho hay
cac
Å `u kiên
.
, .
,
,
˜ la` lo´ n nhâ´t vo´ i sô´ tai
` nguyên hiên
( j = 1, n) sao cho tông sô´ tiê`n lai
.
c´o.

´ hoc
Mô h`ınh toan
. c´o dang
.

f ( x) = c 1 x1 + c 2 x2 + · · · + c n xn → max

, ´
vo´ i cac
diê
Å `u kiên
.
(
a i1 x1 + a i2 x2 + . . . + a in xn ≤ b i , i = 1, 2, . . . , m,

x j ≥ 0, j = 1, n.

(1.1)

(1.2)

` toan
´ quy hoach
Ðây la` môt
. bai
. tuyê´n t´ınh.
,
´,c an.
` toan
´ xac

´ dÅinh
˘ Môt
V´ı du. 1.2. Bai
khâu phâ`n thu
. x´ı nghiêp
.
.
,
,
,
´
´
˘ nuôi câ`n mua hai loai
˘
chan
th
u
c
an
tô
ng
h
o
p
T
,
T
cho
gia
s

uc.
1
2
.
.
,
Theo tı lê. chê´ biê´n:
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

´ hoc
` toan
´ thu.,c tê´
1.1. Mơ h`ınh toan
. bai

13

,
,,
,,
,
,
• 1 kg T1 chu´ a 3 do
Å n vi. dinh duo˜ ng Châ´t b´eo, 1 do
Å n vi. dinh duo˜ ng
,
,

,
,
Châ´t xo (Hydrat
cacbon), 1 do
Å
Å n vi. dinh duo˜ ng Châ´t dÅam
. (Protein);
,
,
,
,
cacbon),
• 1 kg T2 chu´ a 1 do
Å n vi. Châ´t b´eo, 1 do
Å n vi. Châ´t xo (Hydrat
Å
,
´
2 do
Å n vi. Chât dÅam
. (Protein).
,
,
,
,
˜ bu
˜ a an
´ câ`n tơ´i thiêu 60 do
˘ cho gia suc
• Mơi

Å n vi. Châ´t b´eo, 40 do
Å n
,
,
vi. Châ´t xo va` 60 do
Å n vi. Châ´t dÅam.
.
,
˜ bu
˜,a an,
˘ sao cho
Hoi x´ı nghiêp
câ`n mua bao nhiêu kg T1 , T2 cho môi
.
,
,
,
, ,
,
,
,
,
´
` a dÅam bao tôt dinh duo˜ ng cho bu
˜ a an
`,a dê
´ vu
˘ cua gia suc,
vu
Å tông

,
, ˘ `
`
sô´ tiê`n chi mua thu´ c an
la nho nhâ´t. Cho biê´t 1 kg T1 gia´ 20 ngan
`
`
` dô
dô
Å ng.
Å ng, 1 kg T2 gia´ 15 ngan

•
•
•
•
•
•

´ hoc:
Lâp
. mơ h`ınh toan
.
,,
, ˘
˜ bu
˜,a an.
˘
Goi
T1 , T2 câ`n mua môi

. x1 , x2 lâ`n luo. t la` sô´ kg thu´ c an
,
,
,
˜ bu
˜ a an
˜
˘ la` 3 x1 + x2 va` thoa man:
Sô´ do
Å n vi. Châ´t b´eo c´o trong môi
3 x1 + x2 ≥ 60.
,,
, , ´ ´,
,
Tuong tu. , dê
Å dÅap ung nhu câ`u vê` Châ´t xo: x1 + x2 ≥ 40.
,,
, , ´ ´,
Tuong tu. , dê
x1 + 2 x2 ≥ 60.
Å dÅap ung nhu câ`u vê` Châ´t dÅam:
.
,
Hiên nhiên x1 ≥ 0 va` x2 ≥ 0.
,
, ˘
` cu.,c tiêu): f = 20 x1 + 15 x2 .
Sô´ tiê`n chi mua thu´ c an
(câ`n lam

´ biê´n sô´ x1 va` x2 sao cho
T`ım cac
, ´
vo´ i cac
diê
Å `u kiên
.

f = 20 x1 + 15 x2 → min,


 3 x1 + x2 ≥ 60,


 x + x ≥ 40,
1
2

x1 + 2 x2 ≥ 60,



 x ≥ 0 va` x ≥ 0.
1

2

,
´ Ky´ hiêu
Tông quat.

.
,
,
,,
,
,
,
• a i j la` luo. ng châ´t dinh duo˜ ng loai
Å n vi. thu. c phâm
. do
. i c´o trong mơt
loai
. j,
,,
,,
˜ bu
˜,a an
˘
• b i la` luo. ng châ´t dinh duo˜ ng loai
. i câ`n c´o trong môi
( i = 1, . . . , m),
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

,,
,
` toan
´ tơ´i u,u

Chuong 1. Gio´ i thiêu
. bai

14

,
,
,
• c j gia´ môt
Å n vi. thu. c phâm loai
. do
. j ( j = 1, 2, . . . , n),
,
,
,
,
˜ bu
˜,a an.
˘
• x j la` sơ´ luo. ng thu. c phâm loai
. j câ`n mua cho môi
,
,
,
´ hoc
` toan
´ (cu.,c tiêu tông chi ph´ı):
Mô h`ınh toan
. cua bai
,

vo´ i diê
Å `u kiên
.
(

f = c 1 x1 + c 2 x2 + . . . + c n xn → min,
a i1 x1 + a i2 x2 + . . . + a in xn ≥ b i , i = 1, 2, . . . , m,

x j ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n.
,
,,
` toan
´ vân
`
V´ı du. 1.3. Bai
tai. C´o môt
câ`n du
Å o. c vân
. loai
. hang
.
.
,
,
,
`, hai kho (tram
´
`
´
A

v
a
A
t
o
i
3
no
i
tiêu
th
u
(tr
am
chuyên tu
ph
at)
1
2
.
.,
, .
,,
`
thu) B1 , B2 , B3 . Bang sau cho biê´t sô´ luo. ng hang
câ`n vân
chuyê
n
.
,, ˜

,, ˜
,
,
,
,
,
`
di
câ`n nhân
Å o môi kho va` sô´ luo. ng hang
. o môi noi tiêu thu. va` cuo´ c
,
,
,
˜ kho to´,i no,i tiêu thu. tu,o,ng
` môi
`
ph´ı vân
tu
Å n vi. hang
. chuyên môt
. do
,
u´ ng
Tram
,,
. thu B
´
B2 B3 Luo. ng phat
1

´
Tram
ph
at
.
A1
5
2
3
30
A2
2
1
1
75
,,
Luo. ng thu
35 25 45
,
,
˜ lâp
˜ moi
´ sao
Hay
vân
. kê´ hoach
.
. , chuyên, thoa man
. yêu câ`u thu phat
´

cho chi ph´ı vân
. chuyên la` nho nhât.
´ hoc:
Lâp
. mô h`ınh toan
.

,
,,
`, kho
`
câ`n vân
chuyên tu
Goi
.
. x i j , i = 1, 2; j = 1, 2, 3 la` luo. ng hang
,
, ,
´ hoc
` toan
´ s˜e la.
`
A i to´ i noi tiêu thu. B j th`ı mô h`ınh toan
. cua bai
T`ım x i j , i = 1, 2; j = 1, 2, 3 sao cho

f ( x) = 5 x11 + 2 x12 
+ 3 x13 + 2 x21 + x22 + x23 → min .

 x11 + x12 + x13 = 30,





 x21 + x22 + x23 = 75,



 x + x = 35,
21
11
,´
voi diê
Å `u kiên
. 
+
x
x

22 = 25,
12




x + x23 = 45,


 13


 x ≥ 0, i = 1, 2; j = 1, 2, 3.
ij

˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

´ hoc
` toan
´ thu.,c tê´
1.1. Mô h`ınh toan
. bai

15

,
` toan
´ tông quat
´
Bai
,
`, i = 1, m) c´o
`
`
´
chu´ a môt
h´oa (dÅanh
sô´ tu
C´o m kho hang

. loai
. hang
,
,,
,,
`
sô´ luo. ng o kho i la` a i ( i = 1, m). C´o n dÅia
Å m tiêu thu. loai
. diê
. hang
,
,
`
´
´
´
trên (dÅanh
sô j = 1, n) voi nhu câu tiêu thu. tai
Å m j la` b j ( j = 1, n).
. diê
,
,
,
´ i va` diê
Goi
Å m phat
Å m tiêu thu. j la` diê
Å m thu j .
. kho i la` diê
,

,
,,
,
`, diê
`
Biê´t c i j la` gia´ cuo´ c ph´ı vân
chuyên môt
do
h´oa tu
Å n vi. hang
Å m
.
.
,
,
,
`, no,i
`
´ i dê
c´o thê chuyên tu
phat
Å ´n diê
Å m thu j ( i = 1, m, j = 1, n). Hang
´ i bâ´t k`ı to´,i no,i thu j bâ´t k`ı.
phat
,
,
,
`, diê
˜ lâp

` h´oa tu
´ i dê
Hay
ach
vân
chuyên hang
Å m phat
Å ´n diê
Å m
. kê´ ho
.
.
,
,
,
,
´ th`ı
thu j sao cho tông chi ph´ı la` nho nhâ´t vo´ i diê
diê
Å `u kiên:
Å m phat
.
,
,
´
`
´ hêt hang
`
˜ yêu câu.
phat

h´oa, diê
Å m thu th`ı thoa man
´ toan
´ hoc.
Mô h`ınh hoa
.
,
,
,
,
,
`, diê
`
´ i to´,i diê
K´ı hiêu
h´oa chuyên tu
Å m
Å m phat
. x i j la` luo. ng hang
nhân
Åo
. j . Khi d´
m
m X
X
(1.3)
c i j x i j → min .

,
vo´ i diê

Å `u kiên
.

i =1 j =1


n
P


x i j = a i , i = 1, m,



 j=1
m
P
x i j = b j j = 1, n,



i =1


 x ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n.

(1.4)

ij

`˘
` ra ta c`on c´o diê
Ngoai
Å `u kiên
. cân bang
m
X

i =1

ai =

n
X

(1.5)

b j.

j =1

˜
` toan
´ quy hoach
Ðây cung
la` bai
. tuyê´n t´ınh.
,
,
,

` toan
´ phân bô vô´n dâ
V´ı du. 1.4. Bai
Å `u tu c´o 2
Å `u tu. Môt
. nha` dâ
,
,
, `
,
,
´ Công trai,
´ Gu,i
ty dô
4 l˜ınh vu. c: Chu´ ng khoan,
Å `ng, muô´n dâ
Å `u tu vao
,
˜ suâ´t hang
`
´ l˜ınh vu.,c dâ
˘ cac
tiê´t kiêm
san. Biê´t lai
nam
Å `u
. va` Bâ´t dÅông
.
,
,

tu nhu sau:
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

,,
,
` toan
´ tô´i u,u
Chuong 1. Gio´ i thiêu
. bai

16

,
,
L˜ınh vu. c dâ
Å `u tu
,
´
Chu´ ng khoan
´
Công trai
,,
´
Gui tiêt kiêm
.,
Bâ´t dÅông
s

an
.

˜ suâ´t hang
`
˘
Lai
nam
20%
12%
10%
15%

, ,
,
,
,
,
`˘
` ra, dê
không
Ngoai
Å giam thiêu mu´ c dÅô. rui ro, nha` dâ
Å `u tu cho rang
,
,
,
,
,
,

` Chu´ ng khoan
´ vuo. t qua´ 40% tông vô´n dâ
nên dâ
Å `u tu vao
Å `u tu, c`on
,
,
,
, `
´ va` gu,i tiê´t kiêm
dâ
công trai
phai ´ıt nhâ´t la` 25% tông vô´n
Å `u tu vao
, .
,
,
,
dâ
Å `u tu va` tiê`n gui tiê´t kiêm
Å `ng.
. phai ´ıt nhâ´t la` 100 triêu
. dô
,
,
,
˜ xac
´ dÅinh
Hay
kê´ hoach

phân bô vô´n dâ
Å `u tu sao cho tông thu
.
.
`
˘ la` lo´,n nhâ´t.
nhâp
nam
. hang
´ hoc
Lâp
. mô h`ınh toan
.
,,
,
, `
´ sô´ tiê`n (triêu
Goi
Å `ng) dâ
Å `u tu vao
. , dô
. x1 , x2 , x3 , x4 tuong u´ ng la` cac
,
,
´ công trai,
´ gu,i tiê´t kiêm,
chu´ ng khoan,
bâ´t dÅông
san.
.

.
,
,
`
˘
Cu. c dÅai
nam
. tông thu nhâp
. hang

f ( x) = 0, 2 x1 + 0, 12 x2 + 0, 1 x3 + 0, 15 x4 (triêu
Å `ng) → max
. dô

, ´ `
Vo´ i cac
rang buôc.
.
,
,
,,
,,
Tông sô´ tiê`n dâ
Å `u tu không du
Å o. c vuo. t qua´ sô´ tiê`n hiên
. c´o

x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 2000 (triêu
Å `ng) .
. dô

, `
,
´
Ðiê`u kiên
chu´ ng khoan
Å `u tu vao
. vê` sô´ tiê`n dâ
x1 ≤ 0, 4( x1 + x2 + x3 + x4 ) ⇔ −0, 6 x1 + 0, 4 x2 + 0, 4 x3 + 0, 4 x4 ≥ 0.
,
, `
´ va` gu,i tiê´t kiêm
Ðiê`u kiên
công trai
Å `u tu vao
. vê` sô´ tiê`n dâ
.
x2 + x3 ≥ 0, 25( x1 + x2 + x3 + x4 )
⇔ −0, 25 x1 + 0, 75 x2 + 0, 75 x3 − 0, 25 x4 ≥ 0.
,
,,
`
Ðiê`u kiên
vê
sô´ tiê`n gui tiê´t kiêm
.
. tô´i thiêu x3 ≥ 100.
,
,
,
´ khoan tiê`n dâ

Ðiê`u kiên
Å `u tu x j ≥ 0,
. không âm cua cac
j = 1, 2, 3, 4.

` toan:
´ T`ım x j , j = 1, 2, 3, 4 sao cho
Ta co´ mô h`ınh bai

f ( x) = 0, 2 x1 + 0, 12 x2 + 0, 1 x3 + 0, 15 x4 → max
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

´ hoc
` toan
´ thu.,c tê´
1.1. Mô h`ınh toan
. bai

17

, `
Vo´ i rang
buôc
.

x1 +
x2 +

x3 +
x4 ≤ 2000,






 −0,6 x1 + 0,4 x2 + 0,4 x3 + 0,4 x4 ≥ 0,
−0,25 x1 + 0,75 x2 + 0,75 x3 − 0,25 x4 ≥ 0,



x3 ≥ 100,




x j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4.

, ,,
´˘ vât liêu. Môt
` toan
´ pha cat
´
V´ı du. 1.5. Bai
. phân xuong th´ep c´o cac
.
.
´

´
`
`
` 3,8 m´et, cân cat
˘
˘ thanh
ba loai
thanh th´ep nguyên dai
Å an
. do
. ngan
,
,
,
,´
,
` tuong u´ ng 1,8 m´et, 1,4 m´et va` 1,0 m´et. C´o
hon T 1, T 2, T 3 voi dÅô. dai
,
˜
´
´ nhau (xem bang).
˘ khac
5 mâu cat
,
,
˜ mâu
˜ bao nhiêu thanh th´ep nguyên
´˘ theo môi
Hoi câ`n phai cat

, ,
,
, ,,
,
,
`,a
` a c´o dÅu sô´ luo. ng cac
´ do
T 1, T 2, T 3 ma` phân xuong câ`n, vu
dê
Å vu
Å an
.
,
,
`,a la` nho nhâ´t?
sao cho tông phâ`n th´ep thu
Loai
Å an
. do
.
I
2
0
0
0,2m

` 1,8m
T1 dai
` 1,4m

T2 dai
` 1,0m
T3 dai
`,a
Phâ`n thu

II
0
2
1
0

˜ cat
´˘
Mâu
III IV
1
0
0
0
2
3
0
0,8m

Sô´ do
Å an
. câ`n
V
1

1
0
0,6m

400
400
1300

´ hoc:
Lâp
. mơ h`ınh toan
.
˜ j.
´˘ theo mâu
• Goi
. x j ( j = 1, ..., 5) la` sô´ thanh th´ep ngun cat
,,
,
,
,
• Sơ´ do
Å an
Å an
Å o. c la` 2 x1 + x3 + x5 . Phân xuong câ`n c´o 400 do
.
. T1 thu du
T1 nên 2 x1 + x3 + x5 = 400.
,,
, ,
,,

• Tuong tu. , dê
Å thu du
Å o. c sô´ do
Å an
. T2: 2 x2 + x5 = 400.
,,
, ,
,, ´
• Tuong tu. , dê
Å thu du
Å o. c sô do
Å an
. T3: x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1.300.
,
• Hiên nhiên x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0 va` x5 ≥ 0.
,
`˘
`,a bang
f = 0, 2 x1 + 0, 8 x4 + 0, 6 x5 (m´et).
• Tơng sô´ th´ep thu
,
´ ân sô´ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 sao cho
T`ım cac

f = 0, 2 x1 + 0, 8 x4 + 0, 6 x5 → min,
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

,,
,
` toan
´ tô´i u,u
Chuong 1. Gio´ i thiêu
. bai

18
, ´
vo´ i cac
diê
Å `u kiên
.

+ x3
2x


 1


2x
2

+ x5 = 400,
+ x5 = 400,


= 1300,
x2 + 2 x3 + 3 x4




 x ≥ 0 vo´,i moi j = 1, 2, 3, 4, 5.
j
.

,
,,
,
´ buo
` giai mô h`ınh toan
´ hoc
´ c xây du. ng va
1.1.2. Cac
.

,
,
´ hoc
Viêc
mô h`ınh h´oa toan
cho môt
vâ´n dê
Å ` thu. c tê´ va` giai n´o c´o
.
.
.
,
` 4 bu,o´,c:

thê chia lam
,,
´ dÅinh
´ yê´u tô´ c´o y´ ngh˜ıa quan trong
Buo´ c 1. Xac
cac
nhâ´t va` thiê´t
.
,
, .
,
,
`˘
´ quy luât
´
´ biêu bang
lo` i,
lâp
phai tuân theo. C´o thê phat
. , cac
. chung
,
´ diê
´ muc
biêu dô
Å ` cac
Å `u kiên
. vê` kinh tê´ xa˜ hôi
. tu. nhiên, cac
. tiêu câ`n

,,
dÅat
Å o. c.
. du
,
, ´,
,
˜ ta
´ hoc
` toan.
´ Ngh˜ıa la` diên
Buoc 2. Xây du. ng mô h`ınh toan
. cho bai
˜, toan
` toan
´ du,o´,i ngôn ngu
´ hoc
lai
t´ınh:
.
. bai
. cho mơ h`ınh dÅinh
,
,
,,
˜,ng dÅai
´ ân la` nhu
˘. cac
• Ðat
. luo. ng ta phai t`ım.

´ dÅinh
` muc
• Xac
ham
Åıch.
.
. d´
,
,
,
˜ ta bang
`˘
´ diê
˘. bâ´t phu,o,ng tr`ınh cac
• Diên
phuong tr`ınh hoac
Å `u kiên
.
`
´
`
´
kinh tê´ xa˜ hôi,
k˜
ı
thu
ât
v
a

c
ac
r
ang
bu
ôc
to
an
h
oc.
.
.
.
.
, ,
,
,,
, ´,
´ công cu. toan
´ hoc
´ bai
`
Buoc 3. Su dung
cac
Å giai quyê´t va` khao sat
.
. dê
,
,
,

`
´ h`ınh thanh
`
toan
tu Buo´ c 2:
,
´ giai phu` ho.,p;
˘. xây du.,ng phu,o,ng phap
• Chon
. hoac
,
`˘
´ tht
´ tơ´i u,u;
cac
• Cu. thê h´oa bang
. toan
,
,,
`˘
˜, lâp
´ t´ınh bang
• Triên khai chuong tr`ınh may
ngôn ngu
. tr`ınh cu.
,
,,
,
,
thê va` chay

. thu chuong tr`ınh.
,
,
,,
, , `,
´ thu du
Buo´ c 4. Phân t´ıch va` kiêm dÅinh
lai
Å o. c tu
.
. kê´t qua t´ınh toan
,,
Buo´ c 2.
,,
,,
,,
,
`n tru,o´,c, cac
´ bu,o´,c
Buo´ c 1 va` Buo´ c 2 dÅa˜ du
Å o. c gio´ i thiêu
. trong phâ
,
,
,
,,
´ diê
` toan
´
c`on lai

Å n h`ınh giai bai
. ta s˜e nghiên cu´ u môt
. sô´ phuong phap
´
quy hoach
. tuyên t´ınh. Ta x´et thêm môt
. v´ı du.
,
,
` toan
´ lâp
´ san xuâ´t
V´ı du. 1.6. Bai
. nha` may
. tiê´n dÅô. san xuâ´t. Môt
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

´ hoc
` toan
´ thu.,c tê´
1.1. Mô h`ınh toan
. bai

19

,
,

,,
,
`
´
˘. hang
môt
ho. p dô
trong 3 thang
Å `ng dÅat
. loai
. san phâm c´o, khô´i luo. ng
,
,
,
,
˜
´
´
`,ng
liên tiêp va` chi ph´ı san xuât cua môi do
Å n vi. san phâm trong tu
,
´
thang
cho trong bang sau
˜, liêu
Du
.
,,
,

`
˘. hang
Khô´i luo. ng ho. p dô
(dv)
Å `ng dÅat
Å
,`,
Chi ph´ı SX trong TG thuong (1000d/
Å dv)
Å
Chi ph´ı SX trong TG phu. trôi
Å dv)
Å
. (1000d/

1
95
30
34

´
Thang
2
3
90 120
32 34
36 38

,
, ´

`,ng thang
´ nhau trong tu
´
´ thay
(Chi ph´ı san xuâ´t khac
la` du. do
Å an cac
,
,
,
,
´
dô
d´
Å i trong chi ph´ı nguyên liêu
Åo).
. va` tiê`n luong cua thang
,
,
,
,
,
´ la` 100 dv/th
´
˘
Nang
lu. c san xuâ´t cua nha` may
ang
vo´ i tho` i gian
Å

,,
, `
,
,
´
thuo` ng (trong gio` lam
viêc)
ang
vo´ i tho` i gian phu. trôi
Å
. va` 15 dv/th
.
,
,
,,
` ngoai
` gio`,). Chi ph´ı lu,u kho cho 1 dv
´ du
(lam
Å san phâm không ban
Å o. c
,
´
´ không c´o do
`
` vao
` dâ
la` 2000 dô
Nha` may
nao

Å `ng/thang.
Å n vi. hang
Å `u
,
´
`
` cuô´i thang
´
thang
1 va` mong muô´nc´o ´ıt nhâ´t 5 do
vao
3.
Å n vi. hang
, ,, ,
,
,
,
,
` ra, gia su san phâm san xuâ´t ra dê
Ngoai
Å `u du
Å o. c cung câ´p ngay cho
,
,
,`, ˘
,
`
´ dÅu khô´i luo. ng ho.,p dô
cho dê
nguoi dÅat

Å ´n luc
Å `ng.
. hang
,
,
,
,
,
˜ xac
´ dÅinh
Hay
sô´ do
Å n vi. san phâm câ`n san xuâ´t trong tho` i gian
.
,
,
,,
,,
,
´
´ u´,ng du
thuo` ng va` trong tho` i gian phu. trôi
cua môt
thang
dê
Å dÅap
Å o. c
.
.
,

,
,
kê´ hoach
. cung câ´p san phâm vo´ i chi ph´ı thâ´p nhâ´t.
, ,
,
,,
,,
,
` dÅa˜ mô ta cac
´ dô
Buo´ c 1. Lo` i mô ta cua dê
Å ` bai
Å ´i tuo. ng va` quan hê.
˜,a chung
´
`
giu
r˜o rang.
, ´,
´ hoc.
Buoc 2. Mô h`ınh toan
.
,
, `
,
`
´
Goi
j trong gio` lam

viêc.
san xuâ´t trong thang
Å n vi. hang
. x j la` sô´ do
.
,
,
,
` gio` lam
` viêc.
`
´
j ngoai
san xuâ´t trong thang
Goi
Å n vi. hang
.
. y j la` sô´ do
,
´
`
´
`
` cuôi thang
´
j.
tôn kho vao
Goi
Å n vi. hang
. z j la` sô do

,
,
,
,
,
´
Cu. c tiêu tông chi ph´ı san xuâ´t va` luu kho trong 3 thang:
30 x1 + 32 x2 + 34 x3 + 34 y1 + 36 y2 + 38 y3 + 2 z1 + 2 z2 + 2 z3 → min
, ´ `
Vo´ i cac
rang buôc.
.
,
,
,
,
,,
`˘ trong kha nang
`
˘
san xuâ´t
Luo. ng hang
san xuâ´t ra phai nam

x j ≤ 100, y j ≤ 15, j = 1, 2, 3.
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

,,
,
` toan
´ tô´i u,u
Chuong 1. Gio´ i thiêu
. bai

20

,
,
,
,
´ diê
Cac
dô
cung câ´p san phâm
Å `u kiên
Å ´i, bao dÅam kê´ hoach
. cân
.
,
´˘
´ thang,
´
trong cac
phai theo nguyên tac:
,
` gio`,)=(Sô´ tiêu
(Sô´ xuâ´t kho)+(Sô´ SX trong gio` )+(Sô´ SX ngoai

thu)+(Sô´ tô`n kho).
´
Thang
1: 0 + x1 + y1 = 95 + z1 .

´
Thang
2: z1 + x2 + y2 = 90 + z2 .

´
Thang
3: z2 + x3 + y3 = 120 + z3 .
,,
`
` cuô´i thang
´
Ðiê`u kiên
c´o vao
3: z3 ≥ 5.
. vê` sô´ luo. ng hang
,
´ biê´n x j ≥ 0, y j ≥ 0, z j ≥ 0, j = 1, 2, 3.
Ðiê`u kiên
. không âm cua cac
` toan
´ nhu, sau:
T´om lai,
. ta c´o mô h`ınh bai
T`ım x j , y j , z j , j = 1, 2, 3 sao cho
30 x1 + 32 x2 + 34 x3 + 34 y1 + 36 y2 + 38 y3 + 2 z1 + 2 z2 + 2 z3 → min



x j ≤ 100, j = 1, 2, 3.






y j ≤ 15, j = 1, 2, 3.




+ y1
− z1
= 95,

 x1
+ y2
+ z1 − z2
= 90,
x2




x3
+ y3
+ z2 − z3 = 120,






z 3 ≥ 5,



 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, j = 1, 2, 3.
j
j
j
,,
,,
,,
,
´ nay.
`
Buo´ c 3. va` Buo´ c 4. du
Å o. c nghiên cu´ u trong cuô´n sach

,
` toan
´ tô´i uu va
` cac
´ thanh
`
1.2. Bai
phâ`n

` toan
´
1.2.1. Ð.inh ngh˜ıa bai

,
` sô´ thu.,c f : D → R xac
´
Cho Rn la` không gian thu. c n chiê`u, ham
,
,
,
,
n
n ,,
´ vecto cua R .
dÅinh
trên tâp
Å D la` tâp
.
. ho. p con cac
. ho. p D ⊂ R , o dây
,
,
` toan
´ t`ım tâp
´ biê´n sô´ x = ( x1 , x2 , ..., xn )T ∈ Rn dÅat
Bai
. cu. c
. , ho. p cac
,

,
,,
` sô´ f ( x) trên miê`n xac
´ dÅinh
tiêu (hay cu. c dÅai)
D du
Å o. c k´ı
.
. cua ham
hiêu
.
˘. max) , x ∈ D
f ( x) → min (hoac
(1.6)
,,
,u (hoac
´
`
`
´
´
˘
du
l
a
b
ai
`
to
an

´
tô
i
u
b
ai
to
an
quy
ho
ach
to
an
h
oc).
Å o. c goi
.
.
.
.
,
,
,
,
,,
˜ ng diê
Nhu
´ diê
Å m châ´p nhân
Å o. c,

Å m thuôc
. tâp
. ho. p D goi
. la` cac
. du
,
,,
` sô´ f ( x) goi
c`on tâp
`
Å o. c. Ham
. ho. p D goi
. la` tâp
. la` ham
. châ´p nhân
. du
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

` toan
´ tô´i u,u va` cac
´ thanh
`
1.2. Bai
phâ`n

21

,
` toan
´ (1.6).
muc
Åıch cua bai
. d´
,
,
`
Ðinh
ngh˜ıa 1.1. Môt
` cuc
Å m xÅ ∈ D goi
. diê
. la` nghiêm
. toan
. cua bai
.
´ min (1.6), nê´u
toan
,
f ( xÅ ) ≤ f ( x), vo´ i moi
(1.7)
. x ∈ D.
,
,,
,,
Môt
la` nghiêm
Å o. c goi

.
. nghiêm
. du
. dÅia
. phuong cua (1.6), nê´u tô`n tai
, .
Å
môt
lân
c
ân
U
c
ua
x
sao
cho
.
.
,
f ( xÅ ) ≤ f ( x), vo´ i moi
(1.8)
. x ∈ D ∩ U.

y

f (x)

b

b

x
b
b

x0

x1

,,
0
` cuc
H`ınh 1.1: x1 nghiêm
. phuong, x nghiêm
. dÅia
. toan
.
´ y´ : - Bai
` toan
´ max th`ı nghiêm
` cuc
Chu
va` nghiêm
.
. toan
. dÅia
,.
,
,,

,
,
˘ thu´ c ngu,o.,c lai.
phuong c´o công thu´ c (1.7) va` (1.8) vo´ i chiê`u bâ´t dÅang
.
,
,
,
,
,
,
´
´
´
´
˘
˘
thu´ c thu. c
vo´ i bât dÅang
thu´ c (1.7) va` (1.8) dÅung
- Nêu bât dÅang
, ,
`˘
c´o nghiêm
` cuc
va` nghiêm
su. vo´ i x ̸= xÅ , th`ı ta n´oi rang
. toan
. manh
.

.
,
,
dÅia
. phuong manh.
.
,,
,,
` cuc
- Moi
Å `u nguo. c lai
. phuong, diê
. ,nghiêm
. toan
. la` nghiêm
. dÅia
.
´ nao
` cung
˜
´
không phai luc
dÅung.
,
` toan
´ t`ım cu.,c dÅai
` sô´ c´o dang
Môt
. bai
. cua môt

. ham
.

f ( x) → max, x ∈ D
(1.9)
,
, ,,
,
,,
`
` toan
´ cu.,c tiêu
luôn luôn c´o thê biê´n dô
bai
Å i tuong du
Å ong thanh
,
,
` toan
´ nay
` cung
˜
` toan
´
(ngh˜ıa la` nghiêm
la` nghiêm
. cua bai
. cua bai
, ´, `
,,

truoc va nguo. c lai)
.
− f ( x) → min,

˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

x ∈ D.
/>

,,
,
` toan
´ tô´i u,u
Chuong 1. Gio´ i thiêu
. bai

22

, ,
,
,
,
´ nghiêm
´ bai
` toan
´ nay
` trung
`
Cac

nhau chı
. cu. c dÅai
. va` cu. c ,tiêu cua cac
, ,
,
´ nhau vê` dâ´u gia´ tri. cua bai
` toan.
´ Nhu, vây,
khac
nghiên cu´ u giai lo´ p
.
,
,
` toan
´ nay
` cung
˜
` toan
´ kia va` ngu,o.,c lai.
bai
la` nghiên cu´ u giai bai
.
,
,
,
,
,
´ diê
` toan
´ (1.6) va` (1.9) du

la` cac
Tâp
bai
Å m
Å o. c goi
.
. ho. p nghiêm
. cua
,
` toan
´ trên tâp
` toan
´ (1.6)
˘. cu. ,c tri. cua bai
cu. ,c tri. hoac
. D , c`on bai
,
,
,
` toan
´ cu. c tri.
va` (1.9) du
Å o. c goi
. la` bai
.
, ,
,
,
˜ bai
` toan

´ tô´i uu (1.6) hoac
˘. (1.9) c´o thê xây ra môt
Ðô´i vo´ i môi
.
,
,
`
˘
trong ba kha nang
loai
tr
u
nhau
sau
dây:
Å
.
,
˜
`
` toan
´ la` rông:
(a) miê`n rang
buôc
D = ;;
. cua bai
,
,
,
,

`˘
−∞ (+∞);
(b) cu. c tiêu (cu. c dÅai)
. cua f trên D bang
,
,
,
,
˜ u han
(c) f dÅat
. cu. c tiêu (cu. c dÅai)
. hu
. trên D .
,,
,, ,
,
,
` toan
´ (1.6) hoac
˘. (1.9)
Truo` ng ho. p tâp
Å o. c cua bai
. ho. p châ´p nhân
. du
, ´,
,
n
´
` toan
´ tôi uu không rang

D = R th`ı goi
`
buôc.
cho duoi dang
. la` bai
.
.
, ´
` toan
´ miê`n D c´o dang
Trong thu. c tê nhiê`u bai
.

D = { x ∈ X | g i ( x) ≤ 0, i = 1, p, h j ( x) = 0, j = 1, q},

(1.10)

,,
,
n
o dây
Å X ⊂ Rn , tâp
. ho. p dÅa˜ cho; g i : X → R , i = 1, 2, ...,,p va` h j : X →
,
`˘
´ anh
´
xa. dÅa˜ cho. Nhu vây,
ta gia thiê´t rang
f

Rn , j = 1, 2, ..., q la` cac
,.
,
˜
´ dÅinh
` cua cac
´ diê
cung
xac
Å m châ´p nhân
. trên X . Ðiê`u kiên
. thuôc
. vao
.
,,
,
,
,
´
`
`
X
g
oi
l
a
r
ang
`
bu

ôc
tr
u
c
tiê
p,
c`
o
n
r
ang
bu
ôc
du
h
o
p
Å ´i vo´ i tâp
Å o. c dô
.
.
.
.
.
.
,
,
,
,
´

´
`
´
`
˘
˘
D
l
a
r
ang
`
ang
th
u
c
trong
x
ac
d
inh
thu´ c va` rang
buôc
bâ
t
d
dÅang
Å
Å
.

.
´
buôc
h
am
`
sô
.
.
,
` toan
´ (1.6) goi
Nê´u D vo´ i diê
Å `u kiên
. X , g i ( x) va` h j ( x), th`ı bai
. la`
,
bai
` toan
´ tô´i uu c´o rang
`
buôc.
.
,
,´
n `
` toan
´ (1.6) va` (1.10) tao
` toan
´ chı

ra bai
Voi D = R va p = 0 bai
.
,
rang
`
buôc
˘
thu´,c.
. dÅang

´ bai
` toan
´
1.2.2. Phân loai
. cac
,
,,
,
` toan
´ tô´i u,u (1.6) hoac
˘. (1.9) du
Nhu vây
bai
Å o. c nghiên cu´ u t`ım
,.
,
,
´
` muc

nghiêm
hiên nhiên t´ınh gia´ tri. cua ham
. cua chung,
. tiêu va` so
,
,
,,
,,
,
´
´ phuong an
´ cua n´o trong miê`n châ´p nhân
sanh
cac
Å o. c. Phuong
. du
, ,
,,
,,
,
´ cô diê
` kh´o ma` thu.,c hiên
phap
Å n nay
Å o. c trong nhiê`u truo` ng ho. p
. du
,
,,
,
,

´ ham
` sô´ f ( x) va` D la` do
cho du` cac
Å n gian. Vây
. nguo` i ta nghiên cu´ u
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

` toan
´ tô´i u,u va` cac
´ thanh
`
1.2. Bai
phâ`n

23

,
,
´ ra cac
´ bai
` toan
´ dê˜ giai ho,n. Cac
´ nghiên cu´,u d´
`
l´ı thuyê´t dê
Å tach
Åo la:

,
,
´ t´ınh châ´t cua cac
´ thanh
`
` toan
´ nhu,
- Nghiên cu´ u cac
phâ`n bai
,,
,
` f ( x), tâp
ham
Å o. c.
. ho. p châ´p nhân
. du
,
,,
´ diê
- Cac
Å `u kiên
Å tô`n tai
Å o. c.
. dê
. nghiêm
. châ´p nhân
. du
, ,
,
´ diê

- Cac
Å `u kiên
Å c´o cu. c tri.
.
. câ`n va` dÅu dê
,
,
,
,
,
,
` du
˜ kiên
` toan
´ nguo` i ta phân loai
Tu
. dÅa˜ cho cua bai
. nhu sau:
` toan
´ tô´i u,u c´o rang
`
1. Bai
` toan
´ quy hoach
tuyê´n t´ınh: Ðây la` bai
.
,
` muc
´ ham
` rang

`
buôc.
buôc
. Ham
. tiêu va` tâ´t ca cac
. f ( x), g i ( x),
` tuyê´n t´ınh va` D la`
i = 1, 2, ..., p va` h j ( x), j = 1, 2, ..., q dê
Å `u la` ham
,
,
,
` toan
´ giao thông vân
` toan
´ san
tâp
Å diên.
. lô`i da
. Nhu bai
. tai, bai
xuâ´t dô
Å `ng bô,....
.
,
´ hê. sô´ cua ham
` muc
2. Bai
` toan
´ tô´i u,u tham sô´: Nê´u cac

. tiêu va`
,
,
`
` tham sô´ (nhu tho` i gian).
rang
buôc
. phu. thuôc
. vao
,,
´ qua´ tr`ınh
3. Bai
` toan
´ quy hoach
dÅông:
Nê´u dô
Å ´i tuo. ng x´et la` cac
.
.
,
`
´ qua´ tr`ınh phat
´ triên theo
c´o nhiêu giai do
Å an
. n´oi chung, hay cac
,
tho` i gian n´oi riêng.
´
˘. c´o ´ıt nhâ´t môt

4. Bai
` toan
´ tô´i u,u phi tuyê´n: Nê´u f ( x) hoac
cac
. trong
,
,
` phi tuyê´n hoac
` sô´ g i ( x) hoac
˘. h j ( x) la` ham
˘. dô
ham
Å `ng tho` i ca hai.
,
,
`
5. Bai
` toan
´ tô´i u,u r`o,i rac:
buôc
. tâp
. ho. p ,ro` i rac.
.
. D la` mơt
. Nê´u rang
,
,
,
´
´

`
´
´
`
´
Nhu vây
c
ac
biê
n
r
o
i
r
ac
cho
ta
c
ac
b
ai
to
an
tơ
i
u
u
c
u
thê

:
.
.
.
,
´ biê´n chı nhân
` toan
´ goi
• Nê´u cac
`
. gia´ tri. nguyên th`ı bai
. la` bai
toan
´ quy hoach
. nguyên.
,
,
´ biê´n chı lâ´y gia´ tri. Boolean, ngh˜ıa la` chı c´o 0 va` 1 th`ı
• Nê´u cac
` toan
´ goi
bai
` toan
´ quy hoach
. la` bai
. biê´n boolean.
`
`
6. Bai
` toan

´ tô´i u,u da
môt
buôc
Å muc
. miê`n rang
.
. tiêu: Nê´u trên cung
,
`
´ ham
` muc
´ nhau (hoac
`
˘. vecto c´o thanh
ta x´et cac
phân
. tiêu khac
´ ham
` muc
la` cac
. tiêu).
` muc
´
˘. môt
7. Qui hoach
f ( x) hoac
. tiêu
. trong cac
. phi tuyê´n: Nê´u ham
,

` rang
`
˘. nê´u X
ham
buôc g i ( x), h j ( x) không phai la` tuyê´n t´ınh hoac
,
, .
,
˘
han
không phai la` môt
Å diên
. khi X la` tâp
. tâp
. ho. p lô`i da
. (Chang
.
,
, ´
,
,
`
`
`
ho. p cac diê
m
r
o
i
r

ac
hay
X
l
a
m
ôt
t
âp
h
o
p
không
lô
i).
Å
.
. .
.
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

,,
,
` toan
´ tô´i u,u
Chuong 1. Gio´ i thiêu
. bai

24

,
,
` muc
8. Qui hoach
lô`i: Nê´u ham
. tiêu câ`n t`ım cu. c tiêu la` lô`i (hay
.
` câ`n t`ım cu.,c dÅai
`
ham
buôc
. tâp
.
. la` l˜om) va` miê`n rang
. D la` môt
,
,
, `
,
,
´
´
` toan
´ qui hoach
ho. p lôi. Ðây la` lo´ p bai
phi
tuyê

n
du
o
c
nghiên
c
u
u
Å
.
.
,
,`,
,
`
´
`i
nhiêu nhât. Môt
cua qui hoach
. truong ho. p riêng quan trong
.
., lô
,
,
,
,
` phuong, trong d´
` toan
´ t`ım cu. c tiêu cua
la` qui hoach

Åo x´et bai
. toan
,
`
´
` lôi bâc
´ rang
`
môt
buôc
. ham
. hai vo´ i cac
. tuyên t´ınh.
,
,
` muc
9. Qui hoach
l˜om: Nê´u ham
. tiêu câ`n t`ım cu. c tiêu la` l˜om v,a`
.
,
`
` toan
´ diê
miê`n rang
buôc
Å n
. D la` môt
. tâp
. ho. p lô`i. Ðây la` môt

. bai
, ´
´
`
´
` toan
´ qui hoach
h`ınh trong lop cac bai
phi tuyên không lôi dÅa˜
, .
,
,,
,
,
´
´
˜ Ðon gian nhât la` bai
` toan
´ t`ım cu.,c tiêu
du
Å o. c nghiên cuu kha´ ky.
,
` l˜om vo´,i cac
´ rang
`
cua môt
buôc
. ham
. tuyê´n t´ınh.
,

,,
,
` muc
`
10. Qui hoach
. tiêu la` thuong cua hai ham
. phân thu´ c: Nê´u ham
,
,
,
,
,
,
`
sô´ cho truo´ c va` miê`n rang
buôc
. tâp
. ho. p lô`i. Truo` ng ho. p
. D la` môt
´ chu´ y´ la` qui hoach
` muc
riêng dÅang
. phân tuyê´n t´ınh khi ham
. tiêu
,
,
,
` tuyê´n t´ınh afin.
la` thuong cua hai ham

,
1.2.3. Nôi
uu
. dung nghiên c´

,
, ´
` toan
´ tô´i u,u ngu,o`,i ta c´o thê chia ra ba
Khi nghiên cu´ u cac
bai
,,
huo´ ng:
, ˜ Xây du,ng cac
´ mô h`ınh toan
´ hoc,
1. Cac
´ vâ´n dê
Å ` công nghê. thu. c tiên:
.
.
,
,
,
´
˜
`
´
thu thâp
d

u
li
êu,
gi
ai
th´
ı
ch
v
a
phân
t´
ı
ch
kê
t
qu
a
t´
ı
nh
to
an,
...
.
.
,
, ´
,,
´

`
´ toan
´ hoc
2. Cac
´ vân dê
´ hoc:
Nghiên cu´ u cac
phuong phap
dê
Å toan
Å
.
.
,
´ lo´,p bai
` toan
´ tô´i u,u nhâ´t dÅinh.
giai cac
.
,
, `
´ cho cac
´ bai
`
3. Cac
´ vâ´n dê
´ Nghiên cu´ u so dô
Å ` t´ınh toan:
Å t´ınh toan
,,

,
´ nêu o trên, xây du. ng va` hoan
` thiên
´ va` cac
´
toan
. thuât
. toan
,,
,,
,
´
´
chuong tr`ınh may t´ınh tuong ung, ...
,
,,
` không hoan
` toan
` tach
´
˘
D˜ı nhiên ba huo´ ng nay
biêt
. nhau. Chang
,
,,
˜ câ`n du
´ mô h`ınh toan
´ hoc
´ vâ´n dê

han,
Å ` thu. c tiên
Å o. c xây
. cac
. cho cac
,
,,
,
, ´
´ t´ınh toan
´ hiên
du. ng sao cho phu` ho. p nhâ´t vo´ i cac
phuong phap
. c´o,
,
` muc
´ ham
` rang
`
dôi
buôc
Å khi phai tuyê´n t´ınh hoa´ ham
. tiêu, hay cac
.
,
,
,
,
,
,

´
´ dung
´
´
du
o
c
c
ac
phu
o
ng
ph
ap
c
ua
qui
ho
ach
tuyê
n
t´
ı
nh.
dê
Å
Å c´o thê ap
.
.
.

,,
,
, `
´
´
´
´ toan
´
´
dô
t´
ı
nh
to
an
theo
c
ac
phu
ong phap
Viêc
nghiên
c
u
u
c
ac
so
Å
.

,
,
,
,
˜
´ thuo` ng giup
´ hoan
` thiên
hoc
. dÅa˜ c´o va` thu. c tiên t´ınh toan
. ban thân
˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>

,
,
1.3. Kiê´n thu´ c dÅai
. sô´ va` giai t´ıch

25

,,
,
´ toan
´ hoc.
` tr`on,
phuong phap
ôt sô´ vâ´n dê

Å ` nhu t´ıch luy˜ sai sô´ lam
., M
, .
,
,
´
´
´ do
tôc dÅô. hôi
Å n gian nhât la` nghiên
. tu,
. hiêu
. qua cua môt
. thuât
. toan
,
,
,
cu´ u nho` thu. c nghiêm.
.

,
,
´
´ c dÅai
`
1.3. Kiê´n thu
sô
v
a

gi
ai
t´ıch
.
1.3.1. Không gian tuyê´n t´ınh n chiê`u
,,
,
,
´˘
Môt
gô`m n sô´ thu. c
Å o. c sap,
. v´ecto n chiê`u la` môt
. hê. du
,
´ sô´ x i ( i = 1, 2, ..., n) goi
x = ( x1 , x2 , ..., xn )T . Cac
`
phâ`n cua
. la` thanh
,
,
T
v´ecto x. V´ı du:
. x = (−1, 4, 0, 2) la` v´ecto 4 chiê`u.
,
,
˘`
nhau, ta viê´t x = y, nê´u x i = yi , vo´ i
Hai v´ecto x va` y goi

. la` bang
moi
. i = 1, 2, ..., n.
, ,
´ v´ecto, va` ph´ep toan
Ph´ep toan
´ công
cac
´ nhân v´ecto vo´ i môt
. sô´
.
,
,,
,
thu. c α du
ngh˜ıa nhu sau:
Å o. c dÅinh
.

x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )T ,

α x = (α x1 , α x2 , . . . , α xn )T .
,
,
´ v´ecto, n chiê`u, vo´,i ph´ep toan
´ công
´ v´ecto, va`
Tâp
cac
. ho. p tâ´t ca cac

.
, ´
,
, ,
nhân v´ecto vo´ i môt
dÅinh
nhu trên, goi
.
. sô´ thu. c xac
. la` không, gian
,
,
n
´ v´ecto n chiê`u cung
˜
goi
´ diê
tuyê´n t´ınh n chiê`u R . Cac
Å m cua
. la` cac
Rn .
´ v´ecto, x i ∈ Rn , i = 1, 2, . . . , k, goi
Cac
. la` dÅôc
. lâp
. tuyê´n t´ınh nê´u

α1 x1 + α2 x2 + · · · + αk x k = 0 ⇔ α i = 0, i = 1, 2, ..., k.
,,
,

Hê. v´ecto x1 , . . . , x k du
Å o. c goi
. la` phu. thuôc
. tuyê´n t´ınh, nê´u hê. không
dÅôc
. lâp
. tuyê´n t´ınh.
,
,
x = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αk x k vo´ i ´ıt
Môt
.
. v´ecto x c´o dang
,
,
,
´
nhâ´t môt
. la` môt
. α i ̸= 0 goi
. tô ho. p tuyê´n t´ınh cua cac
,
, i
,
˜ a, nê´u α i ≥ 0, i = 1, 2, ..., k va`
v´ecto x , i = 1, 2, . . . , k. Hon nu
,
, ,
´ v´ecto,
α1 + α2 + · · · + αk = 1 th`ı x goi

. la` môt
. tô ho. p lô`i cua cac
x i , i = 1, 2, ..., k.
,
˜ hê. gô`m
Trong Rn sô´ v´ecto dÅôc
Å la` n. Môi
. lâp
. , tuyê´n t´ınh tô´i da
, ,,
,, ,
,
,
n
n v´ecto dÅôc
. lâp
. tuyê´n t´ınh, cua R goi
. la` môt
. co so cua n´o. Gia su,
, ,,
,
n
n
a1 , a2 , ..., a n la` môt
Å `u la` tô
., co so cua R th`ı bâ´t ky` v´ecto x ∈ R dê
,
,
1
2

n
´ v´ecto a , a , ..., a . Nê´u m < n th`ı Rm goi
ho. p tuyê´n t´ınh cua cac
. la`

˜ Hu˜ ,u Ðiê,n
Nguyên

/>